ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

§1. CHỨC NĂNG EQN 1. Giải phương trình a. Giải phương trình bậc hai Ta bấm MODE + 5 + ▽ + 1 (đối với máy vinacal) hoặc MODE + 5 + 3 (đối với máy casio) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải phương trình bậc hai dạng       2 ax bx c a 0 0 . Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ. b. Giải phương trình bậc ba Ta bấm MODE + 5 + ▽ + 2 (đối với máy vinacal) và bấm MODE + 5 + 4 (đối với máy casio) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải phương trình bậc hai dạng        3 2 ax bx cx d a 0 0 . Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ. 2. Giải hệ phương trình a. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Ta bấm MODE + 5 + 1 (dùng cho cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải hệ phương trình dạng        1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c . Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ. b. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Ta bấm MODE + 5 + 2 (dùng cho cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải hệ phương trình dạng               1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d . Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ. => Chắc năng EQN nhằm hỗ trợ cho các bạn kiểm tra lại tính đúng sai của nghiệm chứ không nêu lên cách cách giải của bài toán.

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

(Dùng cho kỳ thi tốt nghiệp THPTQG và tuyển sinh ĐH – CĐ) (Giáo viên chuyên luyện thi THPTQG và thi vào lớp 10)

➢ Tài liệu tham khảo cho quý thầy cô và phụ huynh

➢ Tài liệu tham khảo cho các em học sinh tham gia kỳ thi THPTQG và ĐH – CĐ

➢ Tài liệu làm tư liệu học tập môn toán từ lớp 9 đến 12

1

LỜI MỞ ĐẦU

Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, thầy sẽ chia sẻ một tài liệu mà có thể giúp ích các em tiết kiệm thời gian

trong quá trình làm bài thi trắc nghiệm Đó là tài liệu: ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH

CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TẮC NGHIỆM

Mong rằng tài liệu này sẽ giúp ích cho các em

Tài liệu đã được viết rất công phu và tỉ mỉ nhưng không tránh khỏi sai sot, mong rằng

sẽ nhận được lời góp ý tích cực từ bạn đọc

Mọi thông tin xin liên hệ:

Thầy Nguyễn Mạnh Cường

Địa chỉ lớp học:

CS1: Ngã tư cổ Tiết – Khu 11 – Xã Cổ Tiết – Huyện Tam Nông – Tỉnh Phú Thọ

CS2: Số nhà 53 – Ngách 17 – Ngõ Thịnh Quang – Phương Thịnh Quang – Quận Đống

Chúc các em có kỳ thi đầy thành công và may mắn!

Thầy Nguyễn Mạnh Cường

2

§1 CHỨC NĂNG EQN

1 Giải phương trình

a Giải phương trình bậc hai

Ta bấm MODE + 5 + ▽ + 1 (đối với máy vinacal) hoặc MODE + 5 + 3 (đối với máy casio) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để

giải phương trình bậc hai dạng 2     

a Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta bấm MODE + 5 + 1 (dùng cho cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải hệ phương trình dạng   

(đối với cả hai máy) rồi nhập hệ số theo

bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ

4

§3 CHỨC NĂNG TÍNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PARABOL

1 Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai (hàm parabol)

Như các bạn đã được học từ lớp 9, nếu hàm số            

2 2

a hàm số đạt giá trị nhỏ nhất



 4

Min y

a khi  2

b x

a

TH2 a 0 thì     

,4

a hàm số đạt giá trị lớn nhất



 4

Max y

a khi  2

b x

Ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol để tìm nhanh điểm cực trị (các bạn

phải xét xem hệ số a dương hay âm từ đó xác định được đó là cực đại hay cực tiểu)

như sau:

Bấm SHIFT + 6 + 6 (đối với máy vinacal) hoặc MODE + 5 + 3 (đối với máy casio) để

vào chức năng tính cực trị của hàm parabol rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0)

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số   2 

2 Chứng minh phươg trình bậc hai vô nghiệm

a Phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm

Như các bạn đã biết, phương trình bậc hai 2     

a a (các bạn vẫn có thể tính tay nhá nhưng dùng máy tính

cho nhanh và khá tiện lợi tránh sự nhầm lẫn đáng tiếc)

b Phương trình bậc hai hai ẩn vô nghiệm

Trước tiên ta sẽ đi làm một vĩ dụ từ đó ta sẽ xác định hướng làm tổng quát:

Vậy từ đâu mà ta lại làm được như vậy? thì mời bạn đọc nghiên cứu cách làm sau:

Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc

=> Chức năng này không dùng cho máy casio fx-570ES PLUS

7

§4 CHỨC NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1 Tính đạo hàm tại một điểm

Chắc hẳn các bạn vẫn còn nhớ cách tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa lẫn công thức đạo hàm mà đã được học vào cuối kỳ 2 lớp 11 (các bạn tự ôn lại nên tôi sẽ không nhắc lại nữa) nhưng ở đây, tôi muốn giới thiệu đến bạn đọc cách tính đạo hàm tại một điểm bằng máy tính cầm tay (chỉ dùng để tính kết quả chứ không nói lên cách làm)

2 Tìm các hệ số của lượng liên hợp của phương trình vô tỷ có nghiệm bội

Như trong mục VII, bài 1, tôi đã trình bày qua về cách phân biệt nghiệm đơn và nghiệm bội (nghiệm kép và bội ba) nên không nhắc lại nữa (mời bạn đọc xem lại)

( )( )

n

x x n

hay lượng liên hợp của 2x1 là 1.x

Hoàn toàn tương tự với căn còn lại

d

dx

f x d

1

2

( ) '1

( ) 2( )

n n

x x n

x x n

x x

f x d

Ta nghiên cứu ví dụ sau :

Cho phương trìnhx53x44x33x2 2x 1 x1 2x2 2x1 Tìm lượng liên hợp của căn 2 

2x 2x 1 biết phương trình đã cho có nghiệm bội ba là x 1

Lượng liên hợp của 2x2 2x 1 ax2bx c Hoàn toàn dễ dàng ta tìm ra được các 

hệ số như sau:

( )

n

n n

f x

n f x

10

§5 CHỨC NĂNG STO Gán một giá trị (nghiệm) vào một biến bất kỳ trong máy (biến A, B, C, D, E, F, X, Y, M)

Để gán một giá trị bất kỳ hay nghiệm bất kỳ vào một biến trong máy ta làm như sau:

Giá trị cần gán + SHIFT + RCL + Biến cần gán (là các chữ in đỏ được viết in hoa)

Ví dụ như các bạn muốn gán giá trị 22 vào biến A trong máy thì ta bấm như sau:

22 + SHIFT + RCL + ( - )

Và để biết ta đã gán 22 vào biến A trong máy chưa ta cần bấm: ALPHA + ( - ) + = nếu kết quả ra 22 thì tức là đã thực hiện đúng yêu cầu

11

§6 CHỨC NĂNG SOLVE

1 Tìm nghiệm của phương trình chính xác

Ta dùng SOLVE để tìm nghiệm của phương trình đã cho một cách chính xác theo hai hướng sau:

Ví dụ ta đi tìm nghiệm của phương trình         

2 2

B2: Bấm SHIFT + CALC thì máy hỏi giá trị X bắt đầu thì các bạn chọn tùy ý

B3: Tùy vào việc các bạn cho giá trị X bắt đầu mà máy hiện kết quả là nghiệm nào trước, ở đây máy của tôi dùng là vinacal và cho giá trị X bắt đầu là 9 thì kết quả là

 3,302775638

B4: Ta gán nghiệm này vào biến A đồng thời chia nghiệm này đi để xem phương trình

còn nghiệm nào nữa không bằng cách bấm phím back ◁ và sửa thành

A, các bạn bấm phím Ans + = + = (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A) thì thu

được kết quả là x 2 là một nghiệm nữa

B5: Tiếp tục chia nghiệm x 2đi để xem phương trình còn nghiệm nào nữa không bằng cách bấm phím back ◁ và sửa thành

thu được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết nghiệm), thử lai với giá trị

X bất kỳ ta cũng thu được kết quả tương tự

Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x 2; A

+ Hướng 2: Tìm nghiệm bằng số bắt đầu trong đoạn chứa nghiệm đã tìm được bằng TABLE

Như ở phần dùng chức năng TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm, ta đã tìm được đoạn chứa nghiệm của phương trình là 1; 4 và thật “chẳng may” ta tìm được luôn phương trình có một nghiệm là x 2và bây giờ ta sẽ dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm chính xác trên đoạn chứa nghiệm như sau:

B3: Ta gán nghiệm này vào biến A đồng thời chia nghiệm này đi để xem phương trình

còn nghiệm nào nữa không bằng cách bấm phím back ◁ và sửa thành

giá trị A, các bạn bấm phím Ans + = + = (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A)

thì thu được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết nghiệm), thử lai với giá trị X bất kỳ ta cũng thu được kết quả tương tự

Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x 2; A

=> Ta rút ra một nhận xét sau:

Nếu ta tìm nghiệm trong đoạn chứa nghiệm sẽ nhanh hơn (về mặt thời gian) và ta sẽ bao quát được nghiệm hơn khi dùng TABLE Nhưng suy cho cùng thì các bạn nên làm hướng 1 để tránh sự phức tạp

⚠ Chú ý: một điều cực kỳ quan trọng khi dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm chính xác

đó là khi nhập phương trình (chuyển tất cả hạng tử về một bên và bỏ “= 0”) phải có dấu mở đóng ngoặc ở hai đầu của phương trình và ấn = sau khi nhập xong (để máy lưu lại phương trình)

2 Tìm mối quan hệ giữa hai ẩn

Thường là tìm mối quan hệ giữa x, y để thay vào phương trình còn lại của hệ, rồi đi giải phương trình một ẩn x hoặc y Nhưng việc nhận ra mối quan hệ giữa x và y là rất khó chính vì vậy, ta cần dùng đến công cụ là máy tính cầm tay mà cụ thể là chức năng SOLVE này để nhận ra mối quan hệ đó một cách nhanh chóng rồi từ đó định hướng cách làm

Xét ví dụ sau: Tìm mối liên hệ giữa hai ẩn x và y thỏa mãn

Qua bảng ta thấy, các giá trị X rất lẻ và không biết được nó sẽ có mối quan hệ như thế

nào với Y Một câu hỏi đặt ra trong đầu: “ta sẽ bỏ ư?” Câu trả lời là: “KHÔNG” Đúng

vậy, ta sẽ không bỏ cuộc dù hoàn cảnh có khó khăn như thế nào Sau đây, là một lưu

ý cực kỳ quan trọng, nó cũng như “cốc nước mát giữa sa mạc vậy”

“Khi lập bảng giá trị về mối quan hệ giữa X và Y mà chưa cho ta được mối quan hệ X

và Y thì ta phải tính thêm tất cả các biểu thức (căn, lũy thừa) chứa X và Y theo các giá trị vừa tìm được”

Như vậy, ta sẽ tính thêm x 12y, y12x2 vào bảng vừa rồi và được

15

§7 CHỨC NĂNG TABLE Giới thiệu sơ qua về TABLE:

TABLE là bảng thống kê sự thay đổi của hàm theo biến trên từng giá trị cụ thể, tức là khi biến thay đổi một lượng thì hàm cũng thay đổi theo lượng đó

 0  ( ) ( 0)

X X F X F X và sau đây là thao tác bấm máy:

Tại giao diện MODE ta chọn 7 để vào chức năng TABLE

Tại giao diện hàm số f(X) ta nhập hàm số cần xét

Tại giao diện hàm số g(X) ta nhập hàm số thứ 2 cần xét (nếu

cần)

(không áp dụng cho máy casio fx-570ES PLUS)

Tại giao diện Start ta cho giá trị bắt đầu cần xét (thường là điểm

đầu của TXĐ ví dụ như hàm số có TXĐ là a b;  thì ta cho Start

bằng a)

Tại giao diện End ta cho giá trị kết thúc cần xét (thường là điểm

cuối của TXĐ ví dụ như hàm số có TXĐ là a b;  thì ta cho End

bằng b)

Tại giao diện Step ta cho bằng 1 hoặc 0,5 (các bạn có thể cho

bất kỳ)là giá trị bước nhảy hay khoảng cách giữa hai số liền

nhau

Cuối cùng ta thu được kết quả là bảng thống kê giá trị hàm

thay đổi theo biến lần lượt từ trái qua phải là

STT→X→F(X)→G(X)

⚠ Chú ý:

Bảng thống kê TABLE thông thường tính được 20 giá trị ví dụ chạy từ -9 đến 9 với bước nhảy là 1 hoặc chạy từ -4 đến 4 với bước nhảy là 0,5 Nhưng bảng TABLE có thể tính được tối đa là 30 giá trị (trừ máy casio fx-570ES PLUS) và để mở rộng đến 30 giá trị thì ta cần bấm các thao tác sau để bảng giá trị của chúng ta tăng thêm 10 giá trị từ

20 lên 30 bằng cách bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 Như vậy, ta đã làm tăng thêm

10 giá trị bây giờ các bạn xét từ -14 đến 14 với bước nhảy là 1 hoặc từ -7 đến 7 với bước nhảy là 0,5 để xét chính xác hơn và tránh để bỏ xót “không cho chúng nó thoát”

1 Xét tính đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) của hàm số

Ta dùng TABLE trong trường hợp này nhằm mục đích xét tính đơn điệu của hàm số

mà cụ thể hay dùng nhất là xét dấu (dương hay âm) biểu thức sau khi liên hợp để thuận tiện việc chứng minh vô nghiệm Hay là việc kết hợp với định lý Rolle để tìm nghiệm duy nhất của phương trình khi mà VT (đã chuyển tất cả các hạng tử về một

16

vế và vế còn lại bằng 0) của phương trình đó đồng biến hay nghịch biến trên tập xác định

⚠ Chú ý: đối với dạng này ta kết hợp thêm với chức năng SOLVE để tìm nghiệm trước nếu có

nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D thì ta áp dụng định lý Rolle để làm còn nếu không có nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) thì ta kết luận rằng biểu thức đó luôn dương (âm) trên tập xác định

Ta hiểu định lý Rolle như sau:

+ Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f x( )k k const có

không quá một nghiệm trên khoảng (a;b)

+ Nếu hàm số f(x) và g(x) đơn điệu ngược chiều nhau trên khoảng (a;b) thì phương

trình f x( )g x có không quá một nghiệm trên khoảng (a;b) ( )

Ta có quy trình bấm máy như sau:

B1: Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)

B3: Cho Start1; End19; Step1, nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN

thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho

1; 29; 1

Start End Step

B4: Ta thấy f x( ) 0,    x 1; 

B5: Dùng SOLVE bằng cách nhập lại F(X) vào và bấm SHIFT + CALC rồi cho X bất kỳ

thì máy hiện Can’t solve tức là phương trình vô nghiệm (ta phải làm thêm bước này

để kiểm tra xem phương trình còn nghiệm không nếu không thì ta đi chứng minh vô nghiệm trên tập xác định còn nếu có ta vẫn chứng minh hàm số đó đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định rồi áp dụng định lý Rolle để kết luận nghiệm)

B6: Ta chứng minh như sau:

Vậy phương trình vô nghiệm (trên đây là cách chứng minh đơn giản, vào các bài sau

chúng ta sẽ nghiên cứu nhiều hơn và gặp nhiều dạng bài cũng như cách giải tổng quát

hơn)

Ví dụ 2: Giải phương trình 3  2    3  3 

3x x 2x 28 x 4 x 7 0 Xét hàm số  3 2   3  3

lý: “Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f x( )k k const

có không quá một nghiệm trên khoảng (a;b)”, do đó ta có cách làm như sau:

Dễ thấy x 37 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có điều kiện x 37

Xét hai hàm số f x( )x x x12 và g x( ) 12  5 x 4x trên đoạn  0; 4

Tương tự về cách bấm như trên, dùng TABLE ta thấy f x( ) 0 và g x( ) 0 trên khoảng

 0; 4 hay ( ), ( )f x g x là hai hàm đơn điệu ngược nhau trên khoảng  0; 4 nên phương

trình f x( )g x có nhiều nhất một nghiệm Dùng SOLVE hay TABLE ta tìm được một ( )

nghiệm duy nhất là x 4 Từ đó ta có hướng làm như sau:

+ Xét hàm số f x( )x x x12xác định và liên tục trên đoạn 0; 4

Mà f(4)g(4) nên phương trình có nghiệm duy nhất là x 4

2 Tìm đoạn chứa nghiệm của phương trình

Từ việc kết hợp với định lý hàm số liên tục mà ta đã được học ở kỳ 2, lớp 11 (đã nói qua ở mục định lý hàm số liên tục, rolle, lagrange) và được hiểu như sau:

“Nếu hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b] và đơn điệu trên khoảng (a;b) đồng thời f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn [a;b]”

Vậy tại sao lại phải dùng TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm? Vì khi dùng chức năng SOLVE ta sẽ tìm nghiệm của phương trình trong đoạn chứa nghiệm mà ta đã tìm được trong TABLE, lúc này ngoài việc tìm nghiệm một cách nhanh chóng (nói về thời gian máy tính tìm nghiệm nhanh hơn so với việc tìm nghiệm mà không trong đọan chứa nghiệm) mà còn tìm đủ số nghiệm (nói về việc tìm đầy đủ các nghiệm mà phương trình có, tránh trường hợp tìm thiếu nghiệm bằng SOLVE mà không tìm trong đoạn chứa nghiệm)

Ta nghiên cứu ví dụ sau đây:

Giải phương trình         

2 2

nghiệm của phương trình thôi mà không giải hẳn vì việc giải chi tiết sẽ được làm vào các bài sau)

Ta co quy trình bấm máy như sau:

B1: Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)

B2: Nhập hàm số          

2 2

B3: Cho Start 2; End 17; Step1, nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio

fx-570VN thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho

 2; 27; 1

Start End Step

B4: Ta thấy phương trình có nghiệm trong đoạn 1; 3 ; 3; 4      1; 4 mà đặc biệt

  

f x là một nghiệm, bây giờ ta dùng chức năng SOLVE để tìm xem phương

Ta luôn có n f x( ) ax b n  2|n N a b const ; ,   trong đó  *

là số được chọn một số bất kỳ trong   10  10

Mà xx0 A là nghiệm vô tỷ đơn duy nhất của phương trình (trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta đã tìm được nghiệm vô tỷ xx0 và đã được gán vào biến A)

Nên ta phải có n f A( )a A b   b n f A( )a A (ta nói a là biến còn b(a) là hàm thay đổi theo a)

Ta dùng chức năng TABLE để tìm a, b bằng cách gán  a Xb a( )F X , thao tác ( )bấm máy như sau:

B1 : Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)

B2 : Nhập hàm F X( )n f A( )X A

B3 : Cho Start 9; End9; Step1, nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio

fx-570VN thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho

x x x x x Tìm lượng liên hợp của x 2

Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta tìm được một nghiệm vô tỷ đơn duy nhất

là x 3,302775638 và gán nó vào biến A trong máy Bây giờ ta đi tìm lượng liên hợp

của x 2 như sau :

Ta luôn có  x 2 ax b 

Mà x A là nghiệm và chọn  1 nên ta có b A 2 a A .