Khai thác và phát triển ứng dụng hệ thức viét trong đại số lớp 9 THCS Hồng Lý

cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt nam Độc lập Tự do Hạnh phúc ================== sáng kiến dạy học bộ môn toán học H ọ và tên : Nguyễn duy niệm Phó Hiệu trởng Trờng : thcs hồng lý Năm học 2006-2007 Tên đề tài: Khai thác và phát triển ứng dụng hệ thức viét trong đại số lớp 9 1 Phòng giáo dục hng hà Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Trờng thcs tân lễ Độc lập - Tự do- Hạnh phúc ***************** Bản thành tích cá nhân Năm học 2006-2007 Họ và tên : Vũ trọng quyền. Sinh ngày : 18 /3 /1981 Quê quán : Minh Quang - Vũ Th - Thái Bình. Trình độ chuyên môn : Cao đẳng s phạm Toán - Lí. Nơi công tác : Trờng THCS Tân Lễ - Hng Hà - Thái Bình. 2 Năm vào ngành : 2003. I. Nhiệm vụ đợc giao 1/ Chuyên môn - Dạy toán lớp 6B; 9A. - Bồi giỏi môn toán lớp 6. 2/ Công tác chủ nhiệm Chủ nhiệm lớp 6B. II. Danh hiệu đạt đợc 1/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2003 - 2004 2/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2004 - 2005 3/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2005 2006 4/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2006 2007 III. Thành tích năm học 2007 - 2008 1/ T tởng đaọ đức chính trị - Lập trờng t tởng, chính trị vững vàng, nghiêm túc thực hiện các chủ trơng chính sách của Đảng, pháp luật của Nhà nớc, quy chế của ngành đề ra. - Có ý thức tham gia đầy đủ vào các hoạt động chính trị, xã hội của đất nớc và địa phơng, hoàn thành các nhiệm vụ đợc giao. - Giữ gìn lối sống trong sáng lành mạnh, gây dựng mối đoàn kết nhất trí trong chi bộ, trong cơ quan. 2/ Công tác chuyên môn - Thực hiện đầy đủ quy chế chuyên môn của ngành cũng nh của nhà trờng đề - Tìm tòi, học hỏi áp dụng phơng pháp dạy học bằng phơng tiện hiện đại vào trong giờ học. Thực hiện đầy đủ có hiệu quả các chuyên đề giáo án điện tử của Phòng cũng nh của trờng đề ra. - Làm tốt công tác bồi giỏi, phụ kém, chất lợng học tập tăng. - Chú ý rèn luyện ý thức đạo đức kỷ luật ý thức tự quản tự phấn đấu vơn lên trong học tập, rèn luyện của học sinh. - Chất lợng các công việc đợc giao đạt hiệu quả. 3/ Các công tác khác Hoàn thành nhiệm vụ đợc giao. Có ý thức vì tập thể. * Kết quả đạt đợc 3 - Chất lợng bộ môn phụ trách đạt kết quả cao. - Kết quả bồi giỏi toán 6: Đạt 7 HSG cấp huyện trên tổng số 7 học sinh dự thi trong đó: + 01 em đạt giải nhất. + 01 em đạt giải nhì. + 05 em đạt giải ba. - Thi giáo viên dạy giỏi môn toán 9 (giáo án điện tử ) đạt: Loại Giỏi: 18,5điểm. Tân Lễ, ngày 20 tháng 05 năm 2008 Xác nhận và đề nghị của nhà trờng Ngời viết ứng dụng của bất đẳng thức trong giảI phơng trình A. Đặt vấn đề 1. Giới thiệu Từ yêu cầu đổi mới phơng pháp dạy học môn Toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh , khơi dậy và phát triển khả năng tự học nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh . Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán học. Học sinh - chủ thể của hoạt động dạy học - cần phải đợc cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự lực khám phá những điều mình cha biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn. Do đặc trng riêng của phân môn Đại số, việc dạy học Đại số cần đặc biệt chú trọng các yêu cầu: Kết hợp mật thiết giữa ôn cũ và giảng mới, thực hiện 4 vừa giảng vừa luyện kết hợp với ôn tập hệ thống hoá từng bớc kiến thức, chú ý rèn luyện các kĩ năng cơ bản Qua việc giảng dạy chơng trình Đại số lớp 9, tôi thấy phần "Bất đẳng thức" là một phần kiến thức rất quan trọng và có nhiều ứng dụng, rất cần sự khai thác và phát triển cho học sinh nhiều hơn, tạo cho học sinh khả năng nâng cao ứng dụng vào giải toán nh giải phơng trình, hệ phơng trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Qua thực tế giảng dạy và kinh nghiệm của bản thân , tôi xin trình bày kinh nghiệm : ứng dụng của bất đẳng thức trong giải phơng trình trong giảng dạy, luyện tập , ôn tập học sinh lớp 9. 2. Thực tế + Với học sinh Để giải toán nói chung, đơng nhiên các em cần phải biết vận dụng linh hoạt, tổng hợp các kiến thức của mình, trong đó các kiến thức phức tạp đợc hình thành từ chính các kiến thức đơn giản nhất, các kiến thức cơ bản, để giải một bài toán khó đôi khi chỉ cần hoặc cần phải sử dụng đến những kiến thức cơ bản. Tuy nhiên trong quá trình học, các em có thể gặp đây đó những bài toán có vẻ lạ , không bình th ờng , những bài toán không thể giải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phơng pháp quen thuộc ( hay còn đợc gọi là không mẫu mực). Những bài toán này có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện t duy toán học và thờng là sự thử thách đối với học sinh trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT, Khi gặp những bài toán này , các em th - ờng lúng túng, mất phơng hớng trong việc tìm lời giải Qua điều tra 40 học sinh lớp 9A Trờng THCS Tân Lễ, tôi thấy rằng: 38/40 học sinh (=95%) nắm đợc nội dung, cách chứng minh hai bất đẳng thức: x 2 0 và x + y x + y . Nhng sau đó giáo viên cho học sinh giải những phơng trình có sử dụng các bất đẳng thức trên để giải thì chỉ có một số em giải đợc những phơng trình dạng đơn giản, nếu cho những phơng trình dạng tổng quát hơn, hoặc khác dạng (song vẫn cùng phơng pháp làm) thì các em không biết cách giải. + Với giáo viên Là một giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán 9, cùng với sự nghiên cứu, chọn lọc trong quá trình giảng dạy ở trờng THCS tôi đa ra một số ứng dụng của bất đẳng thức vào giải phơng trình, phù hợp với trình độ kiến 5 thức, khả năng t duy của học sinh THCS với mong muốn giúp học sinh sẽ hiểu rõ hơn về BĐT, khắc phục sự bi quan, t tởng chán nản khi gặp loại toán có vận dụng bất đẳng thức, từ đó rèn luyện và nâng cao khả năng t duy sáng tạo của học sinh, kỹ năng giải bài tập của học sinh đặc biệt trong các dạng toán giải phơng trình không mẫu mực. 3. Phạm vi đề tài Trong phạm vi bài viết này, tôi muốn hớng dẫn các em học sinh lớp 9 biết cách giải một số phơng trình nhờ ứng dụng của bất đẳng thức. B. Nội dung I. Chuẩn bị Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn bám sát kiến thức cơ bản , trọng tâm và lu ý học sinh: - Nắm vững định nghĩa bất đẳng thức. - Nắm vững các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. - Có kĩ năng vận dụng các bất đẳng thức quen thuộc vào giải phơng trình - Biết trình bày bài toán giải phơng trình. II. Hớng thực hiện Ph ơng pháp chung: - Đối với phơng trình một ẩn: +) Biến đổi phơng trình về dạng h(x) = a ( với a là hằng số) mà ta luôn có h(x) a hoặc h(x) a thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra. +) Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) m và g(x) m ( với m là hằng số) Nghiệm của phơng trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x) = m và g(x) = m. +) áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc: Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối: a + b a+b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0 Bất đẳng thức Côsi: Với a 1 , a 2 , , a n không âm ta có: 6 a 1 + a 2 + + a n n a a.a n. n 21 với mọi n Z + và n 2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n Bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Với: a 1 , a 2 , , a n và b 1 , b 2 , , b n ta có: (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a a b n ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a + a + +a b +b + + b n n 1 2 1 2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi n b n a 2 b 2 a 1 b 1 a === . -Đối với phơng trình nhiều ẩn: về phơng pháp tơng tự nh phơng trình một ẩn. ứ ng dụng cụ thể: 1. ứng dụng bất đẳng thức A 2 0 () Đây là một bất đẳng thức cơ bản, nhng nó lại là công cụ rất quan trọng để giải toán. các bài toán sau sẽ cho ta thấy tầm quan trọng của bất đẳng thức A 2 0 với mọi A. Bài toán 1: Giải phơng trình: 2x+2 4 2 1 3 + 3 6 7 1 2.3 x x x + + = + Bài giải: Ta có: 2x+2 4 2 1 3 + 3 6 7 1 2.3 x x x + + = + 2x+2 1 4 2 3 -2.3 +1+ 3( 2 1) 4 2 x x x + + + = 1 2 2 2 (3 -1) + 3( 1) 4 2 x x + + = (1) Ta thấy 1 2 (3 -1) 0 x + và 2 2 3( 1) 4 2x + 1 2 2 2 (3 -1) + 3( 1) 4 2 x x + + nên x+1 x+1 2 3 -1= 0 3 =1 (1) x = -1 (x -1)(x +1) = 0 -1= 0x Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1 Bài toán 2: Giải phơng trình: 7 x + 2 2 1x x = Bài giải: Điều kiện x 2 Ta có: ( ) 2 2 1 x -1 - 2 x -1 + 1+ x - 2 =0 ( x -1 - 1) + x - 2 = 0 x -1 - 1= 0 (Do( x -1 - 1) 0; x - 20) x - 2 = 0 x = 2 (TMĐK) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. Nhận xét: ở bài toán này, ta vận dụng thêm bất đẳng thức A 0 với mọi A 0. Nhờ bất đẳng thức này, ta có bài toán khó sau: Bài toán 3: ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2006-2007) Giải phơng trình: ( x +9 + 3)( x + 1 + 2 x - 7) = 8x (1) Bài giải: Điều kiện x 7 Ta có: 2 (1) ( x+9 - 3)( x +9 + 3)( x + 1 + 2 x - 7) = 8x( x + 9 - 3) x( x + 1 + 2 x - 7) = 8x( x + 9 - 3) x + 1 + 2 x - 7 = 8( x + 9 - 3) x + 1 + 2 x - 7 8 x +9 24 0 (x + 9 8 x +9 16)+ 2 x - 7 0 ( x +9 4) + 2 x - 7 0 x +9 4 0 2 x - 7 0 + = + = = = = 8 (Vì 2 ( x +9 4) 0; 2 x - 7 0 ) x = 7(TMĐK) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 7. Nhận xét: Nếu ta kết hợp bất đẳng thức () và bất đẳng thức 2 2 A +m m với m là hằng số không âm và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0, ta có bài toán sau: Bài toán 4: Giải phơng trình: 2 2 2 3x +6x+7 + 5x +10x+14 =4 -2x - x (1) Bài giải: (1) 2 2 2 3(x+1) 4 + 5(x+1) 9 =5-( 1)x + + + 2 2 2 2 2 3(x+1) 2 + 5(x+1) 3 =5-( 1)x + + + Mà 2 2 2 2 3(x+1) 2 + 5(x+1) 3 2 3 =5 + + + và 5 (x +1) 2 5 Nên ta có (x + 1) 2 = 0 x + 1 = 0 x = -1 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1. Bài toán 5: Giải phơng trình: 2008x 2 + y 2 - 2xy - 4014x + 2007 = 0 Hớng dẫn: Đây là phơng trình nhiều ẩn, ta có thể biến đổi vế trái thành tổng bình phơng các biểu thức còn vế phải bằng 0, rồi áp dụng bất đẳng thức (). Bài giải: Ta có: 2008x 2 + y 2 - 2xy - 4014x + 2007 = 0 (2007x 2 - 4014x+ 2007) + (x 2 - 2xy + y 2 )= 0 2007(x - 1) 2 + (x - y) 2 = 0 (1) Vì 2007(x - 1) 2 0 x và (x - y) 2 0 x, y nên ( ) ( ) 2 2 2007 x -1 = 0 x -1= 0 (1) x = y =1 x - y = 0 x - y = 0 9 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = 1 Bài toán 6: Giải phơng trình: (16x 4 + 1)(y 4 + 1) = 16x 2 y 2 (1) Bài giải: Phơng trình (1) tơng đơng với 16x 4 y 4 + 16x 4 + y 4 + 1 - 16x 2 y 2 = 0 (4x 2 y 2 - 1) 2 + (4x 2 - y 2 ) 2 = 0 (2) Vì (4x 2 y 2 - 1) 2 0 x,y và (4x 2 y 2 ) 2 0 x, y nên 2 2 4 2 2 2 2 1 4x y -1= 0 16x =1 x = (2) 2 4x -y = 0 y = 4x y =1 Vậy có tất cả 4 cặp số (x , y) là nghiệm của phơng trình (1) 1 1 1 1 ( ;1) ; ( ;1) ; ( ; 1) ; ( ; 1) 2 2 2 2 Nhận xét: ở bài toán trên, ta đã tách hạng tử của đa thức để đa về hằng đẳng thức bình phơng của một tổng ( hoặc hiệu). Tuy nhiên, trong một số bài toán, việc tách và nhóm các hạng tử để làm xuất hiện hằng đẳng thức lại là rất khó, ví dụ nh bài toán sau: Bài toán 7: Giải phơng trình: 2x 2 + 2xy +y 2 -2x + 2y + 5 = 0 Bài giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với (x 2 +y 2 +1 +2xy + 2x + 2y) + (x 2 4x + 4) = 0 (x + y + 1) 2 + (x - 2) 2 = 0 (1) Vì (x + y + 1) 2 0 x,y và (x - 2) 2 0 x nên x + y + 1= 0 x =2 (1) x - 2 = 0 y = - 3 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2 ; 3) 2. ứng dụng bất đẳng thức a + b a+b () Bài toán 8: Giải phơng trình: 2 2 x 2007 2006 x 2007 2008 4014x x + + = (1) Bài giải: 10 [...]... thực tế tạo ra Trong quá trình thực hiện theo sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi thờng xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu của học sinh trong từng giai đoạn: - Đợt 1: Kiểm tra kiến thức cơ bản về bất đẳng thức - Đợt 2: Kiểm tra kỹ năng giải phơng trình có ứng dụng bất đẳng thức trong bài tập đơn giản - Đợt 3: Kiểm tra khả năng giải phơng trình có ứng dụng bất đẳng thức trong bài tập nâng cao - Trong mỗi đợt... 2008x2007 > 0 x > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2008 số dơng gồm số 1 và 2007 số x2008 ta có: ( 2007 x 2008 + 1 = 12008 4 4 2008 + + x43 + 1 20082008 1 x 2008 x 4 + x 4 2 4 4 4 2008 2007 s/h ) 2007 =2008x2007 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2008 =1 mà x > 0 nên x = 1 Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1 Trên đây là một số bài toán giải phơng trình bằng cách áp dụng bất đẳng thức Đặc biệt lu ý... đẳng thức vào giải phơng trình trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán lớp 9 nh trên , tôi thấy học sinh nắm đợc kiến thức cơ bản và vận dụng vào làm bài tập một cách chủ động, tích cực và đạt kết quả cao Rèn luyện đợc cho học sinh kỹ năng giải các loại toán và đặc biệt là rèn luyện học sinh khả năng t duy toán học, hình thành các phơng pháp giải toán cơ bản.Từ đó tạo sự hứng thú cho học sinh khi học tập... hợp, thiết kế bài dạy theo một trình tự t duy hợp lý , tổ chức học sinh học tập tích cực, chủ động Biết tổng hợp , khai thác , phát triển từ những vấn đề cơ bản Trong giai đoạn hiện nay, việc thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục phổ thông nhằm đào tạo ra những con ngời năng động sáng tạo đáp ứng yêu cầu của thời đại mới, thời đại công nghiệp hoá , hiện đại hoá đất nớc.Mỗi ngời giáo viên chúng ta cần... = b) y = 2 x 1 x2 19 0 x2 +x +1 c) y = 1 + 2x x 2 2x + 2 d) y = x 2 +1 III Kết luân : Với những suy nghĩ và thực hiện nh trên khi hớng dẫn học sinh trên lớp tôi thấy các em hào hứng và say mê giải các bài tập dạng tơng tự một cách linh hoạt và sáng tạo Trớc những bài toán về giá trị nguyên của biểu thức , các em không tỏ ra lúng túng nh trớc mà bình tĩnh biến đổi biểu thức và sử dụng thành thạo các... cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thoả mãn: x2 + 5y2 + 2y -4xy -3 = 0 Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: a) x2 -25 = y(y + 6) b) x2 + x + 6 = y2 c) 3x2 - 12y2 = 2x + 664 Bài 4: Giải phơng trình: a) x 2 6 x + 11= x 2 + 4 x 13 b) x 2 10x + 27 = x 4 + 6 x c) d) x 2 2 x + 5 + x 2 + 2 x + 10 = 29 4 2 x 4 = x 2 3x + 3 III Kết quả đạt đợc Việc khai thác và đa ứng dụng của bất đẳng thức vào giải... 2007x +2006)(-x2 + 2007x + 2008) 0 (áp dụng BĐT ()) (x - 1)(x - 2006)(x + 1)(x-2008) 0 -1 x 1 hoặc 2006 x 2008 Vậy nghiệm phơng trình đã cho là: -1 x 1 hoặc 2006 x 2008 Bài toán 9: Giải phơng trình: x + 3 4 x 1 + x +86 x 1 = 1 Hớng dẫn: Nếu ta để ý kỹ biểu thức dới dấu căn lớn là bình phơng của một biểu thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức A2 = A và áp dụng BĐT () Bài giải: Điều kiện x 1 Ta... dựa trên đặc điểm của môn học Kinh nghiệm này đã mang lại cho tôi kết quả tốt trong quá trình giảng dạy, ôn luyện thi cho học sinh đặc biệt là ôn thi vào lớp 10- THPT Học sinh tiếp thu kiến thức chủ động và có hiệu quả cao Từ đó tạo nên kết quả kiểm tra và chất lợng thi tốt Tôi rất mong có sự đóng góp của các đồng nghiệp và bên chuyên môn để sáng kiến kinh nghiệm này đạt kết quả cao hơn nữa 15 Tân... 5 x 10 (TMĐK) Vậy nghiệm phơng trình đã cho là: 5 x 10 3 ứng dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki Bài toán 10: Giải phơng trình: x 2 3 x + 3,5 = ( x 2 2 x + 2)( x 2 4 x + 5) Bài giải: Ta có: x2 - 2x +2 =(x-1)2 +1 > 0 x2 - 4x +5 =(x-2)2 +1 > 0 11 ( x 2 2 x + 2) + ( x 2 4 x + 5) 2 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x2 - 2x +2 và x2 - 4x +5 ta có: Mà x 2 3 x + 3,5 = ( x 2 2 x + 2) +... -3 Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1,-2, -3 tại giá trị tơng ứng của x 1 là 3, 1, 3 , 0 Ngoài việc tìm giá trị nguyên của biểu thức ra phải tìm miền giá trị của hàm số còn giúp cho chúng ta tìm cực trị của biểu thức Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: y= 4x x2 +1 Giải: Giả sử y0 là một giá trị của hàm số, tồn tại giá trị của x để 4x y0 = x 2 + 1 phơng trình y0x2 - . điều tra 40 học sinh lớp 9A Trờng THCS Tân Lễ, tôi thấy rằng: 38/40 học sinh (=95%) nắm đợc nội dung, cách chứng minh hai bất đẳng thức: x 2 0 và x + y x + y . Nhng sau đó giáo viên cho học. các em học sinh lớp 9 biết cách giải một số phơng trình nhờ ứng dụng của bất đẳng thức. B. Nội dung I. Chuẩn bị Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn bám sát kiến thức cơ bản , trọng tâm và lu. trong giảng dạy, luyện tập , ôn tập học sinh lớp 9. 2. Thực tế + Với học sinh Để giải toán nói chung, đơng nhiên các em cần phải biết vận dụng linh hoạt, tổng hợp các kiến thức của mình, trong