PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT của ĐƯỜNG THẲNG và mặt PHẲNG TRONG hệ TRỤC tọa độ

Bài viết này giới thiệu với các bạn phương pháp viết phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục tọa độ, đây là bài toán thường có mặt trong các đề thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh vào các trường cao đẳng và đại học. Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục tọa độ ta thường sử dụng một trong các hướng sau đây:

PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Bài viết giới thiệu với bạn phương pháp viết phương trình tổng quát đường thẳng mặt phẳng hệ trục tọa độ, toán thường có mặt đề thi tốt nghiệp thi tuyển sinh vào trường cao đẳng đại học Để viết phương trình tổng quát đường thẳng mặt phẳng hệ trục tọa độ ta thường sử dụng hướng sau đây: Hướng 1: Xác định tọa độ điểm mà đường thẳng ( mặt phẳng ) qua véc tơ pháp tuyến áp dụng công thức để viết phương trình đường thẳng (mặt phẳng).Cần nhớ rằng: -Trongrmặt phẳng tọa độ Oxy,đường thẳng d qua điểm M(x0;y0)và có véc tơ pháp tuyến n( A; B) có phương trình: A(x-x0)+B(y-y0)=0 -Trongrhệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm M(x0;y0;z0)và có véc tơ pháp tuyến n( A; B; C ) có phương trình: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Phá ngoặc thu gọn phương trình ta thu phương trình tổng quát * Thí dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(1;5), B(4;-1), C(-4;5).Viết phương trình đường cao AH, đường trung tuyến AM đường phân giác AD ∆ABC Bài giải: uuur +) Đường cao AH ∆ABC qua điểm A(1;5)và có véc tơ pháp tuyến BC (−8; −4) 2x+y-7=0 nên có phương trình: -8(x-1)-4(y-5)=0 ⇔uuuu r +)M trung điểm BC nên M(0;-3), AM (−1; −8) suy đường trung tuyến AM r qua điểm A(1;5)và có véc tơ pháp tuyến n(8; −1) có phương trình: 8(x-1)-1(y-5)=0 ⇔ 8x-y-3=0 +)Theo tính chất đường phân giác ta có: DB AB = = = DC AC 5 3  xB + xC + (−4)  = =1  xD = 1+ uuur −3 uuur  5 Suy DB = DC ⇒  D(1; ) 3  yB + yC −1 + (−5) − y = 5 = =  D 1+  5  uuur r 15 AD(0; − ) suy đường thẳng AD có véc tơ pháp tuyến n(8; −1) qua A(1;5) 15 ( x − 1) + 0( y − 5) ⇔ x-1=0 có phương trình: * Thí dụ 2: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz ).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0;1;1), B(-1;0;2) vuông góc với mặt phẳng (Q): x-y+z+1=0 Bài giải: uuur r Ta có AB(−1; −1;1) , mặt phẳng (Q) có vtpt nQ (1; −1;1) uur uuur Mặt phẳng (P) nhận AB nQ làm cặp véc tơ phương nên (P) có véc tơ pháp r uuur uur tuyến n =  AB, nQ  =(0;2;2) Mặt khác(P) qua điểm A(0;1;1) nên (P) có phương trình: 0( x − 0) + 2( y − 1) + 2( z − 1) = ⇔ y + z − = Hướng 2: Sử dụng phương trình tổng quát (hướng sử dụng trường hợp toán có liên quan đến góc,khoảng cách) -Gỉa sử phương trình đường thẳng cần tìm là: ax + by + c = 0(a + b ≠ 0) sử dụng kiện đề xác định hệ số a;b;c -Đối với phương trình mặt phẳng ta làm tương tự * Thí dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;5), B(4;-1), C(-4;-5).Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm Asao cho biểu thức P = 2d(B, ∆ ) +d(c, ∆ ) đạt giá trị lớn Bài giải: -Gỉa sử phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là: ax + by + c = 0(a + b ≠ 0) Do ∆ qua A(1;5) nên c=-3a-4b suy phương trình ∆ có dạng ax + by − 3a − 4b = d ( B, ∆ ) = −2a − 2b a + b2 ; d (C , ∆ ) = P = 2d ( B, ∆) + d (C , ∆) = 2a − 4b a + b2 −4a − 4b + 2a − 4b a + b2 Trường hợp 1: B C nằm phiá so với ∆ (−4a − 4b)(2a − 4b) ≥ (*) Ta có P = −2a − 8b a2 + b2 Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có: −2a − 8b ≤ 68(a + b ) = 17 a + b P ≤ 17 ,dấu xảy a b ⇔ = ⇔ 4a = b Chọn a=1, suy b=4 (thỏa mãn (*)) ta phương trình −2 −8 đường thẳng ∆ là: x+4y-19=0 Trường hợp 2: B C nằm khác phiá so với ∆ (−4a − 4b)(2a − 4b) ≤ (*) −6a Ta có P = 2 Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có: −6a = −6a+0b ≤ (a + b ) a +b P ≤ So sánh trường hợp ta có P đạt giá trị lớn 17 ,do phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là: x+4y-19=0 * Thí dụ 4: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0;0;1), B(3;0;0) tạo với mặt phẳng (Oxy) góc π Bài giải:-Gỉa sử phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: C = − D C + D =  ⇒ ax + by + cz + d = 0(a + b + c ≠ 0) Do (P) qua A B ⇒  D 3A + D =  A = −  −D x + By − Dz − D = ⇔ − Dx + 3By − 3Dz + 3D = , vtpt phương trình (P) có dạng r n = (− D;3B; −3D) ,mặt phẳng 2 r (Oxy) có vtpt k = (0;0;1) Vì góc (P) (Oxy) rr n.k r uur cos ( ( P ), (Oxy ) ) = cos(n, k ) = r r = n.k −3 D D + B + 9D D = 10D + B ⇔ B = 26D ⇔ B = ± π nên ta có: = cos π = suy 26 D 26 D chọn D=3 ⇒ B = 26 ta phương trình (P) : −3x + 26 y − 9z + = i) Với B = − 26 D chọn D=3 ⇒ B = 26 ta phương trình (P) : −3x-3 26 y − 9z + = ii) Với B = Vậy phương trình (P) : −3x + 26 y − 9z + = −3x-3 26 y − 9z + = Hướng 3: Sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: - Trong mặt phẳng tọa độ ,nếu đường thẳng ∆ cắt hai trục tọa độ Ox,Oy hai điểm phân biệt A(a;0),B(0;b) Thì phương trình ∆ có dạng x y + =1 a b - Trong hệ trục tọa độ, mặt phẳng (α ) cắt trục tọa độ Ox,Oy,Oz 3điểm phân biệt A(a;0;0),B(0;b;0) C(0;0;c) Thì phương trình (α ) có dạng x y z + + =1 a b c * Thí dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(3;1) cắt hai trục Ox, Oy cho giá trị biểu thức P= 1 + đạt giá trị OA OB nhỏ Bài giải: Vì A,B điểm phân biệt thuộc Ox, Oy nên tọa độ A B có dạng: 1 + Áp dụng công thức viết phương trình a b2 x y đường thẳng theo đoạn chắn phương trình ∆ có dạng + = a b Do ∆ qua M ta có : + = Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có: a b 1 3 1  1 =  + ÷ ≤ (9 + 1)  + ÷ suy P = + ≥ Dấu = xảy ⇔ = mặt khác a b 10 a b a b a b   a = 10 x y + = suy  nên ∆ có phương trình + = ⇔ 3x + y − 30 = a b 10 30 b = 30 * Thí dụ 6: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A(a;0), B(0;b) với ab ≠ , P = điểm M(2;1;1), đồng thời cắt tia Ox, Oy, Oz điểm phân biệt A,B, C cho thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ Bài giải: Vì A,B,C điểm phân biệt thuộc Ox, Oy, Oz nên tọa độ A B có dạng: A(a;0;0), B(0;b;0) với ( a ≥ 0, b ≥ 0; c ≥ ) Áp dụng công thức viết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn phương trình (α ) có dạng x y z + + = Thể tích tứ diện a b c OABC VOABC = OA.OB.OC = abc 1 + + = Áp dụng BĐT Causy ta có: a b c 1 1 = + + ≥ 33 ⇒ abc ≥ 54 Dấu = xảy ⇔ = = mặt khác a b c a b c abc a = 1  + + = suy b = Từ suy thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ a b c c =  Do (α ) qua M ta có : phương trình mặt phẳng (α ) cần tìm là: x y z + + = ⇔ x + y + 2z − = 3 BÀI TẬP: 1)Cho ∆ABC có A(-3;5) phương trình đường phân giác x+y-2=0; x-3y-6=0 Viết phương trình cạnh BC 2)Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 16 cạnh AB,BC,CD,DA qua điểm M(4;5), N(6;5),P(5;2),Q(2;1) Viết phương trình cạnh hình chữ nhật 3)Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(1;2) đồng thời cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A,B cho diện tích ∆OAB đạt giá trị nhỏ 4)Cho điểm: A(1;1;0), B(2;-1;-1), C(0;1;0) Tìm tọa độ trực tâm H ∆ABC x 5)Viết phương trinh mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d : = y = z −3 đồng thời tạo  x = + 2t  với đường thẳng ∆ :  y = −t góc ϕ với sin ϕ =  z = −3 + t  6)Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa giao tuyến hai mặt phẳng 8x-11y+8z-30=0; x-y-2z=0 đồng thời cắt mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x-6y+4z-15=0 Theo giao tuyến đường tròn có chu vi 6π Ân thi ngày tháng năm 2015 Người viết: Vũ Sỹ Dũng-giáo viên trường THPT Nguyễn Trung Ngạn