một số ứng dụng của đạo hàm và tích phân

1 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Toán học môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc không gian phép biến đổi Nói cách khác, người ta cho môn học “hình số” Toán học tảng tất ngành khoa học tự nhiên khác Do khả ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khoa học, Toán học mệnh danh “ngôn ngữ vũ trụ” Môn Toán chia thành nhiều phân môn nhỏ: đại số, hình học, giải tích… Trong đó, giải tích ngành toán học nghiên cứu khái niệm, tính chất giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Các yếu tố nghiên cứu giải tích thường mang tính chất “động” “tĩnh” Đạo hàm tích phân nội dung giải tích - phân môn quan trọng chương trình toán học phổ thông Đạo hàm tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng đại số đại số tổ hợp Nó công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, toán liên quan đến khai triển nhị thức Newton Những năm gần đây, toán liên quan đến khai triển nhị thức Newton thường xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng, thi học sinh giỏi Các dạng toán thường khó hay Để giải toán có nhiều phương pháp khác dùng trực tiếp tính chất tổ hợp, phép biến đổi tương đương, dùng đạo hàm tích phân, Mỗi phương pháp có ưu điểm riêng, nhiên công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải toán nhanh, gọn, xác dùng đạo hàm tích phân Nhưng việc sử dụng ứng dụng đạo hàm tích phân để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình toán liên quan đến khai triển nhị thức Newton người học gặp nhiều khó khăn Là sinh viên ngành sư phạm Toán người giáo viên dạy Toán trường phổ thông sau này, thấy việc nghiên cứu ứng dụng đạo hàm tích phân cần thiết có ý nghĩa Với mong muốn giúp bạn học sinh, sinh viên nghiên cứu ứng dụng đạo hàm tích phân, số dạng tập sử dụng đạo hàm tích phân cách dễ dàng có hệ thống Đồng thời giúp cho thân hiểu sâu phương pháp hiệu việc giải toán tích lũy thêm kiến thức phục vụ cho việc học tập giảng dạy sau tốt nên mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng đạo hàm tích phân giải toán phổ thông” cho khóa luận tốt nghiệp đại học Mục tiêu khóa luận • Khóa luận nhằm hệ thống ứng dụng đạo hàm tích phân Xây dựng ví dụ minh họa cho ứng dụng kèm theo phân tích, nhận xét, khai thác làm sở cho toán tương tự Tổng hợp toán cho ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu • Hệ thống lại kiến thức đạo hàm, tích phân • Chọn lọc ví dụ minh họa cho ứng dụng phân tích, nhận xét nhằm đưa phương pháp cho toán tương tự • Phân loại, tập hợp số dạng tập ứng dụng đạo hàm tích phân, kèm theo dẫn cách nhận biết dạng tập; đưa lời giải chi tiết hướng dẫn giải cho tập Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành khóa luận này, phối hợp sử dụng số phương pháp nghiên cứu sau: • Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến ứng dụng đạo hàm tích phân phân hóa, hệ thống hóa kiến thức • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài liệu, giáo trình từ rút kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu • Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn, giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Đạo hàm tích phân • Phạm vi: Ứng dụng đạo hàm tích phân để giải số dạng tập toán phổ thông Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán trường Đại học Hùng Vương với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu ứng dụng đạo hàm tích phân bạn học sinh chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia, Đại học, Cao đẳng,… Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận chia thành ba chương: Chương Các kiến thức đạo hàm tích phân Trong chương 1, hệ thống kiến thức đạo hàm tích phân: Định nghĩa, tính chất, cách tính đạo hàm tích phân,… Chương Ứng dụng đạo hàm tích phân đại số Trong chương 2, hệ thống ứng dụng đạo hàm tích phân đại số giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tính diện tích, tính thể tích,… Đồng thời đưa ví dụ minh họa, phân tích, nhận xét, khai thác toán Chương Ứng dụng đạo hàm tích phân khai triển nhị thức Newton Trong chương 3, hệ thống ứng dụng đạo hàm tích phân khai triển nhị thức Newton, cụ thể toán chứng minh, tính tổng số tổng tổ hợp… Từ phân tích ví dụ, khai thác xây dựng toán tương tự CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Đạo hàm tích phân hai khái niệm bản, quan trọng Giải tích, có liên hệ mật thiết với Trong chương trình bày vấn đề đạo hàm tích phân để làm sở lý thuyết cho hai chương sau 1.1 Đạo hàm phép toán 1.1.1 Định nghĩa đạo hàm ( ) ( ) ( ) x dần Định nghĩa 1.1.1.1: Cho hàm số y = f x xác định khoảng a ; b điểm x thuộc khoảng Giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ số ( ) f x − f x0 x − x0 đến x gọi đạo hàm hàm số cho điểm x , kí hiệu f '(x ) ( ) y ' x , nghĩa là: f '(x ) = lim x →x ( ) ( ) f x − f x0 x − x0 ( ) ( ) Trong định nghĩa đặt ∆x = x − x ∆y = f x + ∆x − f x ta có f (x + ∆x ) − f (x ) ∆y = lim ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x f '(x ) = lim • Số ∆x = x − x gọi số gia biến số điểm x ; ( ) ( ) số ∆y = f x + ∆x − f x gọi số gia hàm số ứng với số gia ∆x điểm x • Số ∆x không thiết mang dấu dương • ∆x ∆y kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: ∆x tích ∆ với x , ∆y tích ∆ với y Như vậy, muốn tính đạo hàm hàm số điểm theo định nghĩa ta thực hai bước sau: • ( ) ( ) Bước 1: Tính ∆y theo công thức ∆y = f x + ∆x − f x , ∆x số gia biến số x • Bước 2: Tìm giới hạn lim ∆x →0 ∆y ∆x Ví dụ 1.1.1.1: Tính đạo hàm hàm số y = x điểm x = Lời giải: ( ) Đặt f x = x , ta thực quy tắc sau: ( ) ( ) ( ) −2 = lim ( + ∆x ) = • Tính ∆y = f x + ∆x − f x = + ∆x 0 • Tìm giới hạn: lim ∆y ∆x →0 ∆x 2 ( ) = ∆x + ∆x ∆x → ( ) Kết luận: Vậy f ′ = 1.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm Việc tính đạo hàm định nghĩa lúc thực cách dễ dàng Vì vậy, ta cần thêm công cụ khác để thuận tiện tính đạo hàm hàm số ( ) ( ) Định lí 1.1.2.1: Nếu hai hàm số u = u x v = v x có đạo hàm J hàm ( ) ( ) ( ) ( ) số y = u x + v x y = u x − v x có đạo hàm J và: ′ a) u x + v x  = u ′ x + v ′ x f x = x − x +   ′ b) u x − v x  = u ′ x − v ′ x   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Các công thức viết gọn là: u + v ′ = u ′ + v ′ ; u − v ′ = u ′ − v ′ ( ) ( ) Có thể mở rộng định lí cho tổng hay hiệu nhiều hàm số: Nếu hàm số u , v, , w có đạo hàm trênJ J ta có: u ± v ± ± w ′ = u ′ ± v ′ ± ± w′ ( ) ( ( ) ) Ví dụ 1.1.2.1: Tìm đạo hàm hàm số f x = x − x + khoảng 0; +∞ Lời giải: ) ( ) ( x ) ′ + ( 2) ′ = 6x ( ′ ′ Trên khoảng 0; +∞ ta có: x − x + = x − ( ) ( ) Vậy f ′ x = 6x − x − x ( ) ( ) Định lí 1.1.2.2: Nếu hai hàm số u = u x v = v x có đạo hàm J hàm ( ) ( ) số y = u x v x có đạo hàm J u x v x ′ = u ′ x v x + u x v ′ x   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Đặc biệt, k số ku x ′ = ku ′ x   ( ) ( ) Các công thức viết gọn uv ′ = u ′v + uv ′ ku ′ = ku ′ ( ) ( ) ( ) Ví dụ 1.1.2.2: Tính đạo hàm hàm số y = f x trường hợp sau: a) b) x 2x − + 3x ( ) f ( x ) = ( 2x f x = +1 ) x Lời giải:  x 2x ′ ′ ′ ′ a) f ′ x =  − + 3x ÷ = x − x + x = 2x − 4x +   ′ ′ b) f ′ x =  2x + x  = 2x + ′ x + 2x + x   = 4x x + 2x + x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) )( ) ( ) Định lí 1.1.2.3: Nếu hai hàm số u = u x ( ) v x ≠ với x ∈ J hàm số y = ( ) v (x) u x ( ) v = v x có đạo hàm J có đạo hàm J  u x ′ u ′ x v x − u x v ′ x   = v x v x    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  u ′ u ′v − uv ′ Công thức viết gọn là:   = v v   Hệ quả: • •  ′ Trên −∞; ∪ 0; +∞ , ta có:  ÷ = − x x  Nếu hàm số v = v x có đạo hàm J v x ≠ với x thuộc J ( ) ( ) ( ) ( )  ′ v′ x J ta có:  ÷ =− v x ÷ v2 x   ( ) ( ) ( )  ′ v′ Công thức thứ hai hệ viết gọn là:  ÷ = − v v  ( ) Ví dụ 1.1.2.3: Tính đạo hàm hàm số y = f x Lời giải: Áp dụng định lí 1.1.2.3, ta có: ( ) nếu: f x = + 9x x + 2a ′ + 9x x + 2a − + 9x  + 9x ′ f′ x =  ÷ =  x + 2a  x + 2a ( ( ) = 18a − ( x + 2a ) )( ( ) ( ) ) ( x + 2a ) ′ = ( x + 2a ) − ( + 9x ) ( x + 2a ) 1.1.3 Đạo hàm số hàm thường gặp Từ định nghĩa ta tính đạo hàm hàm số thường gặp hệ thống bảng tóm tắt sau: Bảng 1.1.3.1: Đạo hàm số hàm thường gặp Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (x ) ' = α x α −1 (u = u (x)) (u ) ' = α u α −1.u ' α α ' ' 1  ÷=− x x  1 u'  ÷=− u u  ( x ) ' = 1x ( u ) ' = 2u u' (sin x ) ' = cos x (cos x ) ' = − sin x (t an x ) ' = = + t an x cos x (cot x ) ' = − = −(1 + cot x ) sin x (sin u ) ' = u ' cos u (cos u ) ' = −u ' sin u u' (t an u ) ' = = u '(1 + t an u ) cos u u' (cot u ) ' = − = −u '(1 + cot u ) sin u (e x ) ' = e x (e u ) ' = u '.e u (a x ) ' = a x ln a (a u ) ' = a u u ' ln a (ln | x |) ' = x (loga | x |) ' = (ln | u |) ' = x ln a 1.2 Tích phân phép toán 1.2.1 Định nghĩa nguyên hàm, tích phân u' u (loga | u |) ' = u' u ln a Định nghĩa 1.2.1.1: Cho hàm số f xác định trênK Hàm số F gọi nguyên ( ) ( ) hàm f K F ′ x = f x với x thuộc K ( ) ( ) ( ) ( ) F ( x ) − F (a) F ( x ) − F ( b) hiểu lim = f ( a ) lim = f ( b) x −a x −b • Trong trường hợp K = a, b  , đẳng thức F ′ a = f a , F ′ b = f b x →a + x →b− • Cho hai hàm số f F liên tục đoạn a, b  Nếu F nguyên hàm f ( ) ( ) ( ) khoảng a, b chứng minh F ′ a = f a ( ) ( ) F′ b = f b , F nguyên hàm f đoạn a, b  Ví dụ 1.2.1.1: ( ) x3 a) Hàm số F x = nguyên hàm hàm số f x = x ¡ ( )  x ′  ÷ = x với x ∈ ¡  3 ( ) ( ) b) Hàm số F x = t an x nguyên hàm hàm số f x = cos2 x  π π  π π x ∈  − ; ÷ khoảng  − ; ÷ t an x ′ = với cos2 x  2  2 c) Hàm số F x = x nguyên hàm hàm số f x = x nửa ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) khoảng 0; +∞ F ′ x = x với x ∈ 0; +∞ hai hàm số f F ) liên tục 0; +∞ Định lí 1.2.1.1: Giả sử hàm số F nguyên hàm hàm số f trênK Khi đó: ( ) a) Với số C hàm số y = F x + C nguyên hàm f K 10 b) Ngược lại, với nguyên hàm G f K tồn số C ( ) ( ) cho G x = F x + C với x thuộc K • Từ định lí 1.2.1.1 ta thấy F nguyên hàm f K ( ) nguyên hàm f K có dạng F x + C với C ∈ ¡ ( ) Vậy F x + C , C ∈ ¡ họ tất nguyên hàm f K • Họ tất nguyên hàm kí hiệu Vậy: ∫ f ( x )dx ∫ f ( x )dx ( ) = F x + C ,C ∈ ¡ - Bài toán tìm nguyên hàm toán ngược toán tìm đạo hàm Việc tìm nguyên hàm hàm số thường đưa tìm nguyên hàm hàm đơn giản Sau nguyên hàm số hàm số đơn giản thường gặp: Bảng 1.2.1.1: Nguyên hàm số hàm số đơn giản thường gặp u hàm số theo biến x Trường hợp đặc biệt u = ax + b, a ≠ , tức u = u (x ) Nguyên hàm hàm số đơn giản ∫ dx = x +C x α +1 α ∫ x dx = α + + C ∫ x dx = ln x + C ∫ ∫e x dx = e x + C x dx = x + C x ∫ a dx = 0