ỨNG DỤNG của PHƯƠNG TÌNH DƯỜNG THẲNG vào GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ và hệ PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình vô tỷ và hệ phương trình là bài toán thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và thi học sinh giỏi. Bài viết này giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương trình đường thẳng vào giải một số dạng phương trình vô tỷ và hệ phương trình.

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH DƯỜNG THẲNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình vô tỷ hệ phương trình toán thường gặp kỳ thi tuyển sinh đại học thi học sinh giỏi Bài viết giới thiệu với bạn ứng dụng phương trình đường thẳng vào giải số dạng phương trình vô tỷ hệ phương trình Trước hết ta cần nắm được: 1.Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng ∆ qua điểm M (xo;yo) có véc  x = xo + at  y = yo + bt uu r tơ phương u (a; b) có phương trình tham số là:  2.Nếu đường thẳnguur∆ có phương trình tổng quát Ax +By +C=0 ∆ có véc tơ phương u (B; − A) chọn điểm M (xo;yo) ∈ ∆ áp dụng công thức viết phương trình tham số ta đưa phương trình ∆ dạng tham số Bây ta ứng dụng phương trình đường thẳng để giải phương trình vô tỷ hệ phương trình qua ví dụ sau: * Thí dụ 1: Giaỉ phương trình 3x − + − 5x − = Phân tích: coi 3x − = X − 5x = Y ta có đường thẳng ∆ : X + 3Y − = uu r ∆ qua điểm M(1;2) có có véc tơ phương u (3; −2) nên ∆ có phương  X = + 3t Từ ta có cách giải phương trình Y = − 2t trình tham số là:  sau:  3x − = + 3t 3x − = (1 + 3t ) (t ≤ 1) ⇔  Bài giải: Đặt   − 5x = − 2t 6 − 5x = (2 − 2t ) 15x − 10 = 5(1 + 3t ) ⇔ suy 5(1+3t) + 3(2-2t) =8 18 − 15x = 3(2 − 2t ) ⇔ 135t + 147t + 21t + = ⇔ (t + 1)(135t + 12t + 9) = ⇔ t + (do 135t2+12t+9 f 0∀x ) Với t=-1 ta có 3x-2=(1-3)3 ⇔ 3x − = −8 ⇔ x = −2 Vậy phương trình cho có nghiệm x=-2 * Thí dụ 2: Giaỉ phương trình x + x + = Phân tích :coi x = X x + = Y ta có đường thẳng ∆ : X + Y = , X = 3− t Từ ta có cách giải phương trình Y = t phương trình tham số là:  sau: 4  x = − t  x = − t  x = − t ( ≤ t ≤ 3) ⇔  2 ⇔ 4 Bài giải: Đặt  2  x = t −  x = t − 6t +  x + = t ⇒ t − 6t + = − t ⇔ t − 6t + t + = ⇔ (t + 1)(t − 2)(t + t − 3) = ⇔ −1 ± 13 (loại) Với t=2 ta có x4=1 ⇒ x = ±1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = -1 t=-1(loại); t=2 ; t = x =1 * Thí dụ 3: Giaỉ phương trình − s inx + 1+sinx = Bài giải: 2  − s inx = t s inx = − t sin x = − 2t + t (0 ≤ t ≤ 1) ⇔  ⇔ Đặt  cos x = t − 4t + 4t cosx = −2t + t  + cosx = − t Suy t = 2t − 4t + 2t = ⇔ 2t (t − 2t + 1) = ⇔  t = Với t=0 ta có Với t=1 ta có s inx = π ⇔ x = + k 2π ( k ∈ z )  cosx = s inx = ⇔ x = π + k 2π (k ∈ z )  cosx = Thử lại vào phương trình cho ta phương trình cho có hai họ nghiệm là: x= π + k 2π x = π + k 2π (k ∈ z ) * Thí dụ 4: Xác định m để phương trình nghiệm x + 2m + 3m-x = 10 (1) có  x + 2m = + 3t −1  x + 2m = + 6t + 9t ( ≤ t ≤ 3) ⇔ Bài giải: Đặt   3m − x = − 6t + t  3m − x = − t Suy 10t + 10 = 5m ⇔ 2t + = m (2) Phương trình (1) có nghiệm −1   (2) có nghiệm t ∈  ;3 Lập bảng biến thiên hàm f (t ) = 2t + 3   −1   ;3 Ta kết phương trình cho có nghiệm ⇔ ≤ m ≤ 20  x x − y y = x + y (1)  x − y = 6(2) * Thí dụ 5: Giaỉ hệ phương trình   x = 3t nên ta giải hệ sau:  y = −2 + t x ≥ ĐK ( t ≥ )  ,thay vào (1) ta được: y ≥ Phân tích: (2) có dạng tham số   x = 3t  y = −2 + t Bài giải: Đặt  3t 3t − (t − 2) t − = 3t + t − ⇔ (3t − 8) 3t = t t −   t ≥ t ≥ ⇔ 3(3t − 8) = t t − ⇔  ⇔ t (t − 2) = 3(3t − 8) 26t − 142t + 192 =    t ≥ x = ⇔ ⇔ t = Với t=3 ta có  nghiệm hệ phương trình y =1 t = 3; t = 32  cho  x + y + x − y = 2(1) * Thí dụ 6: Giaỉ hệ phương trình  2 2  x + y + x − y = 4(2) Bài giải: Từ phương trình (1) :  x + y = + t x = 1+ t2  x + y = + 2t + t ( − ≤ t ≤ 1) ⇔ ⇔ Đặt     x − y = − 2t + t  y = 2t  x − y = − t thay vào (2) ta được: (1 + t ) + 12t + (1 + t ) − 4t = ⇔ t + 14t + + − t = t = ⇔ t + 14t + = t + ⇔ t + 14t + = t + 6t + ⇔ t = ⇔   t = −1 Với t=1 ta có x = + t =  Với t=-1 ta có  y = 2t = x =   y = −2 x = x = ;  y =  y = −2 Vậy hệ cho có nghiệm:   x + y + x + y = 4(1) * Thí dụ 7: Giaỉ hệ phương trình   2 x + y − x − = 2(2)  (2 x + y ) + (5x+8) − + x + y = 4(1) Bài giải: hệ phương trình cho ⇔   2 x + y − x − = 2(2)  x + y = + t  x + y = + 2t + t ( t ≥ 0) ⇔ Từ (2) đặt   ,phương trình (1) trở 5 x + = 4t  x + = 2t thành: 5t + 2t − − (1 − t ) = ⇔ 5t + 2t − = + t ⇔ 5t + 2t − = t + 10t + 25 t = ⇔ t − 2t − = ⇔  t = −2(l ) 56  x=  2x + y =   2x + y = 25  ⇔ ⇔ Với t=4 ta có  nghiệm hệ 5x + = 64  5x + =  y = 13  cho  x + y = 35(1) *Thí dụ 8: Giải hệ phương trình  2 log ( x + y ) + log ( x − xy + y ) = 2(2) Bài giải: t +1 log ( x + y ) = + t  x + y = ⇔ Từ phương trình (2) hệ: Đặt   2 2 1−t log ( x − xy + y ) = − t  x − xy + y = Thay vào (1) ta 51+t.71−t = 35 ⇔ 5.5t.7.7−t = 35 ⇔ ( )t = ⇔ t = x + y =  x + y = x = x = ⇔ ⇔ Với t = ta có   hai  xy = y = y =  x − xy + y = nghiệm hệ phương trình cho Cuối mời bạn áp dụng phương pháp vào giải phương trình, hệ phương trình sau: 1) x3 + + 12 − x3 = 10 ĐS:x=2 2) x + x + = ĐS: x=0; x=-1; x= 3) x − 2x + + x − = ĐS: x= 4) 4x − + x − = ĐS: x=2  x + y = 5)  2  x + + y + = 10  x + y + − x + = 6)  3 x + y = x = y =  x = 10 − ĐS:   y = −13 +  x + y − xy = x = y = ĐS:   x + + y + =  x = 10 − 77  (HSG QG 2001) ĐS:  11 − 77 y =   x + y − + x + y + = 9)  ĐS:  7)   x + y + x + y = 8)   2x + y + x − y = 1−  x + y + − 6x + y − = x = y = ĐS:  Ân Thi ngày 10 tháng năm 2015 Người viết :Vũ Sỹ Dũng- giáo viên trường THPT Nguyễn trung Ngạn Ân Thi-Hưng Yên ĐT: 0984440729 Email:vusydung1973@gmail.com