Ứng dụng đạo hàm và tích phân trong một số bài toán kinh tế

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THANH TRUNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THANH TRUNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN ĐỨC THÀNH Đà Nẵng - 2020 MỤC LỤC Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép tính vi phân hàm biến 1.2 Phép tính tích phân hàm biến 13 1.3 Phép tính vi phân hàm nhiều biến 16 ´ Ưng dụng đạo hàm đạo hàm riêng số toán kinh tế 25 2.1 Đạo hàm giá trị cận biên Mối quan hệ hàm bình quân hàm cận biên 25 2.2 Đạo hàm hệ số co dãn Đạo hàm cấp hai quy luật lợi ích cận biên giảm dần 29 2.3 Bài toán tối ưu biến 31 2.4 Đạo hàm riêng cấp hai quy luật lợi ích cận biên giảm dần 36 2.5 Tính hệ số co dãn 37 2.6 Bài toán cực trị 39 ´ Ưng dụng tích phân số toán kinh tế 54 3.1 Hàm tổng 54 3.2 Hàm quỹ vốn hàm đầu tư 56 3.3 Thặng dư người tiêu dùng thặng dư nhà sản xuất 57 Kết luận kiến nghị 62 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học bắt nguồn từ thực tiễn lý thuyết toán học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế sống Trong năm gần đây, theo xu tiếp cận với giáo dục nước tiên tiến, kì thi THPT quốc gia mơn Tốn, số lượng câu hỏi mang tính vận dụng thực tiễn ngày nhiều Điều gây khó khăn định cho em học sinh làm thi môn Tốn, kể học sinh giỏi Bởi lẽ, ngồi việc nắm kiến thức mơn Tốn mơn học khác, học sinh cịn phải biết mơ hình hóa tốn học tốn thực tiễn tốn mà chương trình sách giáo khoa hành Hơn nữa, số lượng toán mang tính vận dụng thực tiễn cịn hạn chế Đạo hàm tích phân tốn liên quan chủ đề quan trọng chương trình tốn bậc trung học phổ thơng Nó tập trung chương trình lớp 12, chủ đề Bộ giáo dục đào tạo đưa vào kì thi Quốc gia từ trước đến thường chiếm tỉ lệ cao đề thi Ngoài ra, nhiều tốn bậc trung phổ thơng giải hiệu ứng dụng đạo hàm tích phân Đặc biệt cơng cụ sắc bén thường sử dụng để giải số dạng tốn kì thi học sinh giỏi cấp Ngồi ứng dụng thơng thường đạo hàm tích phân biết chương trình tốn phổ thơng, người ta cịn tìm thấy ứng dụng thực tế nó, cụ thể ứng dụng số toán kinh tế Với lí định hướng thầy giáo TS.Trần Đức ´ Thành, định chọn đề tài: “ Ưng dụng đạo hàm tích phân 61 Bài Cho hàm đầu tư sau: I(t) = 40.t quỹ vốn thời điểm t = 75 Hãy cho biết hàm quỹ vốn K(t) Bài Cho hàm đầu tư sau: I(t) = 3.t (nghìn la tháng) quỹ vốn thời điểm t = K(1) = 10 (nghìn la) Hãy cho biết hàm quỹ vốn K(t) lượng vốn tích lũy từ tháng đến tháng Bài Cho biết hàm cung hàm cầu thị trường hàng hóa sau: Qs = 4p − 1, Qd = 159 − 2p2 a) Tìm giá cân p0 lượng sản phẩm cân Q0 thị trường b) Hãy tính thặng dư nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng Bài Cho biết hàm cung hàm cầu thị trường hàng hóa sau: p = 10 + 4Qs , p = 70 − 2Qd Hãy tính thặng dư nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng Bài Cho biết hàm cầu ngược p = 26 − 4Q − Q2 Giả sử giá cân p0 = Hãy tính thặng dư người tiêu dùng Bài 10 Cho biết hàm cung hàm cầu thị trường hàng hóa sau: Qs = √ p − − 1, Qd = √ 43 − p − a) Tìm giá cân p0 lượng sản phẩm cân Q0 thị trường b) Hãy tính thặng dư nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng Bài 11 Cho biết hàm cung loại sản phẩm Qs = 833 thặng dư nhà sản xuất P S = a) Tìm sản lượng Q0 thời điểm cân √ p − biết b) Tìm giá p0 thời điểm cân Bài 12 Cho biết hàm cầu loại sản phẩm Qd = 686 thặng dư người tiêu dùng CS = a) Tìm sản lượng Q0 thời điểm cân b) Tìm giá p0 thời điểm cân √ 113 − p biết KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận ´ Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn “ Ưng dụng đạo hàm tích phân số tốn kinh tế” thu kết sau Trình bày số khái niệm tính chất phép tính vi phân, tích phân hàm biến, phép tính vi phân hàm nhiều biến Trình bày chi tiết số ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến hàm cận biên, giá trị cận biên, hàm bình qn, quy luật lợi ích cận biên giảm dần, toán cực trị lợi nhuận tối đa, doanh thu cực đại chi phí tối thiểu tốn kinh tế Trình bày chi tiết số ứng dụng phép tính tích phân hàm biến hàm tổng, hàm quỹ vốn, hàm đầu tư, thặng dư nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng toán kinh tế Kiến nghị Tác giả hy vọng tìm hiểu thêm số ứng dụng khác tốn đại số tuyến tính, xác suất thống kê số toán kinh tế 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân nhiều tác giả(2000), Tốn Cao Cấp Tập 3, Giải tích hàm nhiều biến, NXB Giáo dục [2] Trần Văn Ân nhiều tác giả(2000), Bài tập Toán Cao Cấp Tập 3, Giải tích hàm nhiều biến, NXB Giáo dục [3] Phan Văn Danh nhiều tác giả(1998), Toán Cao Cấp Tập 2, Giải tích hàm biến, NXB Giáo dục [4] Phan Văn Danh nhiều tác giả(1998), Bài tập Tốn Cao Cấp Tập 2, Giải tích hàm biến, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Huy Hồng (2010), Tốn Cao Cấp Tập 2, Giải tích tốn học (Dùng cho nhà kinh tế quản trị kinh doanh), NXB Giáo dục Việt Nam [6] Lê Đình Thúy (2010), Tốn Cao Cấp Cho Các Nhà Kinh Tế, Phần 2, Giải tích toán học ( Dùng cho nhà kinh tế quản trị kinh doanh), NXB Đại học Kinh Tế Quốc Dân 63 ... đại hàm số cho Khi giá trị cực đại hàm số zCD = z(0, ) = −1 CHƯƠNG ´ ƯNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN KINH TẾ Chương dành để trình bày ứng dụng đạo hàm đạo hàm riêng số tốn... 3) Hàm số f có đạo hàm đoạn [a;b] có đạo hàm khoảng (a;b) có đạo hàm bên phải a, đạo hàm bên trái b Rõ ràng, hàm số có đạo hàm điểm x0 hàm số có đạo hàm trái đạo hàm phải x0 , đồng thời hai đạo. .. Cho hàm số z = f (x, y) Tính đạo hàm riêng lần thứ ta ∂z ∂z , gọi đạo hàm cấp hàm z Tính đạo hàm riêng đạo ∂x ∂y hàm riêng ta đạo hàm riêng gọi đạo hàm riêng cấp hai đạo hàm hỗn hợp cấp hàm số