ỨNG DỤNG của máy TÍNH cầm TAY TRONG GIẢI TOÁN (từ cơ bản đến NÂNG CAO)

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Ta bấm MODE + 5 + 1 dùng cho cả hai máy rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0 để giải hệ phương trình dạng 1 1

ỨNG DỤNG CỦA

MÁY TÍNH CẦM TAY

TRONG GIẢI TOÁN

PHẦN ITài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Mạnh Cường

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

CÁC CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG VIỆC HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I CHỨC NĂNG EQN

1 Giải phương trình

a Giải phương trình bậc hai

Ta bấm MODE + 5 + ▽ + 1 (đối với máy vinacal) hoặc MODE + 5 + 3 (đối với máy casio)

rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải phương

ax bx c a Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ

b Giải phương trình bậc ba

Ta bấm MODE + 5 + ▽ + 2 (đối với máy vinacal) và bấm MODE + 5 + 4 (đối với máy casio)

rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải phương

ax bx cx d a Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ

2 Giải hệ phương trình

a Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta bấm MODE + 5 + 1 (dùng cho cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải hệ phương trình dạng 1 1 1

=> Chắc năng EQN nhằm hỗ trợ cho các bạn kiểm tra lại tính đúng sai của nghiệm chứ không nêu lên cách cách giải của bài toán

II CHỨC NĂNG INEQ

1 Giải bất phương trình bậc hai

Nhóm học tập: https://www.facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups

Ta bấm MODE + ▽ + 1 +

2 2 2 2

(đối với cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc

giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ

III CHỨC NĂNG TÍNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PARABOL

1 Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai (hàm parabol)

Ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol để tìm nhanh điểm cực trị (các bạn phải xét

xem hệ số a dương hay âm từ đó xác định được đó là cực đại hay cực tiểu) như sau:

Bấm SHIFT + 6 + 6 (đối với máy vinacal) hoặc MODE + 5 + 3 (đối với máy casio) để vào

chức năng tính cực trị của hàm parabol rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không

NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

2 Chứng minh phươg trình bậc hai vô nghiệm

a Phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm

Như các bạn đã biết, phương trình bậc hai 2  

  (các bạn vẫn có thể tính tay nhá nhưng dùng máy tính cho nhanh và

khá tiện lợi tránh sự nhầm lẫn đáng tiếc)

VT  x    x phương trình vô nghiệm

b Phương trình bậc hai hai ẩn vô nghiệm

Trước tiên ta sẽ đi làm một vĩ dụ từ đó ta sẽ xác định hướng làm tổng quát:

Vậy từ đâu mà ta lại làm được như vậy? thì mời bạn đọc nghiên cứu cách làm sau:

Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc

=> Chức năng này không dùng cho máy casio fx-570ES PLUS

IV CHỨC NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1 Tính đạo hàm tại một điểm

Để làm tốt các bài toán liên quan đến đạo hàm nói chung, chúng ta cần phải hiểu được cơ bản các quy tắc cũng như các công thức đạo hàm từ hàm sơ cấp đến hàm hợp mà đã được trình bày mục IV, bài 1

Chắc hẳn các bạn vẫn còn nhớ cách tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa lẫn công thức đạo hàm mà đã được học vào cuối kỳ 2 lớp 11 (các bạn tự ôn lại nên tôi sẽ không nhắc lại nữa) nhưng ở đây, tôi muốn giới thiệu đến bạn đọc cách tính đạo hàm tại một điểm bằng máy tính cầm tay (chỉ dùng để tính kết quả chứ không nói lên cách làm)

y   x x x tại điểm x 3 thì ta làm như sau:

Bấm SHIFT + rồi nhập hàm số đó vào ô trống thứ nhất và nhập giá trị điểm đề cho vào ô trống còn lại ta thu được kết quả là  2 3

NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Ta hoàn toàn có thể tính bằng công thức đạo hàm

2 Tìm các hệ số của lượng liên hợp của phương trình vô tỷ có nghiệm bội

Như trong mục VII, bài 1, tôi đã trình bày qua về cách phân biệt nghiệm đơn và nghiệm bội (nghiệm kép và bội ba) nên không nhắc lại nữa (mời bạn đọc xem lại)

hay lượng liên hợp của 2 x  1 là x 1.

Hoàn toàn tương tự với căn còn lại

d

dx

f x d

( ) 2

( )

n n

x x

n

x x n

x x

f x d

a

dx n f x d

2x 2x biết phương trình đã cho có nghiệm bội ba là1 x 1

2x 2x 1 ax bx Hoàn toàn dễ dàng ta tìm ra được các hệ số c

( )

n

n n

Gán một giá trị (nghiệm) vào một biến bất kỳ trong máy (biến A, B, C, D, E, F, X, Y, M)

Để gán một giá trị bất kỳ hay nghiệm bất kỳ vào một biến trong máy ta làm như sau:

Giá trị cần gán + SHIFT + RCL + Biến cần gán (là các chữ in đỏ được viết in hoa)

Ví dụ như các bạn muốn gán giá trị 22 vào biến A trong máy thì ta bấm như sau:

22 + SHIFT + RCL + ( - )

Và để biết ta đã gán 22 vào biến A trong máy chưa ta cần bấm: ALPHA + ( - ) + = nếu kết quả

ra 22 thì tức là đã thực hiện đúng yêu cầu

VI CHỨC NĂNG SOLVE

1 Tìm nghiệm của phương trình chính xác

NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Ta dùng SOLVE để tìm nghiệm của phương trình đã cho một cách chính xác theo hai hướng sau:

Ví dụ ta đi tìm nghiệm của phương trình 2    

B2: Bấm SHIFT + CALC thì máy hỏi giá trị X bắt đầu thì các bạn chọn tùy ý

B3: Tùy vào việc các bạn cho giá trị X bắt đầu mà máy hiện kết quả là nghiệm nào trước, ở đây máy của tôi dùng là vinacal và cho giá trị X bắt đầu là 9 thì kết quả là x 3, 302775638 là một nghiệm

B4: Ta gán nghiệm này vào biến A đồng thời chia nghiệm này đi để xem phương trình còn nghiệm nào nữa không bằng cách bấm phím back ◁ và sửa thành

A, các bạn bấm phím Ans + = + = (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A) thì thu được

kết quả là x 2 là một nghiệm nữa

B5: Tiếp tục chia nghiệm x 2đi để xem phương trình còn nghiệm nào nữa không bằng cách

SHIFT + CALC + = + = thì thu được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết

nghiệm), thử lai với giá trị X bất kỳ ta cũng thu được kết quả tương tự

Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x 2;A

+ Hướng 2: Tìm nghiệm bằng số bắt đầu trong đoạn chứa nghiệm đã tìm được bằng TABLE Như ở phần dùng chức năng TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm, ta đã tìm được đoạn chứa nghiệm của phương trình là  1; 4 và thật “chẳng may” ta tìm được luôn phương trình có một nghiệm là x 2và bây giờ ta sẽ dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm chính xác trên đoạn chứa nghiệm như sau:

giá trị A, các bạn bấm phím Ans + = + = (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A) thì thu

được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết nghiệm), thử lai với giá trị X bất kỳ ta cũng thu được kết quả tương tự

Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x 2;A

=> Ta rút ra một nhận xét sau:

Nếu ta tìm nghiệm trong đoạn chứa nghiệm sẽ nhanh hơn (về mặt thời gian) và ta sẽ bao quát được nghiệm hơn khi dùng TABLE Nhưng suy cho cùng thì các bạn nên làm hướng 1 để tránh

sự phức tạp

⚠ Chú ý: một điều cực kỳ quan trọng khi dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm chính xác đó

là khi nhập phương trình (chuyển tất cả hạng tử về một bên và bỏ “= 0”) phải có dấu mở đóng ngoặc ở hai đầu của phương trình và ấn = sau khi nhập xong (để máy lưu lại phương trình)

2 Tìm mối quan hệ giữa hai ẩn

Thường là tìm mối quan hệ giữa x, y để thay vào phương trình còn lại của hệ, rồi đi giải phương trình một ẩn x hoặc y Nhưng việc nhận ra mối quan hệ giữa x và y là rất khó chính vì vậy, ta cần dùng đến công cụ là máy tính cầm tay mà cụ thể là chức năng SOLVE này để nhận ra mối quan hệ đó một cách nhanh chóng rồi từ đó định hướng cách làm

Xét ví dụ sau: Tìm mối liên hệ giữa hai ẩn x và y thỏa mãn

NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Qua bảng ta thấy, các giá trị X rất lẻ và không biết được nó sẽ có mối quan hệ như thế nào với

Y Một câu hỏi đặt ra trong đầu: “ta sẽ bỏ ư?” Câu trả lời là: “KHÔNG” Đúng vậy, ta sẽ

không bỏ cuộc dù hoàn cảnh có khó khăn như thế nào Sau đây, là một lưu ý cực kỳ quan trọng,

nó cũng như “cốc nước mát giữa sa mạc vậy”

“Khi lập bảng giá trị về mối quan hệ giữa X và Y mà chưa cho ta được mối quan hệ X và Y thì ta phải tính thêm tất cả các biểu thức (căn, lũy thừa) chứa X và Y theo các giá trị vừa tìm được”

Như vậy, ta sẽ tính thêm  2

x y y x vào bảng vừa rồi và được

Bây giờ, ta sẽ đi tách nhân tử bằng cách sử dụng: Phương pháp liên hợp, phương pháp đặt ẩn

phụ, phương pháp hàm số, phương pháp đáng giá, …

Ở đây, tôi dùng BĐT Cô si để đánh gía (các bạn tham khảo ở mục sau)

Ta có

2

2 2

=> Tổng kết lại là ta nên dùng hướng 2 để tìm mối quan hệ giữa hai ẩn tức là đi lập bảng và

khi lập bảng các giá trị ta phải nhớ liệt kê tất cả các phần tử có chứa các biến rồi tính giá trị tại

các điểm x và y tìm được

VII CHỨC NĂNG TABLE

Giới thiệu sơ qua về TABLE:

TABLE là bảng thống kê sự thay đổi của hàm theo biến trên từng giá trị cụ thể, tức là khi biến

thay đổi một lượng thì hàm cũng thay đổi theo lượng đó X  X0  F X ( )  F X ( 0) và sau đây

là thao tác bấm máy:

Tại giao diện MODE ta chọn 7 để vào chức năng TABLE

Tại giao diện hàm số f(X) ta nhập hàm số cần xét

Tại giao diện hàm số g(X) ta nhập hàm số thứ 2 cần xét (nếu cần)

(không áp dụng cho máy casio fx-570ES PLUS)

Tại giao diện Start ta cho giá trị bắt đầu cần xét (thường là điểm đầu của TXĐ ví

dụ như hàm số có TXĐ là  a b thì ta cho Start bằng a) ;

NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Tại giao diện End ta cho giá trị kết thúc cần xét (thường là điểm cuối của TXĐ

ví dụ như hàm số có TXĐ là  a b thì ta cho End bằng b) ;

Tại giao diện Step ta cho bằng 1 hoặc 0,5 (các bạn có thể cho bất kỳ)là giá trị

bước nhảy hay khoảng cách giữa hai số liền nhau

Cuối cùng ta thu được kết quả là bảng thống kê giá trị hàm thay đổi theo biến lần

lượt từ trái qua phải là STT→X→F(X)→G(X)

⚠ Chú ý:

Bảng thống kê TABLE thông thường tính được 20 giá trị ví dụ chạy từ -9 đến 9 với bước nhảy

là 1 hoặc chạy từ -4 đến 4 với bước nhảy là 0,5 Nhưng bảng TABLE có thể tính được tối đa

là 30 giá trị (trừ máy casio fx-570ES PLUS) và để mở rộng đến 30 giá trị thì ta cần bấm các

thao tác sau để bảng giá trị của chúng ta tăng thêm 10 giá trị từ 20 lên 30 bằng cách bấm SHIFT

+ MODE + ▽ + 5 + 1 Như vậy, ta đã làm tăng thêm 10 giá trị bây giờ các bạn xét từ -14 đến

14 với bước nhảy là 1 hoặc từ -7 đến 7 với bước nhảy là 0,5 để xét chính xác hơn và tránh để

bỏ xót “không cho chúng nó thoát”

1 Xét tính đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) của hàm số

Ta dùng TABLE trong trường hợp này nhằm mục đích xét tính đơn điệu của hàm số mà cụ thể

hay dùng nhất là xét dấu (dương hay âm) biểu thức sau khi liên hợp để thuận tiện việc chứng

minh vô nghiệm Hay là việc kết hợp với định lý Rolle để tìm nghiệm duy nhất của phương

trình khi mà VT (đã chuyển tất cả các hạng tử về một vế và vế còn lại bằng 0) của phương trình

đó đồng biến hay nghịch biến trên tập xác định

⚠ Chú ý: đối với dạng này ta kết hợp thêm với chức năng SOLVE để tìm nghiệm trước nếu có

nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D thì ta áp dụng định lý Rolle để làm còn nếu

không có nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) thì ta kết luận rằng biểu thức đó luôn

dương (âm) trên tập xác định

Ta hiểu định lý Rolle như sau:

+ Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f x( )k k const có không

quá một nghiệm trên khoảng (a;b)

+ Nếu hàm số f(x) và g(x) đơn điệu ngược chiều nhau trên khoảng (a;b) thì phương trình

Ta có quy trình bấm máy như sau:

B1: Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)

Nhóm học tập: https://www.facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups

B3: Cho Start  1; End  19; Step 1, nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN thì

bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho

1; 29; 1

Start End  Step

B4: Ta thấy f x( )    0, x 1; 

B5: Dùng SOLVE bằng cách nhập lại F(X) vào và bấm SHIFT + CALC rồi cho X bất kỳ thì

máy hiện Can’t solve tức là phương trình vô nghiệm (ta phải làm thêm bước này để kiểm tra

xem phương trình còn nghiệm không nếu không thì ta đi chứng minh vô nghiệm trên tập xác

định còn nếu có ta vẫn chứng minh hàm số đó đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định rồi áp

dụng định lý Rolle để kết luận nghiệm)

B6: Ta chứng minh như sau:

Vậy phương trình vô nghiệm (trên đây là cách chứng minh đơn giản, vào các bài sau chúng ta

sẽ nghiên cứu nhiều hơn và gặp nhiều dạng bài cũng như cách giải tổng quát hơn)

số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f x( )k k const có không quá một

nghiệm trên khoảng (a;b)”, do đó ta có cách làm như sau:

Dễ thấy x  37 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có điều kiện x  37

NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC

Mà f(2)  28 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 2.

Ví dụ 3: Giải phương trình x x  x 12  12 5  x 4 x

Xét hai hàm số f x( )x x  x12 và g x( )  12 5  x 4 x trên đoạn  0; 4

Tương tự về cách bấm như trên, dùng TABLE ta thấy f x ( ) 0 và g x ( ) 0 trên khoảng  0; 4 hay f x( ), ( )g x là hai hàm đơn điệu ngược nhau trên khoảng  0; 4 nên phương trình ( ) ( )

f x g x có nhiều nhất một nghiệm Dùng SOLVE hay TABLE ta tìm được một nghiệm duy nhất là x 4. Từ đó ta có hướng làm như sau:

+ Xét hàm số f x( ) x x x12 xác định và liên tục trên đoạn  0; 4

Mà f(4) g(4) nên phương trình có nghiệm duy nhất là x 4.

2 Tìm đoạn chứa nghiệm của phương trình

Từ việc kết hợp với định lý hàm số liên tục mà ta đã được học ở kỳ 2, lớp 11 (đã nói qua ở mục định lý hàm số liên tục, rolle, lagrange) và được hiểu như sau:

“Nếu hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b] và đơn điệu trên khoảng (a;b) đồng thời f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn [a;b]”

Vậy tại sao lại phải dùng TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm? Vì khi dùng chức năng SOLVE

ta sẽ tìm nghiệm của phương trình trong đoạn chứa nghiệm mà ta đã tìm được trong TABLE, lúc này ngoài việc tìm nghiệm một cách nhanh chóng (nói về thời gian máy tính tìm nghiệm nhanh hơn so với việc tìm nghiệm mà không trong đọan chứa nghiệm) mà còn tìm đủ số nghiệm (nói về việc tìm đầy đủ các nghiệm mà phương trình có, tránh trường hợp tìm thiếu nghiệm bằng SOLVE mà không tìm trong đoạn chứa nghiệm)

Ta nghiên cứu ví dụ sau đây:

B3: Cho Start   2; End   17; Step 1, nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN

thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho

2; 27; 1

Start   End  Step

B4: Ta thấy phương trình có nghiệm trong đoạn      1; 3 ; 3; 4  1; 4 mà đặc biệt

f   x  là một nghiệm, bây giờ ta dùng chức năng SOLVE để tìm xem phương trình còn nghiệm nào trong đoạn  1; 4 nữa không ngoài nghiệm x 2 (ta sẽ thực hiện thao tác này trong bài chức năng SOLVE)

Như vậy, khi dùng TABLE ta tìm được một nghiệm là x 2 và đoạn chứa nghiệm là  1; 4

3 Tìm hệ số của lượng liên hợp khi phương trình vô tỷ có nghiệm vô tỷ đơn duy nhất

Khi các bạn học qua bài phương pháp liên hợp rồi, các bạn sẽ biết được lượng liên hợp của nghiệm đơn vô tỷ đơn duy nhất là dạng nhị thức bậc nhất Ở đây, tôi xin phép nói luôn cách tìm hệ số của nhị thức bậc nhất:

Ta luôn có n f x( ) axb n2 |nN a b; , const trong đó   * là số được chọn một

B3 : Cho Start   9; End  9; Step  1, nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN

thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho