ỨNG DỤNG của đạo hàm và VI PHÂN TRONG một số bài TOÁN KINH tế

Trong thời đại khoa học và công nghệ ngày nay,Toán học ứng dụng được sử dụng như là một công cụ không thể thay thế đểphân tích, tổng hợp, cải tiến hoặc tìm các giải pháp, phương án quản

Trần Thị Lan Hương

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN TRONG MỘT SỐ BÀI

TOÁN KINH TẾ

BẢNG KÍ HIỆU

MC Marginal cost Chi phí cận biên

MPPL Product Value in kind of

marginal workers

Giá trị sản phẩm hiện vật cận biên của lao động

MR Marginal revenue Doanh thu cận biên

Trần Thị Lan Hương

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài khóa luận

Toán học là môn khoa học có nhiều lợi thế so với các ngôn ngữ khoa

học khác, vì nó là một phương cách truyền thông ý tưởng với kiến thức ngắn

gọn, chính xác, dễ hiểu, nghiêm túc, là công cụ suy diễn lý luận rất mạnh

Phát triển kinh tế là mục tiêu của tất cả các nước trên thế giới Để đạtđược mục tiêu đó đòi hỏi các nước phải có sự kết hợp hài hòa việc phát triểntất cả các ngành khác nhau Trong phát triển kinh tế thì toán học là một yếu tố

có ứng dụng quan trọng Toán học là một trong những ngành học có lịch sửhình thành lâu đời Toán học được xem là tiền đề căn bản để xây dựng cáclĩnh vực khoa học khác Trong thời đại khoa học và công nghệ ngày nay,Toán học ứng dụng được sử dụng như là một công cụ không thể thay thế đểphân tích, tổng hợp, cải tiến hoặc tìm các giải pháp, phương án quản lý, thiết

kế, điều khiển tốt nhất trong kinh tế, kỹ thuật và công nghệ Các chuyên giatoán học ứng dụng là nguồn nhân lực đang nắm giữ những vị trí quan trọngtrong các lĩnh vực đang phát triển mạnh mẽ, chẳng hạn như tài chính,marketing, công nghệ thông tin, tính toán khoa học

Toán kinh tế là môn khoa học nhằm vận dụng toán học trong phân tíchcác mô hình kinh tế để từ đó hiểu rõ hơn các quy tắc và quy luật kinh tế củanền kinh tế thị trường Toán kinh tế cung cấp cho các Nhà quản lý các kiếnthức để họ có thể vận dụng vào việc ra quyết định sản xuất Toán học đóngmột vai trò rất quan trọng, có thể nói là không thể thiếu trong bộ môn kinh tế.Vai trò này có xu hướng tăng dần theo thời gian Toán học đã giúp kinh tếtiến triển rất nhiều Vai trò này được thể hiện qua nhiều khía cạnh, từ giảngdạy, nghiên cứu đến chính sách kinh tế Mở bất cứ cuốn sách giáo khoa kinh

tế nào ra, dù là vi mô hay vĩ mô, dù là nhập môn hay cấp cao, người đọc cũng

dễ dàng nhận thấy vai trò quan trọng của toán Đa số các nhà kinh tế ngày naythích dùng toán để diễn đạt các nghiên cứu của mình Sự ứng dụng của toánhọc trong kinh tế không phải là một hiện tượng mới Thật ra toán đã đóng vai

trò đáng kể trong kinh tế học trên dưới một thế kỉ nay mặc dù các thuyết kinh

tế cổ điển đã được phát triển và hệ thống hóa không cần dùng toán Sự pháttriển của lý thuyết kinh tế học hiện đại dựa vào toán rất nhiều Điều đó cũngkhông đáng ngạc nhiên vì toán có nhiều lợi thế hơn các ngôn ngữ khác Toánhọc được coi như là một phương cách truyền thông ý tưởng, kiến thức ngắngọn, chính xác và nghiêm túc; là một ngôn ngữ phổ quát nhất nhờ sự tiêuchuẩn hóa các kí hiệu toán trên toàn thế giới; là một dụng cụ suy diễn lý luậnrất mạnh (nhờ vào sự phong phú của các định lý toán) và là phương pháp rấtích lợi trong việc giải quyết các vấn đề quá phức tạp cho các tưởng tượng haytrực giác Toán học có vai trò là một phương tiện, không phải là cứu cánh, và

do đó tầm nhìn về sự kiện và ý nghĩa phải nhất thiết đi trước việc phân tíchvấn đề, phẩm chất của một lý thuyết kinh tế hoàn toàn không phụ thuộc vàochiều sâu hay tính phức tạp của nội dung toán trong lý thuyết đó

Để thấy rõ vai trò của toán học trong kinh tế, trước hết chúng ta nên tìmhiểu ý nghĩa của cụm từ “Kinh tế học” Cụm từ “Kinh tế học” được dùng vớihai ý nghĩa sau: Là một ngành riêng biệt của bộ môn kinh tế trong đó ứngdụng và phát triển của các kĩ thuật khoa học được dùng làm sáng tỏ các vấn

đề về kinh tế; là một tập hợp các phương pháp diễn giải dùng để trình bày,phân tích và thông hiểu các hiện tượng về kinh tế Dù kinh tế học được hiểutheo nghĩa nào đi nữa ta thấy toán học đóng một vai trò không thể thiếu trongkinh tế học Mở bất kì một cuốn sách giáo trình kinh tế nào ra người đọc cũng

dễ dàng nhận thấy vai trò quan trong của toán, nhất là phần “Đạo hàm và viphân” trong việc trình bày các khái niệm và giải quyết các bài tập về kinh tế

Do đó, bằng công cụ đạo hàm và vi phân trong toán học sẽ giúp cho các sinhviên trong ngành kinh tế có thể áp dụng nhờ đó có thể trình bày được nhiềuvấn đề mà phương pháp diễn giải bằng lời thông thường không có hiệu quả

Từ lý do trên em chọn đề tài: “Ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong một số bài toán kinh tế” làm nội dung khóa luận tốt nghiệp của mình.

2 Mục tiêu khóa luận

+ Giúp cho sinh viên toán tìm hiểu sâu hơn ứng dụng của toán học Đặcbiệt là ứng dụng của đạo hàm và vi phân.

+ Giúp sinh viên ngành kinh tế giải quyết các bài toán phức tạp mà thôngqua đạo hàm và vi phân có thể giải quyết được

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong một số bài toán kinh tế

4 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáotrình có liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong đại số rồi phânhóa, hệ thống hóa các kiến thức

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu, tham khảo tàiliệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

+ Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hìnhthức của khóa luận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng: Đạo hàm và vi phân

+ Phạm vi : Ứng dụng đạo hàm và vi phân trong một số bài toán kinh tế

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận đã hệ thống các khái niệm về đạo hàm và vi phân một cách

cơ bản Từ đó, nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong việc giảimột số dạng bài tập kinh tế như bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu, bàitoán lực chọn tối ưu trong kinh tế, bài toán định mức thuế doanh thu và một

số bài toán khác

7 Bố cục của khóa luận

Chương 1 Cơ sở lý thuyết

Chương 2 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong một số bài toán kinh tếChương 3 Bài tập

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến

1.1.1 Hàm số

1.1.1.1 Định nghĩa 1.1

Cho X là một tập con của tập số thực  Một hàm số xác định trên X

là một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm x X với một giá trị duy nhất

 

f x  

Kí hiệu : f X  :

x yf x 

X được gọi là tập xác định của hàm số f .

Tập hợp  f x x X    được gọi là tập giá trị của hàm số f

1.1.1.2 Hợp của các hàm số

Hợp của f x và   g x là hai hàm số được kí hiệu là   g f và được định nghĩa bởi:

g f   x g f x   Miền xác định của g f là tập hợp các giá trị x sao cho f x thuộc  

miền giá trị g

Ví dụ 1.1 Hàm số y  x2  3x có miền xác định là tập hợp tất cả các số 2thực x sao cho:

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng a b , 

số tăng trên khoảng a b , 

 Nếu x x1, 2( , ),a b x1 x2  f x( )1  f x( )2 thì f được gọi là hàm

số giảm trên khoảng a b , 

1.1.2 Giới hạn của hàm số một biến

1.1.2.1 Định nghĩa 1.2

Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng a b có thể trừ ra điểm, 

0 ( , )

x  a b Ta nói hàm số f x có giới hạn là   A khi x tiến tới x nếu với0

mọi dãy  n ( , ) \ 0 ,lim n 0

lim ( )( )

a) Nếu f x là một hàm số sơ cấp và   x thuộc miền xác định của nó thì:0

Định nghĩa 1.3 Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng a b, , x0( , )a b

Hàm số f x được gọi là liên tục tại   x nếu:0

số liên tục bên phải tại điểm x 0

Vậy f liên tục tại

Nếu hàm số không liên tục tại x thì 0 f được gọi là gián đoạn tại điểm x 0

Vậy f gián đoạn tại điểm x khi không tồn tại 0

ii) f đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trong a b , 

Tức là tồn tại c c1, 2a b,  sao cho:

     1 ,

Theo bổ đề Bolzanô - Weierstrass từ dãy  x có thể trích ra một dãy n

con  x n k hội tụ đến một giới hạn hữu hạn: x n k  x0 khi k  , trong đó:

0

Vì hàm liên tục tại x nên 0 f x n k  f x 0 Nhưng khi đó từ (1) ta suyra:

 n k

khác f x là một hàm số hữu hạn  0

Mâu thuẫn này suy ra định lý được chứng minh

Ta chú ý rằng định lý không còn đúng đối với những khoảng không đóng

 

  , tức là: c1a b,  Theo giả thiết hàm f liên tục tại c , nên 1 lim    1

k

n k

1.1.4.1 Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao

Định nghĩa 1.4 Cho hàm sốyf x  xác định trên khoảng a b ,,  x0a b, 

gọi là đạo hàm của hàm số yf x  tại điểm x 0

Hàm số có đạo hàm gọi là hàm khả vi

Định nghĩa 1.5 Cho U là một tập mở trong , f U  : là một hàm xácđịnh trên U Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểmcủa U Khi đó hàm số f U:  , x f x  được gọi là đạo hàm của hàm

số f trên U

Nếu f  liên tục trên U thì ta nói rằng f khả vi liên tục trên U hay fthuộc lớp C U 1 

Đạo hàm của hàm số y được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số

Định lý 1.3 Cho , :f g U   , trong đó U là một tập mở trong , còn f g,

là hai hàm khả vi tại x0U Khi đó c c1, 2  các hàm c f1 c g f g2 , , f

g

Ta thấy do hàm u liên tục tại x nên khi 0  x 0 thì  u 0 và

x x

x







1 cos

2

11

x

x x

cosx   sinx cosuu.sinu

Ta gọi biểu thức f x 0 x là vi phân của hàm số tại điểm x ứng với0

số gia x của đối số và kí hiệu là:

Ta có thể viết dx thay cho x và dx gọi là vi phân của biến số độc lập

Từ đây, ta có thể xác định vi phân của hàm f tại x U theo công thức:

tức là quay lại dạng ban đầu của vi phân.

Như vậy, ta luôn luôn có quyền vi phân của y dưới dạng dy y x dx  

dù x có phải là biến độc lập hay không Điều khác nhau chỉ là ở chỗ, nếuchọn t là biến độc lập thì dx không phải là số gia tùy ý mà là vi phân của xxem là hàm của t Tính chất đó gọi là tính chất biến dạng của vi phân.

Ví dụ 1.7 Cho hàm số ln 1

1

x x

e y

Ví dụ 1.9 Tính gần đúng arctg1,05.

Theo công thức f x 0 h f x 0  f x h 0 , ta có:

2 1

1arcsin1,05 ar 1 1,05 0,81

Cho hàm f x xác định trên khoảng   a b Ta nói rằng hàm ,  f x  

đạt cực đại địa phương tại điểm ca b,  nếu tồn tại một số  0 sao cho:

h h

  

  

ý nghĩa là tiếp tuyến tại điểm tương ứng của đường cong song song với trục

Chứng minh

Do f a  f b , hàm f x không thể đạt cả hai giá trị   m M, tại hai

đầu mút của khoảng, có nghĩa là ít nhất một trong hai giá trị đó đạt tại mộtđiểm ca b, 

Khi đó, theo định lý Fermat:

  0

Định lý đã được chứng minh

không thể bỏ qua được

Cho dù f  0 f  1 , nhưng hàm số không liên tục trên 0,1 , nên

không thể áp dụng định lý Rolle được (đạo hàm không nơi nào bằng 0 trên

0,1 ).

Giả thiết hàm f x khả vi trong khoảng   a b cũng là một giả thiết, 

không thể bỏ qua được

Ví dụ 1.11 Xét hàm số:

 

1, 0

21

hàm tại 1

2

x  , do đó cũng không áp dụng định lý Rolle được.

Ví dụ 1.12 Hàm số f x   1 3 x2 triệt tiêu khi x  , 1 1 x  nhưng2 1

  0

f x  với x  1

Điều này không mâu thuẫn với định lý Rolle

1.1.6.4 Định lý về số gia hữu hạn (Định lý Lagrange)

Hiển nhiên F x liên tục trên   a b vì nó là hiệu của hàm liên tục, 

 là hệ số góc của cát tuyến AB,

còn f c  là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y f x  tại điểm

Theo định lý Lagrange trên cung AB tìm được ít nhất một điểm c, mà tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AB Trường hợp f a  f b  ta cóđịnh lý Rolle.

Ta thấy hàm số thỏa mãn tất cả các giả thiết của định lý Rolle.

Thật vậy F x liên tục, đạo hàm   F x  tồn tại trong khoảng a b , cụ , 

x

x

f x

x x

Vậy theo định nghĩa hàm số f x có đạo hàm tại   x 1 và f  1 1

Từ lý luận trên suy ra giá trị bé nhất của hàm số trên 0,1 không thể

xảy ra ở hai đầu mút 0 và 1

Vậy giá trị bé nhất đạt được tại  0,1

1.1.7 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân của hàm số một biến

v x cùng có giới hạn 0 hoặc cùng có giới hạn vô hạn.

2/ Tồn tại giới hạn: lim '( )

 Dạng vô định 0. là dạng giới hạn lim( )uv , trong đó u u x ( ) hàm

số có giới hạn 0 và hàm số v v x ( )có giới hạn  Trong trường hợp này tabiến đổi như sau:

biến đổi như sau:

1 1lim( ) lim

Trường hợp u và v là các phân thức với mẫu số có giới hạn 0 ta dễ

Nếu u  1 và v   thì limu có dạng vô định v 1;

Nếu u  0 và v  0 thì limu v có dạng vô định 00;

Nếu u   và v  0 thì limu vcó dạng vô định 0

 Nếu đặt y u v thì trong cả 3 trường hợp này giới hạn của biểu thức

lny v u ln đều có dạng 0. (dạng này đã được chỉ dẫn cách tính ở trên).Nếu tính được lim(ln )y k thì ta được:

Định lý 1.6: Nếu x là điểm mà tại đó 0 f x 0 0 và f x 0 0 thì hàm sốđạt cực đại tại điểm x Nếu 0 x là điểm mà tại đó 0 f x 0 0 và f x 0 0thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

1.1.7.4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y f x  xác định là liên tục trên đoạn a b và ,  f khả vi

trong khoảnga b Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, 

1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến

1.2.1 Khái niệm hàm hai biến

Định nghĩa 1.7 Cho E là một tập hợp con của 2

 Một hàm hai biến xácđịnh trên E một quy luật f đặt tương ứng mỗi điểm ( , )x y E với một sốthực duy nhất z f x y( , )

( , )x y D (Dlà tập mở) Ta nói hàm số f x y có giới hạn là  ,  A khi x y, 

tiến đến ( , )x y nếu với mọi dãy điểm 0 0  x y n, n  D, x y n, n  x y0, 0 ,

,) lim

x y

2

x y

n

n

x n y n

Vậy không tồn tại:

0 0

x y

1.2.3 Sự liên tục của hàm hai biến

Định nghĩa 1.9 Hàm zf x y ,  được gọi là liên tục tại điểm x y nếu0, 0

 Hàm f x y được gọi là liên tục trên tập  ,  E nếu nó

liên tục tại mọi điểm x y, E

Định lý 1.7 Cho hàm số f x y liên tục trên miền đóng, bị chặn  ,  E Khi đó:

f bị chặn trên E, nghĩa là tồn tại M sao cho:

 ,   , 

f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trênE

1.2.4 Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao

1.2.4.1 Định nghĩa đạo hàm riêng cấp một

Cho hàm z f x y ,  xác định trên miền D, x y0, 0D Nếu tồn tại

Vậy để tính đạo hàm riêng của hàm zf x y ,  theo biến x thì coi y làhằng số, đạo hàm riêng của hàm z f x y ,  theo biến y ta coi x là hằng số.

1.2.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao

 Nếu hàm f x y x ,  có đạo hàm riêng theo biến x thì đạo hàm đó gọi là đạo

hàm riêng cấp hai theo biến x Kí hiệu: f xxx y,  hoặc 2  

2

,

f x y x



 Nếu hàm f x y y ,  có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó gọi là đạo

hàm riêng cấp hai theo biến y Kí hiệu: f yyx y,  hoặc 2  

2

,

f x y y

Ví dụ 1.22 Cho f x y ,  x2 3xy3 siny Tính f xxx y, , f yyx y, ,

ii) Nếu hàm số f x y có các đạo hàm riêng trong một miền chứa , 



1.2.6 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến

1.2.6.1 Cực trị của hàm hai biến

Cho z f x y ,  là một hàm hai biến xác định trên miền D, điểm

x y0, 0D Điểm x y được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm 0, 0 f

nếu tồn tại miền conGD,x y0, 0G sao cho:

 ,   0, 0   ,   0, 0 

x y,  G\ x y0, 0 

Nếu f có cực đại hay cực tiểu thì ta nói hàm số có cực trị tại điểm x y 0, 0

Định lý 1.9 Nếu f x y có cực trị tại  ,  x y mà tại đó tồn tại các đạo hàm0, 0

Rõ ràng: z x y 2 2  0 x y, , còn điểm tới hạn thì z 0 Nên cácđiểm giới hạn đều là điểm cực tiểu và z  CT 0

1.2.6.2 Cực trị có điều kiện của hàm hai biến

Cho hàm zf x y ,  xác định trên miền D,  là một hàm xác địnhtrên D Tìm cực trị của hàm zf x y ,  với điều kiện x y,  0

L x L y

Giả sử tại điểm x y tồn tại vi phân cấp hai: 0, 0