SKKN một số ỨNG DỤNG của đạo hàm

SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Duật Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: Toán THPT  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm: Các sản phẩm in SKKN  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác NĂM HỌC 2012-2013 Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Nguyễn Ngọc Duật Ngày tháng năm sinh: 28 - 09 - 1977 Giới tính: Nam Địa chỉ: Ấp Bầu Trâm, xã Bầu Trâm, thị xã Long Khánh, Đồng Nai Điện thoại: 0613.726311; ĐTDĐ: 0985 350500 E-mail: thuyluan1979@gmail.com Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Toán – Tin học Đơn vị công tác: Trường THPT Trần Phú II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 2000 2010 - Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán sư phạm Tin học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THPT - Số năm có kinh nghiệm: 13 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: o Sử dụng phần mềm Sketchpad dạy Toán học o Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số số ứng dụng o Soạn giáo án Ôn tập chương theo đổi phương pháp o Một số ứng dụng Định lý Viet o Một số toán cực trị hình học hình học lớp 12 Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Giải tích lớp 12, bên cạnh dạng toán uen thuộc như: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, viết phương trình tiếp tuyến cùa đồ thị hàm số, Ta c n g p toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm Đây dạng Toán thường có chương trình nâng cao đề tuyển sinh Đại học cao đ ng Trong uá trình trực tiếp giảng dạy nghiên cứu thấy dạng toán hay, lôi đư c em học sinh giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt kh o l o kiến thức học đưa toán toán uen thuộc Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích môn,với tích lũy ua số năm trực tiếp giảng dạy, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Đư c động viên, giúp đ thầy hội đồng môn Toán sở Giáo Dục Đào Tạo Đồng Nai, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp tổ Toán – Tin học trường THPT Trần Phú Tôi mạnh dạn cải tiến bổ sung chuyên đề “ M t ứng dụng đạo hàm ” II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi: - Kiến thức đư c học, tập đư c luyện tập nhiều - Nhiều năm đư c phân dạy lớp nguồn nhà trường - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy đư c khả sáng tạo, tự học yêu thích môn học - Có khích lệ từ kết uả học tập học sinh thực chuyên đề - Đư c động viên BGH, nhận đư c động viên đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp Khó khăn: - Giáo viên nhiếu thời gian để chuẩn bị dạng tập - Học sinh có chất lư ng lư ng đầu vào thấp - Nhiều học sinh không n m v ng kiến thức đạo hàm S liệu th ng kê: Trong năm trước, g p toán liên uan đến Ứng dụng đạo hàm, số lư ng học sinh biết vận dụng đư c thể ua bảng sau: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Không nhận biết đư c Số lư ng Tỉ lệ ( %) Nhận biết, vận dụng 50 55,5 23 25,5 Nhận biết Nhận biết biết vận dụng biết vận dụng ,chưa giải đư c , giải đư c hoàn chỉnh hoàn chỉnh 16,8 2.2 III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Cơ lý luận Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ nh ng kiến thức phải dẫn d t hoc sinh có đư c nh ng kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ không áp đ t kiến thức nâng cao) Trong chuyên đề chủ yếu sử dụng số ứng dụng đạo hàm để giải toán đư c đ t N i dung Phần 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định ngĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D a) Số M gọi giá trị lớn hàm số D thỏa : x0  D cho f ( x0 )  M  x  D / f ( x)  M Kí hiệu : max f (x)  M D b) Số m gọi giá trị nhỏ hàm số D thỏa : x0  D cho f ( x0 )  m  x  D / f ( x)  m Kí hiệu : f ( x)  m D Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số khoảng (a; b) - Lập bảng biến thiên hàm số - Căn vào bảng biến thiên kết luận Chú ý :  Khi lập bảng biến thiên ta phải tính gới hạn vô cực, giới hạn vô cực (nếu có) Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM  Trên (a; b) hàm số có cực đại max f(x)= yCĐ (a;b)  Trên (a; b) hàm số có cực tiểu f(x)= yCT (a;b)  Hàm số không đạt giá trị lớn giá trị nhỏ khoảng (a; b) đơn điệu khoảng b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn [a; b] - Tìm điểm tới hạn : x1, x2 xn  (a; b) mà f'(x) không ho c không xác định - Tính giá trị f(a), f(x1), f(b) - Tìm số lớn b số kết luận Chú ý :  Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] đạt giá trị lớn nhỏ đoạn  Hàm số đạt giá trị lớn nhỏ đoạn [a; b] điểm mà đạo hàm không không xác định, hai đầu mút đoạn  Nếu hàm số f(x) đồng biến đoạn [a;b] f(x)= f(a) [a;b] max f(x)= f(b) [a;b]  Nếu hàm số f(x) nghịch biến đoạn [a;b] f(x)= f(b) [a;b] max f(x)= f(a) [a;b] c) Đặt ẩn phụ : - Nếu số hàm f(x) có đạo hàm phức tạp, không thuận tiện cho việc x t dấu Ta đ t ẩn phụ để đưa toán đơn giản - Các bước thực :  Tìm TXĐ D hàm số cho  Đ t ẩn phụ t = u(x) biểu thức x  Tìm miền giá trị u(x) D D1  Thiết lập hàm số y = g(t), tìm giá trị lớn nhất, nhỏ g(t) D1  Kết luận Chú ý :  Khi tìm miền giá trị u(x) cần ý đến tính chất đặc biệt (nếu có) Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM  Trong số bài, ta phải biến đổi để xuất biểu thức đặt ẩn phụ B BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài : Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x   (3; +) x3 Giải : (3; +) x3 X t hàm số y  f ( x)  x   x2  x  y ' 1  ; x  (3; ) ( x  3)2 ( x  3)2 y '   x   x  1 (3; ) Bảng biến thiên : – x + – f'(x) + + f(x) + Căn vào bảng biến thiên ta có : f ( x)  f (5)  (3; ) Chú ý : Bài toán ta vận dụng bất đẳng thức Cauchy việc tìm giá trị nhỏ hàm số ngắn gọn Do x  (3;+) nên x – > Xét f(x) = x   4    x 3   ( x  3)   1 x3 x3  x 3 Hay f(x)  Đ ng thức xảy x    x5 x3 Vậy f ( x)  f (5)  (3; ) Bài : Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  x3  x Giải : Hàm số xác định R y '  x3  12 x  y '   x3  12 x   Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM x 1  ( x  1)( x  x  2)    x 1 x – 1 – y' y 1 + – + + + + –4 –4   Căn vào bảng biến thiên ta có : f ( x)  f   4 R Chú ý : Ta thấy giá trị nhỏ hàm số giá trị cực tiểu hàm số Bài : Tìm giá trị nhỏ hàm số y  f ( x)   x   x Giải : Hàm số xác định R y'  1 3 (1  x)  3 (1  x)   (1  x)  (1  x) 3 (1  x ) , x  1 y'   x  Bảng biến thiên : x + y' y –1 – + – + – 0 Căn vào bảng biến thiên ta có: max f ( x)  f (0)  R Chú ý : Nếu vào bảng biến thiên "có vẻ như" f ( x)  , R thực tế giá trị nhỏ hàm số không tồn tại, giá trị x0 thỏa f(x0) = Bài : Tìm giá trị nhỏ hàm số y  3x1  33 x Giải : Tập xác định hàm số : R Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Ta có : y  3x1  33 x  3.3x  27 3x Đ t t = 3x (điều kiện : t > 0) X t hàm số y  3t  với t > t 27 3(t  9) y'  3  ; t t2 Bảng biến thiên : – t y'   t  + – y' + + y + 18 Từ bảng biến thiên ta có : y  y (3)  18 (0; ) Bài : Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y  x  16  x Giải : Xét y  f ( x)  x  16  x xác định liên tục [-4;4] y' 1 x 16  x  16  x  x 16  x ; x  (4;4) y '   16  x  x  x    x2 2 16  x  x  Ta có : f (4)  4; f (4)  4; f (2 2)  Vậy f ( x)  f (4)  4; max f ( x)  f (2 2)  [ 4;4] [ 4;4] Bài : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  x 1 x2  [–1;3] Giải : Hàm số liên tục đoạn [–1; 3] có đạo hàm khoảng (–1;3) Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM y'  x   ( x  1) x ( x  3) x  2  3 x ( x  3) x  Ta có : f (1)  0; f (3)  ; y '   x   (1;3) Vậy f ( x)  f (1)  0; max f ( x)  f (3)  [ 1;3] [ 1;3] 3 ln x Bài : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f ( x)  [1;e3] x Giải : 2.ln x ln x 2.ln x  ln x Trên [1;e ] hàm số có y '    ; x  (1; e3 ) x x x  x  1 (1; e3 ) ln x  y'     ln x   x  e  (1; e ) f (l )  0; f (e2 )  ; f ( e )  e2 e3 f ( x)  f (1)  0; max f ( x)  f ( x)  f (e )  Vậy [ 1;3] [1;e ] e2 Bài : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y   x   x Giải : Hàm số xác định đoạn [–1;1]   y'    x  2  x 3 (1  x )  1 x 3 1  x   x y '   x  0; 4x 1 x  (1  x ) 2    , x  (1;1)    khoảng (-1;1) Ta có : f (1)  f (1)  0; f (0)  Vậy max f ( x)  f (0)  3; f ( x)  f ( 1)  [ 1;1] [ 1;1] Bài : Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số : y  2.cos3x  6cos x  6cos x  Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Giải : Hàm số xác định liên tục R y  f ( x)  2(4cos3 x  3cos x)  6(2cos x  1)  6cos x   8cos3 x  12cos  11 Đ t t  cos x (1  t  1) Ta có : y  g (t )  8t  12t  11; g '(t )  24t  24t , t  (1;1) g '(t )   t  Ta có : g (1)  9; g (0)  11; g (1)    k R [ 1;1] f ( x)  g (t )  g ( 1)  9 x    k  Vậy : max f ( x)  max g (t )  g (0)  11 x  R [ 1;1] Chú ý : Trong ta sử dụng : - Công thức cos 3x = 4cos3x – 3cosx - Miền giá trị hàm số y= cosx y = sin x [-1; 1] Bài 10 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  x  x Giải : Đk : x   4  x  , đ t t  x  t  Hàm số trở thành y  t  t  g (t ); t2 4t (4  t )  t 16t  5t y '  2t  t    , t  (0;4) 4t 4t 4t t   (0;4) y '    16 t    16  512 Ta có : f (0)  f (4)  0; f    125   16  16  512 x   Vậy : max f ( x)  max g (t )  g    [ 4;4] [0;4]   125 f ( x)  g (t )  g (0)  g (4)  x  ho c x  4 [ 4;4] [0;4] Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 10 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Bất phương trình cho có nghiệm : m  max f ( x) hay m  27 R Bài : Tìm m để phương trình : cos3 x  sin x  m  có hai    nghiệm khoảng   ;   4 Giải : Ta có : (4)  (cos x  sin x)(sin x  sin x.cos x  cos x)  m   (cos x  sin x)(1  sin x.cos x)  m   1 t2  Đ t t  cos x  sin x  cos  x    sin x.cos x  ;t  4        Do x    ;  nên x    0;   t  0;  2  4    1 t2  Phương trình trở thành : t 1    m   t (3  t )  2m     –t2 + 3t + = 2m (*) X t hàm số y  t  3t  với t  (0; 2) Đạo hàm y '  3t   3(t  1) t  1 (0; 2) y'     t 1 t   Bảng biến thiên : x + y' – y 4 Từ bảng biến thiên ta thấy : (*) có hai nghiệm phân biệt :   2m   Hay 4 m3 4  m  phương trình cho có hai nghiệm     ;   4 Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 16 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Chú ý : Khi giải phương trình a(sin x  cos x)  b sin x.cos x  c  a(sin x  cos x)  b sin x.cos x  c  ta đặt ẩn phụ t  sin x  cos x t  sin x  cos x Bài : Với giá trị m phương trình sau có nghiệm [1;2 2 ] log 22 x  log 22 x   2m   Giải : Với x > ta đ t t  log 22 x   log 22 x  t  1; Do x  [1;22 ] nên t [1;3] Phương trình cho trở thành t  t   2m   2m  t  t  (*) X t hàm số f (t )  t  t  2; Đạo hàm f '(t )  2t   t  (1;3)  hàm số đồng biến [1;3] Nên max f (t )  f (3)  ; f (t )  f (1)  [1;3] [1;3] Phương trình cho có nghiệm [1: 2 ] (*) có nghiệm [1;3] Hay  2m    m  Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 91 1 x  (m  2)31 1 x  2m   Giải : Điều kiện phương trình : x[1;1] Đ t t    x , tìm giá trị lớn nhất, nhỏ [–1;1] hàm số t    x với x[1;1] t' x 1 x x  (1;1), t '   x  Ta có t (1)  1, t (0)  2, t (1)  1,do t [1;2] Phương trình cho trở thành : 9t  (m  2)3t  2m   Lại đ t u =3t hàm số đồng biến [1;2] nên u  [3;9] Ta lại có phương trình : u  (m  2)u  2m   Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 17 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM  u  2u   m(u  2)  X t hàm số f (u )  u  2u   m (*) u  u2 u  2u  [3;9] u2 u  4u  Đạo hàm f '(u )  , u  (3;9) (u  2)2 Ta thấy f '(u)  0u [3;9]  hàm số đồng biến [3;9] Nên max f (u )  f (9)  [3;9] 64 ;min f (u )  f (3)  [3;9] Do phương trình (*) có nghiệm  m  64 Ha phương trình cho có nghiệm  m  64 C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Tìm m để bất phương trình : mx  x  m  có nghiệm với x thuộc R Bài Tìm m để bất phương trình 4 (4  x)( x  2)  x  x   m có nghiệm [–2;4] Bài Tìm a để phương trình x  x3  x  a có bốn nghiệm phân biệt Bài Tìm a để phương trình : x  ax3  x  ax   có hai nghiệm âm Bài Tìm m để phương trình x  mx3  (m  2) x  mx   có nghiệm Bài Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm (2; 4] (m  1)log 21 ( x  2)  (m  5)log ( x  2)  m   2 Bài Tìm m để phương trình : m( x  1)  (2m  1) x  x  có nghiệm Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm : m    x2   x2    x4   x2   x2 Bài Tìm để phương trình : cos x.cos4 x  cos2 x.cos3x  m cos x    có nghiệm  0;   3 Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 18 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Bài 10 Tìm m để phương trình : (cos x  1)(cos x  m cos x  1)  2m sin x có    hai nghiệm   ;   3 Bài 11 Cho phương trình sin5 x  m.sin x Hãy tìm m để phương trình   5  có hai nghiệm đoạn  ;  6  Bài12 Cho f ( x)  3cos x  5cos3x  36sin x  15cos x  36  24a  12a Tìm a để f ( x)  với x thuộc R Phần 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MỘT KHOẢNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN: - Trong chương trình Giải tích lớp 12 cũ, dạng toán tìm tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng phổ biến Cách giải toán dạng đa số dùng so sánh nghiệm định lí đảo dấu tam thức bậc hai - Trong chương trình sách giáo khoa phần so sánh ngiệm định lí đảo dấu tam thức bậc hai bỏ Do công cụ h u hiệu để giải dạng toán chuyển tìm điều kiện để ất phương trình có nghiệm khoảng  Nếu f '( x)  với x thuộc K f(x) đồng biến K (f'(x) = số h u hạn điểm)  Nếu f'(x)  với x thuộc K f(x) nghịch biến K B BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài : Tìm m để hàm số y   x3  (m  1) x  (m  3) x  đồng biến khoảng (0; 3) Giải : Hàm số xác định R Đạo hàm y '   x  2(m  1) x  m  Hàm số đồng biến (0;3)  x  2(m  1) x  m   x  (0;3)  x  x   (2 x  1)m x  (0;3) Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 19 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM x2  x    m có nghiệm  x  (0;3) 2x  X t hàm số g ( x)  x2  x  liên tục [0; 3] 2x  x2  x  Có đạo hàm g '( x)   x  (0;3) (2 x  1)2 Bảng biến thiên : x + g'(x) g(x) 12 –3 Khi x  (0;3) miền giá trị g(x) (3; Vậy m  g ( x) x  (0;3)  m  12 ) 12 Hay hàm số cho đồng biến khoảng (0;3) m  12 x  (1  m) x   m Bài : Tìm m để hàm số y  đồng biến xm khoảng (1;+) Giải : Hàm số cho xác định (–;m)  (m;+) x  4mx  m2  2m  Đạo hàm y '  , đ t g ( x)  x  4mx  m2  2m  ( x  m) Hàm số đồng biến (1;+) m  g ( x)  x  (1; ) hay g ( x)  [1; ] X t hàm số : g ( x)  x  4mx  m2  2m  (1;+) g '( x)  x  4m  4( x  m)  0, x  m Hàm số g(x) đồng biến x  m (m  1) nên g ( x)  g (1)  [1; )  m2  6m    m   2  m   2 Kết h p với điều kiện m  ta có m   2 Vậy hàm số cho đồng biến (1;+) m   2 Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 20 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM x  2mx   m Bài : Tìm m để hàm số y  đồng biến x 1 khoảng (–2;0) Giải : Miền xác định hàm số R \ {1} x2  x  m  Ta có đạo hàm y '  ( x  1)2 Hàm số đồng biến (–2;0)  x  x  m   (1) x  (2;0) (1)  m   x  x  x  (2;0) X t hàm số g ( x)   x  x  1; có đạo hàm g '( x)  2 x   x  (2;0)  g(x) đồng biến (–2;0)  max g ( x)  g (0)  [ 2;0] Do m  max g ( x)  m  [ 2;0] Vậy hàm số đồng biến khoảng (–2;0) m  Bài : Định m để hàm số y  x3  3(2m  1) x  (12m  6) x  đồng biến khoảng (; 2] [3; ) Giải : Hàm số xác định R Ta có : y '  3x ' 6(2m  1) x  12m   3[ x  2(2m  1) x  4m  2] Hàm số cho đồng biến khoảng (; 2] [3; )  y '  x  (; 2]  [3; )  4m( x  1)  x  x  (*) x  (; 2]  [3; ) X t khoảng (; 2] , (*)  4m  x2  x  (1) x 1 x2  x  X t khoảng [3; ) , (*)  4m  x 1 (2) x2  x  X t hàm số f ( x)  , D  (; 2]  [3; ) x 1 x  x2  x f '( x )  ; f '( x )   Ta có : x  ( x  1)  Bảng biến thiên : Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 21 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM –2 – x + f'(x) f(x) +  – – + + + 10 + – Căn vào bảng biến thiên ta có : max f ( x)   (  ;2] 10 ; f ( x)  [3; ) 10   m   m      5   m   ;  Từ ta có   8  4m  m     5 Vậy   m  hàm số cho đồng biến khoảng (; 2] [3; ) C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1 Bài Tìm m để hàm số y  mx3  (m  1) x  3(m  2) x  3 đồng biến khoảng (2;+) Bài Tìm m để hàm số đồng y = x3 – (2m + 1)x2 + (12m + 5) x + biến khoảng (2; +) Bài Tìm m để hàm số y  Bài Tìm m để hàm số y  x  4mx  3m đồng biến khoảng (1; +) x  2m mx  x  nghịch biến khoảng (1; +) x2 Bài Tìm m để hàm số y = x2(m – x) – m đồng biến khoảng (1; 2) Bài Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx nghịch biến (-1; 1) Bài Tìm m để hàm số y  x  (m  1) x  4m  4m  x  m 1 đồng biến khoảng (2; +) Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 22 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Phần 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN: - Hàm số y = f(x) đồng biến K c p x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 f(x1) < f(x2) - Hàm số y = f(x) nghịch biến K c p x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 f(x1) > f(x2) B BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài : Chứng minh bất đ ng thức ln( x  1)  x (1) với x  Giải : Ta có (1)  ln( x  1)  x  ln( x  1)  x ; x  X t hàm số f ( x)  ln( x  1)  x có tập xác định [0;+) Đạo hàm f '( x)  1 x  ( x  1)    x  x 1 x x ( x  1) Theo bất đ ng thức Cauchy: x   x  x  ( x  1)  Nên f(x) nghịch biến x   f ( x)  f (0)  Vậy : f ( x)  0, x  Hay: ln( x  1)  x   ln( x  1)  Bài : Chứng minh : x x  a  b a  b3  (2) a, b  2 Giải : a  b4 3  Ta có (2)  3 a  b3 Xét hàm số f (u )   u4  u3 f '(u )   u3 a 1   b 3 với u  u3  u3 a 1   b   2 a 0 b u2  u4 (1  u )2 (1  u ) u3  u  (1  u )3 (1  u ) f '(u )   u  u   u (u  1)   u  u  Bảng biến thiên : Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 23 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM x f'(x) – + + f(x) 2  u  u3   2 Vậy bất đ ng thức cho đư c chứng minh Dựa vào bảng biến thiên ta có f (u )  Bài : Cho x,y, z số thực không âm thỏa điều kiện : x + y + z = Chứng minh : xy  yx  zx  2xyz  27 Giải : Ta thấy ba số x, y, z không vư t uá , vai tr x, y, z bình đ ng Giả sử  x  Ta có : xy  yz  zx  xyz  x( y  z )  yz (1  x)  yz x( y  z )  yz (1  x)  x(1  x)    (1  x) =   Hay 1 x    (1  x)  x(1  x)  (2 x  x  1)    1 X t hàm số : f ( x)  (2 x3  x2  1) 0,   3 1 f '( x)  (6 x  x)  x(3x  1); f '( x)   x  0; x  Bảng biến thiên : x + f'(x) f(x) 27 7  xy  yz  zx  xyz  Từ bảng biến thiên ta có : f ( x)  27 27 Vậy bất đ ng thức cho đư c chứng minh Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 24 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM    x.ln x   x   x , x  R Bài : Chứng minh :   Giải : Ta có  x.ln x   x   x    5     x ln x   x   x   2  X t hàm số f ( x)   x ln x   x   x ;( x  R) x x f '( x)  ln x   x    ln x   x  x2  x2 f '( x)   ln x   x    x  x   x   Bảng biến thiên : – +  x        – f'(x) + f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x)   x  R Hay  x ln x   x   x x  R Vậy bất đ ng thức đư c chứng minh   Bài : Cho a, b  a + b = Chứng minh a  b5  16 Giải : Do a + b = nên a  b5  1  a  (1  a )5  với  a  16 16 Đ t f ( x)  x5  (1  x)5 với  x  Có đạo hàm f '( x)  x  5(1  x)4  5[( x )2  ((1  x)2 )2 ]   x  (1  x)  (2 x  1) f '( x)   x    x  Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 25 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Bảng biến thiên : x – f'(x) 1 + 1 16 f(x) ; x [0,1] 16 1 Hay a  (1  a )5   a  b5  16 16 Vậy bất đ ng thức đư c chứng minh Từ bảng biến thiên ta thấy f ( x)  C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = Chứng minh : a b c 3    2 b c c a a b Bài Cho a, b  a + b = Chứng minh : 1 i) a  b2  ii) a3  b3  iii) a  b  Bài Chứng minh : sin10 x  cos10 x  với x thuộc R 16 Bài Cho số thực x, y thay đổi cho x + y = Chứng minh rằng: x  y  Bài Hai số thực a, b thỏa a + b = 2 1   25  Chứng minh :  a     b    2  b  3x Bài Chứng minh : 22sin x  2tan x  2 1   với x   0,   2 x2 Bài Chứng minh : ln( x  1)  x  với  x > Bài Chứng minh : ( x  1)ln x  2( x  1) với x >   Bài Chứng minh :  x.ln x   x   x với  x  R Bài 10 Cho hai số dương x, y thỏa : x3 + y3  Chứng minh : x4 + y4  Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 26 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM IV KẾT QỦA Chuyên đề đư c thực giảng dạy tham gia dạy 12NC Luyện thi Đại học hai năm gần Trong uá trình học chuyên đề này, học sinh thực thấy tự tin, biết vận dụng g p toán liên uan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết uả sau thực chuyên đề: Số lư ng Tỉ lệ ( %) Không nhận biết đư c 0.0 Nhận biết, vận dụng 3.3 Nhận biết Nhận biết biết vận dụng biết vận dụng , ,chưa giải đư c giải đư c hoàn chỉnh hoàn chỉnh 42 45 46.7 50 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng toán ứng dụng đạo hàm nói chung đa dạng phong phú Mỗi toán lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề mang tính chất g i mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo Để đạt kết uả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên uan VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY Quá trình áp dụng Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, hệ thống đư c số kiến thức liên uan, sưu tầm tích lũy đư c số tập phù h p theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo tự giải Hiệu au dụng Sau học sinh học xong chuyên đề học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học tự nghiên cứu Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy vận dụng chuyên đề này, số kinh nghiệm đư c rút trước hết học sinh phải n m ch c kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chuyên đề mở rộng, nâng cao, Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 27 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM kh c sâu kiến thức cách h p lý với đối tư ng học sinh nhằm bồi dư ng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Chuyên đề chủ yếu đưa tập từ đơn giản đến nâng cao từ hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng tập khác để phát triển tư học sinh Kết luận Một toán có nhiều cách giải song việc tìm lời giải h p lý, ng n gọn thú vị độc đáo việc không dễ Do chuyên đề nhiều chuyên đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh n m ch c kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán, thể toán từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, b t đầu từ đâu b t đầu uan trọng để học sinh không s đứng trước toán khó mà tạo tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Tuy nội dung chuyên đề rộng, song khuôn khổ thời gian có hạn người viết đư c ví dụ, toán điển hình Rất mong đóng góp ý kiến uý Thầy cô đồng nghiệp để chuyên đề đư c đầy đủ hoàn thiện Long khánh,ngày 03 tháng 05 năm 2013 Người thực Nguyễn Ngọc Duật Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 28 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12, Bài tập Giải tích 12 – nhà XBGD năm 2008 Giải tích 12 nâng cao, Bài tập Giải tích 12 nâng cao – nhà XBGD năm 2008 Tạp chí Toán học tuổi tr Phương pháp giải đề tuyển sinh -Trần Phương Các dạng Toán LT ĐH Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 Các trang Web: hocmai.vn; vioet.vn; VN Math, Toancapba Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 29 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Trần Phú CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Đ c lập - Tự - Hạnh phúc Long Khánh, ngày 26 tháng năm 2013 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2012-2013 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số ứng dụng đạo hàm Họ tên tác giả: Nguyễn Ngọc Duật Chức vụ: Tổ trưởng CM Toán Đơn vị: Trường THPT Trần Phú Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn:  - Phương pháp giáo dục   - Lĩnh vực khác: Sáng kiến kinh nghiệm đư c triển khai áp dụng: Tại đơn vị   Trong Ngành Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Có giải pháp hoàn toàn  - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có  Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Hoàn toàn triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu uả cao  - Có tính cải tiến ho c đổi từ nh ng giải pháp có triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu uả cao  - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu uả cao  - Có tính cải tiến ho c đổi từ nh ng giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu uả  Khả áp dụng (Đánh dấu X vào ô dòng đây) - Cung cấp đư c luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã đư c áp dụng thực tế đạt hiệu uả ho c có khả áp dụng đạt hiệu uả phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) Trang 30 [...]... p với điều kiện m  1 ta có m  3  2 2 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1;+) khi m  3  2 2 Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 20 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM x 2  2mx  1  m Bài 3 : Tìm m để hàm số y  đồng biến x 1 trên khoảng (–2;0) Giải : Miền xác định của hàm số R \ {1} x2  2 x  m  1 Ta có đạo hàm y '  ( x  1)2 Hàm số đồng biến trên (–2;0)  x 2  2 x  m ... Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx nghịch biến trên (-1; 1) Bài 7 Tìm m để hàm số y  x 2  (m  1) x  4m 2  4m  2 x  m 1 đồng biến trên khoảng (2; +) Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 22 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Phần 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN: - Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu mọi c p x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2) - Hàm số y =... [ a ;b ] B BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài 1 : Tìm m để phương trình x3  x 2  6mx  2m  0 có ba nghiệm phân biệt ? Giải : Ta có PT  x – x = 2m(3x – 1) 3 2 x3  x 2   2m 3x  1 Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 13 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 1 không phải là nghiệm của phương trình trên) 3 Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số (do x  x3  x 2 và... Phú, Tx Long Khánh Trang 19 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM x2  2 x  3   m có nghiệm  x  (0;3) 2x  1 X t hàm số g ( x)  x2  2 x  3 liên tục trên [0; 3] 2x  1 2 x2  2 x  8 Có đạo hàm g '( x)   0 x  (0;3) (2 x  1)2 Bảng biến thiên : x 0 3 + g'(x) g(x) 12 7 –3 Khi x  (0;3) thì miền giá trị của g(x) là (3; Vậy m  g ( x) x  (0;3)  m  12 ) 7 12 7 Hay hàm số đã cho đồng biến trên... Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 29 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Trần Phú CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Đ c lập - Tự do - Hạnh phúc Long Khánh, ngày 26 tháng 5 năm 2013 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2012-2013 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số ứng dụng của đạo hàm Họ và tên tác giả: Nguyễn Ngọc Duật Chức vụ:... Khánh Trang 23 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM x f'(x) 0 1 – + 0 + 0 1 4 f(x) 3 2 2 2 1  u 4 3 1  u3 4   3 2 2 2 Vậy bất đ ng thức đã cho đư c chứng minh Dựa vào bảng biến thiên ta có f (u )  4 Bài 3 : Cho x,y, z là các số thực không âm thỏa điều kiện : x + y + z = 1 7 Chứng minh rằng : xy  yx  zx  2xyz  27 Giải : 1 Ta thấy ít nhất một trong ba số x, y, z không vư t uá , vai tr của x, y, z... [–1;1] của hàm số t  1  1  x 2 với x[1;1] t' x 1 x 2 x  (1;1), t '  0  x  0 Ta có t (1)  1, t (0)  2, t (1)  1,do đó t [1;2] Phương trình đã cho trở thành : 9t  (m  2)3t  2m  1  0 Lại đ t u =3t là hàm số đồng biến trên [1;2] nên u  [3;9] Ta lại có phương trình : u 2  (m  2)u  2m  1  0 Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 17 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM... Trần Phú, Tx Long Khánh Trang 14 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 1 1 t '  0  x  , ta có t (4)  3, t (5)  3, t    3 2 2 2 Do đó ta đư c t  3;3 2  và (4  x)(5  x)  t2  9 2  t2  9  t2  9 m Ta có phương trình : mt  2  m 2 t  1   (do t = 1 không phải là nghiệm của phương trình) t2  9 X t hàm số y ; t  3;3 2  t 1 t 2  2t  9 Đạo hàm y '   0; t  3;3 2 (t  1)2... 1  x2  1  x4 ; 1  x2  1  x2  0  x  0 t (1)  2; t (1)  2; t (0)  2 Vậy 2 t 2 Hàm số đã cho trở thành : t2  t 1 t 2  2t g (t )  ; 2  t  2 và có g '(t )   0, t  t 1 (t  1)2 Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú, Tx Long Khánh  2;2  Trang 12 SKKN : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Suy ra hàm số đồng biến trên [ 2;2] max f ( x)  max g (t )  g (2)  [ 1;1] [ 2;2] 7 khi x  0 3 min... Tìm m để hàm số y  đồng biến trên xm khoảng (1;+) Giải : Hàm số đã cho xác định trên (–;m)  (m;+) 2 x 2  4mx  m2  2m  1 Đạo hàm y '  , đ t g ( x)  2 x 2  4mx  m2  2m  1 2 ( x  m) Hàm số đồng biến trên (1;+) khi m  1 và g ( x)  0 x  (1; ) hay min g ( x)  0 [1; ] X t hàm số : g ( x)  2 x 2  4mx  m2  2m  1 trên (1;+) g '( x)  4 x  4m  4( x  m)  0, x  m Hàm số g(x)