ỨNG DỤNG của đạo hàm và VI PHÂN TRONG một số bài TOÁN KINH tế

TTRần ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ Trần Thị Lan Hương TTRần BẢNG KÍ HIỆU P Qs Qd TC TR C S MC MPPL MR Trần Thị Lan Hương Price Quantity supplied Quantity demanded Total cost Total revenue Consumption Saving Marginal cost Product Value in kind of Giá hàng hóa Lượng cung Lượng cầu Tổng chi phí Tổng doanh thu Tiêu dùng Tiết kiệm Chi phí cận biên Giá trị sản phẩm vật cận marginal workers Marginal revenue biên lao động Doanh thu cận biên TTRần MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài khóa luận Toán học môn khoa học có nhiều lợi so với ngôn ngữ khoa học khác, phương cách truyền thông ý tưởng với kiến thức ngắn gọn, xác, dễ hiểu, nghiêm túc, công cụ suy diễn lý luận mạnh Phát triển kinh tế mục tiêu tất nước giới Để đạt mục tiêu đòi hỏi nước phải có kết hợp hài hòa việc phát triển tất ngành khác Trong phát triển kinh tế toán học yếu tố có ứng dụng quan trọng Toán học ngành học có lịch sử hình thành lâu đời Toán học xem tiền đề để xây dựng lĩnh vực khoa học khác Trong thời đại khoa học công nghệ ngày nay, Toán học ứng dụng sử dụng công cụ thay để phân tích, tổng hợp, cải tiến tìm giải pháp, phương án quản lý, thiết kế, điều khiển tốt kinh tế, kỹ thuật công nghệ Các chuyên gia toán học ứng dụng nguồn nhân lực nắm giữ vị trí quan trọng lĩnh vực phát triển mạnh mẽ, chẳng hạn tài chính, marketing, công nghệ thông tin, tính toán khoa học Toán kinh tế môn khoa học nhằm vận dụng toán học phân tích mô hình kinh tế để từ hiểu rõ quy tắc quy luật kinh tế kinh tế thị trường Toán kinh tế cung cấp cho Nhà quản lý kiến thức để họ vận dụng vào việc định sản xuất Toán học đóng vai trò quan trọng, nói thiếu môn kinh tế Vai trò có xu hướng tăng dần theo thời gian Toán học giúp kinh tế tiến triển nhiều Vai trò thể qua nhiều khía cạnh, từ giảng dạy, nghiên cứu đến sách kinh tế Mở sách giáo khoa kinh tế ra, dù vi mô hay vĩ mô, dù nhập môn hay cấp cao, người đọc dễ dàng nhận thấy vai trò quan trọng toán Đa số nhà kinh tế ngày thích dùng toán để diễn đạt nghiên cứu Sự ứng dụng toán học kinh tế tượng Thật toán đóng vai TTRần trò đáng kể kinh tế học kỉ thuyết kinh tế cổ điển phát triển hệ thống hóa không cần dùng toán Sự phát triển lý thuyết kinh tế học đại dựa vào toán nhiều Điều không đáng ngạc nhiên toán có nhiều lợi ngôn ngữ khác Toán học coi phương cách truyền thông ý tưởng, kiến thức ngắn gọn, xác nghiêm túc; ngôn ngữ phổ quát nhờ tiêu chuẩn hóa kí hiệu toán toàn giới; dụng cụ suy diễn lý luận mạnh (nhờ vào phong phú định lý toán) phương pháp ích lợi việc giải vấn đề phức tạp cho tưởng tượng hay trực giác Toán học có vai trò phương tiện, cứu cánh, tầm nhìn kiện ý nghĩa phải thiết trước việc phân tích vấn đề, phẩm chất lý thuyết kinh tế hoàn toàn không phụ thuộc vào chiều sâu hay tính phức tạp nội dung toán lý thuyết Để thấy rõ vai trò toán học kinh tế, trước hết nên tìm hiểu ý nghĩa cụm từ “Kinh tế học” Cụm từ “Kinh tế học” dùng với hai ý nghĩa sau: Là ngành riêng biệt môn kinh tế ứng dụng phát triển kĩ thuật khoa học dùng làm sáng tỏ vấn đề kinh tế; tập hợp phương pháp diễn giải dùng để trình bày, phân tích thông hiểu tượng kinh tế Dù kinh tế học hiểu theo nghĩa ta thấy toán học đóng vai trò thiếu kinh tế học Mở sách giáo trình kinh tế người đọc dễ dàng nhận thấy vai trò quan toán, phần “Đạo hàm vi phân” việc trình bày khái niệm giải tập kinh tế Do đó, công cụ đạo hàm vi phân toán học giúp cho sinh viên ngành kinh tế áp dụng nhờ trình bày nhiều vấn đề mà phương pháp diễn giải lời thông thường hiệu Từ lý em chọn đề tài: “Ứng dụng đạo hàm vi phân số toán kinh tế” làm nội dung khóa luận tốt nghiệp TTRần Mục tiêu khóa luận + Giúp cho sinh viên toán tìm hiểu sâu ứng dụng toán học Đặc biệt ứng dụng đạo hàm vi phân + Giúp sinh viên ngành kinh tế giải toán phức tạp mà thông qua đạo hàm vi phân giải Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng đạo hàm vi phân số toán kinh tế Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến ứng dụng đạo hàm vi phân đại số phân hóa, hệ thống hóa kiến thức + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu, tham khảo tài liệu, giáo trình từ rút kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu + Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn, giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Đạo hàm vi phân + Phạm vi : Ứng dụng đạo hàm vi phân số toán kinh tế Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận hệ thống khái niệm đạo hàm vi phân cách Từ đó, nghiên cứu ứng dụng đạo hàm vi phân việc giải số dạng tập kinh tế toán tìm kích thước lô hàng tối ưu, toán lực chọn tối ưu kinh tế, toán định mức thuế doanh thu số toán khác Bố cục khóa luận Chương Cơ sở lý thuyết Chương Ứng dụng đạo hàm vi phân số toán kinh tế Chương Bài tập TTRần CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Đạo hàm vi phân hàm số biến 1.1.1 Hàm số 1.1.1.1 Định nghĩa 1.1 Cho X tập tập số thực ¡ Một hàm số xác định X quy tắc f đặt tương ứng điểm x ∈ X với giá trị f ( x) ∈ ¡ Kí hiệu : f : X → ¡ x a y = f ( x) X gọi tập xác định hàm số f { } Tập hợp f ( x ) x ∈ X gọi tập giá trị hàm số f 1.1.1.2 Hợp hàm số Hợp f ( x ) g ( x ) hai hàm số kí hiệu g o f định nghĩa bởi: ( g o f ) ( x) = g ( f ( x) ) Miền xác định g o f tập hợp giá trị x cho f ( x ) thuộc miền giá trị g Ví dụ 1.1 Hàm số y = x − 3x + có miền xác định tập hợp tất số thực x cho: x − 3x + ≥ Hay x ∈ ( 1,2 ) Vậy miền xác định: D = ( −∞,1) ∪ [ 2, + ∞ ) 1.1.1.3 Hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a, b ) TTRần  Nếu ∀x1 , x2 ∈ ( a, b ) , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) f gọi hàm số tăng khoảng ( a, b )  Nếu ∀x1 , x2 ∈ (a, b), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) f gọi hàm số giảm khoảng ( a, b ) 1.1.2 Giới hạn hàm số biến 1.1.2.1 Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a, b ) trừ điểm x0 ∈ (a, b) Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn A x tiến tới x0 với xn = x0 ta có: dãy { xn } ⊂ (a, b) \ { x0 } ,lim n →∞ lim f ( x0 ) = A n →∞ f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0,0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) − A < δ Kí hiệu: xlim → x0 1.1.2.2 Các phép toán giới hạn Cho f ( x ) , g ( x ) hai hàm số có giới hạn x → x0 Khi đó: i ) lim [ f ( x) ± g ( x) ] = lim f ( x) ± lim g ( x) x → x0 x → x0 x → x0 ii ) lim [ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) x → x0 iii ) lim x → x0 x → x0 x → x0 ( f ( x) f ( x) xlim →x = lim g ( x) ≠ g ( x) lim g ( x) x→ x0 iv) lim [ f ( x) ] x → x0 g ( x) x → x0 ) lim g ( x ) x → x0 =  lim f ( x)   x→ x0  Một số giới hạn bản: i ) lim [ f ( x) ± g ( x) ] = lim f ( x) ± lim g ( x) x → x0 x → x0 x → x0 ( f ( x) f ( x) xlim → x0 iii ) lim = lim g ( x) ≠ x → x0 g ( x ) lim g ( x) x→ x0 x → x0 iv) lim [ f ( x) ] x → x0 g ( x) lim g ( x ) x → x0 =  lim f ( x)   x→ x0  ) TTRần Một số giới hạn đặc biệt: a) Nếu f ( x ) hàm số sơ cấp x0 thuộc miền xác định thì: lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 e x = +∞, lim e x = b) xlim →+∞ x →−∞ c) lim+ ln x = −∞, lim ln x = +∞ x →+∞ x →0 c=c d) xlim → x0 sinx =1 x →0 x ex −1 f) lim =1 x →0 x x  1 g) lim 1 + ÷ = e x →∞  x e) lim Ví dụ 1.2 Tính giới hạn sau: e− x a) lim x →∞ b) lim ( + sinx ) x + x +1 x→∞ sin5x x →0 x c) lim Giải Ta có: − x + x +1 =0 a) lim e x →∞ sinx lim 1 x →∞ x b) lim ( + sinx ) = lim ( + sinx ) sinx  = lim ( + sinx ) sinx    x→∞  x →∞ x →∞   sin5x  sin5x   sin5x  = lim5. = 5lim  c) lim ÷ ÷ = 5.1 = x →0 x→0 x →0 x  5x   5x  x sinx x =e 1.1.3 Hàm số biến liên tục Định nghĩa 1.3 Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a, b ) , x0 ∈ (a, b) Hàm số f ( x ) gọi liên tục x0 nếu: lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Trường hợp: lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 − TTRần f ( x) = f ( x0 ) ta nói hàm ta nói hàm số liên tục bên trái điểm x0 , xlim → x0 + số liên tục bên phải điểm x0 f ( x) = lim− f ( x) = f ( x0 ) Vậy f liên tục x0 ⇔ xlim → x0 + x → x0 Nếu hàm số không liên tục x0 f gọi gián đoạn điểm x0 f ( x) hoặc: Vậy f gián đoạn điểm x0 không tồn xlim → x0 lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Định lý 1.1 Cho hàm số f liên tục [ a, b ] Khi đó: i) f bị chặn đoạn [ a, b ] , nghĩa tồn M > cho: f ( x) ≤ M ∀x ∈ [ a, b ] ii) f đạt cận cận [ a, b ] Tức tồn c1 , c2 ∈ [ a, b ] cho: sup f ( x ) = f ( c1 ) inf f ( x ) = f ( c2 ) x∈[ a ,b ] x∈[ a , b ] iii) Nếu f ( a ) f ( b ) < tồn c ∈ [ a, b ] : f (c) = iv) ∀λ ∈ [ f ( a), f (b) ] , ∃c ∈ [ a, b ] : f (c ) = λ Chứng minh i) Ta chứng minh định lý phản chứng Thật vậy, ta giả sử hàm số không bị chặn Khi với số tự nhiên n ta tìm [ a, b ] giá trị x = xn cho: f ( xn ) > n (1) Theo bổ đề Bolzanô - Weierstrass từ dãy { xn } trích dãy { } xnk hội tụ đến giới hạn hữu hạn: xnk → x0 k → +∞ , đó: a ≤ x0 ≤ b TTRần ( ) Vì hàm liên tục x0 nên f xnk → f ( x0 ) Nhưng từ (1) ta suy ra: ( ) f xnk → +∞ , khác f ( x0 ) hàm số hữu hạn Mâu thuẫn suy định lý chứng minh Ta ý định lý khoảng không đóng Ví dụ 1.3 Như hàm liên tục khoảng ( 0,1) khoảng x hàm số không bị chặn ii) Theo định lý trên, hàm liên tục nên bị chặn Ta có: M = sup f ( x ) < +∞ x∈[ a , b ] Theo định lý supremum ta có dãy { xn } ⊂ [ a, b ] cho: M = lim f ( xn ) x →∞ { } Dãy { xn } bị chặn nên chứa dãy xnk hội tụ, cụ thể: xnk → c1 k → ∞ Mặt khác từ bất đẳng thức: a ≤ xnk ≤ b Suy ra: a ≤ lim xnk ≤ b , tức là: c1 ∈ [ a, b ] k →∞ ( ) f xnk = f ( c1 ) Theo giả thiết hàm f liên tục c1 , nên M = lim k →∞ Hoàn toàn tương tự ∃c2 cho: xi∈n[ af,b] f ( x ) = f ( c2 ) iii) Không tổng quát ta giả thiết f ( a ) < f ( b ) > Đặt A = { x ∈ [ a, b ] | f ( x ) ≤ 0} Vì a ∈ A nên A ≠ φ Gọi c = sup A TTRần Hệ số co giãn đại lượng Q theo đại lượng P đặt là: P dQ P ε =− = − Q′ ( P ) ( ε gọi độ co giãn cầu) Q dP Q Ví dụ 2.10 Cho hàm cầu Q = 300 − 40 P − P Tìm hệ số co giãn cầu P = 10 Giải Hệ số co giãn cầu là: P P 40 P + P ε = −Q′( P ) = −(−40 − P ) = Q 300 − 40 P − P 300 − 40 P − P Tại P = 10, ε = −3 Ý nghĩa toán: Tại mức giá P = 10 , giá tăng 1% cầu giảm % CHƯƠNG III BÀI TẬP Bài Một công ty sản xuất độc quyền loại sản phẩm biết hàm tổng chi phí: C = Q + 1000Q + 100 hàm cầu Q = 4100 − P a) Hãy xác định mức thuế t đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận tổng thuế phủ sthu đạt giá trị cực đại b) Muốn công ty sản xuất 200 sản phẩm mức thuế thu đơn vị sản phẩm bao nhiêu? Giải a) Ta có: Q = 4100 − P ⇔ P = 8200 − 2Q Doanh thu xí nghiệp là: TTRần R = P.Q = ( 8200 − 2Q ) Q = 8200Q − 2Q Thuế xí nghiệp là: Q.t Lợi nhuận xí nghiệp là: N = 8200Q − 2Q − ( Q + 1000Q + 100 ) − Qt = −3Q + ( 7200 − t ) Q − 100 N ′ = −6Q + 7200 − t = ⇔ Q = 7200 − t Vậy lợi nhuận lớn xí nghiệp phải sản xuất mức: Q= 7200 − t Do thuế thu là: T = Q.t = 7200 − t t2 t = − + 1200t 6 t T ′ = − + 1200 = ⇔ t = 3600 Vậy để Tmax ta chọn mức thuế t = 3600 Với mức thuế t − 3600 xí nghiệp sản xuất mức: Q= 7200 − 3600 = 600 sản phẩm đơn vị thời gian b) Muốn xí nghiệp sản xuất 200 sản phẩm 7200 − t Q= ≥ 200 ⇔ t ≤ 6000 Nghĩa cần chọn mức thuế tối đa 6000 cho đơn vị sản phẩm Bài Cho hàm cầu Q = 30 − P − P Tìm hệ số co giãn cầu P = Giải Hệ số co giãn cầu là: P P 4P + 2P2 ε = −Q′( P) = −(−4 − P) = Q 30 − P − P 30 − P − P Tại P = 3, ε = 30 ≈ 3,3 TTRần Ý nghĩa toán: Tại mức giá P = , giá tăng 1% cầu giảm 3,3% Bài Hàm cầu loại sản phẩm P = 50 − Q Tìm tốc độ thay đổi giá lượng cầu Q thay đổi Giá thay đổi Q = ? Giải Tốc độ thay đổi giá P theo Q là: P′ = −2Q Do đó: P′(1) = −2.1 = −2 Điều có nghĩa lượng cầu tăng thêm đơn vị sản phẩm giá giảm đơn vị sản phẩm đơn vị tiền Ý nghĩa vấn đề: Khi giá sản phẩm cao nhu cầu mua sản phẩm giảm, ngược lại giá sản phẩm xuống thấp nhu cầu mua sẩn phẩm tăng lên Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 1,25%/ tháng có nhiều người mua đất cất nhà Đến tháng năm 2008 lãi xuất ngân hàng 1,75%/ tháng số người mua đất cất nhà giảm Bài Xét hàm cầu loại xe máy sau: QD = 40 − P Tìm tốc độ thay đổi lượng cầu xe máy giá thay đổi? Giải Tốc độ thay đổi cầu xe máy theo P là: QD′ ( P ) = −2 Điều có nghĩa giá xe máy tăng thêm đơn vị sản phẩm lượng cầu xe máy giảm tương ứng đơn vị sản phẩm Ý nghĩa vấn đề: Khi giá sản phẩm cao nhu cầu mua sản phẩm giảm, ngược lại giá sản phẩm xuống thấp nhu cầu mua sản phẩm tăng lên Kết luận đưa phù hợp với quy luật cầu trog kinh tế TTRần Bài Cho hàm tổng chi phí TC ( Q ) = 4000 + 10Q + 0,1Q ( Q sản lượng) Giá P xác định phương trình: Q = 800 − 2,5 P Xác định TC ′ ( P ) Giải Ta có: TC ′ ( P ) = TC ′ ( Q ) Q′ ( P ) = ( 10 + 0,2Q ) ( −2,5 ) = − ( 0,5Q + 25 ) = 1,25P − 425 Bài 6: Cho chi phí trung bình để sản xuất đơn vị sản phẩm là: AC ( Q ) = 0,0001Q − 0,02Q + + 500 Q Tìm giá trị cận biên chi phí Q sản phẩm Áp dụng với Q0 = 50 Giải Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là: TC ( Q ) = Q AC ( Q ) = 0,0001Q − 0,02Q + 5Q + 500 Giá trị cận biên chi phí là: MC ( Q ) = dTC = 0,0003Q − 0,04Q + dQ Khi Q0 = 50 thì: MC ( 50 ) = dTC = 0,0003.502 − 0,04.50 + = 0,75 − + = 3,75 dQ Ý nghĩa vấn đề: Q tăng lên đơn vị từ 50 lên 51 chi phí tăng thêm 3,75 đơn vị Bài Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 − 6Q + 140Q + 750 (với Q > ) Xác định mức chênh lệch chi phí cận biên MC chi phí bình quân AC Giải Ta có: TTRần MC ( Q ) = TC ′ ( Q ) = 3Q − 12Q + 140 AC ( Q ) = TC ( Q ) 750 = Q − 6Q + 140 + Q Q ⇒ MC ( Q ) − AC ( Q ) = 2Q − 6Q − 750 Q Hoặc theo công thức ta có:  750  750 ⇒ MC ( Q ) − AC ( Q ) = Q AC ′ ( Q ) = Q  2Q − − ÷ = 2Q − 6Q − Q  Q  Bài Xét hàm TR = 2Q − 99Q (với Q > ) Xác định mức chênh lệch doanh thu cận biên MR doanh thu bình quân Giải MR ( Q ) = TR′ ( Q ) = 4Q − 99 AR ( Q ) = TR ( Q ) = 2Q − 99 Q MR ( Q ) − AR ( Q ) = 2Q Bài Cho hàm sản lượng Q phụ thuộc vào giá số loại hàng hóa liên quan thể qua mô sau: Q = P1 + 5P2 + P3 Trong đó:  P + P = → P = − P1 2    P − 3P = ∂ → P = + P  4 Khi P1 , P2 , P3 thay đổi đơn vị làm cho sản lượng Q thay đổi đơn vị? Giải Ta có: TTRần dQ ∂Q dP2 ∂Q dP3 ∂Q = + + dP1 ∂P2 dP1 ∂P3 dP1 ∂1 13  1 3 =  − ÷+  ÷+ =  2 4 Khi P1 , P2 , P3 thay đổi đơn vị làm cho sản lượng Q thay đổi 13 đơn vị Trong thân P1 làm Q thay đổi đơn vị, P2 làm Q giảm 2,5 đơn vị, P3 làm Q tăng đơn vị Bài 10 Tìm giá trị cận biên: a) C = 0,1Q + 3Q + Q = b) C = 0,04Q − 0,5Q + 4,4Q + 7500 Q = Giải a) Hàm tổng chi phí là: TC ( Q ) = Q AC ( Q ) = 0,1Q + 3Q + 2Q Giá trị cận biên chi phí là: MC ( Q ) = dTC = 0,3Q + 6Q + dQ Khi Q = thì: MC ( 3) = dTC 227 = 0,3.32 + 6.3 + = dQ 10 Ý nghĩa vấn đề: Nếu Q tăng lên đơn vị từ lên chi phí tăng thêm 227 đơn vị sản phẩm 10 b) Hàm tổng chi phí là: TC ( Q ) = Q AC ( Q ) = 0,04Q − 0,5Q + 4,4Q + 7500Q Giá trị cận biên chi phí là: MC ( Q ) = dTC = 0,16Q − 1,5Q + 8,8Q + 7500 dQ TTRần Khi Q = thì: MC ( ) = dTC 15053 = 0,16.53 − 1,5.52 + 8,8.5 + 7500 = dQ Ý nghĩa vấn đề: Nếu Q tăng lên đơn vị từ lên chi phí tăng thêm 15053 đơn vị sản phẩm Bài 11 Giả sử lượng cung loại sản phẩm có dạng: QS = 500 + P + P Trong Qs lượng cung, P giá sản phẩm Qua biểu thức quan hệ lượng cung QS giá P ta thấy hàm cung hàm đơn điệu tăng, nghĩa giá P tăng lượng cung Qs tăng theo Bạn ước lượng “tốc độ tăng tức thời” lượng cung tức tạo mức giá p0 ? Giải Ta xét mức giá Po lượng cing tương ứng Q( Po ) Khi giá tăng đại lượng ∆P (nghĩa mức giá ( Po + ∆P) lượng cung tương ứng Q( Po + ∆P ) Khi thương : Q( Po + ∆P ) − Q( Po ) Q( Po + ∆P ) − Q( Po ) = tốc độ ( Po + ∆P ) ∆P tăng TB lượng cầu khoảng giá [ Po , Po + ∆P ] Khi lượng ∆P đủ bé (∆P → 0) thương đạo hàm hàm cầu Po tốc độ tăng tức thời hàm cầu Qs mức giá Po Q( Po + ∆P) − Q( Po ) ∆P →0 ∆P Qs' ( Po ) = lim 500 + ( Po + ∆P) + 2( Po + ∆P)  − 500 + Po + Po2  = ∆lim P →0 ∆P + 2(2 Po ∆P + ∆P ) ∆P →0 ∆P = lim TTRần (1 + Po + 2∆P) = + Po = ∆lim P →o Bài 12 Xác định mức số lượng tối ưu nhà sản xuất, cho biết hàm doanh thu hàm chi phí sau: TR = 4000Q − 33Q TC = 2Q − 3Q + 400Q + 5000 Giải Hàm lợi nhuận là: π = TR − TC = (4000Q − 33Q ) − (2Q − 3Q + 400Q + 5000) = −2Q − 30Q + 3600Q − 5000 Xét π ' = −6Q − 60Q + 3600 Q = −30 π' =0⇔  Q2 = 20 Ta suy π đạt GTLN Q=20 ⇒ Mức sản lượng để tối ưu (sản lượng cho lợi nhuận tới đa) là: Q=20 Chú ý: Ở tập trên, ta khảo sát trực tiếp hàm π , với miền π = (0; +∞) Bài 13 Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm thị trường cạnh tranh với giá p=20USD Cho biết hàm sản xuất Q = 12 L2 giá thuế lao động WL = 40USD Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa? Giải Hàm lợi nhuận nhà sản xuất là: π = TR − TC = p.Q − w L L = 20.12 L2 − 40 L = 240 L2 − 40 L Đạo hàm: π' = 160 − 40 L2 π ' = ⇔ L = 64 TTRần ⇒ π đạt GTLN L=64 Bài 14 Cho biết hàm lợi nhuận nhà sản xuất sau: π = Q + 14Q + 60Q − 54 Trong đó: π lợi nhuận nhà sản xuất Q mức sản lượng lợi nhuận π Hãy chọn mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa? Giải Thực ta cần khảo sát để tìm GTLN π (π hàm số theo biến Q) Bước 1: Tập xác định D = (0; +∞) Bước 2: Tính đạo hàm π ' = −Q + 28Q + 60 Bước 3: Lập bảng biến thiên: Q = −2 π ' = ⇔ −Q + 28Q + 60 = ⇔  Q2 = 20 Bước 4: Hệ số π đạt GTLN Q=20 Bài 15 Cho hàm sản xuất ngắn gọn Q = 50 L2 Giá trị MPPL L=27 là? Giải ' Vì Q = 50.2 100 = 33 L 33 L ⇒ Q ' (27) = 100 ≈ 11,11 ⇒ MPPL L=27 11,11 Bài 16 Nếu hàm cầu Q = 1400 − P hệ số co giãn cầu P = 20 là? Giải Hệ số co giãn cầu là: P ( 1400 − P ) P −2 P ′ ε = −Q ( P) = = Q 1400 − P 1400 − P 2 TTRần Tại P = 20, ε = −0,8 Ý nghĩa toán: Tại mức giá P = 20 , giá tăng 1% cầu giảm 0,8% Bài 17 Cho hàm cầu Q = 60 + ln(65 − P ) Xác định hệ số co dãn P = P Giải Hệ số co giãn cầu là: P −60 − 3P ε = −Q′( P) = Q P ( 65 − P ) Tại P = 4, ε = 27 Ý nghĩa toán: Tại mức giá P = , giá tăng 1% cầu giảm 27% Bài 18 Một xí nghiệp thị trường có hàm tổng chi phí sau: TC = Q + 180Q + 140.000 a) Nếu giá thị trường 1200, xí nghiệp nên sản xuất mức sản lượng để đạt lợi nhuận tối đa? Mức lợi nhuận bao nhiêu? b) Tại mức giá trên, mức sản lượng xí nghiệp hòa vốn? c) Xác định mức giá hòa vốn xí nghiệp? Giải a) Ta có TC = Q + 180Q + 140000 => MC = 2Q + 180 Lợi nhuận xí nghiệp thị trường đạt tối đa MC = P ⇔ 2Q + 180 = 1200 ⇔Q = 1200 − 180 = 510 Tại Q = 510 , TR = P.Q = 1100.510 = 612000 TC = 5102 + 180.510 + 140000 = 491900 Π = TR − TCđvt = 612000 − 491900 = 120100 TTRần Ý nghĩa vấn đề: Mức sản lượng đạt lợi nhuận tối đa 510 đvsl lợi nhuận đạt 120.100 đvt b) Xí nghiệp hòa vốn TC = TR ⇔ Q + 180Q + 140000 = 1200.Q ⇔ Q − 1020Q + 140000 = Giải phương trình bật hai nghiệm: Q = 163,4 Q = 856,5 Ý nghĩa vấn đề: Với giá 1200, xí nghiệp hòa vốn mức sản lượng Q = 163,4 Q = 856,5 (Xí nghiệp đạt lợi nhuận dương khoảng mức sản lượng này) c) Xác định mức giá hòa vốn Theo lý thuyết, mức giá hòa vốn chi phí trung bình thấp ( ACmin ) Ta có: TC = Q + 180Q + 140000 AC đạt cực tiểu AC’ = ⇔1 + 0.Q − 140000.1 = Q2 ⇔ Q = 140.000 => Q = 374,2 Thế giá trị Q vào phương trình đường AC, ta AC = 374,2 + 180 + ` 140000 = 928,3 374,2 Ý nghĩa vấn đề: Vậy mức giá hòa vốn 928,3 (nếu giá thị trường mứcgiá xí nghiệp bị lỗ) Bài 19 Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A với hàm cầu P = 600 − 2Q hàm chi phí TC = 0,2Q + 28Q + 200 Tìm mức sản xuất Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, giá bán lợi nhuận đạt bao nhiêu? TTRần Giải Hàm doanh thu là: TR = PQ = ( 600 − 2Q ) Q = 600Q − 2Q Hàm lợi nhuận là: π = TR − TC = −2,2Q + 572Q − 200 Để π đạt tối đa thì:  dπ  dQ = −4,4Q + 572 =  ⇒ Q = 130 đơn vị sản lượng  d π  = −4,4 <  dQ Khi giá bán thị trường là: P = 600 − 2.130 = 340 đơn vị tiền tệ Bài 20 Xác định mức số lượng tối ưu nhà sản xuất, cho biết hàm doanh thu hàm chi phí sau: TR = 1400Q − 7,5Q TC = Q3 − 6Q + 140Q + 750 Giải Ta có: MR = 1400 − 15Q, MC = 3Q − 12Q + 140 Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là: MR = MC ⇔ 400 − 15Q = 3Q − 12Q + 140 ⇔ 3Q + 3Q − 1260 = ⇔ Q + Q − 420 = Từ phương trình ta xác định Q = 20 (Loại Q = −21 Q > ) Tạị Q = 20 ta có: TR′ = ( MR ) ′ = −15, TC ′′ = ( MC ) ′′ = 6Q − 12 = 180 Điều kiện đủ TR′′ < TC ′′ thỏa mãn, Q = 20 điểm cực đại TTRần Trong khoảng ( 0,∞ ) hàm lợi nhuận co cực trị nhất, mức sản lượng tối ưu Q = 20 lợi nhuận tối đa là: π = − ( 20 ) − 1,5.( 20 ) + 1260.20 − 750 = 15850 Bài 21 Cho chi phí trung bình để sản xuất đơn vị sản phẩm là: C = 0,0001Q − 0,02Q + + 500 Q Tìm giá trị cận biên chi phí Q sản phẩm Áp dụng Q = 50 Giải Hàm tổng chi phí Q đơn vị sản phẩm là: C = Q.C = 0,0001Q − 0,02Q + 5Q + 500 Giá trị cận biên chi phí là: MC ( Q ) = dC = 0,0003Q − 0,04Q + dQ Khi Q = 50 thì: MC ( 50 ) = 0,0003.( 50 ) − 0,04.50 + = 0,75 − + = 3,75 Như vậy, Q tăng lên đơn vị từ 50 lên 51 chi phí tăng lên 3,75 đơn vị KẾT LUẬN Khóa luận hoàn thành đạt kết sau: - Hệ thống khái niệm hàm số giới hạn hàm số, đặc biệt trọng vào việc trình bày nội dung đạo hàm phép toán vi phân Là sở giúp giải toán kinh tế mà phương pháp khác khó làm - Khóa luận sử dụng đạo hàm vi phân để giải số toán kinh tế Những khái niệm hàm số giới hạn nhấn mạnh vào việc sử dụng quan hệ hàm số để biểu diễn quan hệ biến số kinh tế Các nội dung phép tính vi phân phục vụ cho việc phân tích tĩnh so sánh kinh tế Trong kinh tế học, đạo hàm vi phân sử dụng để phân tích xu hướng thay đổi định điều kiện ngoại sinh thay đổi Các TTRần toán cực trị giữ vai trò quan trọng việc phân tích lựa chọn tối ưu chủ thể kinh tế - Từ vấn đề nghiên cứu khóa luận đưa tập áp dụng để thấy tầm quan trọng toán học, đặc biệt đạo hàm vi phân việc giải toán kinh tế Thông qua khóa luận này, giúp bạn sinh viên hiểu đạo hàm vi phân không chí ứng dụng quan trọng giải toán mà có nhiều ứng dụng đời sống ngành khoa học khác, đặc biệt kinh tế TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PGS.TS Nguyễn Quang Dong - Ngô Văn Thứ, Giáo trình mô hình toán kinh tế, Nxb Thống kê [2] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hoàng Quốc Toàn, Giáo trình giải tích (tập 1), Nxb Đại học quốc gia Hà Nội, 2000 [3] Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho nhà kinh tế (Phần II), Nxb Đại học kinh tế Quốc Dân, 2007 [4] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Toán cao cấp (Tập 1, tập tập 3), Nxb Giáo Dục 2006 [5] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Bài tập toán cao cấp (Tập 1, tập tập 3), Nxb Giáo Dục 2006 TTRần MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU iii Nhiệm vụ nghiên cứu .3 Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Bố cục khóa luận MỤC LỤC 68 [...]... số có đạo hàm gọi là hàm khả vi Định nghĩa 1.5 Cho U là một tập mở trong ¡ , f : U → ¡ là một hàm xác định trên U Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểm của U Khi đó hàm số f ′ : U → ¡ , x a f ′ ( x ) được gọi là đạo hàm của hàm số f trên U Nếu f ′ liên tục trên U thì ta nói rằng f khả vi liên tục trên U hay f 1 thuộc lớp C ( U ) TTRần Đạo hàm của hàm số y′ được gọi là đạo hàm. .. 1.1.7 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân của hàm số một biến 1.1.7.1 Khử các giới hạn dạng vô định Quy tắc Lôpitan Quy tắc Lôpitan cho phép ta sử dụng đạo hàm để khử các dạng vô định dạng 0 ∞ và khi tính giới hạn của hàm số Nội dung của quy tắc này như 0 ∞ sau: Giả sử các hàm số u ( x) và v( x) thỏa mãn các điều kiện: 1/ Giới hạn lim x →∞ u ( x) 0 ∞ có dang vô định hoặc , tức là cả hai hàm số u ( x) và v(... 1.2.5 Vi phân toàn phần của hàm hai biến TTRần 1.2.5.1 Định lý 1.8 i) Nếu hàm số f ( x, y ) khả vi tại điểm ( x0 , y0 ) thì f ( x, y ) có các đạo hàm riêng tại ( x0 , y0 ) ii) Nếu hàm số f ( x, y ) có các đạo hàm riêng trong một miền chứa ( x0 , y0 ) và các đạo hàm này liên tục tại ( x0 , y0 ) thì f ( x, y ) khả vi tại ( x0 , y0 ) và df = f x′ ( x0 , y0 ) dx + f y′ ( x0 , y0 ) dy df được gọi là vi phân. .. tương ứng cho vi phân i ) d ( c1 f + c2 f ) = c1df + c2dg ii ) d ( f g ) = gdf + fdg  f  gdf − fdg iii ) d  ÷ = ,( g ≠ 0) 2 g g   1.1.5.3 Vi phân của hàm số hợp Giả sử các hàm y = f ( x ) và x = g ( t ) sao cho đối với chúng có thể thiết lập hàm hợp y = f ( g ( t ) ) Nếu tồn tại các đạo hàm y′x và xt′ thì theo quy tắc đạo hàm hàm hợp sẽ tồn tại đạo hàm: yt′ = y′x xt′ Nếu xem x là độc lập thì vi phân. .. a u ) ′ = u′ u.ln a 1.1.5 Vi phân của hàm một biến 1.1.5.1 Định nghĩa 1.6 Cho hàm y = f ( x ) xác định trên tập hợp mở U ⊂ ¡ và x0 ∈U Cho x0 một số gia ∆x ≠ 0 đủ nhỏ sao cho x0 + ∆x ∈U Giả sử f ( x ) khả vi tại x0 ∈U Khi đó: f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ∆x + ο ( ∆x ) Ta gọi biểu thức f ′ ( x0 ) ∆x là vi phân của hàm số tại điểm x0 ứng với số gia ∆x của đối số và kí hiệu là: df ( x0 , ∆x... ∆x , Vì thế trong biểu thức: df ( x0 , ∆x ) = f ′ ( x0 ) ∆x , TTRần Ta có thể vi t dx thay cho ∆x và dx gọi là vi phân của biến số độc lập Từ đây, ta có thể xác định vi phân của hàm f tại x ∈U theo công thức: Df = f ′ ( x ) ∆x hay dy = y′ ( x ) dx Hệ thức này giả thích lý do ta kí hiệu đạo hàm của hàm y = f ( x ) là y′ ( x ) = dy dx 1.1.5.2 Các quy tắc tính vi phân Từ các quy tắc tính đạo hàm, ta dễ... nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3 x + 3 trên đoạn [ 0,2] Giải Ta có: y ' = 3x 2 − 3 x =1⇒ y =1 y ' = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔   x = −1 ⇒ y = 5 Mặt khác: f (0) = 3, f (2) = 5 Vậy, max f ( x) = 5 ( x = 2 ∨ x = −1) và min f ( x) = 1 ( x = 1) x∈[ 0,2] x∈[ 0,2] 1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến 1.2.1 Khái niệm hàm hai biến TTRần Định nghĩa 1.7 Cho E là một tập hợp con của ¡ 2 Một hàm hai... ) = 0 và f ′′ ( x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 Nếu x0 là điểm mà tại đó f ′ ( x0 ) = 0 và f ′′ ( x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 TTRần 1.1.7.4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Cho hàm số y = f ( x ) xác định là liên tục trên đoạn [ a, b ] và f khả vi trong khoảng ( a, b ) Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ a,... 1.21 Cho hàm số f ( x, y ) = − x + xy − 2 y Tính f x′ ( x, y ) , f y′ ( x, y ) Giải Ta có: f x′ ( x, y ) = 2 x + y , f y′ ( x, y ) = x − 4 y 1.2.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao  Nếu hàm f x′ ( x, y ) có đạo hàm riêng theo biến x thì đạo hàm đó gọi là đạo ∂ 2 f ( x, y ) ′′ hàm riêng cấp hai theo biến x Kí hiệu: f xx ( x, y ) hoặc ∂x 2  Nếu hàm f y′ ( x, y ) có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó... đại của hàm số y = f ( x ) nếu tồn tại khoảng mở I ( x0 ∈ I ) sao cho: f ( x ) > f ( x0 ) ∀x ∈ I \ { x0 } Định lý 1.5 Nếu x0 là điểm thỏa mãn f ′ ( x0 ) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số Nếu x0 là điểm thỏa mãn f ′ ( x0 ) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm số Định lý 1.6: Nếu x0 là điểm mà tại đó f ′ ( x0 ) = 0 và