ứng dụng hệ thức Viet trong giải toán

b Khách thể: Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp9, tìm hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét.. - Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáoviên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng Mặtkhác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành chohọc sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tínhtích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ

Hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9 Trongcác kỳ thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 THPT hay vào các trường chuyên lớpchọn đây là một phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi Trong các tài liệutham khảo chỉ viết chung chung nên học sinh lúng túng khi học phần này Sauvài năm dạy lớp 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy vàtìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của Hệ thức Viét thành nhiềudạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này Hệthức Viét còn được tiếp tục vận dụng trong chương trình Toán THPT

Để hệ thức Viét được ứng dụng rộng vào bài tập và để học sinh dễ nhớ,dễ vậndụng thì khi dạy giáo viên nên chia ra thành nhiều dạng ứng dụng và phân chiathời gian dạy đối với từng nội dung phải thích hợp

Để góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi, tôi chọn đề tài này:

“Ứng dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán”

Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các

em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậchai

2 ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU

a) Đối tượng: Điều tra 20 học sinh lớp 9 xem có bao nhiêu học sinh thích được

học nâng cao, mở rộng kiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu họcsinh có thể tiếp thu, nâng cao kiến thức

b) Khách thể: Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp

9, tìm hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét

3 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Tiến hành nghiên cứu trong các tiết dạy theo thời khóa biểu chính khóa vàmột số tiết học chủ đề Tự chọn và các tiết bồi dưỡng học sinh giỏi

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

a Nghiên cứu tài liệu

Để thực hiện đề tài này, xuyên suốt hai năm học qua, tôi đã tích cực nghiêncứu các tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh nghiệm, chắt góp nhữngnội dung, ý kiến hay để bổ sung vào ý tưởng của mình, xâu chuỗi lại để lập nêndàn ý của sáng kiến kinh nghiệm này

Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếpthành 8 nhóm ứng dụng sau:

- Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

- Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai

- Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

- Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

- Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hainghiệm này không phụ thuộc vào tham số

- Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứanghiệm

- Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

- Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

2 Nghiên cứu thực tế

Với những tiết dạy thích hợp, tôi mạnh dạn đưa các ứng dụng của hệ thứcViet vào dạy

Ghi chép lại những thành công và thất bại, những ưu điểm và hạn chế để tiếtsau thực hiện hoàn chỉnh hơn, hiệu quả hơn

PHẦN NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn:

Mục tiêu của giáo dục THCS_theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúphọc sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độhọc vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, họcnghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”

Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kếtheo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hànhbảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học

Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:

- 1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức

Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phươngtrình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng

- 1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết

vừa học

Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không cónhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm vàvận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng vàhướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này

2.Thực trạng :

a Thuận lợi:

- Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9, bồi dưỡng học sinhgiỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 nên tôithấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải cácbài toán”

- Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy

- Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức và cảm thấyrất hứng thú khi ứng dụng hệ thức Viet trong việc giải các bài toán nâng cao.

b Khó khăn: Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở

chương trình lớp 9 chỉ có 2 tiết ( 1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập) Do vậy chưakhai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét

Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽgiúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển và thi họcsinh giỏi

Chương II: GIẢI PHÁP SƯ PHẠM CẦN THỰC HIỆN ĐỂ GIÚP HỌC SINH ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIET ĐỂ GIẢI TOÁN

Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinhnắm được định lý Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm :

Ngược lại, nếu hai số có tổng là S và có tích là P, nếu S2  4P� 0thì hai số

đó là nghiệm của phương trình: x2 Sx P  0

Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải.Trong đề tài này tôi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau:

- Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

- Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai

- Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

- Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

- Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hainghiệm này không phụ thuộc vào tham số

- Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứanghiệm

- Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

- Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Cụ thể như sau:

I Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm là x1= 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a - b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm là x1= -1, còn nghiệm kia là x2 = -c

x1+ x2 = 7 và x1x2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5

b) Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên

c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương

trình có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

x 

b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 , ta được:

25+ 25 + q = 0 �q  50

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 =

1

50 50

10 5

d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo

hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:

Với x2  5 thì x1 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15

Với x2   5 thì x1   10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15

II Lập phương trình bậc hai :

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1, x 2

2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trìnhcho trước

3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x1; x2 mà x1 <

x2 Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : x x1 2  1 và

III Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hainghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)

Ví dụ 1:

Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Giải:

Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0

giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4

Bài tập nâng cao:

Tìm hai số a, b biết:

a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 b/ a - b = 5 và a.b = 36

Vậy a = - 4 thì b = - 9

- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

Vậy (x ; y) �    0; 2 ; 2;0 

b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa về hệ đối xứng hai ẩn sau:

Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số khác nhau từng đôi một và c �0 Chứng minh rằng

nếu hai phương trình x2 + ax + bc = 0 (1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có đúngmột nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thoả mãnphương trình x2 + cx + ab = 0

IV Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:

Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến

đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tíchhai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức

1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x 2

2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

Ví dụ 3 : Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:

(HD:  

 

2 2

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)

V Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :

Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và

x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0)

- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đóđưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1 :

Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 Lập hệthức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụthuộc vào m

m

S x x

m m

1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x1 và x2 Hãylập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2

- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : 2x x1 2 x1 x2 17 0  không phụ

thuộc giá trị của m

VI Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và

S x x

m m

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2và tích

nghiệm x x1 2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn nhưvậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi vềbiểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2và tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụngtương tự cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2

.

S x x

m m

Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:    

1 2

3 2 3 1

3 1

m m

VII Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương

trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

a) Ta có  '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm

b) Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Ta có ' = 2; S = 2 3 > 0; P = 1 > 0 nên phương trình có

hai nghiệm dương phân biệt

d) Ta có  =57; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có

hai nghiệm âm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:

2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

a) Có hai nghiệm khác dấu

b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm

c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương

d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

không có giá trị nào của m thoả mãn

d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau hay phương trình có hai nghiệm đối nhau

Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi

�� �S �00  1 - 2m = 0  m = 12

Ví dụ 3: Xác định tham số m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m –

6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu

Vậy với    2 m 3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.

Điều cần chú ý ở đây là khi  < 0 thì không cần xét dấu các nghiệm của phương

trình vì phương trình vô nghiệm

Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu vì  > 0

Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là  và S

VIII Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm:

Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệmcủa phương trình Tìm m để: A = 2 2

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ

tìm điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho luôn có nghiệm với mọi m

B B

B B

Tương tự câu a) ta có: Sn+3 = 18Sn+2 - Sn+1 = 17Sn+2 + Sn+2 - Sn+1

= 17Sn+2 + (18Sn+1 - Sn) - Sn+1 = 17(Sn+2 + Sn+1) - Sn

mà S1 = 18, S2 = 322, S3 = 5778 không chia hết cho 17 nên S4 , S5,… đều

không chia hết cho 17  Sn không chia hết cho 17với mọi n là số tự nhiên

2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 Tìm m sao nghiệm x1 và x2

thỏa mãn điều kiện 2 2

x x � có giá trị nhỏ nhất

3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 Xác định m sao 2 nghiệm

x1 và x2 thỏa mãn điều kiện :

Bảng điều tra về sự yêu thích môn toán của một số học sinh sau khi áp dụng đềtài nghiên cứu vào giảng dạy:

2 Bài học kinh nghiệm

Phần ứng dụng của hệ thức Viét đã có nhiều bạn đọc quan tâm, là một phần

có nhiều ứng dụng hay Tuy nhiên tôi đã trình bày theo quan điểm của mình, theokinh nghiệm giảng dạy lớp 9 nhiều năm và cho thấy có hiệu quả tốt Rất mong được sự góp ý chân thành từ các đồng nghiệp để sáng kiến hay hơn, phong phú hơn Xin chân thành cảm ơn!

An Khê, Ngày 16 tháng 03 năm 2015

Người viết

Nguyễn Thị Thu Hiền

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Tuyển tập các bài toán hay và khó _Đại số 9 của nhà xuất bản đại họcquốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh (tác giả: Phan Văn Đức-Nguyễn HoàngKhanh-Lê Văn Thường)

2 Sách giáo khoa Toán 9 _ Tập 2

3 Sách giáo viên Toán 9 _ Tập 2

4 Sách bài tập Toán 9 _ Tập 2

5 Bài tập trắc nghiệm và các đề kiểm tra Toán 9 của nhà xuất bản giáo dục

in năm 2007 (tác giả: Hoàng Ngọc Hưng-Phạm Thị Bạch Ngọc)

6 Các đề thi tuyển học sinh giỏi các cấp

7 Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán của Nhà xuất bản giáo dụcViệt Nam

8 Nâng cao và phát triển toán 9 tập 2 của tác giả Vũ Hữu Bình

MỤC LỤC

Trang PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 1

3 Phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

PHẦN NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 4

2 Thực trạng 4

.Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-Ét để giải toán 6 6

I Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn 7

II Lập phương trình bậc hai 9

III Tìm hai số biết tổng và tích của chúng 11

IV Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình 15

V Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số 18

VI Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm 20

VII Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 24

VIII Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 27

PHẦN KẾT LUẬN 31