Bài viết này giới thiệu với các bạn phương pháp viết phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục tọa độ, đây là bài toán thường có mặt trong các đề thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh vào các trường cao đẳng và đại học. Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục tọa độ ta thường sử dụng một trong các hướng sau đây:
Trang 1PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Bài viết này giới thiệu với các bạn phương pháp viết phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục tọa độ, đây là bài toán thường có mặt trong các đề thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh vào các trường cao đẳng và đại học
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục tọa độ ta thường sử dụng một trong các hướng sau đây:
Hướng 1: Xác định tọa độ một điểm mà đường thẳng ( mặt phẳng ) đi qua và một
véc tơ pháp tuyến của nó rồi áp dụng công thức để viết phương trình đường thẳng (mặt phẳng).Cần nhớ rằng:
-Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0)và có véc tơ pháp tuyến n A B( ; )có phương trình: A(x-x0)+B(y-y0)=0
-Trong hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0;y0;z0)và có véc tơ pháp tuyến n A B C( ; ; )có phương trình: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Phá ngoặc và thu gọn các phương trình trên ta thu được phương trình tổng quát
* Thí dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC có A(1;5), B(4;-1), C(-4;-5).Viết phương trình đường cao AH, đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD của ABC
Bài giải:
+) Đường cao AH của ABC đi qua điểm A(1;5)và có véc tơ pháp tuyến BC ( 8; 4) nên có phương trình: -8(x-1)-4(y-5)=0 2x+y-7=0
+)M là trung điểm của BC nên M(0;-3), AM ( 1; 8) suy ra đường trung tuyến AM đi qua điểm A(1;5)và có véc tơ pháp tuyến n(8; 1) có phương trình:
8(x-1)-1(y-5)=0 8x-y-3=0
+)Theo tính chất của đường phân giác trong ta có: 3 5 3
5
5 5
Suy ra
4 ( 4)
1
5
1
D
D
x
y
vậy (1; )5
2
D
15
(0; )
2
AD
suy ra đường thẳng AD có véc tơ pháp tuyến n(8; 1) và đi qua A(1;5)
có phương trình: 15( 1) 0( 5) x-1=0
2 x y
* Thí dụ 2: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz ).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;1), B(-1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x-y+z+1=0
Bài giải:
Ta có AB ( 1; 1;1), mặt phẳng (Q) có vtpt nQ(1; 1;1)
Trang 2Mặt phẳng (P) nhận ABvà nQ làm cặp véc tơ chỉ phương nên (P) có véc tơ pháp tuyến nAB n, Q
=(0;2;2) Mặt khác(P) đi qua điểm A(0;1;1) nên (P) có phương trình: 0(x 0) 2( y 1) 2( z 1) 0 y z 2 0
Hướng 2: Sử dụng phương trình tổng quát (hướng này được sử dụng trong trường
hợp bài toán có liên quan đến góc,khoảng cách)
-Gỉa sử phương trình đường thẳng cần tìm là: 2 2
ax by c 0(a b 0)rồi sử dụng các
dữ kiện của đề bài xác định các hệ số a;b;c
-Đối với phương trình mặt phẳng ta cũng làm tương tự
* Thí dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;5), B(4;-1), C(-4;-5).Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm Asao cho biểu thức P = 2d(B,) +d(c,) đạt giá trị lớn nhất
Bài giải:
-Gỉa sử phương trình đường thẳng cần tìm là: 2 2
ax by c 0(a b 0).Do đi qua A(1;5) nên c=-3a-4b suy ra phương trình có dạng ax by 3a 4 b 0
2 ( , ) ( , )
Trường hợp 1: B và C nằm cùng một phiá so với thì ( 4a 4 )(2a 4 ) 0 b b (*)
Ta có P 2a2 8b2
Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có:
2a 8b 68(a b ) 2 17 a b
do đó P 2 17 ,dấu bằng xảy ra
4a
b
Chọn a=1, suy ra b=4 (thỏa mãn (*)) ta được phương trình đường thẳng là: x+4y-19=0
Trường hợp 2: B và C nằm khác phiá so với thì ( 4a 4 )(2a 4 ) 0 b b (*)
Ta có P 26a 2
Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có: 6a 6a+0b 6 (a2 b2 ) do đó
6
P So sánh trường hợp 1 và 2 ta có P đạt giá trị lớn nhất bằng 2 17,do đó
phương trình đường thẳng cần tìm là: x+4y-19=0
* Thí dụ 4: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;0;1), B(3;0;0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
3
Bài giải:-Gỉa sử phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:
ax by cz d 0(a b c 0).Do (P) đi qua A và B 0
3
C D
D
3
D
( ;3 ; 3D)
n D B ,mặt phẳng
Trang 3(Oxy) có vtpt k (0;0;1).Vì góc giữa (P) và (Oxy) là
3
nên ta có:
3 2
3
i) Với 26
3
B D chọn D=3 B 26 ta được phương trình (P) là :
3x 3 26y 9z 9 0
ii) Với 26
3
B D chọn D=3 B 26 ta được phương trình (P) là :
3x-3 26y 9z 9 0
Vậy phương trình (P) là : 3x 3 26 y 9z 9 0 hoặc 3x-3 26y 9z 9 0
Hướng 3: Sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:
- Trong mặt phẳng tọa độ ,nếu đường thẳng cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm phân biệt A(a;0),B(0;b)
Thì phương trình có dạng x y 1
a b
- Trong hệ trục tọa độ, nếu mặt phẳng ( ) cắt 3 trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại 3điểm phân biệt A(a;0;0),B(0;b;0) và C(0;0;c)
Thì phương trình ( ) có dạng x y z 1
a b c
* Thí dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;1) và cắt hai trục Ox, Oy sao cho giá trị biểu thức P= 12 12
OA OB đạt giá trị nhỏ nhất
Bài giải:
Vì A,B là 2 điểm phân biệt lần lượt thuộc Ox, Oy nên tọa độ của A và B có dạng: A(a;0), B(0;b) với ab 0, khi đó P 12 12
Áp dụng công thức viết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn phương trình của có dạng x y 1
a b
Do đi qua M ta có : 3 1 1
a b Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có:
2
10
P
Dấu = xảy ra 3 1
a b
mặt khác
3 1
1
a b suy ra b a1030
nên có phương trình 1 3x 30 0
10 30
y
* Thí dụ 6: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(2;1;1), đồng thời cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm phân biệt A,B,
Trang 4C sao cho thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải:
Vì A,B,C là 3 điểm phân biệt lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên tọa độ của A và B có dạng:
A(a;0;0), B(0;b;0) với (a 0,b 0;c 0) Áp dụng công thức viết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn phương trình của ( ) có dạng x y z 1
a b c Thể tích tứ diện
OABC
V OA OB OC abc
Do ( ) đi qua M ta có : 2 1 1 1
a b c Áp dụng BĐT Causy ta có:
3
mặt khác
2 1 1
1
a b c suy ra
6 3 3
a b c
Từ đó suy ra thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất
bằng 9 và phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm là: 1 x 2 2z 6 0
6 3 3
y
BÀI TẬP:
1)Cho ABC có A(-3;5) và phương trình 2 đường phân giác trong là x+y-2=0; x-3y-6=0 Viết phương trình của cạnh BC
2)Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16 và các cạnh AB,BC,CD,DA lần lượt đi qua các điểm M(4;5), N(6;5),P(5;2),Q(2;1) Viết phương trình của cạnh của hình chữ nhật
3)Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;2) đồng thời cắt hai trục Ox,
Oy lần lượt tại hai điểm A,B sao cho diện tích OAB đạt giá trị nhỏ nhất
4)Cho 3 điểm: A(1;1;0), B(2;-1;-1), C(0;1;0) Tìm tọa độ trực tâm H của ABC 5)Viết phương trinh mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng : 3
d y đồng thời tạo
với đường thẳng
2 2 :
3
một góc với sin 1
3
6)Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
8x-11y+8z-30=0; x-y-2z=0 đồng thời cắt mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x-6y+4z-15=0 Theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6
Ân thi ngày tháng năm 2015
Người viết: Vũ Sỹ Dũng-giáo viên trường THPT Nguyễn Trung Ngạn