Phương trình vô tỷ và hệ phương trình là bài toán thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và thi học sinh giỏi. Bài viết này giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương trình đường thẳng vào giải một số dạng phương trình vô tỷ và hệ phương trình.
Trang 1ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH DƯỜNG THẲNG VÀO GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương trình vô tỷ và hệ phương trình là bài toán thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và thi học sinh giỏi Bài viết này giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương trình đường thẳng vào giải một số dạng phương trình vô tỷ và hệ phương trình
Trước hết ta cần nắm được:
1.Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng ∆đi qua điểm M (xo;yo) và có véc
tơ chỉ phương u a buur ( ; )
có phương trình tham số là: o
o
= +
= +
2.Nếu đường thẳng ∆có phương trình tổng quát Ax +By +C=0 thì ∆ có véc tơ chỉ phương u B Auur( ; − ) chọn điểm M (xo;yo) ∈∆ rồi áp dụng công thức viết phương trình tham số ở trên ta đưa được phương trình của ∆về dạng tham số
Bây giờ ta sẽ ứng dụng phương trình đường thẳng để giải phương trình
vô tỷ và hệ phương trình qua các ví dụ sau:
* Thí dụ 1: Giaỉ phương trình 2 3x 2 3 6 5x 8 0 3 − + − − =
Phân tích: coi 3 3x 2 − =X và 6 5x Y− = ta có đường thẳng ∆:
2X + 3Y− = 8 0
∆đi qua điểm M(1;2) và có có véc tơ chỉ phương uuur(3; 2) − nên ∆ có phương trình tham số là: 1 3
2 2
= +
= −
Từ đó ta có cách giải phương trình trên như
sau:
Bài giải: Đặt
3 3
2
( 1)
6 5x (2 2 )
6 5x 2 2
t
t t
− = −
− = −
3 2
15x 10 5(1 3 )
18 15x 3(2 2 )
t t
− = +
⇔ − = −
3 + 3(2-2t)2=8
135t 147t 21 9 0t (t 1)(135t 12t 9) 0 t 1
(do 135t2+12t+9 f 0 x∀ )
Với t=-1 ta có 3x-2=(1-3)3 ⇔ 3x 2 − = − ⇔ = − 8 x 2
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=-2
* Thí dụ 2: Giaỉ phương trình x4 + x2 + = 3 3
Phân tích :coi x4 =X và x2 + = 3 Y ta có đường thẳng ∆:X Y+ = 3,
phương trình tham số là: =Y t X = −3 t Từ đó ta có cách giải phương trình trên như sau:
Trang 2Bài giải: Đặt
2
3
t
+ =
⇒ − + = − ⇔ − + + = ⇔ + − + − = ⇔
t=-1(loại); t=2 ; 1 13
2
t =− ± (loại)
Với t=2 ta có x4=1⇒ = ±x 1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1
và x =1
* Thí dụ 3: Giaỉ phương trình 1 sinx − + 1+sinx = 0
Bài giải:
Đặt
1 osx 1
t
+ = −
Suy ra
1
t
t
=
− + = ⇔ − + = ⇔ =
Với t=0 ta có sinx 1cosx 0==
x 2 k2 (k z)
Với t=1 ta có sinx 0cosx 1==
⇔ = +x π k2 (π k z∈ )
Thử lại vào phương trình đã cho ta được phương trình đã cho có hai họ nghiệm là:
2
2
x= +π k π
vàx= + π k2 π (k z∈ )
* Thí dụ 4: Xác định m để phương trình x+ 2m+ 3 3m-x 10 = (1) có nghiệm
Bài giải: Đặt
2 2
t
− = − +
− = −
Suy ra 10t2 + = 10 5m⇔ 2t2 + = 2 m (2) .Phương trình (1) có nghiệm khi
và chỉ khi
(2) có nghiệm 1;3
3
∈ .Lập bảng biến thiên của hàm f t( ) 2= t2 +2 trên 1
;3
3
−
Ta được kết quả phương trình đã cho có nghiệm ⇔ ≤ ≤ 2 m 20
* Thí dụ 5: Giaỉ hệ phương trình 8 2 (1)
3 6(2)
− =
Trang 3Phân tích: (2) có dạng tham số = − +x y=3t2 t nên ta giải hệ trên như sau: Bài giải: Đặt = − +x y=3t2 t ĐK (t≥ 2) do ≥x y≥00 ,thay vào (1) ta được:
8
32 3;
3
t
t
≥
= =
Với t=3 ta có 9
1
x y
=
=
là nghiệm của hệ phương trình
đã cho
+ + − =
Bài giải:
Từ phương trình (1) :
Đặt
2
( 1 1)
2
1 2 1
t
− = − − = − + =
thay vào (2) ta được:
(1 +t ) + 12t + (1 +t ) − 4t = ⇔ 4 t + 14t + + − = 1 1 t 4
1
t
t
=
⇔ + + = + ⇔ + + = + + ⇔ = ⇔ = −
Với t=1 ta có
2
t
= + =
= =
Với t=-1 ta có
x 2 2
y
=
= −
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: =x 2y=2 ; = −x 2y= 2
+ + + =
+ − − =
Bài giải: hệ phương trình đã cho ⇔ (2 ) (5x+8) 8 2 4(1)
+ − − =
Từ (2) đặt
2 2
( 0)
t
+ =
+ =
thành:
Trang 42 2 2 2
2
4
2 8 0
2( )
t
+ − − − = ⇔ + − = + ⇔ + − = + +
=
⇔ − − = ⇔ = −
Với t=4 ta có
56
5x 8 8
5
x
y
=
+ =
là nghiệm của hệ đã cho
*Thí dụ 8: Giải hệ phương trình
35(1)
+ =
Bài giải:
Từ phương trình (2) của hệ: Đặt
1 5
7
t
t
+
−
− + =
5 7 35 5.5 7.7 35 ( ) 1 0.
7
t
+ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
Với t = 0 ta có 2 2
7
3 2
x y
=
=
là hai
nghiệm của hệ phương trình đã cho
Cuối cùng mời các bạn áp dụng phương pháp trên vào giải các phương trình, hệ phương trình sau:
1) x3 + + 8 3 12 −x3 = 10 ĐS:x=2
2)x2 + x+ = 1 1 ĐS: x=0; x=-1; x=1 5
2
−
3) x2 − 2x 5 + + x− = 1 2 ĐS: x=1
2
4x 1 − + 4x − = 1 2 ĐS: x=2
x y
+ =
+ + + =
4 4
x y
=
=
+ + − + =
+ =
10 4 7
13 6 7
x y
= −
= − +
+ − =
+ + + =
3 5
x y
=
=
y x y
+ + + =
+ + − =
10 77
11 77 2
x y
= −
=
+ − + + + =
+ + − + − =
3 5
x y
=
=
Trang 5Ân Thi ngày 10 tháng 8 năm 2015
Người viết :Vũ Sỹ Dũng- giáo viên trường THPT Nguyễn trung Ngạn
Ân Thi-Hưng Yên
ĐT: 0984440729
Email:vusydung1973@gmail.com