Toán học là môn học có vai trò hết sức quan trọng trong chương trình THPT. Toán học không những giúp cho học sinh kỹ năng tính toán mà còn phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là tư duy sáng tạo, khái quát… Trong toán học, việc phát triển tư duy cho học sinh là việc hết sức quan trọng. Đối với nhiều học sinh, các em thường hài lòng với việc giải xong một bài toán mà không xem xét thêm cách giải khác là khá phổ biến. Trong quá trình dạy học tôi thường khuyến khích học sinh giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, từ đó rèn luyện cho học sinh thói quen giải quyết một vấn đề theo nhiều cách khác nhau, tư duy đó rất có ích trong cuộc sống hiện đại ngày nay. Trong quá trình dạy học tôi thấy bài toán IMO sau đây rất thú vị, bài toán đó là: “ Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a b c , , và có diện tích là S . Chứng minh rằng: a b c S 2 2 2 + + ≥ 4 3.” Tôi thấy rằng có rất nhiều cách để tính diện tích tam giác, từ đó ta có thể chứng minh bài toán thú vị này theo nhiều cách khác nhau. Mặt khác, giữa mặt phẳng và không gian có mối liên hệ với nhau, các tính chất trong mặt phẳng có thể mở rộng trong không gian, vì vậy ta có thể mở rộng bài toán này trong không gian cho tứ diện. Với những lý do trên tôi chọn đề tài “ Phát triển tư duy cho học sinh thông qua giải bài toán IMO theo nhiều cách và mở rộng bài toán”. Trong đề tài này tôi trình bày 16 cách giải khác nhau cho bài toán đã nêu, đồng thời mở rộng bài toán trong mặt phẳng và trong không gian.
S GIO DC V O TO NGH AN TRNG THPT TY HIU SNG KIN KINH NGHIM TI PHT TRIN T DUY CHO HC SINH THễNG QUA GII BI TON IMO THEO NHIU CCH V M RNG BI TON H tờn: Vừ Nam Phong T: Toỏn Tin Nhúm: Toỏn S in thoi: 0986.718.703 Naờm hoùc 2015 - 2016 MC LC Danh mc ch cỏi vit tt Trang M U Trang 1.1 Lý chn ti Trang 1.2 Mc ớch nghiờn cu Trang 1.3 i tng nghiờn cu Trang 1.4 K hoch nghiờn cu Trang 1.5 Phng phỏp nghiờn cu Trang NI DUNG Trang 2.1 Mt s kt qu thng gp tam giỏc Trang 2.2 Bi toỏn IMO 1961 Trang 2.3 M rng bi toỏn mt phng Trang 15 2.4 M rng bi toỏn khụng gian Trang 20 THC NGHIM S PHM Trang 22 3.1 Kt qu t thc tin Trang 22 3.2 Kt qu thc nghim Trang 23 KT LUN Trang 24 TI LIU THAM KHO Trang 25 MT S K HIU VIT TT TRONG TI A, B, C Gúc tam giỏc ABC a, b, c di cnh i din vi nh A, B, C tng ng p Na chu vi tam giỏc ABC R Bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC r Bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC S Din tớch tam giỏc ABC di ng cao xut phỏt t nh A V Th tớch t din ABCD SA Din tớch mt i din nh A t din ABCD M U 1.1 Lý chn ti Toỏn hc l mụn hc cú vai trũ ht sc quan trng chng trỡnh THPT Toỏn hc khụng nhng giỳp cho hc sinh k nng tớnh toỏn m cũn phỏt trin t cho hc sinh, c bit l t sỏng to, khỏi quỏt Trong toỏn hc, vic phỏt trin t cho hc sinh l vic ht sc quan trng i vi nhiu hc sinh, cỏc em thng hi lũng vi vic gii xong mt bi toỏn m khụng xem xột thờm cỏch gii khỏc l khỏ ph bin Trong quỏ trỡnh dy hc tụi thng khuyn khớch hc sinh gii bi toỏn theo nhiu cỏch khỏc nhau, t ú rốn luyn cho hc sinh thúi quen gii quyt mt theo nhiu cỏch khỏc nhau, t ú rt cú ớch cuc sng hin i ngy Trong quỏ trỡnh dy hc tụi thy bi toỏn IMO sau õy rt thỳ v, bi toỏn ú l: Cho tam giỏc ABC cú di ba cnh l a, b, c v cú din tớch l S Chng minh rng: a + b + c S Tụi thy rng cú rt nhiu cỏch tớnh din tớch tam giỏc, t ú ta cú th chng minh bi toỏn thỳ v ny theo nhiu cỏch khỏc Mt khỏc, gia mt phng v khụng gian cú mi liờn h vi nhau, cỏc tớnh cht mt phng cú th m rng khụng gian, vỡ vy ta cú th m rng bi toỏn ny khụng gian cho t din Vi nhng lý trờn tụi chn ti Phỏt trin t cho hc sinh thụng qua gii bi toỏn IMO theo nhiu cỏch v m rng bi toỏn Trong ti ny tụi trỡnh by 16 cỏch gii khỏc cho bi toỏn ó nờu, ng thi m rng bi toỏn mt phng v khụng gian 1.2 Mc ớch nghiờn cu - Giỳp hc sinh bit cỏch dng kin thc gii quyt nhiu cỏch khỏc - Rốn luyn k nng m rng bi toỏn theo nhiu hng 1.3 i tng nghiờn cu L hc sinh khỏ, gii lp 12I, 12K trng THPT Tõy Hiu 1.4 K hoch nghiờn cu - T 20/09/2015 n 15/10/2015: Chn ti, vit cng nghiờn cu - T 16/10/2015 n 20/12/2015: c ti liu lý thuyt, vit c s lý lun - T 21/12/2015 n 16/02/2016: p dng ti vo thc tin - T 17/02/2016 n 15/04/2016: Vit bỏo cỏo, trỡnh by bỏo cỏo trc t chuyờn mụn v xin ý kin úng gúp - T 16/04/2016 n 10/05/2016: Hon thin bỏo cỏo 1.5 Phng phỏp nghiờn cu - c cỏc ti liu liờn quan vit c s lý thuyt - Phng phỏp thc nghim - Phng phỏp thng kờ, x lý s liu NI DUNG 2.1 Mt s kt qu thng gp tam giỏc KQ1 Cụng thc din tớch tam giỏc 1 abc S = a.ha = ab sin C = = pr 2 4R = p ( p a )( p b)( p c) ( cụng thc Hờ rụng) = ( a 2b + b c + c a ) ( a + b + c ) (1) Chng minh cụng thc (1) ( cỏc cụng thc cũn li cú sỏch giỏo khoa 10) Cỏch Theo cụng thc Hờ rụng ta cú 16 S = p ( p a )( p b)( p c) = (a + b + c)(a + b c)(b + c a )(c + a b) = (b + c) a a (b c)2 = 2bc + (b + c a 2bc (b + c a ) = 4b 2c (b + c a ) = 2(a 2b + b 2c + c a ) (a + b + c ) ( a 2b + b c + c a ) ( a + b + c ) S= Cỏch p dng nh lý hm cosin ta cú a = b + c 2bc cos A 2bc cos A = b + c a 4b 2c (1 sin A) = b + c + a + 2b 2c 2c a 2a 2b 4b 2c = 2(a 2b + b 2c + c a ) (a + b + c ) 1 S = bc sin A = ( a 2b + b c + c a ) ( a + b + c ) KQ2 Trong mi tam giỏc ABC ta cú A B C r = ( p a ) tan = ( p b ) tan = ( p c ) tan 2 Chng minh Xột tam giỏc ABC cú ng trũn nt tip tõm I tip xỳc cnh BC, CA, AB ti M, N, P Khi ú ta cú AP = AN , BP = BM , CM = CN A N P I C B M Trong tam giỏc vuụng API ta cú A AP + BP + AN + CN BM CM A = tan 2 AB + AC BC A A = tan = ( p a ) tan 2 Chng minh tng t ta cú cỏc kt qu cũn li r = PI = AP.tan KQ3 Trong tam giỏc ABC ta cú cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 (2) (3) Chng minh (2) Trong tam giỏc ABC ta cú cot( A + B ) = cot( C ) cot A cot B = cot C cot A + cot B cot A cot B = cot C cot A cot C cot B cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = Chng minh (3) Trong tam giỏc ABC ta cú A B C tan + = tan 2 2 A B tan + tan 2 = A B C tan tan tan 2 A C B C A B tan tan + tan tan = tan tan 2 2 2 A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 KQ4 Trong tam giỏc ABC ta cú 3 A B C tan tan tan 2 3 A B C tan + tan + tan 2 cot A + cot B + cot C sin A + sin B + sin C (4) (5) (6) (7) Chng minh (4) Trc ht ta chng minh sin x + sin y 2sin xy x = y x+ y vi x, y ( 0; ) ng thc x+ y x y x+ y cos 2sin ng thc xy x = y 2 p dng bt ng thc trờn ta cú C + A+ B sin A + sin B + sin C + sin sin + sin 2 A+ B +C + 4sin =2 3 sin A + sin B + sin C ng thc xy tam giỏc ABC u Ta cú sin x + sin y = 2sin Chng minh (5) Ta cú A B B C C A A B C = tan tan + tan tan + tan tan 3 tan tan tan 2 2 2 2 A B C tan tan tan 2 3 ng thc xy tam giỏc ABC u Chng minh (6) A B B C C A Ta cú tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 p dng bt ng thc c bn ( x + y + z ) 3( xy + yz + zx) ta cú 2 A A A A B B C C A tan + tan + tan tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 2 A B C tan + tan + tan 2 ng thc xy tam giỏc ABC u Chng minh (7) Ta cú cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = p dng bt ng thc c bn ( x + y + z ) 3( xy + yz + zx) ta cú cot A + cot B + cot C ng thc xy tam giỏc ABC u 2.2 Bi toỏn [IMO 1961] Cho tam giỏc ABC cú di ba cnh l a, b, c v cú din tớch l S Chng minh rng: a + b + c S Cỏch Ta thy v trỏi l mi liờn h cnh, vỡ vy ta s dng cụng thc Hờ rụng gii bi toỏn ny Ta cú pa+ pb+ pc S = p ( p a )( p b)( p c) p p2 ( a + b + c ) = = a + b2 + c 3 ng thc xy tam giỏc ABC u Cỏch S dng cụng thc Hờ rụng kt hp bt ng thc Cụsi Trc ht ta chng minh bt ng thc quen thuc 8( p a )( p b)( p c) abc Ta cú 8( p a )( p b)( p c) = ( p a )( p b) ( p b)( p c) ( p c)( p a ) (2 p a b)(2 p b c)(2 p c a ) = abc p dng bt ng thc trờn ta cú 48S = 48 p ( p a )( p b)( p c) 48 pabc =3(a + b + c)abc 3(a + b + c ) (a + b + c ) = ( a + b2 + c ) 9 Ly cn bc hai hai v ta cú iu phi chng minh ng thc xy tam giỏc ABC u Cỏch Theo cụng thc din tớch Hờ rụng ta cú 16 S = 2(a 2b + b 2c + c a ) (a + b + c ) Vi mi s thc x, y, z ta cú x + y + z xy + yz + zx p dng bt ng thc trờn ta cú: a + b + c a 2b + b c + c a 2 ( a + b + c ) ( a 2b + b 2c + c a ) ( a + b + c ) ( a + b + c ) 48S a + b + c S ng thc xy tam giỏc ABC u Cỏch Theo nh lý cosin c = a + b 2ab cos C v cụng thc din tớch S = ab sin C , bt ng thc cn chng minh tr thnh a ab(cos C + sin C ) + b a 2ab sin C + + b Xột f (a ) = a 2ab sin C + + b , ta xem f (a ) l tam thc bc hai n a vi h s bc hai bng 1, m ' = b sin C + b Do ú hin nhiờn f (a ) Vy bt ng thc ó cho l ỳng ng thc xy tam giỏc ABC u Cỏch Bin i tng ng Ta cú a + b + c S = a + b + (a + b 2ab cos C ) 3ab sin C = 2(a b)2 + 4ab cos C + 0, t ú ta cú iu phi chng minh ng thc xy tam giỏc ABC u Cỏch Theo nh lý cosin tam giỏc ta cú a = b + c 2bc cos A = b + c S cot A, b = c + a 2ca cos B = c + a S cot B, c = a + b 2ab cos C = a + b 4cot C Suy a + b + c = 4S (cot A + cot B + cot C ) S T ú ta cú iu phi chng minh ng thc xy tam giỏc ABC u A B B C C A A B C = tan tan + tan tan + tan tan 3 tan tan tan 2 2 2 2 tan A B C tan tan 2 3 Ta cú A B C a +b + c 2 S = pr = p tan tan tan a +b +c 2 ng thc xy tam giỏc ABC u Cỏch 11 Gi G l trng tõm, O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ta cú 3OG = OA + OB + OC , ú 9OG = OA2 + OB + OC + OAOB + OBOC + OCOA ( ) = 3R + ( OA2 + OB AB ) + ( OB + OC BC ) + ( OC + OA2 AC ) = R (a + b + c ) Do OG nờn a + b + c R = 16 S (a + b + c ) 9a 2b 2c 48S ( a + b + c 2 ) a 2b c T ú suy 16 S (a + b2 + c ) 3 a + b + c S ng thc xy tam giỏc ABC u Cỏch 12 S dng tớnh cht tõm ng trũn ni tip tam giỏc A N P B I M C 11 Gi I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc, M , N , P ln lt l hỡnh chiu ca I lờn BC, CA, AB Ta cú aIM + bIN + cIP = Tht vy, t u = aIM + bIN + cIP = Ta cú u.BC = aIM BC + bIN BC + cIP.BC = b.r.a.sin C c.r.a.sin B = (b sin C c sin B ) = (2 R sin B sin C R sin C sin B ) = Suy u vuụng gúc BC Chng minh tng t ta cú u vuụng gúc CA M BC , CA khụng cựng phng ú ta cú u = hay aIM + bIN + cIP = Bỡnh phng hai v ng thc aIM + bIN + cIP = ta cú a r + b r + c r 2abr cos C 2bcr cos A 2car cos B = a + b + c = 2ab cos C + 2bc cos A + 2ca cos B = S cot C + S cot A + S cot B = S ( cot A + cot B + cot C ) S T ú ta cú iu phi chng minh ng thc xy tam giỏc ABC u Cỏch 13 Ta s dng cụng din tớch S = ah A B H M C Xột tam giỏc ABC cú M trung im BC v H l chõn ng cao k t A 3BC 3BC Ta cú S = 3BC AH AM + AM 3a b + c a = + = a + b2 + c2 12 ng thc xy tam giỏc ABC u Cỏch 14 Khụng mt tớnh tng quỏt gi s a b c Khi ú ta cú BAC 600 A B C D Dng tam giỏc u ACD cho B, D cựng phớa i vi AC p dng nh lý cosin cho ta giỏc ABD ta cú BD = AB + AD AB AD.cos BAD = c + b 2cb.cos ( A 600 ) = b + c 2bc ( cos A.cos 600 + sin A.sin 600 ) b + c a ) 3bc sin A = a + b + c S ( Do BD nờn ta suy iu phi chng minh ng thc xy tam giỏc ABC u ( = b2 + c2 ) Cỏch 15 Khụng mt tớnh tng quỏt gii s A 600 Dng tam giỏc BAM vuụng ti M cú BAM = 300 , im M, C nm cựng phớa vi ng thng b AB Dng tam giỏc NAC vuụng ti N cú CAN = 300 , im N, B nm cựng phớa vi vi ng thng b AC A 30 30 B C M N 13 c b , AN = AC.cos300 = 2 p dng nh lý cosin cho tam giỏc MAN ta cú MN = AM + AN AM AN cos MAN 3c 3b 3bc = + cos( A 600 ) 4 2 3b + 3c 3bc = cos A.cos 600 + sin A sin 600 ) ( 3b + 3c 3bc cos A 3bc sin A = 4 2 2 3b + 3c 3(b + c a ) 3S = 3(a + b + c S 3) = Vỡ MN nờn ta cú a + b + c S ng thc xy tam giỏc ABC u Ta cú AM = AB.cos300 = Cỏch 16 Khụng mt tớnh tng quỏt gii s A 600 Dng phớa ngoi tam giỏc ABC cỏc tam giỏc u ABM v CAN N M A B C p dng nh lý cosin cho tam giỏc AMN ta cú MN = AM + AN AM AN cos MAN = c + b 2bc.cos(2400 A) = b + c 2bc(cos 2400 cos A + sin 2400 sin A) 14 = b + c + bc cos A + 3bc sin A b2 + c2 a2 2 =b +c + + 2S 2 M MN ( AM + AN ) = ( b + c ) 2(b + c ) , suy b2 + c2 a 2(b + c ) b + c + + 2S a + b + c S ng thc xy tam giỏc ABC u 2 2 2.3 M rng bi toỏn mt phng Bi toỏn trờn phỏt biu cho ly tha s m bng 2, ta cú th m rng bi toỏn ly tha vi s m chn bt kỡ ln hn Cho tam giỏc ABC cú din tớch S v di cỏc cnh l a, b, c Vi n * chng minh rng 2n 2n 2n n a 2n + b2n + c2n S + ( a b) + (b c ) + (c a ) n n n n n n + (b + c a ) b c + (c + a b) c a + ( a + b c ) a b chng minh bi toỏn ta chng minh cỏc b sau B x > y Cho , chng minh: x m y m ( x y ) m m Gii y x y Ta cú , nờn x x y m y m m x x y x y m m m + x y ( x y) m x y x x x y x x m = ng thc xy y = 15 B x, y , z > , chng minh rng Cho m m m xm + ym x + y xm + ym + zm x + y + z i) ii) , 3 Gii i) Cỏch Ta cú bt ng thc ó cho tng ng bt ng thc m m x y m + x+ y x+ y t t = x (k: < t < ), ta cú bt phng trỡnh x+ y f (t ) = t m + (1 t ) m 21m Ta cú f '(t ) = mt m1 m(1 t ) m1 Khi ú f '(t ) = t m1 = (1 t )m1 t = Bng bin thiờn t f '(t ) - + f (t) 21m Da vo bng bin thiờn ta cú f (t ) 21m , t ( 0;1) Vy bt ng thc ó cho ỳng Cỏch Theo bt ng thc Becnuli ta cú m x m x y m( x y ) = + 1+ x+ y x+ y x + y m m y yx m( y x ) x + y = + x + y + x + y 16 m m m 2x y xm + y m x + y + x + y x + y 2 m = ng thc xy x = y ii) Theo cõu i) ta cú m m x+ y+z m x + y + z z + m z+ xm + ym x+ y + + 2 m x+ y+z x+ y z+ m + x+ y+z 2 m m m m x +y +z x+ y+z 3 m = ng thc xy x = y = z x, y , chng minh B Cho m m 2 m m m i) ( x + y ) x + y , m xm + ym x + y x y ii) + 2 Gii i) Nu x = hoc y = thỡ bt ng thc hin nhiờn ỳng x2 y2 Nu x, y > thỡ ta cú: < , < , ú ta cú x + y x2 + y 17 m 2 x2 x x + y x + y2 xm + y m m m 2 2 y (x + y ) y x2 + y x + y T ú ta cú iu phi chng minh ii) Theo bt ng thc i) ta cú m x y x+ y + m x + y x y + 2 m m x2 + y xm + y m ( theo b 2i) m = ng thc xy x = y B Trong tam giỏc ABC ta cú a + b + c S + (a b) + (b c) + (c a )2 Hay ( p a )( p b) + ( p b)( p c) + ( p c)( p a ) S Gii Cỏch Theo cỏch chng 10 mc 2.1 ta cú A B C a + b + c = (a b)2 + (b c) + (c a )2 + S tan + tan + tan 2 A B C M tan + tan + tan 3, t ú ta cú iu phi chng minh 2 Cỏch Ta cú: a + b + c S + (a b) + (b c) + (c a )2 2 a ( b c ) + b ( c a ) + c ( a b ) S 4( p b)( p c) + 4( p c)( p a ) + 4( p a )( p b) S xy + yz + zx S (vi x = p a; y = p b; z = p c ) xy + yz + zx xyz ( x + y + z ) ( vỡ S = p ( p a )( p b)( p c) = xyz ( x + y + z ) ) 18 ( xy + yz + zx)2 xyz ( x + y + z ) ( xy yz ) + ( yz zx) + ( zx xy ) Bt ng thc cui luụn ỳng, t ú ta cú iu phi chng minh ng thc xy tam giỏc ABC u Quay li chng minh bi toỏn a > b c a > (b c)2 Trong tam giỏc ABC ta cú b > c a b > (c a )2 c > ( a b) c > a b Do ú, theo b ta cú a n b c 2n a b c n = p b p c n ( ) ( )( ) 2n n 2n = ( p c )( p a ) n b c a b c a ( ) n c n a b n c ( a b ) = ( p a )( p b ) n a 2n + b2n + c 2n a b 2n bc 2n ca n n [ 4( p b)( p c)] + [ 4( p c)( p a)] 2n n n [ 4( p c)( p a)] + [ 4( p a)( p b)] + n n [ 4( p a)( p b)] + [ 4( p b)( p c)] + n 4( p b)( p c) + 4( p c)( p a ) + (a + b c) n a b n 4( p c)( p a ) + 4( p a )( p b) + + (b + c a ) n b c n 4( p a )( p b) + 4( p b)( p c) + + (c + a b ) n c a ( b 3ii) n n [ 2( p b)( p c) + 2( p c)( p a )] + [ 2( p c)( p a ) + 2( p a )( p b) ] n n + [ 2( p a )( p b) + 2( p b)( p c) ] + (a + b c) n a b + n (b + c a ) n b c + (c+ a b) n c a n 19 n n 4( p a )( p b) + 4( p b)( p c) + 4( p c)( p a ) + ( a + b c) n a b n n + (b + c a ) n b c + ( c + a b ) n c a (theo b 2ii) n n n n 4S n n n + ( a + b c ) a b + ( b + c a ) b c + ( c + a b ) c a ( theo b 4) n 2n 2n 2n n Vy a n + b n + c n S + ab + bc + ca n n n +(a + b c) n a b + (b + c a )n b c + (c + a b) n c a ng thc xy tam giỏc ABC u 2.4 M rng bi toỏn khụng gian Tam giỏc mt phng v t din khụng gian cú mi liờn h bin chng, nhiu tớnh cht tam giỏc c m rng khụng gian i vi t din Do ú, bi toỏn ny ta cú th m rng khụng gian thnh bi toỏn sau: Cho t din ABCD, t S A = SBCD , S B = S CDA , SC = S DAB , S D = S ABC , V l th tớch t din ABCD Chng minh rng 27 S A3 + S B3 + SC3 + S D3 V Gii Trc ht ta chng minh cỏc b sau B Vi mi s thc a, b, c, x, y, z ta cú a + x + b + y + c + z ( a + b + c ) + ( x + y + x) Chng minh Trong h trc ta Oxy, xột cỏc im A(a; x), B (b; y ), C (c; z ) Khi ú ta cú OA = a + x , OB = b + y , OC = c + z OA + OB + OC = (a + b + c) + ( x + y + z ) 20 Mt khỏc, ta luụn cú OA + OB + OC OA + OB + OC , suy iu phi chng minh ng thc xy OA , OB , OA cựng hng hay x y z = = a b c B Trong tam giỏc ABC ta cú ( a + b + c ) 12 S Chng minh Theo bi toỏn 2.1 ta cú a + b + c S 1 Mt khỏc ta cú ab + bc + ca = S + + sin A sin B sin C 2S 4S sin A + sin B + sin C 2(ab + bc + ca ) 8S (*) (**) T (*) v (**) ta cú a + b + c + 2(ab + bc + ca ) 12 S (a + b + c) 12 S ng thc xy tam giỏc ABC u D K A E H C F B Quay tr li bi toỏn Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D lờn mt phng (ABC) Gi E, F, K ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca H lờn AB, BC, CA 21 t DH = h, HF = x, HK = y, HE = z p dng nh lý Pitago ta cú DF = h + x , DK = h + y , DE = h + z Do ú S A + S B + SC = ( BC.DF + CA.DK + AB.DE ) = a h2 + x + b h2 + y + c h2 + z 2 = (ah) + (ax)2 + (bh)2 + (by ) + (ch)2 + (cz ) 2 2 ( ah + bh + ch ) + ( ax + by + cz ) ( Theo b 5) 2 = ( a + b + c ) h + ( SHBC + SHCA + SHAB ) 12 S D 3h + S D2 ( Theo b 6) 2 ( S A + S B + SC ) 3S D h + S D2 ) ( ( ) ( S A + S B + SC + S D )( S A + S B + SC S D ) 3S D h ( S A + S B + SC + S D )( S A + S B + SC S D ) S D 54 Sh S + S B + SC S D + S D ( S A + S B + SC + S D ) A 54 3V ( S A + S B + SC + S D ) 216 3V 16 ( S A3 + S B3 + SC3 + S D3 ) 216 3V S A3 + S B3 + SC3 + S D3 ng thc xy t din ABCD u 27 V 3 THC NGHIM S PHM 3.1 Kt qu t thc tin Trc dy thc nghim tụi kho sỏt lp 12I v 12K Qua kt qu kho sỏt tụi thy rng phn ln hc sinh bng lũng vi mt cỏch gii m mỡnh tỡm c v cng khụng hng thỳ tỡm cỏch gii khỏc Sau dy thc nghim cho lp 12I tụi thy cỏc em cú hng thỳ hn gii toỏn, cỏc em luụn cú xu hng tỡm tũi cỏch gii khỏc Nhiu em ó tỡm nhiu cỏch gii c ỏo 22 3.2 Kt qu thc nghim Sỏng kin c ỏp dng nm hc 2015 2016 Thc nghim c tin hnh ti lp 12I (36 hc sinh) v 12K (40 hc sinh) trng THPT Tõy Hiu, th xó Thỏi Hũa, Ngh An Trong ú lp 12I c ỏp dng sỏng kin, lp 12K khụng ỏp dng sỏng kin Sau dy thc nghim, tụi cho lp lm bi kim tra sau TRNG THPT TY HIU KIM TRA KHO ST THC NGHIM Thi gian: 45 phỳt bi: Chng minh bt ng thc sau bng cỏch v m rng bi toỏn a + b + c ab + bc + ca Kt qu kho sỏt Loi Lp 12I 12K Gii Khỏ 13.9% 0% 25% 0% Trung bỡnh 36.1% 27.5% Y u Kộm 13.9% 30% 11.1% 42.5% Nhn xột kt qu kho sỏt: Lp 12K khụng dy thc nghim nờn hu ht cỏc em ch gii c mt cỏch v khụng m rng c bi toỏn Ngc li, lp 12I c dy thc nghim nờn hu ht cỏc em gii c hai cỏch tr lờn v m rng c bi toỏn Tng hp cỏch gii ca hc sinh v m rng Cỏch p dng bt ng thc x + y xy ta cú a + b 2ab 2 2 b + c 2bc 2a + 2b + 2c 2ab + 2bc + 2ca c + a 2ca a + b + c ab + bc + ca ng thc xy a = b = c Cỏch Ta cú a + b + c ab + bc + ca 2a + 2b + 2c 2ab 2bc 2ca (a b) + (b c) + (c a ) Bt ng thc cui ỳng nờn bt ng thc ó cho ỳng 23 ng thc xy a = b = c Cỏch Bt ng thc ó cho tng ng vi bt ng thc a (b + c)a + b + c bc (*) Xột tam thc bc hai n a l f (a ) = a (b + c)a + b + c bc Ta cú = (b + c)2 4b 4c + 4bc = 3(b c) Do ú f (a ) hay bt ng thc (*) ỳng Vy bt ng thc ó cho ỳng ng thc xy a = b = c Cỏch Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s c b a Ta cú (a b)(a c) a ca ab + bc a ab + ca bc a + b + c ab + ca bc + b + c a + b + c ab + ca + bc + (b c) ab + bc + ca ng thc xy a = b = c Cỏch Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s c b a Ta cú bt ng thc ó cho tng ng vi bt ng thc a ab + b bc + c ca a (a b) + b(b c) + c(c a ) a (a b) + b(b c) + c(c b) + c(b a ) (a b)(a c) + (b c)2 (*) Do c b a nờn bt ng thc (*) ỳng Vy bt ng thc ó cho ỳng ng thc xy a = b = c 1 2 Cỏch Ta cú a + b + c = ab + bc + ca + ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) 2 2 2 a + b + c ab + bc + ca ng thc xy a = b = c M rng M rng theo hng tng s m Cho cỏc s thc a, b, c ta cú a n + b n + c n (ab) n + (bc)n + (ca ) n , n * M rng M rng theo hng tng s hng Cho cỏc s thc a1 , a2 , , an ta cú a12 + a22 + + an2 a1a2 + a2 a3 + + an a1 KT LUN Vic bi dng t cho hc sinh l vic lm cn thit v thng xuyờn c bit l gii bi toỏn theo nhiu cỏch khỏc nhau, qua ú hc sinh rốn luyn c cỏch tip cn bi toỏn theo nhiu hng khỏc iu ny khụng nhng to hng thỳ cho hc sinh hc m cũn trau di kh nng x lý tỡnh 24 hung, mt k nng quan trng trng cuc sng hin Qua quỏ trỡnh ging dy tụi thy hc sinh cú hng thỳ hn hc mụn Toỏn, c bic cỏc em khụng bng lũng vi mt cỏch gii m luụn c gng tỡm tũi nhiu cỏch gii c ỏo ti ny ó c trỡnh by, trao i v gúp ý vi t Toỏn Tin v hi ng chm sỏng kin kinh nghim trng THPT Tõy Hiu Cỏc thnh viờn ó úng gúp ý kin quý bỏu cho ti Mc dự ó c gng nhng ti khụng trỏnh thiu sút Mong ban giỏm kho cng nh ng nghip giỳp ti c hon thin hn Thỏi Hũa, ngy 12 thỏng 05 nm 2016 Tỏc gi Vừ Nam Phong TI LIU THAM KHO Sỏch giỏo khoa Hỡnh hc 10 nõng cao Nh xut bn giỏo dc Tp Toỏn hc v tui tr Ti liu trờn Internet Phan Huy Khi, 500 BI TON CHN LC V BT NG THC 1, Nh xut bn H Ni, 1997 25 ... có vai trò quan trọng chương trình THPT Toán học giúp cho học sinh kỹ tính toán mà phát triển tư cho học sinh, đặc biệt tư sáng tạo, khái quát… Trong toán học, việc phát triển tư cho học sinh. .. tứ diện Với lý chọn đề tài “ Phát triển tư cho học sinh thông qua giải toán IMO theo nhiều cách mở rộng toán” Trong đề tài trình bày 16 cách giải khác cho toán nêu, đồng thời mở rộng toán mặt phẳng... dưỡng tư cho học sinh việc làm cần thiết thường xuyên Đặc biệt giải toán theo nhiều cách khác nhau, qua học sinh rèn luyện cách tiếp cận toán theo nhiều hướng khác Điều tạo hứng thú cho học sinh