Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác giải một số bài toán trong thực tế

S GIO DC V O TO THANH HO TRNG THPT ễNG SN sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng hệ thức lợng tam giác giảI số toán thực tế Mụn: Toỏn hc H v tờn : PHAN ANH THNG Chc v: Giỏo viờn Thanh húa, thỏng 05 nm 2017 MC LC Trang DANH MC CC CH VIT TT . Phn -T VN 1.1 - Lý chn ti 1.2 - Mc ớch nghiờn cu ti 1.3 - Phm vi nghiờn cu ti 1.4 - Nhim v nghiờn cu ca ti 1.5 - Phng phỏp nghiờn cu ti Phn -GII QUYT VN 2.1 - C s lý thuyt . 2.2 - Cỏc bc gii bi toỏn thc t v o khong cỏch .5 2.3 - Mt s bi toỏn thc t v o khong cỏch v vớ d .5 Phn -KT LUN 14 DANH MC CC CH VIT TT THPT: Trung hc ph thụng; SKKN: Sỏng kin kinh nghim GD&T: Giỏo dc v o to Phn 1: T VN 1.1 - Lý chn ti T vic c quỏn trieetjvaf thc hin NQ_29/NQ-TW ng khúa XI v vic i mi cn bn ton din GD&T phc v cho s nghip CCNH-HH t nc Cng vỡ vic quỏn trit v thc hin mc tiờu nghuờn lý phng chõm GD ca ng ging dy toỏn hc gn vi si sng phc v sn xut Thc t ging dy mụn Toỏn chung v trng trung hc ph thụng núi riờng cha chỳ trng nhiu n cỏc bi toỏn cú ni dung thc t t xõy dng c bn, giao thụng ti Chớnh vỡ lớ ú m nhiu hc sinh THPT hin k nng dng kin thc toỏn gii quyt cỏc bi toỏn thc t cha cao Vỡ vy chn ti i mi scahs day v hc nhm giỳp hc sinh nõng cao nhn thc hỡnh thnh khc sõu kin thc, rốn luyn k nng tớnh toỏn dng vo thc t lao ụng sn xut l rn luyn k nng sng cho hc sinh t nhng kin thc Toỏn hc T nhng lớ trờn, tụi chn ti ng dng h thc lng tam giỏc gii mt s bi toỏn thc t 1.2 - Mc ớch nghiờn cu ti ti ng dng h thc lng tam giỏc gii mt s bi toỏn thc t ny s giỳp hc sinh bit cỏch ng dng cỏc h thc lng tam giỏc vo gii mt s bi toỏn thc t quen thuc Hỡnh thnh v rốn luyn k nng tớnh toỏn o c Vn dng vo thc t gii quyt nhng o c tớnh toỏn i sng t nht l thi k thc hin cụng nghim húa hin i húa t nc phỏt trin kinh t th trng hi nhp Giỳp hc sinh thy c toỏn hc cú nhiu ng dng thc t, qua ú kớch thớch nim am mờ, hng thỳ hc toỏn hc sinh 1.3 - Phm vi nghiờn cu ti 1.3.1 Khỏch th: Chng trỡnh mụn Toỏn THPT nh cu tớnh toỏn o c ca mt s lnh vc ttrong sn xut xõy dng i mi 1.3.2 Ch th: Hc sinh THPT l ch nhõn tng lai t nc phi bit dng kin thc H thc lng tam giỏc gi quyt nhng cuc sng 1.3.3 i tng: Cỏc bi toỏn thc t cú liờn quan n o khong cỏch 1.4 - Nhim v nghiờn cu ca ti ti ng dng h thc lng tam giỏc gii mt s bi toỏn thc t cung cp cho hc sinh phng phỏp, k nng gii cỏc bi toỏn thc t cú liờn quan n o khong cỏch 1.5 - Phng phỏp nghiờn cu ti Thc nghim i chng, rỳt kt qu hc v dy theo yờu cu i mi phng phỏp ti c nghiờn cu bng phng phỏp phõn tớch v tng hp Phn : GII QUYT VN 2.1 - C S Lí THUYT 1.1 nh lớ cụsin tam giỏc a nh lớ Trong tam giỏc ABC bt kỡ vi BC = a, CA = b, AB = c ta cú: a2 = b2 + c2 2bccosA; b2 = a2 + c2 2accosB; c2 = a2 + b2 2abcosC; b H qu: T nh lớ cụsin ta suy ra: b2 + c2 a2 cos A = ; 2bc a2 + c2 b2 cosB = ; 2ac a2 + b2 c2 cosC = ; 2ab 1.2.nh lớ sin tam giỏc nh lớ Trong tam giỏc ABC bt kỡ vi BC = a, CA = b, AB = c v R l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip, ta cú: a b c = = = 2R sin A sinB sinC Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc Cho tam giỏc ABC, kớ hiu: + di ba cnh l: BC = a, CA = b, AB = c ; + , hb, hc l cỏc ng cao ca tam giỏc ABC ln lt v t cỏc nh A, B, C; + S l din tớch ca tam giỏc ABC; + R, r ln lt l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip, ni tip tam giỏc ABC; + Na chu vi tam giỏc ABC l p = a + b+ c ; Din tớch S ca tam giỏc ABC c tớnh theo mt cỏc cụng thc sau: 1 S = aha = bhb = chc ; 2 (1) 1 S = absinC = bcsin A = acsinB ; 2 (2) S= abc ; 4R (3) S = pr ; S = p( p a) ( p b) ( p c) ; (4) (cụng thc Hờ rụng) (5) 2.2 - CC BC GII BI TON THC T V O KHONG CCH ti ny c trỡnh by v vic ng dng ca h thc lng tam giỏc gii mt s bi toỏn khong cỏch thng gp, gn gi thc t m nhiu hc sinh cũn gp khú khn gii quyt vi cỏc dng c c dựng l: Thc o chiu di, thc o gúc v mỏy tớnh cm tay 2.1 Tỡm hiu yờu cu bi toỏn Tỡm hiu xem bi toỏn yờu cu o cỏi gỡ 2.2.Xõy dng mụ hỡnh toỏn hc thớch hp v gii bi toỏn trờn lớ thuyt Trờn c s yờu cu bi toỏn cn xõy dng mụ hỡnh toỏn hc phự hp cú th gii c bi toỏn theo lớ thuyt 2.3.Tin hnh o c ly s liu S dng cỏc dng c l: Thc o chiu di o khong cỏch, thc o gúc ly s liu t thc t trờn c s mụ hỡnh toỏn hc ó xõy dng 2.4.Tớnh toỏn trờn s liu o c S dng cỏc h thc lng tam giỏc, mỏy tớnh cm tay tỡm kt qu theo yờu cu 2.5.Kt lun Da trờn kt qu tỡm c t thc t tr li yờu cu bi toỏn ban u 2.3 - MT S BI TON THC T V O KHONG CCH V V D 2.4 - Gii bi toỏn trờn lý thuyt B Cho tam giỏc Vuụng ABH ( vuụng ti H) p dng h thc lng tam giỏc vuụng ta cú ã ã HB tan BHAữ = HB = HA tan BAH ữ HA H d A HB = d.tan 4.1.o chiu cao ca mt cõy Tỡm hiu yờu cu bi toỏn: o chiu cao ca mt cõy Xõy dng mụ hỡnh toỏn hc v gii bi toỏn: + Ly hỡnh nh c th minh ha: Cõy cau Trng THPT ụng sn + Xõy dng tam giỏc ABH vuụng ti H, ú B ng vi v trớ ca im cao nht ca cõy, A ng vi v trớ trờn mt t cỏch gc cõy mt khong AH, H thuc thõn cõy cho H l hỡnh chiu ca A trờn thõn cõy, O ng vi v trớ ca gc cõy (Hỡnh 2) Tin hnh o c ly s liu: + S dng thc o gúc o gúc ã BAH = a0 ; + S dng thc o chiu di o khong cỏch AH=d v o khong cỏch OH=l; Vớ d 1: o chiu cao ca mt cõy thụng Trc ht ta xõy dng mụ hỡnh toỏn hc nh Hỡnh trờn ri o c ly kt qu s liu nh sau: khong cỏch t im A n im H l hỡnh chiu ca im A trờn gc cõy l AH=10m, khong cỏch t im H trờn gc cõy n mt t l OH=1m Gi B l im cao nht ca cõy cau, ta o ã ã gúc BAH ca tam giỏc ABH vuụng ti H, ta c BAH = 43.50 Gii: Xột tam giỏc ABH vuụng ti H Ta cú: ã HB = HA.tanBAH HB = 10.tan43.50 hay HB = 9.49m Do ú cõy cau cú chiu cao khong: OB = HB + HO = 10.49m 4.2.o chiu rng ca mt ao cỏ Tỡm hiu yờu cu bi toỏn: o chiu rng ca mt ao cỏ Xõy dng mụ hỡnh toỏn hc v gii bi toỏn: B d A Hỡnh C + Ly hỡnh nh c th minh ha: Ao cỏ sau Trng THPT ụng Sn (Hỡnh 3) + Gi d l chiu rng (mt nc) ao cn o + Xõy dng tam giỏc ABC nh sau (Hỡnh 3): Chn im B l im b kố ỏ phớa bờn b ao on ta kho sỏt o c bit chiu rng ca ao Chn im A v trớ phớa b ao on ta kho sỏt o c bit chiu rng ca ao, im A b kố ỏ bờn ny ao Phớa b ao cú chn im A ta chn tip im C Tin hnh o c ly s liu: + S dng thc o chiu di o khong cỏch hai im A v C, ta c: AC=l; + S dng thc o gúc o hai gúc ca tam giỏc ABC l: ( ) ã 0 ã ã BAC = 0, BCA = ú ABC = 180 + ; + p dng nh lớ sin tam giỏc, ta cú: + Suy ra: d = l sin0 ( sin + b d bsinC = c= sinB sinC sinB ) Tớnh toỏn trờn s liu o c: + Gi d l chiu rng (mt nc) ca ao cn o ã ã + Xột tam giỏc ABC, cú AC = 55m, BAC = 125.50, BCA = 48.50 + p dng nh lớ sin tam giỏc, ta 55sin48.50 AC AB AC sinC = AB = Suy ra: AB = sin 1800 48.50 125.50 sinB sinC sinB ( cú: ) hay AB = 394.08m 2.5 - Bi toỏn kho c hc Hỡnh Khi khai qut mt ngụi m c, ngi ta tỡm c mt mnh ca chic a phng hỡnh trũn b v Da vo cỏc ti liu ó cú, cỏc nh kho c ó bit hỡnh v trờn phn cũn li ca chic a H mun lm mt chic a mi phng theo chic a ny Em hóy giỳp h tỡm bỏn kớnh chic a Tỡm hiu yờu cu bi toỏn: tỡm bỏn kớnh ca chic a Xõy dng mụ hỡnh toỏn hc v gii bi toỏn: + Ly hỡnh nh c th minh ha: (Hỡnh 4) + Ly im A, B, C trờn cung trũn (mộp a) Bi toỏn tr thnh tỡm R bit a, b, c Ta cú: S= S= p( p a )( p b)( p c ) , p = a+b+c abc abc R= 4R 4S Tin hnh o c ly s liu: Ta cú AB = 4,3 cm; BC = 3,7 cm; AC = 7,5 cm Tớnh toỏn trờn s liu o c: + Xột tam giỏc ABC ta cú p = AB + AC + BC = 4,3 + 3,7 + 7,5 p = 7,75 S= p( p a )( p b)( p c ) = 7, 75(7, 75 4,3)(7, 75 3, 7)(7, 75 7.5) S = 27, 07 S= 4,3.3, 7.7,5 abc abc R= => R = 27, 07 4R 4S = 5,7 cm Nhn xột: Bi toỏn kho c hc m cũn cú th dựng cụng nghip thc phm (Ch to hp ng bỏnh qui, ch to bỏnh quy theo mu l phn bỏnh qui), cụng nghip ch to mỏy (lm li phn b hng ca bỏnh xe, bỏnh lỏi tu, ), 5.1.o chiu cao ca thõn thỏp trờn nỳi Tỡm hiu yờu cu bi toỏn: o chiu cao ca thõn thỏp trờn nỳi Xõy dng mụ hỡnh toỏn hc v gii bi toỏn: + Ly hỡnh nh c th minh (Hỡnh 5): Ct c Lng Cỳ l mt ct c quc gia nm nh Lng Cỳ hay cũn gi l nh nỳi Rng (Long Sn) cú cao khong 1.700m so vi mc nc bin, thuc xó Lng Cỳ, huyn ng Vn, tnh H Giang, ni im cc Bc Hỡnh ca Vit Nam + Gi h l chiu cao ca thõn thỏp ct c trờn nỳi Lng Cỳ cn o + Gi im O l nh ca thõn thỏp; C l im ỏy ca thõn thỏp; hai im A, B l hai im thung lng di nỳi l hai v trớ c chn xõy dng cỏc tam giỏc ABC, ABO cho bn im A, B, C, O ng phng Gi H l hỡnh chiu ca O trờn ng thng AB (Hỡnh 6) + t HC = h1, HO = h2 + S dng thc o chiu di o khong cỏch hai im A, B l: l ã ã + S dng thc o gúc o cỏc gúc sau: CAH = 10, OAH = 20 , ã ã CBH = 10 , OBH = 20 + Xột tam giỏc ABC, cú AB=l, ã CAH = 10 , ã ã ã CBH = 10 CBA = 1800 10 Do ú ta cú: ACB = 10 10 BC AB = sin sin C p dng nh lớ sin vo tam giỏc ABC, ta cú: l sin 10 BC = sin ( 10 10 ) l sin 10 ã -Xột tam giỏc HBC vuụng ti H, cú BC = 0 , CBH = , ta sin ( ) cú: h1 = BC sin10 hay h1 = + Xột tam giỏc l sin10 sin10 ( ) ABO, cú sin 10 10 (1) ã OAH = 20 , AB=l, ã ã OBH = 20 OBA = 1800 20 Do ú ta cú: ãAOB = 20 20 BO AB = sin sin O p dng nh lớ sin vo tam giỏc ABO, ta cú: l sin 20 BO = sin ( 20 20 ) -Xột tam giỏc HBO vuụng ti H, cú BO = cú: h1 = BOsin hay h2 = l sin 20 sin20 ( sin 20 20 + T (1) v (2), ta cú: h = h2 h1 = ) l sin 20 ã , OBH = 20 , ta sin ( 20 20 ) (2) l sin 20 sin20 ( sin 20 20 ) l sin10 sin10 ( sin 10 10 ) Kt lun: Vy chiu cao ca thõn thỏp ct c trờn nh nỳi Lng Cỳ l: h = h2 h1 = l sin 20 sin20 ( sin 20 20 ) l sin10 sin10 ( sin 10 10 ) Ly s liu thc t o dc + Gi h l chiu cao ca thõn thỏp ct c trờn nỳi Lng Cỳ cn o + Xột tam giỏc ABC, cú AB=15m, ã CAH = 25.10 , ã ã ã CBH = 26.50 CBA = 153.50 Do ú ta cú: ACB = 1.40 p dng nh lớ sin vo tam giỏc ABC, ta cú: BC AB = sin sin C 15sin 25.10 BC = ; 260.43m sin ( 1.40 ) ã -Xột tam giỏc HBC vuụng ti H, cú BC ; 260.43m , CBH = 26.50 , ta cú: h1 = 260.43sin26.50 hay h1 ; 116.20m + Xột tam giỏc ABO, cú (*) AB=15m, ã OAH = 28.50 , ã ã OBH = 300 OBA = 1500 Do ú ta cú: ãAOB = 1.50 p dng nh lớ sin vo tam giỏc ABO, ta cú: BO AB = sin sin O 15sin 28.50 BO = ; 273.42m sin ( 1.50 ) ã -Xột tam giỏc HBO vuụng ti H, cú BO ; 273.42m , OBH = 300 , ta cú: + T (*) v (**), ta cú: h = h2 h1 = 20.51m Vy chiu cao ca thõn thỏp ct c trờn nh nỳi Lng Cỳ l khong: 20.51m 3.1 : Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim i vi hot ng giỏo dc, vi bn thõn, ng nghip v nh trng a) ỏnh giỏ nh tớnh H thc lng tam giỏc núi riờng, toỏn hc núi chung rt gn trt vi i sng thc t b) ỏnh giỏ nh lng Cỏc bi kim tra ca lp thc nghim 10A5 v 10A4 sau thc hin, c tin hnh chm, x lớ kt qu theo phng phỏp thng kờ toỏn hc cho kt qu tt Phn : KT LUN Qua ti ng dng h thc lng tam giỏc gii mt s bi toỏn thc t ó cp n mt s ng dng thng gp ca h thc lng tam giỏc v tớnh khong cỏch Do tm quan trng ca vic gii quyt cỏc bi toỏn cú ni dung thc t ngy cng cao, nờn chỳng ta cn thit a vo chng trỡnh nhiu bi toỏn cú ni dung thc t phong phỳ, a dng hc sinh c rốn luyn v k nng v phng phỏp gii quyt cỏc bi toỏn ú Hn na cn giỏo dc hc sinh nhn thc c vai trũ, tm quan trng ca vic ng dng kin thc toỏn gii cỏc bi toỏn cú ni dung thc t c bit chng trỡnh mụn toỏn nờn dnh mt lng thi gian nht nh giỏo viờn hng dn hc sinh thc hnh o c, tỡm hiu v gii cỏc bi toỏn cú ni dung thc t, t ú hng n gii quyt cỏc bi toỏn thc t t Trong vit ti ny, tụi chõn thnh cỏm n quý ng nghip, c bit l cỏc giỏo viờn t ó ng viờn v úng gúp nhiu ý kin quý bỏu ti c hon thnh Rt mong quý thy cụ t v ng nghip vui v, nhit tỡnh tip tc úng gúp ý kin cỏc ti ln sau tụi vit c tt hn Mt ln na tụi chõn thnh cỏm n! XC NHN CUA THU TRNG N VI Thanh Hoỏ, ngy 10 thỏng 05 nm 2016 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc (ky, ghi ro h tờn) Nguyn Th Thu Thy Phan anh Thng ... Đề tài Ứng dụng hệ thức lượng tam giác để giải số toán thực tế giúp học sinh biết cách ứng dụng hệ thức lượng tam giác vào giải số toán thực tế quen thuộc Hình thành rèn luyện kỹ tính toán đo... phương pháp thống kê toán học cho kết tốt Phần : KẾT LUẬN Qua đề tài Ứng dụng hệ thức lượng tam giác để giải số toán thực tế đề cập đến số ứng dụng thường gặp hệ thức lượng tam giác tính khoảng... (công thức Hê rông) (5) 2.2 - CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ĐO KHOẢNG CÁCH Đề tài trình bày việc ứng dụng hệ thức lượng tam giác để giải số toán khoảng cách thường gặp, gần gũi thực tế mà