hướng dẫn học sinh sử dụng hệ thức vi-et trong giải toán theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh

Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ năng: - Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán - Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học

PHẦN I MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng mộtvai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng pháttriển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt động có hiệu quảtrong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất

Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm,

mà cả phương pháp suy diễn lôgic Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyện khảnăng suy đoán và tưởng tượng Toán học còn có tiềm năng phát triển phẩm chấtđạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh Toán học ra đời

từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn Toán học còn hình thành và hoànthiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong muốnđược đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chívượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn,….Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện toàn diệnhơn Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ năng:

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tínhtoán,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính…

Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau Kỹ năng thứnhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia Chính vì vậy kỹ năng vận dụng kiếnthức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh Trong đó việctrình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên để có một lờigiải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có kiến thức,

có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài toán

Là giáo viên dạy toán, đã có 20 năm gắn bó với nghề trong quá trình giảngdạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúpcác em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước vào các kỳ thi,kiểm tra và có kĩ năng vận dụng vào cuộc sống

Vì vậy, tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh sử dụng hệ thức Vi-et trong giải toán theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh”

Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm củaphương trình bậc 2, học sinh có phương tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán Hệthức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà khong biết cụ thểmỗi nghiệm là bao nhiêu

Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó Tiếptục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phương trình Việc tính mỗi nghiệmcủa phương trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phương trình đangchứa tham số Trong trường hợp đó hệ thức Vi – ét là 1 phương tiện hiệu quả giúphọc sinh giải loại toán này

Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuốicấp Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thiquan trọng như thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trường chuyênlớp chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hướngdẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét

II Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm

đã nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt kếtquả cao trong quá trình học tập nói chung

Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưunhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trìnhquy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải cácbài toán Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của họcsinh, gây hứng thú học tập cho các em

III Nhiệm vụ nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?

- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những

vấn đề liên quan

- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những

khó khăn và sai lầm nào?

- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ

năng giải quyết các vấn đề liên quan?

- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?

IV Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:

- Các dạng toán về và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú vàkết quả học tập của học sinh

- Học sinh lớp trường THCS XXX

V Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phươngpháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạnthay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được(nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kếtluận

Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của họcsinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của họcsinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.

PHẦN II NỘI DUNG

B ) BÀI TẬP ÁP DỤNG VÀ BÀI TẬP PHÁT TRIỂN , NÂNG CAO

1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phương trình mà không giải phương trình

Bài tập 1: Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ?

P = x x1 2 c 40

a

 

Vì P > 0 nên 2 nghiệm x1 và x2 cùng dấu

S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dương

b

x x

a

   

Bài tập 2 : Cho phương trình x2  10x m 2  0 (1)

Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của

m  0 Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?

Giải

Ta có a = 1 > 0 , c = - m2< 0 với mọi m  0

Vì a , c trái dấu nên phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi - ét : P = x x1, 2 m2 < 0 Do đó x1và x2 trái dấu

S = x1 x2 10 nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Bài tập 3: (Đề TS chuyên Hạ Long 1999 – 2000) (3đ)

Cho phương trình x2  ( m  1) x m  2  m  2 0  (1) (với m là tham số)

a) Giải phương trình trên với m = 2

b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu  m

c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2 Tìm m để biểu thức

a) Thay m = 2 vào phương trình ta được

1 17 2

x x

nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2

Từ kết quả phần b có x1, x2  0 , biểu thức A được xác định với mọi x1, x

a a a

m m m

* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2

2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm

Bài tập 4: Cho phương trình : x2 (m 1)x m 2m 2 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu vớimọi m

b) Gọi 2 nghiệm là x1 và x2 tìm giá trị của m để 2 2

1 2

x x đạt giá trịnhỏ nhất

b) Ta có

(m 1)2  2(m2 m 2)

Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm

âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia

Giải :

Ta có a = 2 > 0

Phưong trình có 2 nghiệm trái dấu    7 m2    0 7 m 7

Với điều kiện này giả sử x1< 0 ,x2 > 0 theo đề ra ta có

và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia

Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) (2 đ)

Xét phương trình : x4 2(m22) 5 m2 3 0 (1) với m là tham số 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phươngtrình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt

2) Gọi các nghiệm của phương trình (1) là

nên S > 0  y y1, 2 cùng dấu dương (thoả mãn ĐK y  0)

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên phươngtrình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một

m M

m m m m m m

 

 

Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0

m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0

Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8

Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) (2 đ)

Xét phuương trình mx2+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số

a ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn

m m

2 2

Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x x1 , 2 thoả mãn

2 2

1 2 1 2 4

x x  x x 

c) Gọi n N* ta có m = n( n + 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp ( TMĐK m  0 )

n x n

3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết

Giải :

a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phương trình x2 - 11x + 28 = 0

Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x2 + y2 = 25 và xy = 12

Giải :

Ta có x2 + y2 = 25 <=> (x + y )2 - 2xy = 25 <=> (x + y )2- 2.12 = 25 (x + y )2 = 49 <=> x +y =  7

Ta có x và y là nghiệm của phương trình x2 +7x +12 = 0

Giải phương trình ta được x3 = -3 ; x4= - 4

các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)

4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc

tham số :

Bài tập 11 : Cho phương trình x2- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm x x1, 2

a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức

Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phương trình

a) 7 x2+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu

b) 12 x2+70x + k2+1 = 0 không thể có 2 nghiệm tráidấu

Bài tập 4 : Cho phương trình x2- 2m + m - 4 = 0

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau Tính 2 nghiệm đó

b) Định m để phương trình có 2 nghiệm thực dương

Bài tập 5 : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) (2,5 đ)Cho phương trình x2 - mx +1 = 0 ( m là tham số )

a) Giải phương trình trên khi m = 5

b) Với m = 5 , giả sử phương trình đã cho khi đó có

A 

Bài tập 6 :( đề thi học sinh giỏi lớp 9 thị xã Hà Đông , Hà Tây 2003

-2004) (4đ)

Cho phương trình bậc 2 ẩn x : x2  2(m 1)x2m2  3m 1 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0  m  1

b) Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình , chứng minh rằng

1 2 1 2

88

x x x x 

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình (1) có nghiệm <=>  , (m 1)2  (2m2  3m1) 0  m2 m 0 m m(  1) 0  m0 hoặc m   1 0

Bài tập 8 : (đề thi học sinh giỏi lớp 9 - TP Hồ Chí Minh 2003- 2004) (4đ)

a) Xác định m để phương trình 2 x2  2 mx m  2  2 0  có 2 nghiệm phânbiệt

b) Gọi 2 nghiệm là x1 , x2 , Tìm GTNN của biểu thức

A2x x1 2 x1x2  4

Hướng dẫn giải:

a)  , m2  2(m2  2)m24

2

004

m m

2) Tìm mđể phương trình x2  2mx2m 3 0 có hai nghiệm cùng

dấu Khi đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dương ?

Bài tập 10 : ( Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 2005 – 2006)

Xét phương trình mx2 (2m 1)x m  2 0 vói m là tham số

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là x1, x2thoả mãn 2 2

1 2 1 2 4

x x  x x 

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm hữu tỉ

PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

Qua áp dụng vấn đề nêu trên vào giảng dạy ở khối lớp 8 , kết quả thu được làhọc sinh đã hình thành , định hướng được cách giải loại toán này Bằng phươngpháp gợi mở nêu vấn đề , các câu hỏi dẫn dắt , các em tự phát hiện ra hướng giảicho từng bài tập Giáo viên tạo hứng thú , phát triển trí thông minh sáng tạo chohọc sinh

1 KẾT LUẬN

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:

1 Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hìnhthành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh

2 Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên

1 – Trình bày bài giải mẫu

2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý

3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải

4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lạicho đúng

Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung vàphương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học nóichung Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên

đã áp dụng trong chuyên đề này

2 KIẾN NGHỊ

1 Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT

- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáoviên dạy toán Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên trongtỉnh

2 Với BGH nhà trường

- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ nhưchưa đầy đủ Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sáchtham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em cóthể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quảhọc tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung

3 Với PHHS

- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái Thường xuyênkiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con