Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC: 2015-2016 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên Sinh viên thực hiên: Trần Thị Như Quỳnh Dân tộc: Kinh Lớp, khoa: KHTN Ngành học: Nam, Nữ: Nữ Năm thứ: Sư phạm Toán học Giáo viên hướng dẫn: Ths Trần Thanh Phong Số năm đào tạo: Thủ Dầu Một, tháng năm 2016 UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Thông tin chung: - Tên đề tài: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG - Sinh viên thực hiện: Trần Thị Như Quỳnh - Lớp: C14TO03 Khoa: KHTN Năm thứ: số năm đào tạo: - Người hướng dẫn: Ths Trần Thanh Phong Mục tiêu đề tài: Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số tốn hình học phẳng Phân biệt hệ tọa độ affine hệ tọa độ trực chuẩn Nhận biết toán affine tốn Euclide Từ rút ưu điểm hệ tọa độ Tính sáng tạo: - Tuy đề tài mẻ với nhiều người, đề tài có tính chất quan trọng cần khai thác nghiên cứu sâu đưa vào giảng dạy - Dù vậy, đề tài hấp dẫn nhiều điều mẻ với Qua đây, tích lũy cho thân thêm kiến thức kinh nghiệm việc giải tốn hình học cổ điển, biết cách áp dụng kiến thức hệ tọa độ để giải toán phức tạp Kết nghiên cứu: - Đưa nhiều hướng chứng minh cho tốn Từ cơng đoạn chứng minh phức tạp đưa đơn giản dễ hiểu dễ áp dụng để thấy hiệu cần thiết việc áp dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học cổ điển - Phân loại dạng toán thường gặp hai hệ tọa độ affine trực chuẩn Đưa ví dụ cụ thể nhận xét cho trường hợp - Đưa dấu hiệu nhận biết dùng hệ tọa độ affine sử dụng hệ tọa độ trực chuẩn - Đồng thời lồng vào nhận xét ưu điểm nhược điểm sử dụng hệ tọa độ số trương hợp đặc biệt UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN Họ tên: Trần Thị Như Quỳnh Sinh ngày: 10/07/1995 Ảnh 4×6 Nơi sinh: Nam Đàn – Nghệ An Lớp: C14TO03 Khóa: 2014 - 2017 Khoa: Khoa Học Tự Nhiên Địa liên hệ: Số nhà 8/8, Tân Lập, Đơng Hịa, Dĩ An, Bình Dương Điện thoại: 0967521271 Email: quynhtran10795@gmail.com II  QUÁ TRÌNH HỌC TẬP Năm thứ 1: 2014 - 2015 Ngành học: Sư Phạm Toán Kết xếp loại học tập: Sơ lược thành tích:  Năm thứ 2: Giỏi 2015 - 2016 Ngành học: Sư Phạm Toán Kết xếp loại học tập: Sơ lược thành tích: Xác nhận lãnh đạo khoa (ký, họ tên) Khoa: Khoa Học Tự Nhiên Khoa:Khoa Học Tự Nhiên Giỏi Ngày 25 tháng năm 2016 Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài (ký, họ tên) Trần Thị Như Quỳnh Đóng góp mặt kinh tế - xã hội , giáo dục đào tạo, an ninh, quốc phòng khả áp dụng đề tài: - Đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên, giáo viên ngành sư phạm Toán để hiểu sâu ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải tốn hình học phẳng, có thêm kiến thức phương pháp để áp dụng vào giải tốn hình phẳng cơng tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi sau - Và tài liệu thú vị cho muốn tìm hiểu thêm kiến thức hình học giải tích hệ tọa độ affine q trình học tập Ngày 25 tháng năm 2016 Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài (ký, họ tên) Trần Thị Như Quỳnh Nhận xét người hướng dẫn đóng góp khoa học sinh viên thực đề tài (phần người hướng dẫn ghi): Đây đề tài thú vị vừa sức với nhóm sinh viên ngành Tốn hệ cao đẳng sư phạm Các tốn hình học giải tích chương trình THPT hệ tọa độ cho trước Đối với tốn hình học túy, muốn giải phương pháp tọa độ người làm tốn phải chọn hệ tọa phù hợp Đề tài cho thấy số tốn hình học túy giải phương pháp tọa độ cho ta lời giải chặt chẽ ngắn gọn Với phương pháp này, toán hình học chuyển thành tốn đại số sử dụng kiến thức đại số để giải Các toán đề tài chọn lọc cho cách giải nhanh sử dụng phương pháp tọa độ Xác nhận lãnh đạo khoa (ký, họ tên) Ngày 25 tháng năm 2016 Người hướng dẫn (ký, họ tên) Trần Thanh Phong TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Thủ Dầu Một, ngày 25 tháng năm 2016 Kính gửi: Ban tổ chức Giai thưởng “ Tài khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một” Tên là: Trần Thị Như Quỳnh Sinh ngày 10 tháng năm 1995 Sinh viên năm thứ: Tổng số năm đào tạo: Lớp, khoa: Lớp C14TO03, Khoa: KHTN Ngành học: Sư phạm Toán học Phan Thị Thanh Vân Sinh ngày 29 tháng 09 năm 1995 Sinh viên năm thứ: Tổng số năm đào tạo: Lớp, khoa: Lớp C14TO03, Khoa: KHTN Ngành học: Sư phạm Toán học Nguyễn Văn Tiền Sinh ngày tháng năm Sinh viên năm thứ: Tổng số năm đào tạo: Lớp, khoa: Lớp C14TO03, Khoa: KHTN Ngành học: Sư phạm Tốn học Thơng tin cá nhân sinh viên chịu trách nhiệm chính: Địa liên hệ: Số nhà 8/8, khu phố Tân Lập, phường Đông Hịa, Dĩ An, Bình Dương Số điện thoại (cố định, di động): 0967521271 Địa email: quynhtran10795@gmail.com Chúng làm đơn kính đề nghị Ban tổ chức cho gửi đề tài nghiên cứu khoa học để tham gia xét giải thưởng “Tài khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một” năm 2016 Tên đề tài: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Tơi (chúng tơi) xin cam đoan đề tài (chúng tôi) thực hướng dẫn Ths Trần Thanh Phong; đề tài chưa trao giải thưởng khác thời điểm nộp hồ sơ luận văn, đồ án tốt nghiệp Nếu sai tôi(chúng tôi) chịu trách nhiệm trước khoa Nhà trường Xác nhận lãnh đạo khoa thực đề tài (ký, họ tên) Ngày 25 tháng năm 2016 Sinh viên chịu trách nhiệm (ký, họ tên) Trần Thị Như Quỳnh MỤC LỤC Tính cấp thiết đề tài 2 Mục tiêu đề tài: 3 Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận phƣơng pháp nghiên cứu: Sản phẩm khả ứng dụng: Nội dung CHƢƠNG Hệ tọa độ affine mặt phẳng 1.1 Mục tiêu affine mặt phẳng 1.1.1 Định nghĩa: 1.1.2 Tọa độ vectơ: 1.1.3 Tọa độ điểm: Đƣờng thẳng 2.1 Phƣơng trình đƣờng thẳng hệ tọa độ affine mặt phẳng: 2.2 Ứng dụng hệ tọa affine để giải số toán 2.2.1 Dạng 1: Bài toán chứng minh điểm thẳng hàng 2.2.2 Dạng 2: Bài toán chứng minh đƣờng thẳng qua điểm cố định 15 2.2.3 Dạng 3: Bài tốn tìm quỹ tích 18 CHƢƠNG 20 Hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng 20 1.1 Hệ tọa độ trực chuẩn 20 1.2 Tính chất hệ tọa độ trực chuẩn 20 Đƣờng thẳng 21 Đƣờng tròn 21 Phƣơng trình ba đƣờng conic 22 Ứng dụng hệ tọa trực chuẩn để giải số toán 23 5.1 Dạng 1: Bài toán liên quan đến khoảng cách, chứng minh vng góc 23 5.1.1 Các toán liên quan đến tam giác 23 5.1.2 Bài toán liên quan đến tứ giác đặc biệt 27 5.2 Dạng 2: Bài toán liên quan đến điểm thẳng hàng 31 5.3 Dạng 3: Bài toán liên quan đến điểm cố định 34 5.4 Dạng 4: Bài tốn tìm quỹ tích 38 5.4.1 Quỹ tích đƣờng thẳng 38 5.4.2 Quỹ tích đƣờng trịn 39 5.4.3 Quỹ tích đƣờng conic 41 Dấu hiệu nhận biết để sử dụng hệ tọa độ affine hệ tọa độ trực chuẩn 46 6.1 Các yếu tố nhận biết việc sử dụng hệ tọa độ affine 46 6.2 Các yếu tố nhận biết việc sử dụng hệ tọa độ trực chuẩn 46 Tài liệu tham khảo 47 1 Tính cấp thiết đề tài Vào kỉ thứ III trƣớc CN, vào thời Ơclit khái niệm phƣơng pháp chứng minh suy luận hình học đƣợc đƣa mà đến đƣợc giảng dạy áp dụng sống Nhƣng phƣơng pháp suy luận logic, chặt chẽ kết hợp với phƣơng pháp thực nghiệm đo đạc thực tế cần phải sử dụng trực giác để công nhận số điều cần thiết hiển nhiên Ví dụ ngƣời ta cơng nhận tổng góc tam giác 180˚ hay góc vng Việc cơng nhận muốn xác cần có kèm theo chứng minh phép phân chia cách vẽ cho ta tổng góc hay khơng? Việc đo giá trị góc có cần giới thiệu thêm tiên đề hay khơng? Nhƣng phần lí luận dài dịng khơng cần thiết, khái niệm phƣơng pháp chứng minh đƣợc đƣa rõ ràng, chặt chẽ, dễ hiểu thơng qua mơn Hình học giải tích Hình học giải tích mơn học chƣơng trình PTTH bậc CĐ,ĐH chƣơng trình sƣ phạm Đặc trƣng mơn học dùng phƣơng pháp tọa độ để giải tốn hình học Việc đƣa phƣơng pháp tọa độ vào nghiên cứu hình học giúp học sinh, sinh viên tránh khỏi sai lầm trực giác, li khỏi lí luận dài dịng, phức tạp, khó hiểu Tuy vậy, thị trƣờng sách tham khảo lẫn mạng internet cịn chƣa thật có nhiều tài liệu nghiên cứu sâu vấn đề này, có hình học phẳng với tọa độ trực chuẩn (hay gọi hệ tọa độ Descarter vng) bậc THPT mà sâu vào hệ tọa độ affine Trong đó, hệ tọa độ afine có ƣu thực phép toán đơn giản so với hệ tọa độ trực chuẩn Đặc biệt toán hình học phẳng khó, giải hình học túy điều khơng thể, nhƣng lại đơn giản chọn cho hệ trục tọa độ phù hợp để đƣa toán đại số túy sau cần giải việc tính tốn, biến đổi kết luận nhờ vào kiến thức đại số Vậy vấn đề đặt phải chọn hệ trục tọa độ nhƣ để việc tính tốn trở nên đơn giản ? Vì thơng qua đề tài nghiên cứu này, chúng em trình bày định nghĩa cách xây dựng hệ trục tọa độ, phƣơng pháp chọn trục tọa độ hợp lí số dạng tốn cụ thể hình học phẳng từ cung cấp cho HS, SV, GV tài liệu tham khảo hữu dụng trang bị cho hƣớng tƣ mới, cơng cụ giải tốn đơn giản hóa cho tốn hình học phẳng phức tạp Hơn nhƣng năm gần đây, kì thi quan trọng cấp quốc gia nhƣ thi học sinh giỏi, thi đại học có tốn khó hình học phẳng địi hỏi phải áp dụng phƣơng pháp tọa độ giải đƣợc nên yêu cầu đặt tài liệu tham khảo vấn đề cần thiết cho học sinh, sinh viên, giáo viên giảng viên Chính vậy, nghiên cứu “ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG” đề tài quan trọng, mang tính cấp thiết có ý nghĩa ứng dụng lâu dài Mục tiêu đề tài: Nghiên cứu ứng dụng phƣơng pháp tọa độ để giải số tốn hình học phẳng Phân biệt đƣợc hệ tọa độ affine hệ tọa độ trực chuẩn Nhận biết đƣợc toán affine toán Euclide Từ rút ƣu điểm hệ tọa độ Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận phƣơng pháp nghiên cứu: - Đối tƣợng nghiên cứu: Hệ tọa affine, hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng Các tốn hình học phẳng giải phƣơng pháp tọa độ - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tốn hình học cổ điển mặt phẳng toán [1], [2], [3], [4] giải phƣơng pháp tọa độ - Cách tiếp cận phƣơng pháp nghiên cứu: Đọc kỹ nắm vững phần lý thuyết cách xây dựng hệ tọa độ affine hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng Lựa chọn, phân loại lớp tốn sáng tạo thêm số tốn Sử dụng phƣơng pháp phân tích, tổng hợp Sản phẩm khả ứng dụng: Qua việc nghiên cứu đề tài giúp cho sinh viên sƣ phạm Tốn dùng làm tài liệu tham khảo để hiểu sâu ứng dụng phƣơng pháp tọa độ vào giải tốn hình học phẳng, có thêm kiến thức phƣơng pháp để áp dụng vào giải tốn hình phẳng cơng tác giảng dạy, bồi dƣỡng học sinh giỏi sau Chúng em có thêm kiến thức hình học giải tích hệ tọa độ affine trình học tập Do CD : 2ax  by  t  a  Phƣơng trình đƣờng thẳng AC là: AC : x y   hay bx   a  t  y  ab  tb  t  a b Đƣờng thẳng HE nhận AC  t  a ,b  làm VTPT nên có phƣơng trình là:  HE  : t  a  x  by  Tọa độ E nghiệm hệ tọa phƣơng trình đƣờng thẳng AC EH  b2  a  t   b2 b  t  a   ba  t   Suy ra: E  kết hợp (1) suy E ,   ,   b   a  t 2 b   a  t 2  2t 2t     x y    bx   t  a  y  b  t  a   ta b Và  HF  :   t  a  x  by  Tƣơng tự ta có:  AC  :  b2  a  t  ba  t   Suy tọa độ điểm H là: H  ,   b   a  t 2 b   a  t 2     b t  a   kết hợp (*) suy H  b ,  t t   b t  a  b2 y 2t  2t hay 2ax  2by  b2  b a x Do đó:  EH  : Cho b2 y   x  2a  b2  K   ,0   2a  Thay tọa độ K vào phƣơng trình đƣờng thẳng DC ta đƣợc:  b2  2a     t  a   b2  t  a (đúng (*))  2a  Vậy điểm K thuộc đƣờng thẳng DC hay ba điểm K, D, C thẳng hàng Nhận xét: Có thể thấy toán thẳng hàng dạng khơng gắn hệ trục tọa độ để viết phƣơng trình từ chứng minh điểm cịn lại thuộc vào đƣờng thẳng vừa viết đƣợc mà chứng suy luận liệu có giáo viên làm đƣợc nhìn vào hình với chằng chịt đƣờng thẳng, đƣờng trịn? Chứ chƣa nói tới học sinh Để chứng minh đƣờng tốn trực giác nhìn vào hình chứng minh đƣờng thẳng song song với hay góc bù dƣờng nhƣ khơng có khả 33 5.3 Dạng 3: Bài toán liên quan đến điểm cố định Bài 10: Trong mặt phẳng cho đƣờng tròn (O,R) điểm A cố định I điểm di động (O) Đƣờng tròn tâm I qua A Chứng minh trục đẳng phƣơng hai đƣờng trịn (O) (I) ln tiếp xúc với đƣờng tròn cố định Giải : Chọn hệ trục (Oxy) nhƣ hình vẽ (OA trục Oy) Ta có: A(0, b) , (O) : x2  y  R2 2 Gọi I (m ; n)  (O)  m2  n2  R2 IA  m  (b  n) Vậy (I) : ( x  m)2  ( y  n)2  m2  (n  b)2 Hay x2  y  2mx  2ny  2nb  b2  Suy phƣơng trình trục đẳng phƣơng (O) (I) (d) : 2mx + 2ny – 2nb + b2  R2  2nb  2nb  b2  R b2  R  2R m2  n Bài 11 (Đề thi HSG quốc gia 2007-2008) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Cho đƣờng thẳng (d) vng góc với đƣờng thẳng AD Xét điểm M (d) Gọi E, F lần lƣợt trung điểm MB MC Đƣờng thẳng qua E vng góc với (d) cắt đƣờng thẳng AB P, đƣờng thẳng qua F vng góc với (d) cắt đƣờng thẳng AC Q Chứng minh đƣờng thẳng qua M vng góc với PQ ln qua điểm cố định, M di động (d) Ta có: d(A, d) = Giải: Chọn hệ trục nhƣ hình vẽ O  D , Oy  DA Khi Ox song song (d): A(0; a), B(b; c) , C(-b; -c) 34 Phƣơng trình đƣờng thẳng ^y  AB  : (a  c) x  by  ab  A  AC  : (a  c) x  by  ab  C Giả sử: M ( xM ; d ) Khi phƣơng trình đƣờng thẳng b  xM b  xM , (d ) : x  2 Từ suy ra: P  d1  AB , Q  d  AC (d1 ) : x  D B >x F E (d) M Suy đƣờng thẳng qua M vng góc PQ có phƣơng trình  bc  b2   b  x    (ax M  bc) y  d    a a    bc b2   Suy đƣờng thẳng qua điểm cố định  ; d   a a Bài 12: Cho tam giác ABC cân A Xét D cạnh AB điểm E cạnh BC BC Chứng minh đƣờng thẳng vng góc với DE E ln qua điểm cố định cho hình chiếu DE BC có độ dài Giải: Gọi O trung điểm BC, chọn hệ tọa độ cho A  0,a  ,B  b,0  ,C b,0  Khi đƣờng thẳng AB, AC lần lƣợt có phƣơng trình: x y  1 b a x y  AC  :   b a  AB  :  35 Gọi H hình chiếu D BC Do EH  BC nên E  OC,H  OB x0   Vậy, nên E  x0 ,0  ,0  x0  b H  x0  b,0  D  x0  b,  b  x0   Gọi (∆) đƣờng thẳng qua E vuông góc với DE Suy (∆) nhận DE   b,   b  làm céc tơ pháp tuyến, :  : b x  ax0 y  b x0     b  ay  x0  b x   Suy    qua điểm  ,   b2   cố định a  Bài 13: Cho ∆ ABC vuông A vuông cân, cạnh AB AC lấy M, N cho BM=CN Chứng minh đƣờng trung trực MN di qua điểm cố định Giải: Chọn hệ trục tọa độ nhƣ sau: A  0,0 ,B  0,b  ,C 1,0 ,M  0,m  thay đổi cạnh AB với < m < b ≠ Ta có: BM  CN  N 1  m  b,0  1 m  b m  ,  MN  1  m  b,m  Suy trung điểm P MN có tọa độ N  2  Suy phƣơng trình đƣờng trung trực MN là: 1  m  b   x   1 m  b  m    m y     2  36 Hay m  x  y   b   1  b  x  1  b     b b 1  , Từ ta thấy đƣờng thẩng qua điểm cố định I     Nhận xét: Đối với toán đƣờng thẳng hay đƣờng trịn qua điểm cố định ta khảo sát hai vị trí yếu tố thay đổi để dự đoán điểm cố định mà đƣờng ln qua, từ tìm đƣợc tính chất điểm xét có liên quan đến yếu tố cố định biết tìm cách chứng minh tốn phƣơng pháp suy luận Song khơng phải toán đủ thuận lợi để làm điều Ví dụ nhƣ 13/ mục 5.3/ chƣơng 2, ta khảo sát hai đƣờng trung trực MN hai vị trí khác M, N Ta thấy hai đƣờng cắt điểm K nhƣng điểm K hình lại khơng thấy liên quan điểm K yếu tố cố định biết Nhƣ việc sử dụng chứng minh suy luận toán nhƣ phƣơng pháp khả thi Và khơng thể đốn biết đƣợc lâu hồn thành xong Trong phƣơng pháp tọa độ cần xác định phƣơng trình họ đƣờng thẳng đặt điều kiện cho họ ln qua điểm cố định tốn đƣợc giải với chƣa đầy 10 dịng Ít tốn thời gian suy nghĩ thật đầy tính khả thi, đem lại hiệu 37 Dạng 4: Bài tốn tìm quỹ tích 5.4 5.4.1 Quỹ tích đường thẳng Bài 13 Cho hai điểm A, B cố định đƣờng thẳng d vng góc với đƣờng thẳng AB nhƣng không qua A, B Một điểm M chạy d Tìm tập hợp giao điểm N đƣờng thẳng vuông goc với MA, MB A, B Giải: Chọn hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho tia Ox đƣờng thẳng chứa A, B, tia Oy đƣờng thẳng d Chọn gốc O giao điểm d AB Ta có: A(a, 0), B(b, 0), M(0, m) Giả sử N(x, y) Khi đó: MA   a,  m  , MB   b,  m  NA  a  x, y , NB  b  x, y   MA  NA  MA.NA  a (a  x)  my      MB  NB  MB.NB  b(b  x)  my  x  ab a  ax  my     ab b  bx  my   y  m (1) (2) Khử m từ (2) thay vào (1) ta có phƣơng trình đƣờng thẳng cần tìm x  a  b Vậy tập hợp giao điểm N đƣờng thẳng vuông góc với Ox H có hồnh độ OH  a  b Bài 14.Cho đoạn AB  a , a  cố định Tìm tập hợp tất điểm M thỏa mãn MA2  MB  a2 Giải: 38 Chọn hệ trục tọa độ Oxy với A, B  Ox đối xứng qua Oy  a  a  , 0 , B  , 0   2  Khi đó: A   a2 Điểm M(x, y) thõa mãn MA  MB  2 2     a2 a a    x    y    x    y   2 2     a x Vậy tập hợp điểm M đƣờng thẳng x  a , tức đƣờng thẳng vng góc với đoạn AB điểm M nằm đoạn AB cách B khoảng a 5.4.2 Quỹ tích đường trịn Bài 15 Cho hai điểm A, B cố định Tìm tập hợp điểm M cho MA  2MB Giải: Chọn hệ tọa độ Đề-các vng góc Oxy cho O trùng với A e1  AB Trục Ox chứa A, B trục Oy vng góc với AB A Ta có A(0, 0), B(1, 0) Gỉa sử M có tọa độ (x, y) Theo giả thiết MA  2MB Ta có: x2  y   x  1  y2  x  y   x   x   y   3x  y  x    x2  y  x   3 4  2   x    y2    3  3 2 4  Vậy tập hợp điểm M cần tìm đƣờng trịn tâm K  ,  có bán kính R  3  39 Bài 16 Cho đƣờng trịn tâm O bán kính a, có hai đƣờng kính vng góc với AB CD Trên tia CD lấy hai điểm M, N cho Đƣờng thẳng AM cắt đƣờng tròn P Hãy xét xem N thay đổi đoạn CO, tam giác ANP có vng N hay khơng? Nếu tam giác ANP vng điểm N nằm vị trí ? Giải: Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxy cho O trùng với tâm O, tia Ox trùng với tia OB, tia Oy trùng với tia OC Đặt CN=OM=k với  k  a Ta có tọa độ điểm: O(0, 0), B(1, 0), C(0, 1), A(-a, 0), M(0, -k), N(0, a - k) Hệ số góc m đƣờng thẳng AN là: Phƣơng trình đƣờng thẳng ( AM ): m yN  y A a  k  xN  x A a x y  k a k a y  k  k Tọa độ giao điểm đƣờng thẳng AM đƣờng tròn tâm O nghiệm hệ  kx  ay  ak   x   kx  ay  ak  (1)  2 (2) x  y  a phƣơng trình: Rút x từ (1) thay vào (2) ta có:   a2 y  k  a y  2ky  k 2  y  a   y2  a2  2 k k 2 2  (a  k ) y  2ka y      y a  k y  2a k  y     2a k y   a2  k  40 Với y = ta tính đƣợc x =-a tọa độ điểm A(-a, 0) Với y P     a a2  k 2a k x   thay vào (1) ta tính đƣợc P a2  k a2  k Hệ số góc k đƣờng thẳng NP: k   y N  y P a  k  a  k  2a k  xN  yP a k  a2   Tam giác ANP vuông N  AN  NP  k.m  1  k   Vậy  a  k a  k   2a k AN  NP    a k  a2  m k  a  a  k  k    ak k  a Do tam giác ANP vng N N  C N  O Các trƣờng hợp khác tam giác ANP không vuông N 5.4.3 Quỹ tích đường conic Bài 17 ( Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2006-2007) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Gọi H, G lần lƣợt trực tâm trọng tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A, biết trung điểm K HG thuộc đƣờng thẳng BC Giải : Chọn hệ trục Oxy với O trung điểm BC trục Ox đƣờng thẳng BC Đặt BC  2a  Khi tọa độ B(a,0); C (a,0) Giả sử Ax0 , y0  , y ≠ Khi trực tâm H(x, y) suy HC AB  , HC(a  x, y), AB(a  x0 , y0 ) Tọa độ điểm H nghiệm hệ phƣơng trình  a  x0   x  x0   H  x0 ,   ( a  x )(  a  x )  yy  y 0     x0 3a  3x02  y02   x0 y   , Trọng tâm G ,  Suy trung điểm K  y0  3    K thuộc đƣờng thẳng BC khi: 41 x02 y02 3a  3x  y     (y ≠ 0) a 3a 2 x02 y02 Vậy quỹ tích A hyperbol   bỏ hai điểm B, C a 3a Bài 18 ( Đề thi OLYMPIC Lê Hồng Phong 2008-2009) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Qua B dựng đƣờng thẳng d vuông góc với BC, d cắt đƣờng trung tuyến AI tam giác ABC K Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A, biết IH song song với KC Giải : Chọn hệ trục Oxy với O trùng với I trục Ox đƣờng thẳng BC Đặt BC  2a  Khi tọa độ B(a,0); C (a,0) Giả sử Ax0 , y0  , y ≠ Khi trực tâm H(x, y) suy HC AB  , HC(a  x, y), AB(a  x0 , y0 ) Tọa độ điểm H nghiệm hệ phƣơng trình  a  x0   x  x0   H  x0 ,   ( a  x )(  a  x )  yy  y 0    K  d   AI  nghiệm hệ phƣơng trình  x  a  a  x0   y0  K  x0 ,   với x0  y  x y    x0  Theo giả thiết, ta có IH phƣơng KC  a Vậy quỹ tích A elip y0 a  x0 x2 y2 x0  2a   02   x0 y0 a 2a x0 y0   bỏ điểm B, C, A1 0; a , A2 0; a a 2a  đỉnh elip 42    Bài 19: Cho đoạn thẳng AB cố định đƣờng thẳng d cố định song song với AB Điểm C di động d Tìm quỹ tích trực tâm tam giác ABC Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy với A, B  Ox đối xứng qua Oy Khơng tính tổng quát, giả sử : A  a ,  , B  a , 0 , d : y  b với b  Suy C  m ,b  b số, m thay đổi Phƣơng trình đƣờng cao: (CH): x  m  AH  :  m  1 x  y  m   Tọa độ trực tâm H nghiệm hệ: x  m  m  1 x  ay  m    x2    1 m  y  a x  m y    a   x2 a Bài 20 Cho đƣờng trịn (C) có đƣờng kính AB không đổi, điểm M di động (C) Gọi H hình chiếu M AB Tìm tập hợp trung điểm I MH Giải: Vậy quỹ tích H (P): y  Chọn hệ trục tọa độ Oxy với A, B  Ox đối xứng qua Oy Ta có bán kính đƣờng trịn (C) R  AB Suy (C) có phƣơng trình x  y  R 2 43 Gỉa sử I  x, y  suy H  x ,0  I trung điểm MH nên:  xM  x1  xH  x  M  x ,2 y   y  y  y  y  M H 2 Mặt khác M   C  suy x   y 2  R  x  y 1 R2 R2 2 Chứng tỏ tập hợp I elip (E): x  y 1 R2 R2 Bài 21: Cho đƣờng thẳng d điểm A cố định không nằm d P Q hai điểm di động d nhƣng PQ = a (trong a số dƣơng cho trƣớc) Gọi M tâm đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác APQ Tìm quỹ tích điểm M ^y Giải: D C I H E P N B A M >x Dựng hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ Giả sử M (x; y) khoảng cách từ A đến d h Khi A(0; h) Ta có: a2 a2 h a2  x  ( y  h)  y   y x   4 2h 4h Vậy quỹ tích điểm M Parabol MA  MH  Bài 22 : Cho hình vng ABCD có E trung điểm BC M điểm di động cạnh AB Gọi N, P lần lƣợt giao điểm MD MC với AE Gọi H giao điểm NC DP, I giao điểm đƣờng trung trực đoạn DH với đƣờng thẳng vng góc với AH H Chứng minh M di động cạnh AB I di động đƣờng trịn cố định Giải: 44 Chọn hệ trục nhƣ hình vẽ, ta có M (m ; 0) Ta có: ( AE ) : x  y  , ( DM ) : x  my  m  , (CM ) : x  (m 1) y  m  m   2m ; ,  m2 m2 N  AE  MD  N  m   2m ;   m 1 m 1  P  AE  MC  P  Suy ra: ( DP) : x  2my  2m  , ( NC ) : x  (m  2) y  m  3m   4m H  DP  NC  H  ;  Suy H  (d ) : 3x  y  cố định  3m  3m   Theo giả thiết ta có ID  IH  d ( I , d ) , suy I thuộc parabol (P) có tiêu điểm D đƣờng chuẩn (d) Nhận xét: Quỹ tích tốn khó đa số đƣợc xây dựng tốn có liên quan đến khoảng cách, vng góc, đƣờng đặc biết tam giác, đƣờng thẳng, đƣờng conic…thì định nghĩa đƣợc nói đến hệ tọa độ trực chuẩn Đồng thời tốn đặc biệt phức tạp u cầu có kinh nghiệm làm tốn nắm rõ đƣợc tất tính chất tất đƣờng đƣợc học giải đƣợc Nên việc gắn hệ trục tọa độ vào để giải phƣơng pháp tối ƣu để giải tốn việc nhận diện phƣơng trình đƣờng bƣớc cuối cần áp dụng kiến thức giải tích để giải toán 45 Dấu hiệu nhận biết để sử dụng hệ tọa độ affine hệ tọa độ trực chuẩn Vậy sử dụng hệ tọa độ affine, sử dụng hệ tọa độ trực chuẩn: 6.1 Các yếu tố nhận biết việc sử dụng hệ tọa độ affine Hệ tọa độ affine hệ tọa độ tổng quát, nhiều tính chất khơng đƣợc ƣu việt đặc trƣng nhƣ hệ tọa độ khác nên việc áp dụng đƣợc ngun cứu sử dụng nhiều Song biết cách để áp dụng giải đƣợc tốn mà khơng phải hệ tọa độ làm đƣợc Các dấu hiệu nhận biết: - Giống nhƣ Chƣơng để cập toán để sử dụng affine gồm loại điểm thẳng hàng, đƣờng thẳng qua điểm cố định, quỹ tích đƣờng thẳng - Vì tính chất nhƣ vng góc, khoảng cách… khơng đƣợc định nghĩa hệ tọa độ affine nên toán không nhắc đến điều dấu hiệu sử dụng dễ nhận - Trong hệ tọa độ affine có định nghĩa đƣờng thẳng, đƣờng bậc hai khơng có đƣờng trịn, conic… nên dấu hiệu thứ - Các yếu tố liên quan đến tỉ lệ đoạn thẳng, vectơ mà khơng có yếu tố vng góc kèm theo 6.2 Các yếu tố nhận biết việc sử dụng hệ tọa độ trực chuẩn Hệ tọa độ trực chuẩn trƣờng hợp đặc biệt hệ tọa độ affine Song trực chuẩn có thêm nhiều định nghĩa tính chất mà hệ tọa độ affine khơng có nhƣ: khoảng cách, vng góc, đƣờng trịn yếu tố góc, ba đƣờng conic, đƣờng đặc biệt tam giác… Vì hệ tọa độ trực chuẩn số lƣợng tập phong phú hơn, nhiều khó Nhƣng có số đực trƣng hệ tọa độ affine mà hệ tọa độ trực chuẩn giải đƣợc ngƣợc lại Các dấu hiệu nhận biết: - Giống nhƣ chƣơng đề cập, tốn có liên quan đến khoảng cách, chứng minh vng góc; tốn điểm thẳng hàng, toán đƣờng quan điểm cố định, tốn quỹ tích, đƣờng thẳng, đƣờng trịn, đƣờng cơnic - Các tốn liên quan đến tứ giác đặc biệt nhƣ: hình thang vng, hình chữ nhật, hình vng… Các lƣu ý sử dụng hệ tọa độ: - Cần xác định xác yếu tố cần tìm, cần chứng minh từ xác định hệ tọa độ cần dùng cách xác gần với kiện tốn cho 46 Tài liệu tham khảo [1] Văn Nhƣ Cƣơng ( Chủ biên), H T Thái, Hình học giải tích, NXB ĐHSP, 2004 [2] Nguyễn Mộng Hy, Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ, NXB Giáo dục, 2003 [3] Nguyễn Phú Khánh (Chủ biên), Phân dạng phương pháp giải Hình học 10, NXB ĐHQG Hà Nội, 2014 [4] Sách giáo khoa Hình học 7, 8, 9, 10, NXB Giáo dục 47 ... tài nghiên cứu khoa học để tham gia xét giải thưởng “Tài khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một? ?? năm 2016 Tên đề tài: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Tơi (chúng... ? ?ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG” đề tài quan trọng, mang tính cấp thiết có ý nghĩa ứng dụng lâu dài Mục tiêu đề tài: Nghiên cứu ứng dụng phƣơng pháp tọa. .. ngành sư phạm Toán để hiểu sâu ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải tốn hình học phẳng, có thêm kiến thức phương pháp để áp dụng vào giải tốn hình phẳng cơng tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi