SKKN Một số ứng dụng của cực trị hàm số vào giải toán phổ thông

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM SỐ VÀO GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ: Lý chọn đề tài: Cực trị hàm số đặc tính quan trọng hàm số, giúp với tính chất khác hàm số để khảo sát vẽ xác hoá đồ thị hàm số, bên cạnh có nhiều toán liên quan đến tính cực trị hàm số Trong chương trình sách giáo khoa đề cập đến cách đầy đủ kiến thức để giúp học sinh giáo viên nắm cách cách xác định cực trị hàm số, vận dụng vào khảo sát hàm số Chính muốn thực đề tài “ Một số ứng dụng cực trị hàm số vào giải toán phổ thông” để đồng chí giáo viên tổ thảo luận bồi dưỡng, trang bị thêm kiến thức số toán liên quan đến tính cực trị hàm số Mục đích nghiên cứu: - Đưa số phương pháp để giải số toán liên quan đến tính cực trị hàm số - Giúp giáo viên, học sinh hệ thống thêm kiến thức dạng toán Nhiệm vụ nghiên cứu: - Tuyển chọn xếp toán theo trình tự hợp lý để giúp học sinh dễ dàng tiếp cận kiến thức Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh khối THPT, chủ yếu học sinh khối 12 - Phạm vi nghiên cứu: Hệ thống số dạng toán cực trị hàm số chương trình THPT Kết cấu đề tài: Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ: Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Kết cấu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phần 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1: Kiến thức bản, trình bày định nghĩa, định lý liên quan 2: Giới thiệu số toán, phương pháp giải số ví dụ minh họa 3: Một số tập đề nghị, đáp án Phần 3: KẾT LUẬN : PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Kiến thức - Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục khoảng (a ; b), x0 ∈ ( a; b) Nếu ∃ h > cho: a) ∀ x ∈ ( x0 - h ; x0 + h) x ≠ x0 mà ta có f(x) > f(x0) ,ta nói f(x) đạt cực đại x0 b) ∀ x ∈ ( x0 - h ; x0 + h) x ≠ x0 mà ta có f(x) < f(x0) ,ta nói f(x) đạt cực tiểu x0 Các điểm cực đại, cực tiểu hàm số gọi chung điểm cực trị - Điểm tới hạn ( điểm dừng) hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định D Điểm x0 ∈ D gọi điểm tới hạn ( điểm dừng) f(x) f’(x0) = f’(x0) không xác định – Các định lý : a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị * Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x = x0, f’(x0) tồn f’(x0) = b) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị * Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) có điểm tới hạn x = x0 + Nếu f’(x) < x < x0 f’(x) > x > x0 hàm số đạt cực tiểu x0 + Nếu f’(x) < x > x0 f’(x) > x < x0 hàm số đạt cực đại x0 + Nếu f’(x) không đổi dấu x qua x0 hàm số không đạt cực trị x0 * Định lý 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm bậc f’(x0 ) = + Nếu f”(x0) < hàm số đạt cực đại x0 + Nếu f”(x0) > hàm số đạt cực tiểu x0 II Một số toán cực trị hàm số 1-Bài toán 1: Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) điểm x = x0 a) Phương pháp : + Tìm tập xác định + Tính f’(x), xét phương trình f’(x) = xét giá trị làm f’(x) không xác định + Xét điều kiện cần để hàm số đạt cực trị x = x0 phải điểm tới hạn hàm số, tức : f ’ ( x ) =  f ’ ( x ) không xácđ inh + Kiểm tra điều kiện đủ Cách 1: Kiểm tra tính đổi dấu f’(x) x qua x0 Cách 2: Xét dấu f”(x0) Nếu f”(x0) = ta không sử dụng cách để kiểm tra điều kiện đủ b) Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3 – ( m + )x2 + mx + 5, đạt cực trị x = -1 Lời giải : Tập xác định : D = ¡ Ta có y’ = 3x2 – 2x (m + 2) + m xác định với x ∈ ¡ Xét y’ =  3x2 – 2x (m + 2) + m = Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị x = -1 : y’(-1) =  + 2( m + 2) + m =  m=- Điều kiện đủ để hàm số có cực tri x = -1 y’(x) x qua x = -1 đổi dấu Với m = - ,ta có : 3 x = − y’ = 3x + x − , y’ =   x = 3  Ta có bảng xét dấu : x y’ Từ bảng xét dấu ta -∞ + 7/9 - nhận thấy hàm số đạt cực trị x = -1, m = - +∞ + thoả mãn đề Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = ( x + m) ( x − 1) đạt cực đại x = -2 Lời giải : Tập xác định : D = ¡ Ta có y’ = y’ =  x + 3m − 33 x + m x + 3m − x+m , y’ không xác định x = - m ∈ D =  5x + 3m – =  x = − 3m ∈D Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại x = - x = -2 phải điểm tới hạn hàm số, tức : y’ ( -2) = 5(-2) + 3m – = m=4   y’( -2) không xác định -m = - m=2 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực đại x = -2 y’(x) phải đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x = -2 * Với m = 2, ta có y’ = bảng xét dấu 5x + x+2 x y' , y’ không xác đinh x = -2, y’ = x = − , ta có -2 -∞ - + 4 +∞ + Từ bảng xét dấu ta nhận thấy hàm số đạt cực đại x = -2 m = Vậy m = thoả mãn đề * Với m = 4, ta có y’ = x + 10 33 x + , y’ không xác đinh x = -4, y’ = x = -2, ta có bảng xét dấu: x y' -4 -∞ -2 + - +∞ + Từ bảng xét dấu ta nhận thấy hàm số đạt cực tiểu x = -2, m = Vậy m = không thoả mãn đề 2-Bài toán 2: Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) có cực trị (cực đại, cực tiểu) a) Dạng toán liên quan - Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) có cực trị ( có điểm cực trị) - Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) cực trị - Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) có cực đại ( cực tiểu) - Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) có điểm cực đại (hoặc có điểm cực tiểu) b) Phương pháp: + Tìm tập xác định + Tính f’(x) , nhận xét điểm tới hạn + Biện luận dấu f’(x) , kết luận trường hợp thoả mãn đề * Chú ý: Nếu f’(x) tam thức bậc 2, tức f’(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) , có ∆ = b2 – 4ac ta xét trường hợp : ∆ > 0, ∆ < 0, ∆ = c) Một số ví dụ Ví dụ : Cho hàm số y = (m – 1)x3 – 4(m – 1)x2 + 3mx + tìm m để hàm số cực trị Lời giải : Tập xác định : D = ¡ Ta có y’ = 3(m-1)x2 – 8(m – 1)x + 3m, y’ xác định D y’ =  3(m-1)x2 – 8(m – 1)x + 3m = 0, hàm số có điểm tới hạn làm cho f’(x) = - Trường hợp : m =  y’ = > với x ∈ D, hàm số cho cực trị Vậy m = thoả mãn đề - Trường hợp : m ≠ 1, y’ có ∆’ = 7m2 – 23m + 16 + Nếu ∆’ ≤ tức < m ≤ cực trị Vậy < m ≤ 16 y’ ≥ với x ∈ D, hàm số cho 16 thoả mãn đề 16 ; +∞) y’ = có hai nghiệm phân biệt, y’ + Nếu ∆’ > tức m ∈ (−∞;1) ∪ ( đổi dấu x qua hai nghiệm phân biệt đó, hàm số cho có cực trị 16 ; +∞) không thoả mãn đề Vậy m ∈ (−∞;1) ∪ ( Kết luận : Vậy với m ∈ [1; 16 ] hàm số cho cực trị Ví dụ : Cho hàm số y = x − 2x + m tìm m để hàm số phải có cực đại cực tiểu x −1 Lời giải : Tập xác định : D = R\ {1 } x − 2x + − m Ta có : y’ = , y’ =  x2 - 2x + – m = 0, có ∆’ = m – ( x − 1) + Nếu m ≤ tức ∆’ ≤ y’ ≥ với x ≠ 1, suy hàm số cực trị Vậy m ≤ không thoả mãn đề + Nếu m > tức ∆’ > y’ = có hai nghiệm phân biệt y’ đổi dấu x qua hai nghiệm phân biệt đó, hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu Vậy m > thoả mãn đề Kết luận: Vậy với m > hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu Ví dụ 3: Cho hàm số y = mx4 – 2(m +1)x2 + tìm m để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu Lời giải: Tập xác định: D = ¡ Ta có y’ = 4mx3 – 4(m + 1)x = 4x( mx2 – m – 1) x=0 y’ =  mx2 = m + (*) + Trường hợp 1: m = , phương trình (*) vô nghiệm, suy y’ = -4x phương trình y’ = có nghiệm x = Bảng xét dấu : x -∞ +∞ y' + - Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số cho có điểm cực đại x = 0, m = thoả mãn đề + Trường hợp 2: m ≠ - Nếu m(m + 1) < tức m ∈ ( ; ) phương trình (*) vô nghiệm, suy y’ = -4x( mx2 – m – 1) phương trình y’ = có nghiệm x = Bảng xét dấu : x -∞ y' +∞ + - Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số cho có điểm cực đại x = 0, m ∈ ( ; ) thoả mãn đề - Nếu m = - phương trình (*) có nghiệm x = 0, suy y’ = -4x3 phương trình y’ = có nghiệm x = Bảng xét dấu : x y' -∞ +∞ + - Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số cho có điểm cực đại x = 0, m = -1 thoả mãn đề - Nếu m(m + 1) > 0, tức m ∈ (−∞;0)  (1;+∞) , phương trình y’ = có nghiệm phân biệt, y’ đổi dấu x qua nghiệm đó, suy hàm số có cực đại cực tiểu Vậy m ∈ (−∞;0)  (1;+∞) không thoả mãn đề Kết luận: Với m ∈ [ ; 1] hàm số cho có điểm cực đại, điểm cực tiểu 3-Bài toán 3: Một số toán liên quan đến điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = f(x) 3.1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = f(x) a) Phương pháp: + Tìm tập xác định + Tính y’, tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu + Toạ độ điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho nghiệm hệ f’(x) = , f’( x) không xác định (I) y = f(x) + Ta biến đổi hệ (I ) dạng y = Ax + B, suy điểm cực đại, cực tiểu thuộc đường thẳng y = Ax + B b) Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 – x2 – 3x + Lời giải: Tập xác định : D = R Ta có y’ = 3x2 – 2x – 3, xác định với x y’ =  3x2 – 2x – = , có ∆ = 10 > suy y’ = có hai nghiệm phân biệt, y’ đổi dấu x qua nghiệm Vậy hàm số cho có điểm cực đại, điểm cực tiểu Toạ độ điểm cực đại, cực tiểu nghiệm hệ 3x2 – 2x – = 3x2 – 2x – =  y = ( x − ) (3x2 – 2x – 3) − y = x3 – x2 – 3x + Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình y = − 20 14 x+ 20 14 x+ c) Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = x − 4x + x+2 Lời giải: Tập xác định: D = ¡ \ {-2} ( x − x + 2)' ( x + 2) − ( x − x + 2)( x + 2)' x − x + 10 = Ta có y’ = ( x + 2) ( x + 2) y’ không xác định x = -2 , ta nhận thấy x = -2 ∉ D , y’ =  x2 - 4x + 10 = , có ∆’ = 14 > 0, y’ = có nghiệm phân biệt khác – 2, y’ đổi dấu qua hai nghiệm, nên hàm số cho có cực đại, cực tiểu Toạ độ điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn hệ phương trình (x2 – 4x + 2)’(x + 2) – (x + 2)’ (x2 – 4x + 2) = y’ =  y=  x − 4x + x+2 y= x − 4x + x+2 (x2 – 4x + 2)’(x + 2) – (x + 2)’ (x2 – 4x + 2) = y = 2x – Phương trình đường thẳng cần tìm y = 2x – * Chú ý: Từ cách làm ta suy cách tính nhanh cực trị hàm số y = f(x) sau: + Viết phương trình đường thẳng y = Ax + B qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số + Thay hoành độ cực trị hàm số vào phương trình y = Ax + B, tính cực trị hàm số 3.2 Tìm điều kiện để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = f(x) thoả mãn điều kiện T a) Phương pháp: + Tìm tập xác định + Tính f’(x), xác định điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu + Xác định điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số A( x1 ; y1), B(x2 ; y2) - Nếu đề cho điểm cực đại, cực tiểu bình đẳng với ( khác biệt điểm cực đại, cực tiểu) ta gọi chung điểm cực đại , cực tiểu A( x1 ; y1), B(x2 ; y2) - Nếu đề cho điểm cực đại, cực tiểu có phân biệt ta phải tính x1, x2, lập bảng xét dấu suy điểm cực đại, cực tiểu hàm số , tính y1, y2 + Ép điều kiện để điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn điều kiện T + Kết luận b) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 3x + m tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại, cực tiểu cho tam giác OAB vuông O, O gốc toạ độ Lời giải: Tập xác định : D = ¡ Ta có y’ = 3x2- 6x – , y’ =  3x2- 6x – = có ∆’ = 18 > , y’ = có hai nghiệm phân biệt y’ đổi dấu x qua hai nghiệm Suy hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu Gọi điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số A( x1 ; y1), B(x2 ; y2) với toạ độ A, B nghiệm hệ 3x2- 6x – = ⇔ x2- 2x – = y = x3 – 3x2 – 3x + m y = -4x + m - 10 Để tam giác OAB vuông O, ta có OA OB =  x1.x2 + y1.y2 =  x1.x2 + (-4x1+ m – 1)( -4x2 + m – 1) = (*) x1 + x2 = Mặt khác theo Viet ta có Thay vào (*) ta x1 x2 = - m2 – 10m - =  m = ± x − 2x + m c) Ví dụ : Cho hàm số y = tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, x −1 điểm cực tiểu khoảng cách chúng Lời giải : Tập xác định : D = ¡ \ {1} x − 2x + − m Ta có y’ = xác định vói x ∈ D ( x − 1) y’ =  x2 – 2x + – m = , có ∆’ = m – Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình g(x) = x2 – 2x + – m = (* ) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức ∆’ = m – m>1 g(1) = – m ≠ Gọi điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số A( x1 ; y1), B(x2 ; y2), x1, x2 nghiệm phương trình (*) y1 = 2x1 – 2, y2 = 2x2 – Ta có AB =  (x2- x1)2 + (y2 – y1)2 = 16  [ (x1 + x2)2 - x1.x2] = 16 (* * ) Mặt khác theo Viet ta có x1 + x2 = 2, x1 x2 = – m , thay vào ( * * ) ta có 5[ – 4(2 – m)] = 16 m= ( thoả mãn) 11 Vậy giá trị cần tìm m = III Một số tập đề nghị x − 2ax + b nhận M ( ; 10 ) điểm cực tiểu x −1 Bài tập 1: Tìm a, b để đồ thị hàm số y = Đáp số : a = -2, b = - Bài tập 2: Tìm k để hàm số y = sinx + k cosx + x đạt cực đại điểm x = π Đáp số: k = Bài tập 3: Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + 4mx + có cực trị Đáp số : m ∈ (−∞;0)  ( ;+∞) Bài tập 4: Tìm m để hàm số y = -2x + m x + có cực tiểu Đáp số : m > Bài tập : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 3mx + có điểm cực đại, cực tiểu cho điểm nằm đường thẳng vuông góc với đường thẳng x – 4y +10 = Đáp số : m = Bài tập : Tìm a, b để đồ thị hàm số y = ax + (a + b) x − có phương trình đường thẳng x −1 qua điểm cực đại, cực tiểu y = 2x + Đáp số: a = 1, b = x − x + 5k Bài tập 7: Cho hàm số y = , tìm k để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực x −1 tiểu thuộc hai phía đường thẳng x + y + = Đáp số : k > Bài tập 8: Cho hàm số y = mx + , tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực x tiểu cho khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng mx – y = 12 Đáp số: m = PHẦN III-KẾT LUẬN: Trên số toán sử dụng tính cực trị hàm số để giải mà thân đúc rút qua trình giảng dạy môn Toán 12 tìm tòi tài liệu tham khảo Tôi nhận thấy em học sinh lớp 12 trang bị hệ thống kiến thức từ dễ đến khó trình bày hầu hết em tự tin, không lung túng em gặp dạng toán tính cực trị hàm số nói đa số em giải tốt Tuy rằng, phương pháp ví dụ nêu viết có phương pháp ví dụ hay mà than chưa tìm hiểu đến Rất mong đóng góp ý kiến tất đồng nghiệp để kinh nghiệm ngày hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao hiệu giảng dạy môn Toán nói chung phương pháp giải toán cực trị hàm số nói riêng Nam Sách, ngày 25 tháng năm 2011 13 MỤC LỤC Trang Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ Phần 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Kiến thức II Một số toán cực trị Bài toán Bài toán Bài toán III Một số tập đề nghị 12 Phần 3: Kết luận 13 14 [...]... thuộc về hai phía của đường thẳng x + y + 1 = 0 Đáp số : k > 1 5 Bài tập 8: Cho hàm số y = mx + 1 , tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực x tiểu sao cho khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng mx – y = 0 bằng 12 1 2 Đáp số: m = 1 PHẦN III-KẾT LUẬN: Trên đây là một số bài toán sử dụng tính cực trị của hàm số để giải mà bản thân tôi đã đúc rút được qua quá trình giảng dạy môn Toán 12 và tìm... 10 ) là điểm cực tiểu x −1 Bài tập 1: Tìm a, b để đồ thị hàm số y = Đáp số : a = -2, b = - 1 Bài tập 2: Tìm k để hàm số y = 3 sinx + k cosx + x đạt cực đại tại điểm x = π 2 Đáp số: k = 1 Bài tập 3: Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + 4mx + 1 có cực trị 4 3 Đáp số : m ∈ (−∞;0)  ( ;+∞) Bài tập 4: Tìm m để hàm số y = -2x + m x 2 + 1 có cực tiểu Đáp số : m > 2 Bài tập 5 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2... hơn, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán nói chung và phương pháp giải các bài toán về cực trị hàm số nói riêng Nam Sách, ngày 25 tháng 3 năm 2011 13 MỤC LỤC Trang Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Phần 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 I Kiến thức cơ bản 2 II Một số bài toán về cực trị 3 1 Bài toán 1 3 2 Bài toán 2 5 3 Bài toán 3 8 III Một số bài tập đề nghị 12 Phần 3: Kết luận 13 14 ... + 1 có 2 điểm cực đại, cực tiểu sao cho các điểm này đều nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng x – 4y +10 = 0 Đáp số : m = 2 Bài tập 6 : Tìm a, b để đồ thị hàm số y = ax 2 + (a + b) x − 2 có phương trình đường thẳng x −1 đi qua điểm cực đại, cực tiểu là y = 2x + 3 Đáp số: a = 1, b = 2 x 2 − 2 x + 5k Bài tập 7: Cho hàm số y = , tìm k để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực x −1 tiểu thuộc... Viet ta có Thay vào (*) ta được x1 x2 = - 1 m2 – 10m - 8 = 0  m = 5 ± 4 2 x 2 − 2x + m c) Ví dụ 2 : Cho hàm số y = tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực đại, một x −1 điểm cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 4 Lời giải : Tập xác định : D = ¡ \ {1} x 2 − 2x + 2 − m Ta có y’ = luôn xác định vói mọi x ∈ D ( x − 1) 2 y’ = 0  x2 – 2x + 2 – m = 0 , có ∆’ = m – 1 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương... em gặp các dạng toán về tính cực trị của hàm số và có thể nói đa số các em giải tốt hơn Tuy rằng, ngoài các phương pháp và các ví dụ tôi đã nêu trong bài viết này còn có các phương pháp và các ví dụ hay hơn mà bản than tôi chưa được tìm hiểu đến Rất mong sự đóng góp ý kiến của tất cả các đồng nghiệp để kinh nghiệm này ngày càng hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán nói chung... các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là A( x1 ; y1), B(x2 ; y2), trong đó x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) và y1 = 2x1 – 2, y2 = 2x2 – 2 Ta có AB = 4  (x2- x1)2 + (y2 – y1)2 = 16  5 [ (x1 + x2)2 - 4 x1.x2] = 16 (* * ) Mặt khác theo Viet ta có x1 + x2 = 2, x1 x2 = 2 – m , thay vào ( * * ) ta có 5[ 4 – 4(2 – m)] = 16 m= 9 ( thoả mãn) 5 11 Vậy giá trị cần tìm là m = 9 5 III Một số bài tập ... hàm số đạt cực đại x0 + Nếu f”(x0) > hàm số đạt cực tiểu x0 II Một số toán cực trị hàm số 1-Bài toán 1: Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) điểm x = x0 a) Phương pháp... cực trị hàm số y = f(x) sau: + Viết phương trình đường thẳng y = Ax + B qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số + Thay hoành độ cực trị hàm số vào phương trình y = Ax + B, tính cực trị hàm số. .. = f(x) có cực trị ( có điểm cực trị) - Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) cực trị - Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) có cực đại ( cực tiểu) - Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) có điểm cực đại (hoặc