Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức vi ét đảo vào giải hệ phương trình – chương trình đại số 9

MC LC Ni dung M U Trang - Lớ chn ti - Mc ớch nghiờn cu - i tng nghiờn cu - Phng phỏp nghiờn cu NII DUNG SNG KIN 2.1 C s lý lun ca 2.2 Thc trng ca Nguyờn nhõn dn n thc trng 2.3 Gi phỏp v t chc thc hin 2.3 Kim nghim KT LUN V KIN NGH Kt lun Kin ngh 2 3 15 17 17 17 M U - Lớ chn ti: Trong nh trng ph thụng, ngi giỏo viờn khụng ch n thun truyn th kin thc cho hc sinh m cũn phi bit rốn luyn k nng, nõng cao tm hiu bit, phỏt huy tớnh sỏng to linh hot cho hc sinh thụng qua nhng gi luyn tp, thc hnh thớ nghim i vi mụn toỏn, vic gii toỏn c xem l mt hỡnh thc dng nhng kin thc ó hc vo thc t, vo nhng trng hp c th gii toỏn mụn toỏn khụng nhng giỳp hc sinh cng c, o sõu, h thng hoỏ kin thc, rốn luyn k nng m cũn l hỡnh thc rt tt dn dt hc sinh t mỡnh i tỡm kin thc mi Tuy nhiờn, t c hiu qu nh trờn, ngi giỏo viờn phi bit t chc mt cỏch khộo lộo, hp lớ giỳp hc sinh nm kin thc theo h thng t thp n cao, t d n khú qua vic s dng linh hot cỏc phng phỏp dy hc tớch cc Trong nhng nm tr li õy, cỏc thi hc sinh gii toỏn v cỏc thi vo lp 10 PTTH chuyờn, cỏc thi cỏc bi toỏn gii h phng trỡnh chim mt t l khụng nh v nh lý Viột o l cụng c hu hiu gii quyt nhiu h phng trỡnh Trong ú ni dung v thi lng v phn ny sỏch giỏo khoa cha nhiu, lng bi cha a dng lm cho hc sinh gp khụng ớt khú khn vic tỡm cỏch gii cho hiu qu Vỡ th l mt giỏo viờn nhiu nm dy v ụn luyn i tuyn toỏn, thy c tỏc dng tớch cc ca vic ng dng h thc vi ột vo gii h phng trỡnh nờn tụi quyt nh nghiờn cu ti: Phỏt trin t cho hc sinh thụng qua vic ng dng h thc vi-ột o vo gii h phng trỡnh Chng trỡnh i s ng thi, qua ú giỳp bn thõn cú iu kin nm vng lớ lun dy hc toỏn, b sung kin thc, rốn luyn k nng gii bi tp, nghiờn cu phỏt trin bi toỏn, tỡm cỏch gii khỏc, Nhm giỳp nõng cao hiu qu ca vic dy hc sau ny - Mc ớch nghiờn cu Nõng cao kh nng gii toỏn, phỏt huy tớnh tớch cc, ch ng, sỏng to ca hc sinh T ú gúp phn nõng cao cht lng giỏo dc i tr v phỏt hin ngun hc sinh gii cho cỏc lp trờn - i tng nghiờn cu: Phỏt trin nng lc t cho cỏc i tng hc sinh lp thụng qua mt s bi toỏn dng h thc Vi-ột o vo gii h phng trỡnh - Phng phỏp nghiờn cu: Tham kho thu thp ti liu Phõn tớch tng hp kinh nghim Kim tra kt qu cht lng hc sinh NI DUNG SNG KIN KINH NGHIM 2.1 C s lớ lun ca sỏng kin kinh nghim Xut phỏt t mc tiờu Giỏo dc giai on hin l phi o to ngi cú trớ tu phỏt trin, giu tớnh t sỏng to t c mc tiờu ú mi chỳng ta phi ỏp dng phng phỏp dy hc hin i bi dng cho hc sinh nng lc t sỏng to, nng lc gii quyt , khc phc li truyn th mt chiu, rốn luyn thnh n np t sỏng to ca ngi hc, tng bc ỏp dng cỏc phng phỏp tiờn tin, phng tin hin i vo quỏ trỡnh dy hc, dnh thi gian t hc, t nghiờn cu cho hc sinh, phng phỏp giỏo dc phi phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc ch ng sỏng to ca hc sinh, phi phự hp vi c im ca tng mụn hc, rốn luyn k nng dng kin thc vo thc tin, tỏc ng n tỡnh cm em li nim vui hng thỳ hc cho hc sinh Bi v phng trỡnh v h phng trỡnh rt a dng v phong phỳ, gii c hc sinh cn cú k nng tt, bit nhiu phng phỏp v cỏch dng To nn tng kin thc c bn hc sinh ly ú lm tin v tip tc hon thin hc sang THPT Trang b cho hc sinh k nng dng h thc Vi-ột o gii h phng trỡnh, gii thi vo lp 10 cú ni dung liờn quan n h thc Vi-ột o 2.2 Thc trng trc ỏp dng sỏng kin kinh nghim V phớa giỏo viờn: Hu ht c o to chớnh qui, c phõn cụng ging dy ỳng chuyờn mụn, nhit tỡnh cụng vic Tuy vy i a s giỏo viờn dy u theo chng trỡnh sỏch giỏo khoa, vic tng hp cỏc dng bi v phng phỏp lm thnh mt h thng hc sinh d hc, d nh khụng phi l giỏo viờn no cng lm c i vi i tr thỡ vic ging dy theo chng trỡnh sỏch giỏo khoa l coi nh t yờu cu nhng i vi cụng vic bi dng hc sinh gii thỡ vic trang b kin thc khụng theo dng bi v phng phỏp lm kốm theo l cha m bo c yờu cu V phớa hc sinh: a s hc sinh u ngoan ngoón, cú ý thc hc, cú ý thc phn u lờn Tuy nhiờn nng lc cú hn nờn v kin thc sc tip thu cũn chm, cha thy ht c tớnh c trng, u vit ca phng phỏp gii i li nu hc sinh cú nn tng kin thc tt thỡ hon ton cú th nm vng c phng phỏp to tin vng chc hc toỏn trng THPT Trong quỏ trỡnh dy toỏn cỏc trng THCS tụi nhn thy kin thc v k nng v dng h thc Vi-ột gii phng trỡnh v gii h phng trỡnh l nn tng chng trỡnh toỏn THCS v c hon thin chng trỡnh toỏn THPT Ni dung ti trờn ó c tụi nghiờn cu v trin khai nhiu nm ging dy toỏn 9, mi ln ỏp dng xong u tin hnh rỳt kinh nghim, cú chnh sa v b xung thờm tớnh mi Chớnh vỡ vy ti Phỏt trin t cho hc sinh thụng qua vic ng dng h thc vi-ột o vo gii h phng trỡnh Chng trỡnh i s cú th coi l ti liu hc sinh v giỏo viờn tham kho cụng tỏc ging dy mụn toỏn 9, bi dng thi vo 10 Gii hn ca ti: H phng trỡnh l mt chuyờn hay v rt cn thit cho hc sinh THCS v THPT vỡ nú giỳp hc sinh phỏt trin t toỏn hc nh k nng tớnh toỏn, bin i, k nng gii phng trỡnh v c bit k nng t n ph, ỏp dng h thc Viột vo gii h phng trỡnh, chuyờn ny tng i rng nhng cu trỳc ca ti khụng cho phộp nờn ni dung ti ny tụi ch a phng phỏp gii h phng trỡnh dng i xng loi I, cũn nhng dng h phng trỡnh i xng loi II, h phng trỡnh ng cp loi I, loi II s trỡnh by cỏc ti sau 2.3 Cỏc gii phỏp t chc thc hin A Kin thc cn nh H Thc Vi ột: Cho phng trỡnh bc hai: ax2 + bx + c = (a 0) (*) Suy ra: b b + ; x2 = 2a 2a b b + 2b b x1 + x2 = = = 2a 2a a (b )( b + ) b 4ac c x1 x2 = = = = 4a 4a 4a a Vy t: - Tng nghim l S: Cú hai nghim: x1 = S = x1 + x2 = b a c a Nh vy ta thy gia hai nghim ca phng trỡnh (*) cú liờn quan cht ch vi cỏc h s a,b,c õy chớnh l ni dung ca nh lớ Vi-et, sau õy ta tỡm hiu mt s ng dng ca nh lớ ny gii toỏn H Thc Vi-ột o : S = x1 + x2 Cho vi S2 4P thỡ x1 ; x2 l nghim ca phng trỡnh cú P = x x 2 dng: x Sx + P = H phng trỡnh i xng loi 1: Dng tng quỏt - Tớch nghim l P: f (x, y) = g(x, y) = P = x1 x2 = f (x, y) = f (y, x) thỡ c gi l h i xng loi I g(x, y) = g (y, x) ú Phng phỏp gii chung Bc 1: t iu kin (nu cú) Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v S P Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh Gii h tỡm S, P ri dựng Viột o tỡm x, y l nghim ca phng trỡnh: X2 SX + P = (nh lý Viột o) Chỳ ý: i) Cn nh: x2 + y2=S22P; x3 + y3=S33SP ii) ụi ta phi t n ph: ii) u = u ( x) v v = v ( x ) S = u + v P = uv Cú nhng h phng trỡnh tr thnh h i xng loi I sau ta t n ph iu kin tham s h i xng loi (kiu) I cú nghim Phng phỏp gii chung: i) Bc 1: t iu kin (nu cú) ii) Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v S P iii) Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh Gii h tỡm S, P theo m ri t iu kin (*) tỡm m Chỳ ý: Khi ta t n ph u = u(x), v = v(x) v S = u + v, P = uv thỡ nh tỡm chớnh xỏc iu kin u, v II Bi tp: Loi 1: Bin i v t x + y = S; xy = P x + y + xy = 11 Bi 1: Gii h phng trỡnh sau: 2 x y + xy = 30 Hng dn: Trc ht cho hs nhn dang õy l dng h phng trỡnh i xng loi I Sau ú gi ý cho hs bit c cỏch bin i t x + y = S v xy = P Tip theo ỏp dng h thc Viột o tỡm nghim x, y x + y + xy = 11 x + y + xy = 11 t x + y = S v xy = P xy ( x + y ) = 30 x y + xy = 30 C th ta lm nh sau: 2 S + P = 11 suy S = 6, P = hoc S = 5, P = SP = 30 Ta cú * Vi S = 6, P = khớ ú x, y l nghim ca pt X2 6X + = Gii ta c (x;y) = (1;5), (5;1) l nhim ca hpt * Vi S = 5, P = khớ ú x, y l nghim ca pt X2 5X + = Gii ta c (x;y) = (2;3), (3;2) l nhim ca hpt 5( x + y ) + xy = 19 xy + x + y = 35 Bi 2: Gii h phng trỡnh sau: Hng dn: Trc ht cho hs nhn dang õy l dng h phng trỡnh i xng loi I 5S + P = 19 P = 12 ( Tho món) 3P + S = 35 S = t x + y = S v xy = P ta cú x, y l nghim ca h phng trỡnh bc hai X X 12 = X = 3, X = Vy h phng trỡnh cú hai nghim l (-3;4), (4;-3) x + y = 10 Bi 3: Gii h phng trỡnh sau: 2 x + y = 58 Hng dn: Trc ht cho hs nhn dang õy l dng h phng trỡnh i xng loi I t x + y = S v xy = P Tip theo ỏp dng h thc Viột o tỡm nghim x, y x + y = 10 x + y = 10 t x + y = S v xy = P ta x + y = 58 ( x + y ) xy = 58 C th ta lm nh sau: S = 10 cú S P = 58 2 Suy P = 21 * Vi S = 10, P = 21 khớ ú x, y l nghim ca pt X2 10X + 21 = Gii ta c (x;y) = (7;3), (3;7) l nhim ca hpt x + y = 25 Bi 4: Gii h phng trỡnh sau: xy = 12 Hng dn: Trc ht cho hs nhn dang õy l dng h phng trỡnh i xng loi I Sau ú gi ý cho hs bit c cỏch bin i t x + y = S v xy = P Tip theo ỏp dng h thc Viột o tỡm nghim x, y x + y = 25 ( x + y ) xy = 25 C th ta lm nh sau: xy = 12 xy = 12 S P = 25 t x + y = S v xy = P ta cú Suy S = hoc S = -7 P = 12 * Vi S = 7, P = 12 khớ ú x, y l nghim ca pt X2 7X + 12 = Gii ta c (x;y) = (4;3), (3;4) l nhim ca hpt * Vi S = -7, P = 12 khớ ú x, y l nghim ca pt X2 + 7X + 12 = Gii ta c (x;y) = (-4;-3), (-3;-4) l nhim ca hpt x + y + xy = Bi 5: Gii h phng trỡnh sau: 2 x + y + x + y = Hng dn: Trc ht cho hs nhn dang õy l dng h phng trỡnh i xng loi I t x + y = S v xy = P Tip theo ỏp dng h thc Viột o tỡm nghim x, y x + y + xy = ( x + y )2 xy = C th ta lm nh sau: 2 t x + y = S v x + y + x + y = ( x + y ) xy + x + y = S = 2 S P = P = S P = xy = P ta cú 2 S = S P + S = S 2( S 7) + S = P = * Vi S = 3; P = khớ ú x, y l nghim ca pt: X2 3X + = Gii ta c (x,y) = (1;2), (2;1) l nhim ca hpt * Vi S = -2; P = -3 khớ ú x, y l nghim ca pt: X2 + 2X - = Gii ta c (x,y) = (1;-3), (-3;1) l nhim ca hpt x xy + y = Bi 6: Gii h phng trỡnh sau: x + y = Hng dn: ( x + y ) xy = xy = Ta bin i h phng trỡnh tr thnh x + y = x + y = x, y l nghim ca h phng trỡnh bc hai X X + = X = 2, X = Vy h phng trỡnh cú hai nghim l (2;3), (3; 2) x + y = Bi 7: Gii h phng trỡnh sau: 3 x + y = 26 Hng dn: Dựng hng ng thc ta bin i h phng trỡnh tr thnh x + y = S = S = t x + y = S v xy = P ta cú 3P.2 = 26 P = ( x + y ) xy ( x + y ) = 26 x, y l nghim ca h phng trỡnh bc hai X X = X = 1, X = Vy h phng trỡnh cú hai nghim l (-1;3), (3; -1) x + y + xy = Bi 8: Gii h phng trỡnh sau: 2 x + y + xy = 7 Hng dn: S + P = S1 = P1 = S + S 12 = S = P2 = S P = Ta thy (S1 = 3, P1 = 2) tho x, y l nghim ca h phng trỡnh bc hai X X + = X = 1, X = Vy h phng trỡnh cú hai nghim l (2;1), (1; 2) x + y = ( x + y ) Bi 9: Gii h phng trỡnh sau: 3 x + y = ( x + y ) Hng dn: S = 2 ( x + y ) xy = 3( x + y ) S P = 3S S P = 3S 2 ( x + y ) ( x + y xy ) = 9( x + y ) S ( S 3P) = S S 3P = S P = 3S (I ) ( II ) Gii h (I) (S = 0, P = 0) x = y = S P = 3S Gii h (II) S 3P = 3S = P 3S = P S 3P = S 9S + 18 = S1 = P1 = (x; y) = (0; 3); (3; 0) S2 = P2 = (3; 3) Vy h phng trỡnh cú bn nghim l (0; 3); (3; 0); (3; 3), (0; 0) Bi 10: Gii h phng trỡnh sau: x + y = 10 x y y + x = Hng dn: iu kin x 0, y x + y = 10 H 2 x + y = xy x + y = 10 ( x + y ) xy = xy x + y = 10 200 xy = Vy h phng trỡnh cú hai nghim l , 3 10 20 20 10 ữ; , ữ 3 x + y + xy = 11 Bi 11: Gii h phng trỡnh sau: 2 (H Quc gia H ni) x + y + 3( x + y ) = 28 Hng dn: x + y + xy = 11 S + P = 11 P = 11 S S1 = 5; P1 = S = 10; P = 21 2 2 ( x + y ) xy + 3( x + y ) = 28 S + 3S P = 28 S + 5S 50 = +) Vi S1 = 5; P1 = Nghim l (2, 3); (3, 2) +) Vi S2 = -10; P1 = 21 Nghim l (-3, -7); (-7, -3) Kt lun: H ó cho cú nghim (2, 3); (3, 2); (-3, -7); (-7, -3) 2 x y + xy = 30 Bi 12: Gii h phng trỡnh 3 x + y = 35 (HSP1 H Ni) Hng dn: t S = x + y, P = xy , iu kin S P H phng trỡnh tr thnh: 30 P= SP = 30 S = x + y = x = x = S P = xy = y = y = S ( S 3P) = 35 S S 90 = 35 ữ S x + y + xy = Bi 13: Gii h phng trỡnh 4 2 x + y + x y = 21 (H S phm Vinh) Hng dn: 2 ( x + y ) xy = x + y = ( x + y ) xy = ( x + y ) = + xy 2 2 2 2 xy = ( x + y ) x y = 21 ( xy ) x y = 21 xy = H cú nghim (x; y) l (1;2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1) x3 + y = Bi 14: Gii h phng trỡnh x + y + xy = (Lam Sn Thanh Húa) Hng dn: x3 + y = ( x + y )3 3xy ( x + y ) = Ta bin i x + y + xy = x + y + xy = S 3PS = S = x = 0, y = t x + y = S, xy = P H tr thnh: P = x = 2; y = S + 2P = x + y = Bi 15: Gii h phng trỡnh 2 x x y + y = 13 Hng dn: 2 2 x2 + y = S = x + y = x + y = 2 2 2 2 x x y + y = 13 x y = P = ( x + y ) x y = 13 x2, y2 l nghim ca PT bc 2: t2 5t + = ú t = 1, t = x = (1; 2), ( 1; 2), (1; 2), (1; 2) y = ú x = ( 2;1), (2; 1) , ( 2;1) , ( 2; 1) y = 1 x + y + x + y = Bi 16: Gii h phng trỡnh x2 + y2 + + = x2 y Hng dn: x iu kin x 0, y t x + = u; y + =v y ta cú 1 x + y + x + y = u + v = u + v = uv = u + v = 13 x2 + y2 + + = 2 x y TH1: u = 2, v = nghim l x = 1, y = TH2: u = 3, v = nghim l x = 5 , y =1 Vy hpt cú nghim (x;y) l: (1; 3+ 5 3+ 5 ), (1; ), ( ;1), ( ;1) 2 2 Loi Dựng n ph a v h phng trỡnh i xng loi 1 x + y + x + y = Bi 16: Gii h phng trỡnh x2 + y2 + + = x2 y Hng dn: Bi ny cú th t x + y = S; xy = P nhng cỏch gii khú hn so vi cỏch sau x iu kin x 0, y t x + = u; y + =v y ta cú 1 x + y + x + y = u + v = u + v = uv = u + v = 13 x2 + y2 + + = 2 x y TH1: u = 2, v = nghim l x = 1, y = 10 TH2: u = 3, v = nghim l x = Vy hpt cú nghim (x;y) l: (1; , y =1 3+ 5 3+ 5 ), (1; ), ( ;1), ( ;1) 2 2 xy ( x y ) = Bi 17: Gii h phng trỡnh 3 x y = Hng dn: t t = y, S = x + t , P = xt , iu kin S P xt ( x + t ) = SP = 3 x + t = S 3SP = H phng trỡnh tr thnh: S = x = x = P = t = y = Bi 18: Gii phng trỡnh x + x = Hng dn: u + v = x = u t: Vy ta cú h: x = v u + v = 3 u + v = (u + v ) (u + v) 3uv = u, v l hai nghim ca phng trỡnh: X - X + u + v = u.v = 19 36 19 = 36 + 9+ x = 12 ữ ữ u = 12 - u = ữ x = ữ 12 12 + ữ Vy phng trỡnh cú hai nghim: {x} = ữ; 12 ữ ữ 12 xy x y = 16 Bi 19: Gii phng trỡnh 2 x + y x y = 33 Hng dn: 11 2 Ta cú x + y x y = 33 ( x 1) + ( y ) = 38 nờn t u = x 1, v = y u.v = ( x 1) ( y ) = xy x y + Do ú xy x y = ( xy x y + ) ( x 1) ( y ) = uv u v Khi ú h phng trỡnh tr thnh: uv ( u + v ) = 16 uv ( u + v ) = 21 uv ( u + v ) = 21 2 2 ( u + v ) 2uv = 38 ( u + v ) ( u + v ) = 80 u + v = 38 u + v = 10 u.v = 31 u + v = u.v = 13 TH1: u + v = 10, uv = 31 loi u = + 3, v = x = + 3, y = u + v = u = 3, v = + uv = 13 x = 3, y = + ùỡù x2 + y2 + z2 = Bi 20: Cho x, y, z l nghim ca h phng trỡnh ớù xy + yz + zx = ùợ 8 Chng minh - Ê x, y,z Ê 3 TH2: Hng dn: ỡù x2 + y2 = - z2 ùỡù (x + y)2 - 2xy = - z2 ù H phng trỡnh ớù xy + z(x + y) = ớù xy + z(x + y) = ùợ ùợ ỡù (x + y)2 - 2[4 - z(x + y)] = - z2 ùỡù (x + y)2 + 2z(x + y) + (z2 - 16) = ù ùù xy + z(x + y) = ùù xy + z(x + y) = ợ ợ ỡù x + y = - z ỡù x + y = - - z ùớ ùớ ùù xy = (z - 2)2 ùù xy = (z + 2)2 ợ ợ Do x, y, z l nghim ca h nờn: ộ(4 - z)2 4(z - 2)2 8 (x + y)2 4xy Ê z Ê 2 ờ(- - z) 4(z + 2) 3 8 i vai trũ x, y, z ta c - Ê x, y,z Ê 3 II iu kin tham s h i xng loi (kiu) I cú nghim Phng phỏp gii chung: i) Bc 1: t iu kin (nu cú) ii) Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v S P iii) Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh Gii h tỡm S, P theo m ri t iu kin (*) tỡm m 12 Chỳ ý: Khi ta t n ph u = u(x), v = v(x) v S = u + v, P = uv thỡ nh tỡm chớnh xỏc iu kin u, v x y = 3 x y = m Bi 21: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim: Hng dn: x y = x y = 3 x y = m ( x y ) 3xy ( x y ) = m S = S = t -y= u ; S = x + u, P = xu ta cú: 8m S 3PS = m P = Trc ht ta bin i Viột o thỡ x v u l nghim ca phng trỡnh Phng trỡnh cú nghim ' t2 - 2t + 8m 0m2 theo nh lớ 8m =0 Vy vi m thỡ h phng trỡnh cú nghim x2 + y2 = m Bi 22: Cho h phng trỡnh x + y = a Gii hpt vi m = 26 b Xỏc nh m hpt vụ nghim c Xỏc nh m hpt cú nghim nht Hng dn: õy l mt cõu thi HSG cp tnh nú yờu cu hc sinh cn trang b tt c nhng kin thc v k nng v gii h phng trỡnh x + y = 26 ( x + y ) 2xy = 26 a Khi m = h phng trỡnh tr thnh x + y = x + y = t S = x + y, P = xy ta cú: S P = 26 S = S = P = Vy x, y l nghim ca pt X2 - 6X + = Vy h phng trỡnh cú nghim (x ;y)=(-5;-1) ;(-1 ;-5) x2 + y = m ( x + y ) 2xy = m b Ta cú x + y = x + y = t S = x + y, P = xy ta cú: S 2P = m S = Vy x, y l nghim ca pt t2 - 6t + 36 m S = 36 m P = =0 Phng trỡnh vụ nghim ' < m < 36 Vy h phng trỡnh vụ nghiờm m < 36 c Phng trỡnh cú nghim nht ' = m = 36 Vy h phng trỡnh vụ nghiờm m = 36 13 x + y = cú nghim x + y = 3m Bi 23: Tỡm iu kin m h phng trỡnh Hng dn: t u = x - 0, v = y - h tr thnh: ùỡù u + v = ùù u + v2 = 3m - ợ Suy u, v l nghim (khụng õm) ca X - 4X + H cú nghim (*) cú nghim khụng õm ùỡù D / ù ùớ S ùù ùù P ợ ỡù u + v = ùù ùù uv = 21 - 3m ùợ 21 - 3m =0 (*) ỡù 3m - 13 ùù 13 ù Ê m Ê ùù 21 - 3m ù ùợù Bi 24: (trớch thi H D 2004) Tỡm iu kin m h phng trỡnh sau x+ cú nghim thc: y =1 x x + y y = 3m Hng dn: iu kin x, y ta cú: ỡù x + y = ỡù x + y = ù ù ớ ùù x x + y y = - 3m ùù ( x)3 + ( y)3 = - 3m ợù ợù t S = x + y 0, P = xy , S 4P H phng trỡnh tr thnh: ùỡù S = ùỡ S = ùớ ùù S - 3SP = - 3m ùù P = m ợ ợ T iu kin S 0, P 0, S2 4P ta cú Ê m Ê Bi 25: Tỡm iu kin m h phng trỡnh x + y + xy = m 2 x y + xy = 3m cú nghim thc Hng dn: ỡù x + y + xy = m ùớ ùù x2y + xy2 = 3m - ợ ỡù (x + y) + xy = m ùớ ù xy(x + y) = 3m - ợù ùỡ S + P = m t S = x + y, P = xy, S2 4P H phng trỡnh tr thnh: ùớù SP = 3m - ùợ Suy S v P l nghim ca phng trỡnh t2 - mt + 3m - = ùỡ S = ùỡ S = m - ị ùớ ùớ ùù P = m - ùù P = ợ ợ 14 ộ32 4(m - 3) 21 T iu kin ta suy h cú nghim ờ(m - 3)2 12 m Ê m + x + y + x + y = 10 Bi 26: Tỡm iu kin m h phng trỡnh xy ( x + 4)( y + 4) = m cú nghim thc Hng dn: ỡù x2 + y2 + 4x + 4y = 10 ùớ ùù xy(x + 4)(y + 4) = m ợ ỡù (x2 + 4x) + (y2 + 4y) = 10 ớù ùù (x + 4x)(y2 + 4y) = m ợ t u = (x + 2)2 0, v = (y + 2)2 H phng trỡnh tr thnh: ỡù u + v = 10 ỡù S = 10 ùớ ùớ (S = u + v, P = uv) ùù uv - 4(u + v) = m - 16 ùù P = m + 24 ợ ợ ỡù S2 4P ùù iu kin ùớù S - 24 Ê m Ê ùù P ùợ ỡù x2 + xy + y2 = m + Bi 27: Tỡm m h phng trỡnh ùớù 2x + xy + 2y = m cú nghim thc ùợ nht Hng dn: H cú nghim nht suy x = y, h tr thnh: ỡù 3x2 = m + ộm = - ùỡù 3x2 - = m ùớ ị ờm = 21 ùù x2 + 4x = m ùù x2 + 4x = 3x2 - ợ ợ 2 ỡù x + xy + y = ỡù (x + y) - xy = + m = 3: ùớù 2(x + y) + xy = - ùớù 2(x + y) + xy = - ùợ ùợ ỡù x = ỡù x = - ùỡ x = - ùỡù x + y = ùỡù x + y = - ù ù ớ ớ ùớ ùù xy = - ùù xy = ùù y = - ùù y = ùù y = - (loi) ợ ợ ợ ợù ợù 2 ỡù x + xy + y = 27 ùỡù (x + y) - xy = 27 ùớ + m = 21: ù 2x + xy + 2y = 21 ớù 2(x + y) + xy = 21 ùợ ùợ ỡù x + y = - ỡù x + y = ỡù x = ùớ ùớ ùớ ùù xy = 37 ùù xy = ùù y = (nhn) ợ ợ ợ Vy m = 21 ỡù x + xy + y = m + Bi 29: Tỡm m h phng trỡnh: ùớù x2y + xy2 = m ùợ cú nghim thc x > 0, y > Hng dn: 15 ỡù x + xy + y = m + ùớ ùù x2y + xy2 = m ợ ỡ ỡ ỡ ùớù (x + y) + xy = m + ùùớ x + y = ùùớ x + y = m ùù xy(x + y) = m ùù xy = m ùù xy = ợ ợ ợ ỡù m > H cú nghim thc dng ùớù 4m m2 < m Ê m ùợ Vy < m Ê m ỡù x + y = m ù Bi 30: Tỡm m h phng trỡnh ớù cú nghim thc ùùợ x + y - xy = m Hng dn: ỡù x + y = m ùớ ùù x + y - xy = m ùợ Suy x, y H cú nghim ùỡù D / ù ùớ S ùù ùợù P Bi 31: Tỡm ùỡ ùớù ùù ợù ỡù ù ù ùù x + y - xy = m ùùợ x+ y=m x+ y=m m2 - m m - m = (*) l nghim (khụng õm) ca phng trỡnh t2 - mt + (*) cú nghim khụng õm ùỡù m2 - 4m Ê ộm = ùớù m ờ1 Ê m Ê ùù ùùợ m - m Vy m = Ê m Ê ỡù x2 + y2 = 2(1 + m) m h phng trỡnh ùớù (x + y)2 = cú ỳng nghim thc ùợ ( ) xy = phõn bit Hng dn: ỡù x2 + y2 = 2(1 + m) ùỡù (x + y)2 - 2xy = 2(1 + m) ùớ ùù (x + y)2 = ùù (x + y)2 = ợ ợ ỡù xy = - m ỡù xy = - m ùớ ùớ ùù x + y = ùù x + y = - ợ ợ H cú ỳng nghim thc phõn bit ( 2) = 4(1 - m) m = ỡ ù x + y = 2m - Bi 32: Cho x, y l nghim ca h phng trỡnh ùớù x2 + y2 = m2 + 2m - Tỡm m ùợ P = xy nh nht Hng dn: t S = x + y, P = xy , iu kin S2 4P ỡù x + y = 2m - ùớ ùù x2 + y2 = m2 + 2m - ợ ỡù S = 2m - ùớ ùù S2 - 2P = m2 + 2m - ợ 16 ỡù S = 2m - ùớ ùù (2m - 1)2 - 2P = m2 + 2m - ợ T iu kin suy (2m - 1)2 6m2 - 12m + ùỡù S = 2m - ù ùù P = m2 - 3m + ợù 4- Ê mÊ 4- 4+ Xột hm s f(m) = m2 - 3m + 2, Ê mÊ 2 ổ4 - ộ4 - + ự 11 - ữ ỗ ỳ ữ minf(m) = f = , " m ẻ ; ỗ Ta cú ữ ỗ ỳ ữ ỗ 2 ố ứ ỳ ỷ Vy minP = 4+ 11 - 4- m= B BI TP I Gii cỏc h phng trỡnh sau: 1) 4 x + y = 6 x + y = x+ 4) x y + y x = 30 2 x + y = 2) 2 x x y + y = 13 y =4 2 x + y + xy = 1 x + y + x + y = 7) x2 + y + + = x2 y x + y = 10) 3 x 3x = y y 2 x + x + y + y = 18 xy ( x + 1)( y + 1) = 72 5) 8) x y +1 y + x = x y x xy + y xy = 78 3) x x + y y = 35 ( x + y ) + ữ = xy 6) x + y + = 49 ữ x2 y ( 9) ) x + y = 2 3 x + y x + y = 280 ( )( ) II Gi h phng trỡnh cú tham s: Tỡm giỏ tr ca m: ( x + y ) xy = a) x + y xy = m cú nghim b) c) x + y + xy = m + 2 x y + xy = m + ( x + y ) = 2 x + y = ( m + 1) x + xy + y = m 2 x + y = m cú nghim nht cú ỳng hai nghim (1II) 17 a Gii h phng trỡnh m = b Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim x + xy + y = m 2 x y + xy = 3m (7I) a Gii h phng trỡnh m = b Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim x + xy + y = m + 2 x y + xy = m (40II) a Gii h phng trỡnh m = b Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x;y) vi x >0, y >0 KT LUN, KIN NGH IV KT QU 1.u im 1.1.Giỏo viờn Gii h phng trỡnh bc hai bng phng phỏp dng nh lớ Vi-ột o l kin thc nn tng cú tớnh bn l kt ni toỏn i s THCS vi THPT Do ú ũi hi giỏo viờn phỏt huy kh nng phõn tớch, tng hp kin thc nhiu phn 1.2.Hc sinh c hot ng, t duy, phõn tớch tng hp rỳt phng phỏp phự hp ch ng gii quyt t K nng dng cao to mi quan h gia cỏc n v kin thc vi To thúi quen hc tp, lm vic, t giỏc, hp tỏc linh hot, sỏng to mi hot ng 2.Tn ti 2.1.Giỏo viờn thc hin vic ging dy loi bi ny tng i khú c bit vi hc sinh i tr vỡ bi ũi hi s k nng bin i phõn tớch, ỏnh giỏ tng hp cao 2.2.Hc sinh K nng tng hp kin thc ca hc sinh cha cao Hc sinh thng mc mt s sai lm quỏ trỡnh bin i Kt qu thụng qua s liu Sau ó ỏp dng chuyờn ny vo ging dy, nm hc 20142015; 2015-2016; 2016-2017 tụi cho 25 hc sinh lp 9B ca trng THCS Th Trn Cnh Nng lm bi kim tra v dng toỏn ny thỡ kt qu t c nh sau: 18 Kt qa S Gii Nm lng SL TL Khỏ SL TL Trung bỡnh SL TL Yu - kộm SL TL 2014- 2015 10 20 % 30% 50% 0% 2015- 2016 10 30% 40% 30% 0% 2016- 2017 25 10 40% 14 56% 4% 0% Tng 45 15 33,3% 21 46,7% 20% 0% Qua bi kho sỏt ta thy kt qu tt hn rt nhiu so vi trc thc hin chuyờn S hc sinh t im khỏ gii tng cao chim 80%, ch cú 20% hc sinh b im trung bỡnh v khụng cũn hc sinh b im di trung bỡnh c bit ỏp dng chuyờn i vi 25 em hc sinh lp 9B ca trng THCS Th Trn Cnh Nng thỡ cỏc em ó lm bi rt tt a s hc sinh u t im khỏ gii v ch cũn mt vi em b im trung bỡnh khụng cú im yu kộm Trong nm gn õy tụi ỏp dng chuyờn ny dy bi dng i truyn hc sinh gii toỏn cp tnh nm 2014 - 2015 cú hc sinh t gii KK; nm 2015 - 2016 cú hc sinh t gii ú gii Ba; gii KK; nm 2016 - 2017 cú hc t gii nht toỏn tnh v cuc thi tỡm kim ti nng toỏn hc tr ton quc t huy chng Vng l 1/6 em t Huy chng vng ca ton quc dnh cho hc sinh 9, l hc sinh nht ca tnh Thanh Húa v ang c tham gia vo i tuyn d thi ti Singapore vo thỏng sỏu ti 19 DANH MC CC TI SNG KIN KINH NGHIM C HI NG NH GI XP LOI CP PHềNG GD&T, CP S GD&T V CC CP CAO HN XP LOI T C TR LấN H v tờn tỏc gi: Hong Xuõn Thỡn Chc v v n v cụng tỏc: Phú hiu trng trng THCS Th Trn Cnh Nng TT Tờn ti SKKN Phỏt trin t cho hc sinh gii Toỏn thụng qua bi toỏn chng minh bt ng thc phỏt trin t cho HS t bi toỏn hỡnh quen thuc n bi toỏn hỡnh hay v khú Phỏt trin t cho hc sinh lp thụng qua vic k ng ph hỡnh hc lp Mt s kinh nghim giỳp HS rốn luyn k nng gii toỏn trờn Mỏy tớnh Casio Phỏt trin t cho hc sinh thụng qua vic ng dng h thc vi-ột o vo gii h phng trỡnh Chng trỡnh i s Cp ỏnh giỏ xp loi (Phũng, S, Tnh ) Kt qu ỏnh giỏ xp loi (A, B, hoc C) Nm hc ỏnh giỏ xp loi Tnh C Nm hc 2005 2006 Tnh C Nm hc 2008 2009 Huyn B Nm hc 2011 2012 Tnh C Nm hc 2014 2015 Huyn B Nm hc 2016 2017 (ang gi d thi cp tnh) TI LIU THAM KHO Sỏch giỏo khoa i s Nh xut bn giỏo dc 23 chuyờn bi dng hc sinh gii - Nh xut bn giỏo dc Phng trỡnh bc hai & mt s ng dng - Nh xut bn giỏo dc Phng trỡnh & h phng trỡnh khụng mu mc - Nh xut bn giỏo dc Li gii cỏc thi hc sinh gii, thi vo lp 10 chuyờn toỏn cỏc tnh mt s nm Siờu tm v tham kho trờn mng Internet 20 PHN III KT LUN Kt lun Trờn õy ch l mt s dng bi c bn v thng gp dng h thc Vi-ột o gii phng trỡnh bc hai Da trờn c s lý lun, thc tin v yờu cu kin thc, dng Tụi ó mnh dn a phng phỏp gii nhm trang b cho hc sinh c s ban u v cỏch dng h thc Vi-ột o t ú to nn múng cho hc sinh phỏt trin cỏc bi gii h phng trỡnh bc hai cha tham s mc cao hn v cỏc lp sau nh h phng trỡnh i xng lao II, h phng trỡnh ng cp loi I, loi II Hn na ti sỏng kin kinh nghim ny cũn nõng tm t cho hc sinh cng c nim tin, cú ý trớ lờn hc Xong phm vi v gii hn nờn nhng tụi a trờn õy mi dng h phng trỡnh i xng loi I, chng trỡnh ụn thi HSG cp tnh cũn mt s h phng trỡnh khụng mu mc khỏc hy vng cỏc ố ti sau tụi s cp tip Tuy nhiờn vi kinh nghim ụn luyn ca bn thõn nờn ti tụi trỡnh by õy khụng trỏnh nhng thiu sút Tụi rt mong nhn c cỏc ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ c hon thin hn Kin ngh Nh trng cn trang b nhiu hn na cỏc ti liu tham kho v phng trỡnh bc hai, tuyn cỏc dng bi v thi vo 10 Cỏc giỏo viờn Toỏn trng t chc sinh hot chuyờn giỏo viờn dy Toỏn cú iu kin trao i v hc v cỏc phng phỏp gii gii toỏn - Kin ngh: + i vi phũng Giỏo dc: Tng cng cỏc chuyờn bi dng nghip v cho giỏo viờn + i vi nh trng: B sung cỏc thit b dy hc cũn thiu tng hiu qu cỏc bi dy, c bit cỏc bi thc hnh Xỏc nhn ca nh trng HIU TRNG Bỏ Thc, ngy 28 thỏng 04 nm 2017 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc NGI VIT Lng Th Liờn Hong Xuõn Thỡn 21 S GIO DC V O TO THANH HểA PHềNG GIO DC V O TO B THC SNG KIN KINH NGHM PHT TRIN T DUY CHO HC SINH THễNG QUA VIC NG DNG H THC VI-ẫT O VO GII H PHNG TRèNH CHNG TRèNH I S H tờn: Hong Xuõn Thỡn Chc v: Phú hiu trng n v: Trng THCS Th Trn Cnh Nng SKKN mụn: Toỏn B THC, NM 2017 22 ... ti Phỏt trin t cho hc sinh thụng qua vic ng dng h thc vi- ột o vo gii h phng trỡnh Chng trỡnh i s cú th coi l ti liu hc sinh v giỏo vi n tham kho cụng tỏc ging dy mụn toỏn 9, bi dng thi vo... SKKN Phỏt trin t cho hc sinh gii Toỏn thụng qua bi toỏn chng minh bt ng thc phỏt trin t cho HS t bi toỏn hỡnh quen thuc n bi toỏn hỡnh hay v khú Phỏt trin t cho hc sinh lp thụng qua vic k ng ph hỡnh... lng bi cha a dng lm cho hc sinh gp khụng ớt khú khn vic tỡm cỏch gii cho hiu qu Vỡ th l mt giỏo vi n nhiu nm dy v ụn luyn i tuyn toỏn, thy c tỏc dng tớch cc ca vic ng dng h thc vi ột vo gii h phng