SKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toán

SKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toán

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Hệ thức Vi-ét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9 Trong một vài năm trở lại đây thì trong các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông , các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất hiện khá phổ biến Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa phong phú và đa dạng Ứng dụng hệ thức Vi-ét vào các bài toán về phương trình bậc hai là một phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi

Song qua việc dạy toán tại trường THCS tôi nhận thấy các em vận dụng

hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thực sự linh hoạt, chưa khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều dạng toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán

Việc phân loại các dạng toán để lựa chọn phương pháp giải hợp lý là điều rất quan trọng Qua đó giúp học sinh định hướng được cách giải bài toán nhanh

và hiệu quả Sau nhiều năm dạy lớp 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy và học hỏi kinh nghiệm các đồng nghiệp có kinh nghiệm, kết hợp với tìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh

dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này Hệ thức Vi-ét được ứng dụng rộng vào bài tập vì thế để học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng thì khi dạy giáo viên nên chia ra thành nhiều dạng ứng dụng và phân chia thời gian dạy đối với từng nội dung phải thích hợp

Vậy nên tôi xây dựng chuyên đề này nhằm mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng toán có trong đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông Đặc biệt từ đó xây dựng cho học sinh phương pháp tự học, kỹ năng tư duy sáng tạo, sự đam mê trong học toán và đặc biệt là đạt kết quả cao trong học tập

2 Mục đích, nhiệm vụ:

- Trang bị cho học sinh một số phương pháp về giải phương trình bậc hai

có sử dụng tới hệ thúc Vi-ét

- Sữa chữa những thiếu sót , những sai lầm mà học sinh hay gặp khi giải toán sử dụng hệ thức Vi-et

- Giúp học sinh nhận dạng và áp dụng phương pháp phù hợp với từng dạng toán khác nhau về hệ thức Vi-ét

- Rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học, kỹ năng tư duy sáng tạo

- Giúp học sinh xây dựng phương pháp tự học khoa học và tạo sự đam mê trong học toán

- Giúp học sinh đạt kết quả cao học tập và các kỳ thi, đặc biệt là thi vào lớp 10 THPT

3 Đối tượng và phạm vi ứng dụng

- Học sinh khối THCS; đặc biệt là học sinh lớp 9

- Giáo viên dạy toán ở trường THCS

Đây là một đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẽ đẹp của toán học, đặc biệt nó giúp phát triển khả năng tư duy sáng tạo của học, nếu vấn đề này được quan tâm thường xuyên trong dạy học của các thầy cô giáo thì

chắc chắn đề tài này sẽ là kinh nghiệm bổ ích trong việc bồi dưỡng đội ngủ học sinh thi vào lớp 10 THPT và các trường chuyên lớp chọn…

4 Thời gian và phương pháp nghiên cứu:

- Đọc sách, tham khảo tài liệu ( các chuyên đề bồi dưỡng toán 9, Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn toán )

- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm

- Khảo sát số lượng học sinh ban đầu về nhận biết và ứng dụng hệ thức Vi-ét thông qua dạy thể nghiệm ở lớp

Lớp HSSố TB khá Khá Giỏi

% HS nhận biết dạng và khi đưa ra bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét

- Thông qua học tập, bồi dưỡng thường xuyên các chu kì

Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh nghiệm của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân đã rút

ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến

5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:

- Phân loại các dạng toán để giúp học sinh lựa chọn phương pháp giải hợp

lý đồng thời phát huy tính tích cực chủ động của học sinh Qua đó giúp học sinh định hướng được cách giải bài toán nhanh và hiệu quả

- Giúp học sinh nhận dạng và áp dụng phương pháp phù hợp với từng dạng toán khác nhau về hệ thức Vi-ét

- Tổng hợp được nhiều dạng vận dụng hệ thức Vi-et trong các đề thi

- Là chuyên đề bổ ích trong dạy bồi dưỡng học sinh thi tuyển sinh vào lớp

10 THPT

B NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Cơ sở khoa học:

- Hệ thức Vi-ét có nhiều ứng dụng trong giải toán.

- Việc ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán phát triển được tư duy lô gic

và tính sáng tạo của học sinh

- Dạng toán có ứng dụng định lí Vi-ét là các bài toán hay và gây được nhiều hứng thú cho học sinh

- Trong giảng dạy toán lớp 9 không thể không dạy cho học sinh việc ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán

2 Cơ sở thực tiễn:

Hiện nay hệ thống bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập; Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên (Nhà xuất bản Đại học quốc gia

Hà Nội- do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên) về phương trình bậc hai và phương trình bậc hai chứa tham số có ứng dụng của hệ thức Vi-ét khá nhiều, rất

đa dạng và phong phú, đây là một thể loại toán khó của chương trình toán THCS đối với học sinh từ trung bình khá, đặc biệt trong sách giáo khoa cũng như bộ đề

ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chưa phân loại các dạng toán Học sinh thường lúng túng khi tìm phương pháp giải và nhận dạng bài toán Do vậy bản thân tôi thấy cần thiết phải hướng dẫn cho các em nhận dạng bài toán và phân loại các dạng toán từ đó hình thành phương pháp giải các bài toán về phương trình bậc hai và pt bậc hai chứa tham số có ứng dụng của hệ thức Vi-ét

3 Nội dung chính của chuyên đề gồm :

Dạng 1

Dạng 2

Dạng 3

Dạng 4

Dạng 5

Dạng 6

Dạng 7

Dạng 8

Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn Lập phương trình bậc hai

Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

A HỆ THỨC VI-ÉT:

1.1 Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) (1)

2

b x

a

  

2

b x

a



x x

2

x x

Vậy đặt : - Tổng hai nghiệm là S : S = x1 x2 b

a



 

- Tích hai nghiệm là P : P = 1 2 c

x x

a

 Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (1) có liên quan chặt

chẽ với các hệ số a, b, c Đây chính là nội dung của Định lí Vi-ét

Khi dạy ta cần chú ý cho học sinh: Điều kiện để có định lí: a 00

 



( a  0 để có phương trình bậc hai,   0 để phương trình có 2 nghiệm)

1.2 Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1x2 = P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 (Định lý Vi-ét đảo)

Sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí Vi-ét và định lí Vi-ét đảo trong giải toán

1.3 Bổ sung:

a) Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) Có hai nghiệm

x1 , x2 thì ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x –

x2)

b) Xét dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) (1)

Điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0)

- Có hai nghiệm trái dấu là P < 0

- Có hai nghiệm cùng dấu là   0 và P > 0

- Có hai nghiệm đều dương là:   0 và P > 0, S > 0

- Có hai nghiệm cùng âm là:   0 và P > 0, S < 0

B. ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN.

I TÍNH NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :

1.1 Dạng đặc biệt:

Xét phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a0) (1) ta thấy :

a) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 1 và nghiệm còn lại là x2 c

a



b) Nếu a  b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 1 và nghiệm còn lại là x2 c

a





Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

1) 35x2  37x  2 0 (1) 2) x2  49x 50 0  (2) ( SGK toán 9 tập 2)

Ta thấy :

Phương trình (1) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x 1 1 và 2

2 35

x 

Phương trình (2) có dạng a - b + c = 0 nên có nghiệm x 1 1 và

2

( 50)

50 1

Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau bằng cách tính nhẩm nghiệm:

1 12x2  13x  1 0 2 5x2  25x 30 0 

3 x2  149x 150 0  4 7x2  500x 507 0  ( SGK toán 9)

5.x2 - mx +m -1 = 0

1.2 Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ: a) Phương trình x2 + mx - 35 = 0, có nghiệm x1 = 7, tìm m và nghiệm thứ hai (SBT toán 9)

b) Phương trình x2 + 7x + m =0 có một nghiệm bằng 5, tìm m và nghiệm thứ hai

c) Cho phương trình : x2  7x q  0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và

hai nghiệm của phương trình

d) (Đề 12- Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Cho PT: x2 + 2(m+1)x + m2 = 0 (1)

Tìm m để phương trình ( 1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng -2

e) Cho phương trình (m - 1)x2 - 2x +4 = 0 có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm còn lại?

Bài giải:

a) Đây là phương trình bậc hai có nghiệm, theo hệ thức Vi-ét, ta có: 7.x2 =

-35 ,

suy ra x2 = -5 Từ x1 x2 m phương trình 7 - 5 = -m  m = -2

b) Đây là phương trình bậc hai có nghiệm Thay x 1 5 vào phương trình ban đầu ta được :

25 35 m 0 m60

T ừ x x 1 2 60 suy ra 2

1

12 5

x x

c) Đây là phương trình bậc hai có nghiệm.Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1  x2  11 và theo viét ta có x1 x2  7, ta giải hệ sau:



Suy ra q x x 1 2 18

d) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: ∆' > 0  (m+1)2 - m2 > 0

 2m + 1 > 0  m > -1

2 (*)

Phương trình có nghiệm x = -2 4 - 4(m+1) + m2 = 0

 m2 - 4m = 0  m m04



 ( thoả mãn ĐK (*) Vậy m = 0 hoặc m = 4 là giá trị cần tìm

e) Để phương trình (m - 1)x2 - 2x +4 = 0 có 2 nghiệm thì m ≠ 1

Xét m ≠ 1: Do x = 2 là nghiệm của phương trình do đó 4(m - 1) = 0  m = 1 Vậy không có nghiệm còn lại

II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2.1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1; 2

Ví dụ:

Cho x 1 3; x 2 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Theo hệ thức Vi-ét ta có 1 2

1 2

5 6

P x x





 vậy x x1; 2là nghiệm của phương trình có dạng: x2  Sx P  0 x2  5x 6 0

2.2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là biểu thức của 2 nghiệm phương trình đã cho:

Ví dụ: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm

1 2

1 1

;

x x biết x1 ; x2 là nghiệm của phương trình x2 +7x - 18 = 0

Hướng dẫn: Tính nghiệm của phương trình x2 +7x - 18 = 0 có nghiệm x 1 2, 2

x -9

Nên

;

x  x  , Theo hệ thức Vi-ét ta có 1 2

1 2

2 9 18

S

P

x x











Vậy

1 2

1 1

;

x x là nghiệm của phương trình có dạng

18 18

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm x1, và x2 biết:

a x1 = 17 vµ x2 = -4

b x1 = 5 vµ x2 = -14

c x1 = 5a vµ x2 = a

d x1 = 1  3 vµ x2 = 1  3

III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

x  Sx P  (điều kiện để có hai số đó là S 2  4P  0 )

Bài 1 Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  3 và tích P = ab =  4

Vì a + b =  3 và ab =  4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : 2

x  x 

giải phương trình trên ta được x 1 1 và x 2 4

Vậy nếu a = 1 thì b =  4

nếu a =  4 thì b = 1

Bài tập áp dụng:

Bài 2 Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: (SGK toán 9 tập 2)

a u +v = 32 và u.v = 231.

b u +v = -8 và u.v = -105

c u +v = 2 và u.v = 9

Bài 3 Tìm 2 số a và b biết

a a + b = 9 và a2 + b2 = 41

b a  b = 5 và ab = 36

c u2 + v2 = 85 và u.v = 18 (SBT toán 9)

Hướng dẫn: a) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng

hệ thức Vi-ét thì cần tìm tích của a và b

2

a b   a b   a  ab b   ab   

Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình : 2 1

2

4

5

x

x





 Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5

nếu a = 5 thì b = 4

b) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b

Đặt c =  b ta có : a + c = 5 và a.c =  36

Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 2 1

2

4

9

x

x









Do đó nếu a =  4 thì c = 9 nên b =  9

nếu a = 9 thì c =  4 nên b = 4 c) Từ giả thiết suy ra u2 + 2uv+ v2 = 121 Do đó u +v = ±11

- Nếu u +v = 11 và u.v = 18 thì u và v là hai nghiệm của phương trình

x2 - 11x + 18 = 0 , suy ra u = 2, v = 9 hoặc u = 9 , v = 2

- N ếu u +v = -11 và uv = 18 thì u và v là hai nghiệm của phương trình

x2 +11x + 18 = 0 suy ra u = - 2, v = - 9 hoặc u = - 9 , v =- 2

IV TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC THAM SỐ.

Phương pháp giải các bài toán loại này là:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x 2

(thường là a  0 và   0).

- Biểu diễn tham số qua x 1 , x 2 từ tổng hoặc tích 2 nghiệm sau đó thế vào biểu thức còn lại.

- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x 1 + x 2 và P = x 1 x 2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x 2 Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x 1 và x 2

Bài 1 ( Đề 14 Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh) cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 (1)

a Tìm m đề phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức x12 x22 = 10

b Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.

Giải: b PT (1) có 2 nghiệm khi: ∆' ≥ 0  ( m - 1) 2 + (m+3) ≥ 0

 m2 - 2m +1 +m +3 ≥ 0  m2 - m + 4 > 0  1 2 15

m    đúng với mọi m Chứng tỏ PT có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Viet ta có: 1 2

1 2





Ta có 2 2

1 2

(x x )  2x x 104(m1) 2(m3) 10

0

2

m

m









(Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x 2 Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x 1 và x 2 )

Từ (3) ta có m = - x1x2 - 3 thế vào (2) ta có:

1 2

x x = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 -8

 x1x2 + 2x1x2 +8 = 0

Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m

Bài 2 Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m ≠ 0, m là tham

số )

Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Giải : Để pt có 2 nghiệm thì m ≠ 0 và ∆' ≥ 0 

m ≠ 0 và  (m -3)2 - m(m +1) ≥ 0 

9 7 0

m m











Do phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có:

1 2

1 2

m

m

x x





Ta có (2)  6x1x2 = 6 + 6

m (3) Cộng vế theo vế của (1) và (3)

ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8

Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:

x1 + x2 + 6x1x2 = 8

Từ bài toán 2 ta có thể đưa ra cho HS bài toán 3 với cách giải vận dụng

hệ thức Vi-et nhằm phát triển tu duy.

Bài 3 Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phương trình : m 1x2  2mx m  4 0 Chứng minh rằng biểu thức A 3x1 x2 2x x1 2  8 không phụ thuộc giá trị của

m.

Do phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 nên :

2

1 1

4

5

m m







Theo hệ thức vi-ét ta có :

1 2

1 2

2 1 4

1

m

m m

x x

m









thay vào biểu thức A ta có:

 1 2 1 2

Vậy A = 0 với mọi m 1 và 4

5

m  Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-ét rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Bài tập áp dụng:

* Cho phương trình : x2 4m 1x 2m 4  0

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

        do đó phương trình đã

cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

Theo hệ thức Vi-ét ta có



Từ (1) và (2) ta có:

V TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Phương pháp giải: Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là

phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng 2 nghiệm

S và tích 2 nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rổi tính giá trị của biểu thức

1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 x2) và x x1 2

Ví dụ 1 a) x12x22 (x122x x1 2x22) 2 x x1 2 (x x1 2)2 2x x1 2

x x  x x x  x x x  x x  x x  x x 

1 2 ( )1 ( )2 1 2 2 1 2 ( 1 2) 2 1 2 2 1 2

x x  x  x  x x  x x  x x  x x   x x



 

Ví dụ 2 x1 x2  ?

Ta biết x1 x22 x1x22 4x x1 2  x1 x2  x1x22 4x x1 2

Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:

1 x12  x22 x1 x2  x1x2 =……

2 x13  x23 =    2 2    2

x  x x x x x  x  x  x x  x x 

=……

3 x14  x24 =  2 2  2 2

1 2 1 2

x x x  x =……

4 x16 x26 = 2 3 2 3  2 2  4 2 2 4

( )x  ( )x  x x x  x x x = ……

Bài tập áp dụng

5 x16  x26 6 x15x25 7 x17  x27 8

x  x 

2 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

Bài 1

a) (Đề 6- Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)

Cho x1 và x2 là hai nghiệm của PT: x2 - x - 3 = 0

Tính giá trị của biểu thức: P = x12  x22

1 2 ( 1 2 1 2 2 ) 2 1 2 ( 1 2 ) 2 1 2

x x  x  x x x  x x  x x  x x

= 12 – 2.(-3) = 7

b ) (Đề 8 -Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT của sở GD&ĐT Hà Tĩnh)

Cho x1 và x2 là hai nghiệm của PT: 3x2 - x - 2 = 0

Tính giá trị của biểu thức: P =

1 2

x x

1 2 1 2

:

Từ hai câu trên ta có thể luyện thêm cho HS

c ) Tính 1 2

2 1

x  x biết x1 và x2 là hai nghiệm của PT: x2 - x - 3 = 0

Giải: ta có 1 2

2 1

2 2

1 – 2.

3

