Hướng dẫn học sinh sử dụng biểu thức véc tơ về tính đồng phảng của bốn điểm trong không gian để chuyển bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp thành bài toán phân tích véc tơ trên mặt đáy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ MỤC LỤC TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN Mở đầu Trang 2 Nội dung sáng kiến…… Trang 2.1 Cơ sỡ lý luận SKKN .Trang SÁNG NGHIỆM 2.2 Thực trạng vấn đề trước KIẾN áp dụngKINH SKKN Trang 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm để giải vấn đề Trang 2.3.1 Các toán gốc ……………………………… ……… Trang 2.3.2 Phát triễn toán gốc……………………… Trang 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trang 19 Kết luận, kiến nghị………………… Trang HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BIỂU THỨC VÉC-TƠ VỀ 19 TÍNH ĐỒNG PHẲNG CỦA BỐN ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN ĐỂ CHUYỂN BÀI TỐN TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG HÌNH CHĨP THÀNH BÀI TỐN PHÂN TÍCH VÉC-TƠ TRÊN MẶT ĐÁY Người thực hiện: Lê Quang Vũ Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: THPT Thọ Xuân SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2020 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Từ năm học 2016-2017 đến nay, kỳ thi trung học phổ thơng quốc gia, đề thi mơn tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều tạo chuyển biến lớn dạy học nhà trường Để đạt điểm số cao kỳ thi này, học sinh không cần nắm vững kiến thức bản, làm thục dạng toán quan trọng mà cần có khả logic cao để tiếp cận vấn đề cách nhanh nhất, chọn cách giải nhanh đến đáp án Đây thực thách thức lớn Trong q trình giảng dạy, ơn thi, làm đề phát rằng: nhiều tốn khó mảng chia thể tích hình chóp đa phần học sinh ( kể học sinh khá, giỏi) gặp khó khăn việc xác định vị trí giao điểm mặt phẳng với cạnh bên hình chóp, dùng việc dựng giao điểm túy theo hình học khó giải vấn đề thời gian ngắn dùng kiến thức véc-tơ nhanh, gọn giải cho nhiều dạng tập Chính lý nên tơi tổng hợp kinh nghiệm q trình giảng dạy mình, sưu tầm dạng điển hình hay gặp đề thi để viết thành tài liệu: HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BIỂU THỨC VÉC-TƠ VỀ TÍNH ĐỒNG PHẲNG CỦA BỐN ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN ĐỂ CHUYỂN BÀI TỐN TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG HÌNH CHĨP THÀNH BÀI TỐN PHÂN TÍCH VÉC-TƠ TRÊN MẶT ĐÁY 1.2 Mục đích nghiên cứu Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm trước hết nhằm mục đích tạo tài liệu tham khảo nhỏ giúp em học sinh giỏi nhà trường có thêm phương pháp tiếp cận nhanh hiệu gặp tốn cần tìm vị trí giao điểm mặt phẳng với cạnh bên hình chóp Sau khuyến khích em dựa vào kết rút để tạo thêm toán mới, giúp em phát triễn tư logic, tổng hợp phần, chương học để chọn nhanh hướng tiếp cận câu hỏi mức độ vận dụng đề thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ biểu thức véc-tơ mặt đáy với vị trí giao điểm mặt phẳng cạnh bên hình chóp, qua phối hợp với số bất đẳng thức thơng dụng để tạo số tốn cực trị hình học 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với lớp toán này, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ơn tập kiến thức hình học đại số liên quan Đặc biệt với riêng chuyên đề giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững kỹ phân tích véc-tơ sử dụng số bất đẳng thức thơng dụng Sau giáo viên chọn số tốn điển hình, kiện, yêu cầu thường gặp để học sinh luyện tập nhiều, tạo “phản xạ” cho em gặp loại toán Bước cuối yêu cầu em sáng tạo thêm đề toán từ toán điển hình từ tốn khác mà em gặp 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Trong sáng kiến này, giúp học sinh hình thành kỹ sử dụng phương pháp véc-tơ để tìm vị trí giao điểm mặt phẳng cạnh bên hình chóp thay dùng dựng hình phương pháp chứng minh hình học túy Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm S Điều kiện cần đủ để điểm C Định lý Cho đoạn thẳng AB điểm uuu r u ur uur AB   SC  xSA  ySB thuộc đường thẳng , x  y  Chứng minh uuur uuu r AB   � AC  k AB C Điều kiện cần: Vì điểm thuộc đường thẳng uuu r uur uur uur uuu r uur uur � SC  SA  k SB  SA � SC   k  1 SA  k SB uuu r uur uur Đặt x  k  , y  k , z  n SC  xSA  ySB , x  y  uuu r uur uur �SC  xSA  ySB uuu r uur uur � � SC   y SA  ySB x  y    � Điều kiện đủ: uuu r uur uur uur uuur uuu r � SC  SA  y SB  SA � AC  y AB � điểm C thuộc đường thẳng  AB  S Điều kiện cần đủ để điểm D Định lý Cho tam giác ABC uuu r điểm uur uur uuu r ABC   SD  xSA  ySB  zSC thuộc mặt phẳng , x  y  z      Chứng uuur minh uuur Điều kiện cần: Vì hai véc- tơ AB AC không phương nên điểm D thuộc uuur uuu r uuur ABC   AD  mAB  n AC mặt phẳng uuu r uur uur uur uuu r uur uuu r uur uur uuu r � SD  SA  m SB  SA  n SC  SA � SD    m  n  SA  mSB  nSC uuu r uur uur uuu r  ySB  zSC , x  y  z  Đặt x   m  n , y  m , z  n SD  xSA u u u r uur uur uuu r uuu r uur uur uuu r � SD    y  z  SA  ySB  zSC Điều kiện đủ: SD  xSA  ySB  zSC uuu r uur uur uur uuu r uur uuur uuu r uuur � SD  SA  y SB  SA  z SC  SA � AD  y AB  z AC uuur uuu r AB Mà hai véc- tơ AC không phương nên điểm D thuộc mặt phẳng  ABC          2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hiện gặp dạng toán cần phải tìm xác vị trí giao điểm mặt phẳng cạnh bên hình chóp, đa phần học sinh làm tốt bước dựng hình để tìm giao điểm này, bước tìm tỉ lệ chia đoạn điểm khiến nhiều học sinh lúng túng phải sử dụng nhiều tốn chứng minh hình học phẳng Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để dựng hình, kẻ đường phụ Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách phối hợp kiến thức hình học phẳng học cấp nên khơng tìm hướng giải Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm chất vấn đề cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các toán gốc Bài toán Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng  P  cắt cạnh SA , SB , SC , SD theo thứ tự K , L , M , N Chứng SA SC SB SD    minh: SK SM SL SN Hướng dẫn giải Lời giải : Ta có VSKLM  VSKNM  VSKLN  VSMLN � S SKLM VSKNM VSKLN VSMLN    S ABBC VSADC VSABD VSCBD SK SL SM SK SM SM  SA SB SC SA SD SC SK SL SN SM SL SN   SA SB SD SC SB SD � SA SB SC SD SK SL SM SN đpcm Nhân vế với Lời giải 2: uuu r uuur uur uur uuu r uuu r uuu r uur uur uuu r AB  DC � SB  SA  SC  SD � SD  SA  SB  SC Ta có r SB uur SC uuur SA uuu SK  SL  SM uuu r SK SL SM r SA uuu r SB uur SC uuur � SN  SD uuu SD � SN  SK  SL  SM SN SK SL SM SN Mà SA SB SC   SK SL SM  SD SN bốn điểm K , L , M , N đồng phẳng nên SA SC SB SD �    SK SM SL SN (đpcm) Bài tốn Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AB //CD AB  x.CD Một mặt phẳng  P  cắt cạnh SA , SB , SC , SD theo thứ tự SA SC SB SD x  x SM SL SN K , L , M , N Chứng minh: SK Hướng dẫn giải uur uur uuu r uuu r uuu r uuur � SB  SA  x SC  SD uur uur uuu r uuu r AB  xDC � SB  SA  xSC  xSD Ta có r r SB uur SA uuu SC uuur SD uuu � SL  SK  x .SM  x .SN SL SK SM SN   r r SA uuu SC uuur SD uuu SK  x .SM  x .SN uur SK SM SN � SL  SB SL Mà bốn điểm K , L , M , N đồng phẳng nên SA SC SD  x  x SK SM SN  SB SL SA SC SB SD �  x   x SK SM SL SN Bài toán Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác có hai đường chéo AC BD cắt điểm I cho IA  x.IC , IB  yID Một mặt phẳng  P  cắt cạnh SA , SB , SC , SD theo thứ tự K , L , M , N Chứng minh: SB SD � SC � �SA y �  y  1 �  x � SN � SM � �SL �SK  x  1 � � Hướng dẫn giải uur uur � IA   x IC �IA  x.IC � �uur u ur � � IB  yID IB   yID � Ta có � uuu r uur uuur uur �BA  BI   x BC  BI � �� uur uuur uur BI  y BD  BI � � r uuu x uuur �uur BI  BA  BC � x 1 x 1 � � �uuur uur �BD  y  BI y �     uuur uuur uur r uur y  uuur uuur y  uur uur uuu � BD  BA  xBC � SD  SB  SA  SB  xSC  xSB y  x  1 y  x  1 uuu r r y  uur uur x  y  1 uuu � SD  SA  SB  SC y  x  1 y y  x  1 r r SB uur x  y  1 SC uuur SD uuu y  SA uuu � SN  SK  SL  SM SN y  x  1 SK y SL y  x  1 SM Mà bốn điểm K , L , M , N đồng phẳng nên SB SD y  �SA SC � �   � x � y SL SN y  x  1 �SK SM �     SD � SC � �SB �SA �  x  1 �  y �  y  1 �  x � SN � SM � �SL �SK BCD  Bài toán Cho tứ diện ABCD Điểm G nằm mặt phẳng  thỏa mãn uuu r uuur uuur r xGB  yGC  zGD  Điểm I nằm đoạn AG thỏa mãn AG  k AI Mặt ��  phẳng   qua điểm I cắt cạnh AB, AC , AD điểm B , C , D ' (khác A ) Chứng minh x AB AC AD  y  z  k  x  y  z AB� AC � AD� Hướng dẫn giải �� �  Gọi B , C , D giao điểm mp   với cạnh AB, AC , AD uuu r uuur uuur r xGB  yGC  zGD  Ta có : uuur uuur uuur uuur uuur uuur r � x AB  AG  y AC  AG  z AD  AG  uuur uuur uuur uuur x AB  y AC  z AD � AG  x yz       uuu r uuur uuur uur uuur �x AB  y AC  z AD � AI  AG  � � k k� x yz � Mà r r� AD uuuu � AB uuur� AC uuuu � � x AB  y AC  z AD � � AB� � � AC AD  � � k� x yz � � � AC AD � � AB x  y  z � � AB� AC � AD� � � k� x yz � ��� � Mà I , B , C , D đồng phẳng nên � AB AC AD � x  y  z  k  x  y  z AB� AC � AD� Từ ví dụ ta có số kết sau đây: AB AC AD    3.k � � � AB AC AD G BCD Nếu trọng tâm tam giác G BCD Nếu tâm đường tròn nội tiếp tam giác AB AC AD b  c  d  kb c d AB� AC � AD� với b  CD , c  BD , d  BC Nếu tam giác BCD nhọn G trực tâm tam giác BCD AB AC AD tan B  tan C  tan D  k  tan B  tan C  tan D  AB� AC � AD� G BCD Nếu tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AB AC AD sin B  sin 2C  sin D  k  sin B  sin 2C  sin D  AB� AC � AD� Nếu G điểm nằm tam giác BCD AB AC AD S MCD  S MBD  S MBC  k S BCD AB� AC � AD� Bài toán Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P , Q thuộc cạnh AB , QD NB MA PC t y x z QA NC BC , CD , DA cho MB PD , , , Chứng minh bốn điểm M , N , P , Q đồng phẳng � xyzt  Hướng dẫn giải uuur uuur uuur uuur uuur uuur NB   yNC � AB  AN   y AC  AN Ta có uuur 1 uuu r  y uuur � AC  AB  AN y y   uuur uuur uuur uuur uuur uuur PC   zPD � AC  AP   z AD  AP   uuur uuur uuu r � AC   z AD    z  AP r  y uuur uuur uuu r 1 uuu AB  AN   z AD    z  AP y Suy y uuuu r  y uuur uuur uuu r 1 �x  � � AN   z   t  AQ    z  AP � �AM  y �x � y uuuu r uuur uuur uuu r �   x  1 AM  x  y  1 AN   xyz   t  AQ  xy   z  AP uuur uuuu r uuur uuu r � xyz   t  AQ   x  1 AM  x  y  1 AN  xy   z  AP Q đồng phẳng Mà M , N , P , �  x  1  x  y  1  xy   z  xyz   t   � xyzt  2.3.2 Phát triển toán gốc Kết hợp kết với phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ sử dụng bất đẳng thức cổ điển, sử dụng bảng biến thiên hàm số ta giải tập sau: Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A ', C ' uuur uur uuur uuu r SA '  SA SC '  SC P , thỏa mãn Mặt phẳng   chứa đường thẳng A ' C ' cắt cạnh SB, SD B ', D ' đặt lớn k k VS A ' B ' C ' D ' VS ABCD Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị Lời giải uuu r uuur uur uuur ( x, y  0) SD '  y SD Đặt SB '  x.SB , Ta có uuur uuur uuu r uur uuu r uur AD  BC � SD  SA  SC  SB uuu r uur uuu r uur � SD  SA  SC  SB uuur uuur uuur uuur � SD '  3.SA '  5.SC '  SB ' y x uuur uuur uuur y uuur � SD '  y.SA '  y.SC '  SB ' x Mà A ' , B ' , C ' , D ' đồng phẳng nên 3y  5y  y 1 1 �   x x y Đặt V  VS ABCD VS A ' B ' C ' SA' SB' SC'   x 1 SA SB SC 15 � V xV V S A ' B 'C '  30 Khi VS A ' C ' D ' SA' SD' SC' 1   y � VS A ' C ' D '  yV SA SD SC 15 30 V Do a) Vì k VS A ' B ' C ' D '   x  y VS ABCD 30 �1 �x  x  y �  k  f ( x)  b) 1� 1 ��4 � x  y �   � k  y� 60 � x � f ( x)  f (1)  �x  ��max � 30 � x  � � 105 � ;1� � � kmin 60  Câu Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng   qua trung điểm I đoạn thẳng AG cắt cạnh AB, AC , AD điểm B� , C� , D ' (khác A ) Gọi hA , hB , hC , hD khoảng cách từ điểm hB2  hC2  hD2 �hA2    A, B, C , D đến mặt phẳng Chứng minh rằng: Lời giải ���  Gọi B , C , D giao điểm mp   với cạnh AB, AC , AD uur uuur AI  AG  u u u r �AB  � AB '  Ta có : �AB�  uuu r uuur uuur AB  AC  AD  r AD uuuu r� AC uuuu AC '  AD ' � AC � AD� � ��� Mà I , B , C , D đồng phẳng nên �AB AC AD �   � � � �AB AC � AD� � � AB AC AD BB� CC � DD�   6�   3 AB� AC � AD� AB� AC � AD� BB� hB CC � hC DD� hD  ;  ;  � � � AB h AC h AD hA A A Mặt khác ta có hB hC hD    � hB  hC  hD  3hA  ** Suy hA hA hA  hB  hC  hD  Ta có: (ln đúng) �3  hB2  hC2  hD2  �  hB  hC    hC  hD    hD  hB  �0 3 h  �3  h  h  h B C D  2 hB2  hC2  hD2 �hA2 Hay A Kết hợp với (**) ta Câu Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng qua AK cắt cạnh SB, SD M N Gọi V1 ,V thứ tự thể tích khối chóp SAMKN khối chóp SABCD Tìm giá trị nhỏ V1 giá trị lớn tỷ số V Lời giải 1 � VS ABC  VS ADC  VS ABCD  V 2 Vì ABCD hình bình hành nên VSAMK SM SK x.V SM SN  � VSAMK  x y SB SC Đặt SB , SD VSABC V � V1  VS AMK  VS ANK   x  y   1 Mặt khác uuur uuur uuu r uur uuu r uur AD  BC � SD  SA  SC  SB uuu r uur uuu r uur � SD  SA  SC  SB r uur uuu r uuur uuu � SN  SA  2.SK  SM y x uuu r uur uuu r y uuur � SN  y.SA  y.SK  SM x y y  2y  1 x Mà A , M , N , K đồng phẳng nên � x  y  3xy � y  x 3x  �x y  nên từ Do x  SN x y  � 1 � x  �0 , �x �1 SD 3x  Và V1 3 x 3x   1 �   x  y   xy  x V 4 x   x  1 Từ 3x x(3 x  2) f  x  f� x   �x �1 4(3x  1) với 4(3x  1)2 Xét hàm số Ta có x0 � � f�  x  � � x � không thuộc đoạn Ta có bảng biến thiên � � ;1 � � � � 10 � V1 � x �� ;1� �f  x  � � � � � V Suy với hay V 2 Min  x SM  SB V hay Vậy � x � V1 � max  x 1 V � Và Câu Cho hình chóp S ABC có SA , SB , SC đơi vng góc, I tâm nội P tiếp tam giác ABC Mặt phẳng   thay đổi qua I , cắt tia SA , SB , SC , B� , C� A� Biết SA  SB  , SC  Tìm giá trị nhỏ thể tích BC ? khối chóp S A��� Lời giải Ta có VS A��� BC  SA�SB�SC � VS ABC SA SB SC Lại có SA  SB  2, SC  � VS ACB  1 SA.SB.SC  Từ SA  SB  2, SC  � AB  2, BC   AC Do I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên: 11 uur uur uur r BC.IA  CA.IB  AB.IC  uur uur uur uur uuur uur r � BC SA  SI  CA SB  SI  AB SC  SI        uu r � SI  uur uur uuu r BC CA AB SA  SB  SC AB  BC  CA AB  BC  CA AB  BC  CA r BC SA uuu CA SB uuur AB SC uuur  SA�  SB�  SC � AB  BC  CA SA� AB  BC  CA SB� AB  BC  CA SC � Do bốn điểm A� , B� ,C� , I đồng phẳng nên BC SA CA SB AB SC   1 AB  BC  CA SA� AB  BC  CA SB� AB  BC  CA SC �  Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 BC SA CA SB AB SC   AB  BC  CA SA� AB  BC  CA SB� AB  BC  CA SC � �3 AB.BC.CA  AB  BC  CA  33 SA SB SC SA�SB�SC � AB.BC.CA SA SB SC SA�SB�SC � 27 AB.BC.CA  � � � SA SB SC SA SB SC  AB  BC  CA   AB  BC  CA   VS A��� BC  SA�SB�SC � 27 AB.BC.CA 27.2.3.3 81 VS ABC � V  7 S ABC SA SB SC 256  AB  BC  CA     3 Dấu xảy BC SA CA SB AB SC �   1 � �AB  BC  CA SA� AB  BC  CA SB� AB  BC  CA SC � �� BC SA CA SB AB SC �   �AB  BC  CA SA� AB  BC  CA SB� AB  BC  CA SC � �SB SA � � �9   SA  SB  � � �SB� SA� � �� �� SC �  � SC �  �SC � � 12 P Câu Cho tứ diện S ABC có SA  SB  SC  , mặt phẳng   qua trọng tâm M tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC D, E , F (khác S ) uuur �1 uuu r uur uuu r� SM  � SD  SE  SF � �SD SE SF � Chứng minh rằng: 1   Tìm giá trị lớn biểu thức : SD.SE SE.SF SF SD Lời giải uuur uu r uur u u r u u r r � uur uur uuu r �1 1 uuu SM  SI  SJ  � SA  SB  SC � SA  SB  SC 2 �2 2 � r SB uur SC uuu r � �1 uuu r uur uuu r� �SA uuu  � SD  SE  SF � � SD  SE  SF � �SD SE SF SE SF � �SD �     uuur �1 uuu r uur r� uuu SM  � SD  SE  SF � �SD SE SF �mà bốn điểm M , D, E , F đồng phẳng nên Vì �1 1 � 1    4 �  � � �SD SE SF � SD SE SF 1 1 �1 1 � 16 T   ��   � SD SE SE SF SF SD SD SE SF � � Lại có 16 1 SA SB SC �    �    �  P  / /  ABC  SD SE SF SD SE SF Nên Câu Cho hình chóp S ABC có SA  1, SB  2, SC  Gọi G trọng tâm tam  giác ABC Mặt phẳng   qua trung điểm I SG cắt cạnh SA, SB, SC M , N , P Tính giá trị nhỏ Tmin biểu thức Tmax  T 1   2 SM SN SP Lời giải uuu r uur uur uuu r SG  SA  SB  SC Do G trọng tâm ABC suy Khi r �SA uuur SB uuu r SC uur � uu r �SA uuur SB uuu r SC uur � SG uu SI  � SM  SN  SP �� SI  � SM  SN  SP � SI �SM SN SP �SM SN SP � � �SA SB SC � SA SB SC     �  � � SM SN SP SM SN SP I , M , N , P � � Do đồng phẳng nên Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có   13 1 � �1 �SA SB SC �  2� SA  SB  SC  ��    � 2 � SN SP � �SM �SM SN SP � 36 18 T�  2 SA  SB  SC Suy Câu Cho hình chóp S ABCD có SA đường cao đáy hình chữ nhật ABCD biết SA  a , AB  b , AD  c Trong mặt phẳng  SBD  vẽ qua trọng tâm G tam giác SBD đường thẳng cắt cạnh SB M cắt cạnh SD N Mặt phẳng  AMN  cắt cạnh SC hình chóp S ABCD K Xác định vị trí M cạnh SB cho thể tích hình chóp S AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Tính giá trị theo a, b, c Lời giải Do G trọng tâm tam giác SBD suy G trọng tâm tam giác SAC Do AG cắt SC trung điểm K SC SM SN �1 �  x;  y � �x �1; �y �1� SD �2 � Đặt SB Theo cơng thức tính tỉ số thể tích ta có: VSANK SA SN SK y   VSADC SA SD SC ; VSAKM SA SK SM x   VSACB SA SC SB 1 VSADC  VSABC  VSABCD  abc Lại có: VSANK  VSAKM  VSAMKN nên ta có abc  x  y  VSAMKN   * 12 uuu r SN uuu r uuu r uuur SM uur uur uuu r uuu r SN  SD  ySD; SM  SB  xSB SG  SO SD SB Ta lại có: ; uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuur 2SO  SD  SB � SG  SN  SM  1 3y 3x Vì O trung điểm BD nên Mà M , N , C thẳng hàng nên từ (1) ta có 1 y �1 �  1� x  � �y �1� y 3x y  �2 � 14 Thay vào  * suy ra: VSAMKN � y abc �  y  �  24 � y� � abc y 3y 1 y �1 � f  y  � �y �1� y  �2 � Xet hàm số 3y2  y f� ;f�  y   y  � y   y  1 Ta có �1 � �2 � f � � ; f � � ; f  1  Ta có: �2 � �3 � � y f  y   � y  ;max f  y   � � � �y  Do Do ta có: abc max  VSAMKN   MN / / BD abc  VSAMKN   M trung điểm SB N trung điểm SD Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang có CD //AB, | CD  AB Gọi    mặt phẳng không qua S cắt cạnh uur uuur uuu r uur SA,| SB, | SC , | SD M , N , P, Q thỏa mãn SA  SM ; SC  3SP Tính tỉ số 2 �SB � �SD � SB T  � � � � �SN � �SQ � đạt giá trị nhỏ SN biểu thức Lời giải uur uuu r uuu r uuu r SB  xSN , SD  ySQ Đặt với x �1; y �1 , đó: S 2 �SB � �SD � T  3� � � � x  y �SN � �SQ � uuur uuur uuur uuur u.uur uuu r AC  AD  DC � AC  AD  AB Ta có: Q M P N C D 15 A B uuu r uur uuu r uur uur uur � SC  SA  SD  SA  SB  SA uuu r uur uuu r uur � SD  2SA  SC  2SB uuu r uuur uur uuu r � ySQ  4SM  3SP  xSN   uuu r uuur uur 2x uuu r � SQ  SM  SP  SN y y y (*) Vì điểm M , N , P, Q đồng phẳng nên từ (*) ta có: � 2x �  �  � � x  y  y y � y � Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có: � �2 �  x  y   � 3x  y �� 3x  y  � �  1� �3 � �3 � Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AB // CD, AB  2CD, cạnh bên có độ dài Gọi O giao điểm AC BD , I trung điểm đoạn SO Mặt phẳng ( ) thay đổi qua điểm I cắt cạnh SA, SB, SC , SD M , N , P, Q Tìm giá trị nhỏ biểu thức T 1 1    SM SN SP SQ Lời giải Nhận xét: I thuộc đoạn MP với điểm S , ta có: uu r uuur uur m.SI  n.SM  p.SP � m  n  p Nhận thấy OCD đồng dạng với OAB OC OD CD �    OA OB AB uuur uuu r 2uuur uuu r r uuu r uuu r uur uuu r uur OC  OA  OD  OB  � SO  SC  SA  SD  SB Khi đó: r r SB uuu r SO uu SC uur SA uuur SD uuu �3 SI  SP  SM  SQ  SN  1 SI SP SM SQ SN 16 SA SB SC SD  x,  y,  z, t SM SN SP SQ Đặt ,  x, y, z , t �1 Từ  1 , suy ra: 3.2  z  x  2t  y T 1 1   2 2 SM SN SP SQ  x  y  z  t Khi đó: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta 36 2 2 � x  z �  x  z     � x  z   36 36 y2  t � Tương tự: 36 36 72 T�   5 Do đó: x z 2z x  2z 6 12 12     � x  ,z  y  ,t  5 5 5 Dấu xảy : 72 Vậy giá trị nhỏ biểu thức T SB x2 2 � T  x  y �21 , dấu “=” xảy x  2; y  Vậy SN 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong trình giảng dạy, nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng phương pháp linh hoạt vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh không cịn tâm lý e ngại gặp tốn Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn Hầu hết em vận dụng tốt giải nhanh câu hỏi loại Tuy phận học sinh kiến thức hạn chế nên chưa thấy điểm mạnh phương pháp, vận dụng chưa linh hoạt dạng đề khác Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Trên số giải pháp triển khai áp dụng lớp 12B1 trường THPT Thọ Xuân thu nhiều kết khả quan kết học tập học sinh 3.2 Kiến nghị: Hằng năm, sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo, sáng kiến đổi 17 phương pháp giảng dạy cần tập hợp kỷ yếu khoa học Sở GD& ĐT tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh phụ huynh tham khảo Tài liệu tham khảo Tài liệu chuyên toán hình học 11- NXB Giáo dục Việt Nam Các chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học khơng gian- Toán học Bắc Trung Nam Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên Tên đề tài Số, ngày, tháng, năm định Xếp loại Năm cấp Sáng kiến công nhận, quan ban hành QĐ 1.SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng điểm cố định họ đường thẳng để giải số tốn cực trị hình học 2014 C Hướng dẫn học sinh tiếp cận nhóm tốn trắc nghiệm trường số phức cách phát triễn số tốn cực trị hình học phẳng B 2017 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ 753/QĐ-SGDĐT, ngày 03/11/2014 QĐ-SGDĐT, 11/2017 Thanh Hóa, ngày 05 tháng 07 năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Quang Vũ 18 19 ... điển hình hay gặp đề thi để viết thành tài liệu: HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BIỂU THỨC VÉC-TƠ VỀ TÍNH ĐỒNG PHẲNG CỦA BỐN ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN ĐỂ CHUYỂN BÀI TỐN TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT... nghiệm Trong sáng kiến này, giúp học sinh hình thành kỹ sử dụng phương pháp véc- tơ để tìm vị trí giao điểm mặt phẳng cạnh bên hình chóp thay dùng dựng hình phương pháp chứng minh hình học túy... mặt phẳng cạnh bên hình chóp, đa phần học sinh làm tốt bước dựng hình để tìm giao điểm này, bước tìm tỉ lệ chia đoạn điểm khiến nhiều học sinh lúng túng phải sử dụng nhiều tốn chứng minh hình học