SKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toán

SKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toánSKKN Hướng dẫn học sinh phân dạng và vận dụng hệ thức Viet vào giải toán

Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải tốn A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Hệ thức Vi-ét nội dung quan trọng chương trình Đại số Trong vài năm trở lại đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông , tốn phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa phong phú đa dạng Ứng dụng hệ thức Vi-ét vào tốn phương trình bậc hai phần khơng thể thiếu q trình ôn thi Song qua việc dạy toán trường THCS nhận thấy em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thực linh hoạt, chưa khai thác sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều dạng tốn, hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rộng rãi việc giải toán Việc phân loại dạng toán để lựa chọn phương pháp giải hợp lý điều quan trọng Qua giúp học sinh định hướng cách giải toán nhanh hiệu Sau nhiều năm dạy lớp 9, kinh nghiệm giảng dạy học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp có kinh nghiệm, kết hợp với tìm tòi thêm tài liệu phân chia ứng dụng hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng vận dụng linh hoạt gặp dạng toán Hệ thức Vi-ét ứng dụng rộng vào tập để học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng dạy giáo viên nên chia thành nhiều dạng ứng dụng phân chia thời gian dạy nội dung phải thích hợp Vậy nên xây dựng chuyên đề nhằm mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức giúp em làm quen với số dạng tốn có đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông Đặc biệt từ xây dựng cho học sinh phương pháp tự học, kỹ tư sáng tạo, đam mê học toán đặc biệt đạt kết cao học tập Mục đích, nhiệm vụ: - Trang bị cho học sinh số phương pháp giải phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thúc Vi-ét - Sữa chữa thiếu sót , sai lầm mà học sinh hay gặp giải toán sử dụng hệ thức Vi-et - Giúp học sinh nhận dạng áp dụng phương pháp phù hợp với dạng toán khác hệ thức Vi-ét - Rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học, kỹ tư sáng tạo - Giúp học sinh xây dựng phương pháp tự học khoa học tạo đam mê học toán - Giúp học sinh đạt kết cao học tập kỳ thi, đặc biệt thi vào lớp 10 THPT Đối tượng phạm vi ứng dụng - Học sinh khối THCS; đặc biệt học sinh lớp - Giáo viên dạy toán trường THCS Đây đề tài rộng ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể rõ vẽ đẹp toán học, đặc biệt giúp phát triển khả tư sáng tạo học, vấn đề quan tâm thường xun dạy học thầy giáo Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán chắn đề tài kinh nghiệm bổ ích việc bồi dưỡng đội ngủ học sinh thi vào lớp 10 THPT trường chuyên lớp chọn… Thời gian phương pháp nghiên cứu: - Đọc sách, tham khảo tài liệu ( chuyên đề bồi dưỡng toán 9, Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn toán ) - Dạy học thực tiễn lớp để rút kinh nghiệm - Khảo sát số lượng học sinh ban đầu nhận biết ứng dụng hệ thức Vi-ét thông qua dạy thể nghiệm lớp % HS nhận biết dạng đưa Số tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét Lớp TB Khá Giỏi HS số người % 9C 34 11 11 31% 9D 36 11 13 35% - Thông qua học tập, bồi dưỡng thường xuyên chu kì Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy mơn tốn giáo viên có kinh nghiệm trường năm học trước vốn kinh nghiệm thân rút số vấn đề có liên quan đến nội dung sáng kiến Điểm kết nghiên cứu: - Phân loại dạng toán để giúp học sinh lựa chọn phương pháp giải hợp lý đồng thời phát huy tính tích cực chủ động học sinh Qua giúp học sinh định hướng cách giải toán nhanh hiệu - Giúp học sinh nhận dạng áp dụng phương pháp phù hợp với dạng toán khác hệ thức Vi-ét - Tổng hợp nhiều dạng vận dụng hệ thức Vi-et đề thi - Là chuyên đề bổ ích dạy bồi dưỡng học sinh thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT B NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở khoa học: - Hệ thức Vi-ét có nhiều ứng dụng giải toán - Việc ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn phát triển tư lơ gic tính sáng tạo học sinh - Dạng tốn có ứng dụng định lí Vi-ét tốn hay gây nhiều hứng thú cho học sinh - Trong giảng dạy tốn lớp khơng thể khơng dạy cho học sinh việc ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán Cơ sở thực tiễn: Hiện hệ thống tập sách giáo khoa, sách tập; Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT THPT chuyên (Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội- NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên) phương trình bậc hai phương trình bậc hai chứa tham số có ứng dụng hệ thức Vi-ét nhiều, đa dạng phong phú, thể loại tốn khó chương trình tốn THCS học sinh từ trung bình khá, đặc biệt sách giáo khoa đề Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải tốn ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chưa phân loại dạng toán Học sinh thường lúng túng tìm phương pháp giải nhận dạng tốn Do thân tơi thấy cần thiết phải hướng dẫn cho em nhận dạng toán phân loại dạng tốn từ hình thành phương pháp giải tốn phương trình bậc hai pt bậc hai chứa tham số có ứng dụng hệ thức Vi-ét Nội dung chuyên đề gồm : Dạng Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Dạng Lập phương trình bậc hai Dạng Tìm hai số biết tổng tích chúng Dạng Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình Dạng Dạng Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào tập Dạng Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Dạng A HỆ THỨC VI-ÉT: 1.1 Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) Có hai nghiệm Suy ra: Vậy đặt : x1 = −b + ∆ 2a ; −b + ∆ − b − ∆ −2b −b = = 2a 2a a ( −b + ∆ )(−b − ∆ ) b − ∆ 4ac c x1 x2 = = = = 4a 4a 4a a x2 = −b − ∆ 2a x1 + x2 = - Tổng hai nghiệm S : S = x1 + x2 = −b a c a Như ta thấy hai nghiệm phương trình (1) có liên quan chặt chẽ với hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí Vi-ét - Tích hai nghiệm P : P = x1 x2 = a ≠ ∆ ≥ Khi dạy ta cần ý cho học sinh: Điều kiện để có định lí:  ( a ≠ để có phương trình bậc hai, ∆ ≥ để phương trình có nghiệm) 1.2 Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S tích x1x2 = P hai số nghiệm phương trình X2 - SX + P = (Định lý Vi-ét đảo) Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải tốn Sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí Vi-ét định lí Vi-ét đảo giải toán 1.3 Bổ sung: a) Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Có hai nghiệm x1 , x2 ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử: ax + bx + c = a(x – x 1)(x – x2) b) Xét dấu nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) Điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) - Có hai nghiệm trái dấu P < - Có hai nghiệm dấu ∆ ≥ P > - Có hai nghiệm dương là: ∆ ≥ P > 0, S > - Có hai nghiệm âm là: ∆ ≥ P > 0, S < B ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN I TÍNH NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 1.1 Dạng đặc biệt: Xét phương trình ax2 + bx + c = (a≠ 0) (1) ta thấy : a) Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = c nghiệm lại x2 = a b) Nếu a − b + c = phương trình có nghiệm x1 = −1 nghiệm lại x2 = −c a Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) 35 x − 37 x + = (1) 2) x − 49 x − 50 = (2) ( SGK toán tập 2) Ta thấy : 35 Phương trình (2) có dạng a - b + c = nên có nghiệm x1 = −1 −( −50) x2 = = 50 Phương trình (1) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1 = x2 = Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau cách tính nhẩm nghiệm: 12 x − 13x + = x + 25 x − 30 = x − 149 x − 150 = x + 500 x − 507 = ( SGK toán 9) 5.x2 - mx +m -1 = 1.2 Tìm điều kiện tham số biết nghiệm phương trình cho Ví dụ: a) Phương trình x2 + mx - 35 = 0, có nghiệm x = 7, tìm m nghiệm thứ hai (SBT tốn 9) b) Phương trình x2 + 7x + m =0 có nghiệm 5, tìm m nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x − x + q = , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải tốn hai nghiệm phương trình d) (Đề 12- Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Cho PT: x2 + 2(m+1)x + m2 = (1) Tìm m để phương trình ( 1) có nghiệm phân biệt, có nghiệm -2 e) Cho phương trình (m - 1)x2 - 2x +4 = có nghiệm 2, tìm nghiệm lại? Bài giải: a) Đây phương trình bậc hai có nghiệm, theo hệ thức Vi-ét, ta có: 7.x = 35 , suy x2 = -5 Từ x1 + x2 = −m phương trình - = -m  m = -2 b) Đây phương trình bậc hai có nghiệm Thay x1 = vào phương trình ban đầu ta : 25 + 35 + m = ⇒ m = −60 −60 −60 T x1 x2 = −60 suy x2 = x = = −12 c) Đây phương trình bậc hai có nghiệm.Vì vai trò x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 − x2 = 11 theo viét ta có x1 + x2 = , ta giải hệ sau:  x1 − x2 = 11  x1 = ⇔   x1 + x2 =  x2 = −2 Suy q = x1 x2 = −18 d) Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ∆' >  (m+1)2 - m2 >  2m + >  m > - (*) Phương trình có nghiệm x = -2 - 4(m+1) + m2 = m =  m2 - 4m =   ( thoả mãn ĐK (*) m = Vậy m = m = giá trị cần tìm e) Để phương trình (m - 1)x2 - 2x +4 = có nghiệm m ≠ Xét m ≠ 1: Do x = nghiệm phương trình 4(m - 1) =  m = Vậy khơng có nghiệm lại II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ: Cho x1 = ; x2 = lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm  S = x1 + x2 = x1 ; x2 nghiệm phương trình có  P = x1 x2 = Theo hệ thức Vi-ét ta có  dạng: x − Sx + P = ⇔ x − x + = Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải tốn 2.2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm biểu thức nghiệm phương trình cho: 1 Ví dụ: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x ; x biết x1 ; x2 nghiệm phương trình x2 +7x - 18 = Hướng dẫn: Tính nghiệm phương trình x2 +7x - 18 = có nghiệm x1 = , x2 = -9 1 1  S= + = + =  x1 x2 −9 18 1 1  Nên x = ; x = −9 , Theo hệ thức Vi-ét ta có   P = = = −1  x1 x2 −9 18 1 ; x1 x2 Vậy x − Sx + P = ⇔ x − nghiệm phương trình có dạng x− =0 18 18 Bài tập áp dụng: Bài Lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm x1, x2 biết: a x1 = 17 vµ x2 = -4 b x1 = vµ x2 = -14 c x1 = 5a vµ x2 = a d x1 = + vµ x2 = − III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : (điều kiện để có hai số S2 − 4P ≥ x − Sx + P = ) Bài Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − tích P = ab = − Vì a + b = − ab = − n ên a, b nghiệm phương trình : x + 3x − = giải phương trình ta x1 = x2 = −4 Vậy a = b = − a = − b = Bài tập áp dụng: Bài Tìm hai số u v trường hợp sau: (SGK toán tập 2) a u +v = 32 u.v = 231 b u +v = -8 u.v = -105 c u +v = u.v = Bài Tìm số a b biết Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán a a + b = a2 + b2 = 41 b a − b = ab = 36 c u2 + v2 = 85 u.v = 18 (SBT toán 9) Hướng dẫn: a) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm tích a b 81 − ( a + b ) 2 T a + b = ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab = = 20  x1 = Suy : a, b nghiệm phương trình : x − x + 20 = ⇔   x2 = Vậy: Nếu a = b = a = b = b) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Đặt c = − b ta có : a + c = a.c = − 36  x1 = −4  x2 = Suy a,c nghiệm phương trình : x − x − 36 = ⇔  Do a = − c = nên b = − a = c = − nên b = c) Từ giả thiết suy u2 + 2uv+ v2 = 121 Do u +v = ±11 - Nếu u +v = 11 u.v = 18 u v hai nghiệm phương trình x - 11x + 18 = , suy u = 2, v = u = , v = - N ếu u +v = -11 uv = 18 u v hai nghiệm phương trình x +11x + 18 = suy u = - 2, v = - u = - , v =- IV TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC THAM SỐ Phương pháp giải toán loại là: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) - Biểu diễn tham số qua x1, x2 từ tổng tích nghiệm sau vào biểu thức lại - Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Bài ( Đề 14 Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT sở GD&ĐT Hà Tĩnh) cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x - m - = (1) 2 a Tìm m đề phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = 10 b Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc giá trị m Giải: b PT (1) có nghiệm khi: ∆' ≥  ( m - 1) + (m+3) ≥  m2 - 2m +1 +m +3 ≥  m2 - m + >  (m − )2 + 15 > với m Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải tốn Chứng tỏ PT có hai nghiệm phân biệt với m  x1 + x2 = 2( m −1) (2) (3)  x1 x2 = −m − Theo hệ thức Viet ta có:  2 2 Ta có x1 + x2 = 10  ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 10 4(m − 1) + 2(m + 3) = 10 m =  4m − 6m + 10 = 10 2m(2m − 3) =  m=  2 (Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2.) Từ (3) ta có m = - x1x2 - vào (2) ta có: x1 + x2 = (- x1x2 - - 1) = - 2x1x2 -8  x1 + x2 + 2x1x2 +8 = Đây hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m Bài Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ = (m ≠ 0, m tham số ) Biết phương trình ln có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải : Để pt có nghiệm m ≠ ∆' ≥  m ≠ {  m ≤ (m -3) - m(m +1) ≥    m ≠ Do phương trình ln có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có: 2( m − 3) = 2− (1) m m m +1 x1 x2 = = 1+ (2) m m x1 + x2 = Ta có (2) ⇔ 6x1x2 = + m (3) Cộng vế theo vế (1) (3) ta x1 + x2 + 6x1x2 = Vậy biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = Từ tốn ta đưa cho HS toán với cách giải vận dụng hệ thức Vi-et nhằm phát triển tu Bài Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán Chứng minh biểu thức A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − không phụ thuộc giá trị m Do phương trình có nghiệm x1 x2 nên : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  V' ≥ 5m − ≥  m − (m − 1)(m − 4) ≥ m ≥ Theo hệ thức vi-ét ta có : 2m   x1 + x2 = m −   x x = m − m −1  thay vào biểu thức A ta có: A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy A = với m ≠ m ≥ Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức Vi-ét rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: * Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + ( m − ) = Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) − 4.2(m − 4) = 16m + 33 > phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có  x1 + x2 = −(4m + 1) 4m = −( x1 + x2 ) − 1(1) ⇔   x1.x2 = 2(m − 4) 4m = x1 x2 + 16(2) Từ (1) (2) ta có: −( x1 + x2 ) − = x1 x2 + 16 ⇔ x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = V TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Phương pháp giải: Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rổi tính giá trị biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1 + x2 ) x1 x2 Ví dụ 2 2 a) x1 + x2 = ( x1 + x1 x2 + x2 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 3 2 b) x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2  Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán c) x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 ) = ( x12 + x22 ) − x12 x22 =  ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x22 2 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 d) x1 − x2 = ? Ví dụ Ta biết ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: 2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…… x1 − x2 3 x1 − x2 =…… 4 x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2   2 2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =…… 6 3 2 2 4 x1 + x2 = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = …… Bài tập áp dụng x1 − x2 7 x1 + x2 5 x1 + x2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm Bài a) (Đề 6- Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Cho x1 x2 hai nghiệm PT: x2 - x - = 2 Tính giá trị biểu thức: P = x1 + x2 Giải: ta có x12 + x22 = ( x12 + x1 x2 + x22 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 12 – 2.(-3) = b ) (Đề -Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Cho x1 x2 hai nghiệm PT: 3x2 - x - = 1 Tính giá trị biểu thức: P = x + x Giải: ta có 1 x1 + x2 −2 −1 + = = : = x1 x2 x1 x2 3 Từ hai câu ta luyện thêm cho HS x x c ) Tính x + x biết x1 x2 hai nghiệm PT: x2 - x - = x1 x2 Giải: ta có x + x = 10 x12 + x22 ( x1 + x2 ) − x1 x2  – 2 ( −3)   −7 = = = x1.x2 x1.x2 −3 x − + x − 1 Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán Bài a) Cho phương trình : x − 3x + = Khơng giải phương trình, tính: 1 1− x 1− x x1 x2 x + x (3) 2 x + x x12 + x22 (1) x + + x + (1) 5  ÷ 6 b) Cho phương trình : x − 72 x + 64 = Khơng giải phương trình, tính: 1 x + x c) 9  ÷ 8 x12 + x22 (65) ( đề 14 Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT sở GD&ĐT Hà Tĩnh) cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x - m - = (1) 2 Tìm m đề phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = 10 VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Dạng tốn có nhiều câu đề ôn thi tuyển sinh THPT- Sở GDĐT Hà Tĩnh có nhiều đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Phương pháp giải chung: Đối với toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: (Đề số 4-Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Cho phương trình ẩn x: x2 - 2mx + = (1) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 2 ( x1 + 1) + ( x2 + 1) = m ≥ (*) m ≤ −2 Giải: Ta có ∆' = m2 - 4, phương trình (1) có nghiệm ⇔∆ ' ≥ ⇔  Theo hệ thức vi ét ta có: x1 + x2 = 2m x1 x2 = 2 Suy ra: ( x1 + 1) + ( x2 + 1) = ⇔ x12 + x1 + x22 + x2 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = ⇔ 4m − + 4m = m = ⇔ m2 + m − = ⇔  m = Đối chiếu điều kiện (*) có m =2 thỏa mãn Vậy m = giá trị cần tìm 11 Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải tốn Ví dụ 2: ( Đề kiểm tra chất lượng kì năm 2010-2011 tốn phòng GD Thạch Hà) Cho phương trình: x - 3x + m -1 = - (*) với m tham số Tìm m để phương trình (*) có nghiệm x1 x2 cho x1 - x2 = -14 HD: ∆ = (−3) − 4.1.( m − 1) = −4m + 13 Để pt (*) có nghiệm ∆ = −4m + 13 ≥ ⇔ m ≤ Áp dụng hệ thức Vi-et ta có 13 (1) x1 + x2 = (2) x1 x2 = m - (3) Theo giả thiết ta có: x1 - x2 = -14 (4) Từ (2 )và (4) ta suy x1 = -1 x2 =4 Thay vào (3) ta có x1 x2 = (-1).4 = m -1 => m = - Thỏa mãn ĐK (1) Vậy m = -3 pt có nghiệm x1 x2 cho x1 - x2 = -14 Ví dụ 3: Cho phương trình : mx − ( m − 1) x + ( m − 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 x2 :  m ≠ m ≠ ⇔   2 ∆ ' = ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥  ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ∆ ' = ( m − 1) ≥ m ≥ −1 6(m − 1)   x1 + x2 = m Theo hệ thức Vi-ét ta c ó:  từ giả thiết: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra:  x x = 9(m − 3)  m 6(m − 1) 9(m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Ví dụ 4: ( Đề số Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Cho phương trình ẩn x: x2 - x + 1+ m = (1) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn: x1 x2 ( x1 x2 - 2) = 3( x1 + x2 ) Giải: 12 Do a ≠ 0, ta có : ∆ = 1- 4(1 + m) = - - 4m Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải tốn Để PT có nghiệm ∆  -3 - 4m ≥ 0 m ≤ −3 (*) Theo hệ thức vi ét ta có x1 + x2 = 1, x1 x2 = + m Thay vào đẳng thức x1 x2 ( x1 x2 - 2) = 3( x1 + x2 ) ta được: (1 + m)( (1 + m -2) =  m2 =  m = ± Đối chiếu điều kiện (*) có m = - thỏa mãn Ví dụ 5: Cho phương trình ẩn x : x2 + mx + m -1 = a, Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b, Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình cho, tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức: B = x1 + x2 − 4.( x1 + x2 ) ( Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 vào THPT năm học 2013-2014 Phòng GD-ĐT Thạch Hà) Giải: Xét phương trình: x2 + mx + m -1 = Có ∆ = m2 – 4(m – 1) = m2 – 4m + = (m – 2)2 ≥ Vậy phương trình ln có nghiệm với m  x1 + x2 = − m Theo hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2 = m − 2 Theo đề B = x1 + x2 − 4.( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) - x1 x2 - 4( x1 + x2 ) = = m2 – (m – 1) – 4.(-m) = m2 + 2m + = ( m + 1)2 +1 ≥ Vậy MinB = m = -1 Bài tập áp dụng Cho phương trình : x − (m + 1) x − = ( m tham số) Gọi x1 x2 nghiệm pt Tìm m để: x12 + x22 = 16 ( Đề thi thử tuyển sinh vào lớp 10, THCS Phan Huy Chú năm học 2010-2011) 2 Cho phương trình : mx + ( m − ) x + m + = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 − x2 = Đề 21 ( Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Cho phương trình: 2x2 +(2m-1)x + m-1 = với m tham số 2 Tìm m để pt có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x1 x2 + x2 = Đề 23 ( Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Cho phương trình: x2 -2x + m - = với m tham số Tìm giá trị m để pt có nghiệm phân biệt x1 x2 thoả mãn điều kiện: x12 − x2 + x1 x2 = −12 (Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 năm 2016 phòng GD-ĐT Thạch Hà ) Cho phương trình: x2 – 2x + m – = (1) ( m tham số) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện: x13 x2 + x1 x23 = −6 13 Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán ( Mã đề 01-Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2010-2011, Sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Cho phương trình: x2 – 5x + m – = (2) ( m tham số) Tìm giá trị m để phương trình (2) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn đẳng thức: ( x1 x2 - 1)2 = 20(x1 + x2) ( Mã đề 02-Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2012-2013, Sở GD-ĐT Hà Tĩnh) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x2 – 4x – m2 + 5m = (3) ( m tham số) Tìm giá trị m cho: x1 − x2 = Hướng dẫn cách giải: Trong tập biểu thức nghiệm không cho sẵn tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 , vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 từ vận dụng tương tự cách làm trình bày ví dụ ví dụ BT1: Ta thấy phương trình có a.c = - => ∆ ≥ với m, pt ln có nghiệm phân biệt  x1 + x2 = m +  x1 x2 = −6 Theo hệ thức Vi-ét ta có:  từ giả thiết x12 + x22 = 16 Suy ( x1 + x2 ) − x1.x2 = 16 hay (m + 1)2 − 2.(−6) = 16 m + 2m − = suy m1 = 1, m2 = −3 m ≠ 16 BT2: - Để pt có nghiệm  : m ≠ 0&m ≤ 15 ∆ ≥ −(m − 4)   x1 + x2 = m (1) -Theo VI-ÉT:  m + x x =  m  x1 + x2 = x2 ⇒ 2( x1 + x2 ) = x1 x2 (2) - Từ x1 − x2 = Suy ra:  2( x1 + x2 ) = 3x1 - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m + 127 m − 128 = ⇒ m1 = 1; m2 = −128 14 Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán VII Ứng dụng hệ thức Vi-ét đảo vào tập Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết  x+ y =3 a)  2 x + y = Giải:  x− y =2 b)  2  x + y = 34 a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ  S =3 S = ⇔   P = S − 2P = Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 3X + = Giải phương trình ta x1 = 1; x2 = Vậy (x ; y) ∈ { ( 2;1) ; ( 1; ) } b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ S =2  S =2 ⇔   S + P = 34  P = 15 Suy x + (-y) = x(-y) = -15 hay x -y nghiệm phương trình X2 - 2X - 15 = giải ta x1 = 3; x2 = -5 Vậy (x ; y) ∈ { ( 3;5) ; ( 5;3) } VIII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … Ta lập bảng xét dấu sau: S = x1 + x2 P = x1 x2 ∆ Dấu nghiệm x1 x2 trái dấu dấu dương ± ± m + + S>0 P0 P>0 âm − − S0 ± Điều kiện chung ∆≥ ∆≥ ∆≥ ∆≥ ∆≥ ∆≥ ∆≥ ∆≥ 0 ; P < 0 ;P>0 ;P>0;S>0 ;P>0;S< Ví dụ 1: Xác định tham số m cho phương trình: x − ( 3m + 1) x + m − m − = có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu 15 Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán ∆ = (3m + 1) − 4.2.(m − m − 6) ≥ ∆ ≥ ∆ = ( m − 7) ≥ 0∀m   ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m <  m −m−6 ∆ >    S > ⇔  − 2m > ⇔ khơng có giá trị m thoả mãn P >  m −1 >   c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm ∆ > ( 2m − ) >  m >1     S < ⇔  − 2m < ⇔  P >  m −1 >  m ≠   d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu hay phương trình có hai nghiệm đối Phương trình có hai nghiệm đối ∆ ≥  S = ⇔ - 2m = ⇔ m = Điều cần ý ∆ < khơng cần xét dấu nghiệm phương trình phương trình vơ nghiệm Khi P < kết luận phương trình có hai nghiệm trái dấu ∆ > Khi P > ta phải xét đến hai yếu tố lại ∆ S Bài tập tham khảo: (Đề thi tuyển sinh vào THPT trường THCS LV- Năm 2012- Hà Tĩnh) Cho pt: x2 - 2m x + m - = (1) a Chứng minh pt ln có nghiệm phân biệt b Tìm m để pt có nghiệm trái dấu giá tri tuyệt đối 2 Tìm m để PT 3mx + ( 2m + 1) x + m = có nghiệm âm Tìm m để PT ( m − 1) x + x + m = có nghiệm khơng âm Cho pt: x2 - 2(m+1)x + m2 - 4m + = ( Bộ đề ôn thi thuyển sinh vào lớp 10) 16 Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải tốn a Xác định m để phương trình có nghiệm b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt dương ( Đề 11- Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Cho PT x2 - 6x + m = Với giá trị m thi PT có hai nghiệm trái dấu (đề 32- Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào THPT sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Cho PT x2 + (2m + 1)x +m2 +1 = Tìm m để phương trình có nghiệm âm C KẾT QỦA SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI: Sau áp dụng đề tài thấy chất lượng nâng lên đáng kể, đặc biệt đối tượng học sinh trung bình trung bình nâng lên rõ rệt Cách làm mang lại nhiều kết đáng phấn khởi: - Học sinh có hứng thú , say mê học tốn; - HS có thói quen tìm tòi, tư độc lập sáng tạo hơn; - HS biết phân loaị dạng tốn có ý thức tìm hiểu, nắm vững dạng tốn D KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: Trên nội dung ứng dụng hệ thức Vi-ét vào dạng tập mà tơi hệ thống q trình dạy cho học sinh lớp ôn thi vào THPT Bằng cách hệ thống thành nhiều dạng Tôi vận dụng phần sau tiết học lý thuyết tiết luyện tập hệ thức Vi-ét để học sinh củng cố khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho em kỹ trình bày gặp dạng Trong thời gian học ôn thi em hệ thống lại cách hoàn chỉnh theo dạng Vì việc áp dụng hệ thức Vi-ét em gặp kỳ thi khơng khó khăn Và em biết vận dụng linh hoạt tiếp tục học lên chương trình THPT Đến thời điểm số học sinh nhận biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán nâng lên rõ rệt Cụ thể qua số liệu khảo sát sau: % HS nhận biết dạng đưa Lớp Số HS TB Khá Giỏi tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét số người % 9C 34 14 12 24 71% 9D 36 16 13 27 75% Phần ứng dụng hệ thức Vi-ét có nhiều đồng nghiệp quan tâm, phần có nhiều ứng dụng hay Tuy nhiên tơi trình bày theo quan điểm mình, theo kinh nghiệm giảng dạy lớp nhiều năm cho thấy có hiệu tốt Nhưng thời gian có hạn mục đích đề tài áp dụng cho học sinh đại trà, nên lượng tập đơn giản chưa thật đa dạng, đầy đủ, khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đồng nghiệp tham gia góp ý xây dựng để đề tài tơi có khả áp dụng rộng rãi có tính thiết thực hơn! Việc thực chuyên đề đề tài theo thấy cần thiết khơng học sinh mà có ý nghĩa thầy Đây hình 17 Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán thức tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ, nâng cao tay nghề tạo hội học hỏi đồng nghiệp có giá trị Do kính đề nghị cấp lãnh đạo ngành thường xuyên tổ chức chuyên đề hay để người có điều kiện học hỏi kinh nghiệm Đối với đề tài có giá trị thực tiễn cần đem phổ biến tới trường hoạc đăng tải trang Website ngành nhằm nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Tĩnh, tháng 10 năm 2016 18 Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán Tài liệu tham khảo: Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT THPT chuyênNXB ĐH quốc gia Hà Nội- 2011 Do NGND Nguyễn Trí Hiệp chủ biên Các đề thi vào THPT, trường chuyên tỉnh Sách giáo khoa Toán 9(tập 2) , Sách tập- NXB giáo dục-2005 Sách Nâng cao phát triển Toán 9(tập 2)- NXB giáo dục-2005 - Vũ Hữu Bình Sách Toán nâng cao chuyên đề Đại số 9- NXB giáo dục-2005 - Vũ Dương Thuỵ- Nguyễn Ngọc Đạm Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS- Đại số- NXB giáo dục-2005 - Nguyễn Vũ Thanh 19 ... - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m + 127 m − 128 = ⇒ m1 = 1; m2 = −128 14 Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán VII Ứng dụng hệ thức Vi-ét đảo vào tập Ví... động học sinh Qua giúp học sinh định hướng cách giải toán nhanh hiệu - Giúp học sinh nhận dạng áp dụng phương pháp phù hợp với dạng toán khác hệ thức Vi-ét - Tổng hợp nhiều dạng vận dụng hệ thức. . .Hướng dẫn học sinh phân dạng vận dụng hệ thức Vi-et vào giải toán chắn đề tài kinh nghiệm bổ ích việc bồi dưỡng đội ngủ học sinh thi vào lớp 10 THPT trường chuyên