skkn: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT TRONG GIẢI TOÁN

Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến: Trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai, công thức nghiệm của phương trình bậc hai, đặc

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến:

ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT

TRONG GIẢI TOÁN

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán

3 Thời gian áp dụng sáng kiến:

Từ ngày 5/9/2009 đến ngày 5/5/2010

4 Tác giả:

Họ và tên: Phạm Thị Thuận

Năm sinh: 1976

Nơi thường trú: Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định

Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán

Chức vụ công tác: Phó hiệu trưởng

Tên đơn vị: Trường THCS Thị trấn Gôi.

Địa chỉ: Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định.

Số điện thoại: 03503820694.

I Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

Trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai, công thức nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó trong việc giải toán

Song qua việc khảo sát tại trường THCS, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Vi-ét chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức vào giải nhiều loại toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét lại có phạm vi ứng dụng rất rộng rãi, đó là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 9

Đứng trước tình hình đó, tôi đi sâu nghiên cứu việc "Ứng dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán" với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo hệ thức Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh

II Thực trạng

Khi học về hệ thức Vi-ét, nhiều học sinh chỉ nắm được hệ thức và vận dụng đơn thuần hệ thức để tính tổng, tích các nghiệm Còn đứng trước một bài toán dạng: Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước hoặc lập hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số, thì với học sinh đại trà, đa số các em thường tỏ ra lúng túng, không biết cách giải

Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về phương trình bậc hai, nhất là việc vận dụng hệ thức Vi-ét, trong quá trình giảng dạy, tôi đã tổng hợp, phân dạng toán có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải nhằm giúp cho học sinh nắm được phương pháp giải từng loại toán đó Từ đó các em có kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có

một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 c

a

= + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có

một nghiệm là x1 = − 1, còn nghiệm kia là x2 c

2 C¸c d¹ng bµi tËp vËn dông hÖ thøc Vi-Ðt :

2.1 Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

* Trường hợp phương trình bậc hai có các hệ số có quan hệ đặc biệt:

Ví dụ 1: Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

Ta có a - b + c = 7 -1 - 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm

x1= -1; x2 = c

a

− = 6

7 c) (m-1) x2 + mx + 1 = 0 (m≠1)

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai (do m≠1).

Ta có a - b + c = m -1 - m + 1 = 0 nên phương trình có hai nghiệm

Vậy ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5

b) Tương tự như câu a) ta có -2 + (-4) = -6 và (-2)(-4) = 8

Ta nhẩm được hai nghiệm là x1 = -2, x2 = -4

2.2 Dạng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã

cho và tìm nghiệm còn lại.

* Phương pháp: Dựa vào quan hệ về dấu của tổng và tích hai số với dấu của hai

số đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét thì ta sẽ xét được dấu của hai nghiệm hoặc tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện về dấu

Cụ thể: Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 Gọi S là tổng hai nghiệm, P là tích hai nghiệm Khi đó:

a) P < 0 thì hai nghiệm đó trái dấu

b) P > 0 thì hai nghiệm đó cùng dấu

c) P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm đều dương

d) P > 0 và S < 0 thì hai nghiệm đều âm

e) P < 0 và S > 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

f) P < 0 và S < 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

+ Chú ý: Trước khi xét dấu nghiệm, cần chú ý xét xem phương trình có nghiệm hay không

d) x2 + 9x + 6 = 0

Giải:

a) Ta có ∆ '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm

b) Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Ta có ∆' = 2 > 0; S = 2 3 > 0; P = 1 > 0 nên phương trình có

hai nghiệm dương phân biệt

d) Ta có ∆ =57 > 0; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có

hai nghiệm âm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:

2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm

c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương

d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

Giải: Phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên ta có:

m

m m

3 2

không có giá trị nào của m thoả mãn

d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau tức là phương trình có hai nghiệm đối nhau

Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi

Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 (m là tham số)

Biết phương trình có nghiệm x1, x2 Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:

4

1 1 1

2 8 9 5

(với x1 là một nghiệm của phương trình đã cho)

Phân tích: - Quan sát biểu thức ta thấy: cần biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng bình phương để đưa A về dạng A = B x( ) 5 1 − x1

- Bằng cách xét dấu nghiệm ta chứng tỏ B(x1) > 0 từ đó tính được giá trị của A

Vì P < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu mà x1< x2 nên x1< 0

+ Đối với các hệ thức giữa hai nghiệm dạng khác (chẳng hạn: x m + x n = p

x g x

1 ) ( )

(

, f x( ) 1 ± f x( ) 2 =n , f x( ) 1 ± f x( ) 2 = p ) ta thường biến đổi hệ

thức chứa nghiệm về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta được phương trình có ẩn là tham số Giải phương trình vừa lập ta tìm được giá trị của tham số

+ Đối với các phương trình có các hệ số có quan hệ đặc biệt (a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0) ta có thể tìm cụ thể nghiệm và thay vào hệ thức, từ đó tìm được giá trị của tham số

- Đối chiếu giá trị tìm được của tham số với điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho rồi kết luận.

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2

thoả mãn

a) 3x1 + 2x2 = 1

Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện)

b) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ:

Thay vào (3) ta được m = -5

4 (thoả mãn điều kiện)c) x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = 4 - 2m

Ta có x12 + x22 = 8 ⇔ 4 - 2m = 8 ⇔ m = -2 (thoả mãn điều kiện)

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình (m-1)x2 - 2mx +m + 2 = 0 (m là tham số) có hai

nghiệm phân biệt thoả mãn 1 2

1 2

1 2

2 1 2 1

m

m m

4 4 2 0 2 2 0

1 17 4

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 −x2 = 3

Giải: Phương trình (*) là phương trình bậc hai nên ta có: ∆ = + 3 2 4m= + 9 4m

Phương trình (*) có hai nghiệm 0 9 4 0 9

+ Với dạng này thì cách giải chung là theo hệ thức Vi-ét ta có hai hệ thức

liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình Từ một trong hai hệ thức ta biểu diễn tham số theo hai nghiệm, sau đó thế vào hệ thức còn lại ta được hệ thức cần tìm + Hoặc dùng quy tắc cộng để khử tham số từ hai hệ thức.

(Cần chú ý đến điều kiện có hai nghiệm của phương trình).

hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số )

Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

+Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

+ Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó vận dụng hệ thức Vi-ét đưa biểu thức về dạng chỉ chứa tham số Từ đó sử dụng các phương pháp tìm cực trị, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ giải được bài toán (chú ý điều kiện có nghiệm).

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên Với giá trị nào của m thì biểu thức

A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

  > 0 nên phương trình luôn

có nghiệm với mọi giá trị của m

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - mx + m - 1= 0 với m là tham số

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:

1 2

2 2

1 2 1 2

2 3 2( 1)

x x B

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x

Ta có ∆ = m2 - 4(m - 1) = (m - 2)2 ≥0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị

Biểu thức B nhận giá trị t khi phương trình (1) (phương trình bậc hai ẩn m) có nghiệm

2

− khi m = -2; Bmax= 1 khi m = 1

Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Giải: Ta thấy phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 2009, c = -2009.

a, c trái dấu nên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

Giải:

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có ∆ = ' m2 − 4

Để phương trình có nghiệm thì ∆' ≥ 0 hay m2 - 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2

1 2

2 4

Kết hợp với điều kiện ∆' ≥ 0 ta được m = 2 hoặc m = -2

Ví dụ 5: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 18x + 1= 0

từ S1, S2 nguyên ta suy ra S3 nguyên

từ S2, S3 nguyên ta suy ra S4 nguyên

Cứ tiếp tục lập luận như thế ta được Sn nguyên với mọi n ∈N* (2)

Từ (1) và (2) ta có Sn nguyên dương với mọi n ∈N*.

Tương tự câu a) ta có: Sn+3 = 18Sn+2 - Sn+1 = 17Sn+2 + Sn+2 - Sn+1

= 17Sn+2 + (18Sn+1 - Sn) - Sn+1 = 17(Sn+2 + Sn+1) - Sn

S1 = 18; S2 = 322; S3 = 5778 không chia hết cho 17 suy ra S4 không chia hết cho 17

S2; S3; S4 không chia hết cho 17 suy ra S5 không chia hết cho 17

Cứ tiếp tục lập luận như thế ta được Sn không chia hết cho 17 với mọi n ∈N*

* Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó thỏa mãn điều kiện cho trước

* Phương pháp: - Tính tổng và tích các nghiệm đề bài yêu cầu.

Ví dụ 2: Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có nghiệm x1, x2

Lập phương trình bậc hai ẩn t có hai nghiệm là: 1 1

1 2

5 3

x + = −x và 1 2

6 2 3

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0

Giải phương trình ta được X1 = 1; X2 = 2

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là : (x y1 ; 1) ( )= 1;2 , (x y2 ; 2) ( )= 2;1

x y xy

a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ

2 4 2

Giải (2): ∆ = − 3 2 4.1.5 = − < 11 0 ⇒ phương trình (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là : (x y1 ; 1) ( )= 0; 2 , (x y2 ; 2) ( )= 2;0

b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa về hệ đối xứng hai ẩn sau:

 + =S P SP= −21 suy ra S, P là nghiệm phương trình X2 - X - 2 = 0

Giải ra ta được X1= -1; X2 = 2 Vậy

Từ đó ta có (I)

2 2

Hệ (I) vô nghiệm Hệ (II) có hai nghiệm là: (x y1 ; 1) ( )= 1;1 , (x y2 ; 2) (= − 2;1)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: (x y1 ; 1) ( )= 1;1 , (x y2 ; 2) (= − 2;1)

* Ứng dụng (1) còn được sử dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào các bài toán chứng minh khác :

3

a bc

a a c b

nên b, c là nghiệm của phương trình: X2 - (a3 - a)X + a2 = 0

x2 + cx + ab = 0Giải:

Giả sử (1) có nghiệm x0 , x1 và (2) có nghiệm x0 , x2 (x1 ≠x2) Ta có:

2

0 0 2

0 0

0 0

Do đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0 (phương trình này luôn có

nghiệm vì ∆= c2 - 4ab = (a + b)2- 4ab = (a - b)2 > 0)

a) Bốn nghiệm phân biệt

b) Ba nghiệm phân biệt

c) Hai nghiệm phân biệt

Bài tập 3: Cho phương trình x2 - 2kx +1 = 0 có nghiệm x1, x2 Lập phương trình bậc

hai sao cho các nghiệm y1, y2 của nó gấp 3 lần nghiệm của phương trình trên.Bài tập 4: Cho phương trình x2 - mx + 6 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm

x1, x2 thoả mãn: a) x1 - x2 = 1

b) x12 + x22= 37

Bài tập 5: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x - m = 0

a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái

Bài tập 10: Cho phương trình: (m - 3)x2 - 2mx +m + 2 = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất

của x12 + x22

c) Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m

Bài tập 11: Xác định a để phương trình x2 + ax + 1 = 0 có nghiệm x1, x2

Bài tập 12: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương x1, x2

Chứng minh rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 có hai nghiệm dương x3, x4 và

x1+ x2 + x3 + x4 ≥ 4

IV Hiệu quả do sáng kiến đem lại:

Trên đây là nội dung ứng dụng hệ thức Vi-ét vào các dạng bài tập mà tôi đã hệ thống trong quá trình dạy cho học sinh lớp 9 ôn thi vào THPT và vào trường chuyên lớp chọn Bằng cách hệ thống rõ thành các dạng:

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.

Dạng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho, tìm

nghiệm còn lại

Dạng 3: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình bậc hai đã cho Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn

hệ thức nào đó

Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số.

Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; chứng minh bất đẳng thức của biểu thức chứa

nghiệm

Dạng 8: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét: tìm hai số biết tổng và tích vào bài tập.

Tôi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ thức Vi-ét để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em

kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này Trong thời gian ôn thi, các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng trên, đặc biệt chú ý cho học sinh nhận dạng và nêu phương pháp giải đối với từng dạng Vì thế, việc làm các bài toán có áp dụng hệ thức Vi-ét đối với các em khi gặp trong các kỳ thi vào THPT hay trường chuyên lớp chọn không còn khó khăn nữa Các em hứng thú, say sưa khi học về chuyên đề Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó

Với việc áp dụng sáng kiến nêu trên, chất lượng bộ môn toán ở lớp tôi dạy có sự tiến bộ vượt bậc so với thời điểm chưa áp dụng sáng kiến Cụ thể: Các đề kiểm tra có phần bài tập về hệ thức Vi-ét các em đều làm rất tốt Kết quả kiểm tra chất lượng cuối năm học đạt 97,1% học sinh có điểm từ trung bình trở lên, có 85,3% học sinh đạt điểm giỏi Trong khi đó, ở đợt kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm, tỉ lệ học sinh đạt điểm

từ trung bình trở lên chỉ có 34,3%, không có học sinh nào đạt điểm giỏi

Trong kỳ thi tuyển sinh vào THPT, chất lượng bộ môn toán ở lớp tôi dạy xếp thứ nhất huyện với tỷ lệ điểm khá, giỏi rất cao

Không chỉ áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy của cá nhân mà tôi còn phổ biến cho các bạn đồng nghiệp trong trường Kết quả: các bạn đồng nghiệp đều phản ánh là sáng kiến kinh nghiệm nêu trên đem lại kết quả tốt, học sinh vận dụng tốt hệ thức Vi-ét vào giải toán Chất lượng học của học sinh được nâng lên rõ rệt

Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi về "Ứng dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán" Tuy nhiên, chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định Vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo

Xin trân trọng cảm ơn!

V Đề xuất, kiến nghị:

* Ngành giáo dục nên phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay cấp tỉnh, cấp quốc

gia để giáo viên chúng tôi được học tập, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy

* Định hướng những vấn đề "nóng" cần tháo gỡ để các cán bộ, giáo viên tập trung trí tuệ nghiên cứu những vấn đề đó, đúc rút thành sáng kiến kinh nghiệm Từ đó giúp chúng ta tháo gỡ được những khó khăn trước mắt một cách nhanh chóng

Xin chân thành cảm ơn!

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

PHẠM THỊ THUẬN