SKKN Ứng dụng hệ thức Viét để giải các bài toán về phương trình bậc hai”.

A: ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học là môn khoa học được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, một môn học không thể thiếu được với mỗi chúng ta, là môn học trừu tượng và khó cho người học cũng như người dạy. Với vai trò quan trọng của bộ môn có tính quyết định đến chất lượng học tập các bộ môn khác. Hơn nữa chương trình toán THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình học tập sau này. Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học. Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ. Trong nhiều năm trở lại đây trong đề khảo sát cuối năm, các đề thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 đều có các bài toán về phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Viét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng. Vì thế đa số học sinh khi gặp bài toán có vận dụng hệ thức Viét thì đều lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nên việc áp dụng hệ thức Viét còn nhiều hạn chế. Bản thân là giáo viên đã nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 9, tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10. Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Viét để giải các bài toán về phương trình bậc hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tôi chọn đề tài này: “Ứng dụng hệ thức Viét để giải các bài toán về phương trình bậc hai”.

MỤC LỤC

A ĐẶT VẤN ĐỀ: 2

I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2

II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA SKKN: 3

III- PHƯƠNG PHÁP, PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU 3

1 Phương pháp: 3

2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 3

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4

I- CƠ SỞ LÝ LUẬN 4

II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: 4

1 Thực trạng 4

2 Kết quả của thực trạng: 4

III- CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 5

2 Lý thuyết: 5

2 Các ứng dụng của hệ thức Vi-ét: 5

IV-KIỂM NGHIỆM 18

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 19

I- KẾT LUẬN: 19

II- KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT: 19

A: ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Toán học là môn khoa học được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, một môn học không thể thiếu được với mỗi chúng ta, là môn học trừu tượng và khó cho người học cũng như người dạy Với vai trò quan trọng của bộ môn có tính quyết định đến chất lượng học tập các bộ môn khác Hơn nữa chương trình toán THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình học tập sau này

Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái

độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học

Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ

Trong nhiều năm trở lại đây trong đề khảo sát cuối năm, các đề thi vào lớp

10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 đều có các bài toán về phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng Vì thế đa số học sinh khi gặp bài toán có vận dụng hệ thức Vi-ét thì đều lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nên việc áp dụng hệ thức Vi-ét còn nhiều hạn chế

Bản thân là giáo viên đã nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 9, tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán về phương trình bậc hai Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi

tuyển Đó là lý do tôi chọn đề tài này: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài

toán về phương trình bậc hai”.

II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

Nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán về phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh lớp 9 THCS Từ đó các em có thể làm tốt các bài toán về phương trình bậc hai trong các kỳ thi tuyển

Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ phương trình bậc hai mà cả các dạng toán khác

Nghiên cứu các phương trình bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình

III PHƯƠNG PHÁP PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU:

1 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Đọc và chọn ra các bài toán về phương trình bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp thành các nhóm ứng dụng

- Phương pháp phỏng vấn, điều tra: Điều tra kết quả thông qua các bài kiểm tra của 30 học sinh lớp 9A

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sau khi sắp xếp thành các nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên

2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

- Khảo sát mức độ vận dụng hệ thức Vi-ét của học sinh lớp 9A trường THCS Nga An năm học 2013-2014 trước và sau khi tổ chức hướng dẫn cho học sinh học hệ thức Vi-ét và các ứng dụng

- Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong môn đại số lớp 9, tìm hiểu các phương trình bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét

3 Kế hoạch nghiên cứu: Năm học 2013-2014

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện

về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực

cá nhân, tính năng động sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo

vệ Tổ quốc”.

Để thực hiện mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế theo hướng giảm tính lý thuyết, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động ngoại khóa Trong chương trình lớp 9, hệ thức Vi-ét được học trong 2 tiết:

* Tiết 1: Học sinh được học hệ thức Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, vận dụng làm các bài tập

* Tiết 2: Vận dụng hệ thức Vi-ét để tìm hai số biết tổng và tích của chúng,

từ đó biết lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm và làm các bài tập củng

cố tiết lý thuyết vừa học

Theo chương trình trên, học sinh được học hệ thức Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm

và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

1 Thực trạng

Thuận lợi:

- Phần đa số học sinh của lớp có ý thức học tập tốt, nắm được kiến thức

cơ bản chương trình THCS

- Bản thân là một giáo viên có nhiều năm tham gia dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, ôn tập cho học sinh thi vào THPT

- Công tác bồi dưỡng, phụ đạo cho học sinh được làm thường xuyên góp phần nâng cao kiến thức cho học sinh

Khó khăn

- Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, do vậy chưa khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét

- Một bộ phận học sinh chưa có ý thức học tập tốt, chưa có sự quan tâm thường xuyên của các bậc phụ huynh nên kết quả học tập còn yếu

- Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế

2 Kết quả của thực trạng

Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS Nga An, việc ứng dụng hệ thức Vi-ét đối với học sinh còn nhiều khó khăn Nhiều bài các em không định hướng được cách làm, kỹ năng vận dụng yếu

Số lượng học sinh vận dung hệ thức Vi-ét còn thấp Kết quả thống kê bài kiểm tra sau khi dạy 2 tiết hệ thức Vi-ét như sau:

9A 30 1 3.3 5 16.7 11 36.7 11 36.7 2 6.6

III CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

1 Lý thuyết

* Hệ thức Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax2

+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

b

x x

a c

x x

a



�  

�

�

�

2 Các ứng dụng của hệ thức Vi-ét

Sau khi học sinh đã nắm được nội dung của hệ thức Vi-ét, giáo viên chia các bài tập về ứng dụng của hệ thức Vi-ét thành các dạng cụ thể như sau:

Dạng 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Dạng 3: Lập phương trình bậc hai :

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm của phương trình:

Dạng 5 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :

Dạng 7 Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Dạng 8 Tìm GTLN, GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa các nghiệm: Với mỗi dạng giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách giải và tìm các bài tập minh họa, tổ chức các buổi ôn tập cho học sinh

Dạng 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

1 Cách giải

Nếu phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có:

* a +b+c =0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia là x2 =c

a

* a -b+c =0 thì phương trình có một nghiệm x1 = -1, nghiệm kia là x2 = c

a



2 Ví dụ

* Tính nhẩm nghiệm của các phương trình cho trước

Ví dụ1 :

Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a/ 5x2 - 8x + 3 = 0 (1)

b/ 11x2 + 15x + 4 = 0 (2)

Giải:

Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a + b + c = 5-8+3=0, nên có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = 3

5

Phương trình (2) có a- b + c =11 - 15 + 4 = 0, nên có một nghiệm

x1 = -1 và nghiệm kia là x2 = 4

11



Bài tập áp dụng: Hãy tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a/ 101x2 - 105x + 4 = 0

b/ 7x2 - 20x - 27 = 0

c/ 2x2 - 29x +27 = 0

d/ 4531x2 + 31x - 4500 = 0

* Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình, tìm nghiệm còn lại:

Ví dụ 2:

a/ Cho phương trình 2x2 + 2mx + 5 = 0 (1) có một nghiệm x1 = -2 Tìm m

và nghiệm còn lại

b/ Phương trình x2 - 4kx + 6 = 0 (2) có một nghiệm x1 = 3, tìm k và nghiệm còn lại

Giải:

a/ Ta thay x1 = -2 vào phương trình (1), ta được: 2.(-2)2 + 4.(-2).m + 5 = 0 13

8

m

�

Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 =5

2 suy ra: x2 = 5

4



b/ Ta thay x1 = 3 vào phương trình (2) ta được: 32- 4.3.k +6 = 0 5

4

k 

� Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = 6 suy ra: x2 = 2

Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

1 Cách giải

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để tồn tại hai số là: S2 - 4P ≥ 0

2 Ví dụ

Ví dụ :

Tìm hai số u và v biết u+v = - 3 và u.v = - 4

Giải:

Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0

Giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4

Vậy u = 1 thì v = - 4

Hoặc u = - 4 thì v = 1

Bài tập áp dụng:

Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:

a/ S = 3 và P = 2 b/ S = -3 và P = 6 c/ S = 9 và P = 20 d/ S = 2x và P = x2 – y2

Bài tập nâng cao:

Tìm hai số a, b biết:

a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 b/ a - b = 5 và a.b = 36

c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30

Hướng dẫn:

a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b

2

a b

Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình : 2 1

2

4

9 20 0

5

x

x



�

� Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5

Nếu a = 5 thì b = 4

b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b

a b  a b  ab� a b  a b  ab

 2 2 13

13

13

a b

a b

a b

  

�

- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

2

4

13 36 0

9

x

x

 

�

   � �  

� Vậy a = - 4 thì b = - 9

- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

2

4

13 36 0

9

x

x



�

� Vậy a = 4 thì b = 9 c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:

11

a b

a b

  

�

- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

2

5

11 30 0

6

x

x

 

�

   � �  

�

Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5

- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

2

5

11 30 0

6

x

x



�

� Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5 Với các câu trên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh làm theo cách khác

Dạng 3: Lập phương trình bậc hai

* Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1, x 2

Ví dụ:

Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1= -2; x2= 5

Giải:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2

3

x x

x x

 

�

�  

� Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:

x2 - 3x -10 = 0

Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:

a/ x1= 8 và x2= - 3 b/ x1= 3a và x2= a c/ x1= 36 và x2= - 104 d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2

* Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước

Ví dụ:

Cho phương trình x2 – 7x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

1

1

y x

x

  và 2 1

2

1

y x

x

  Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có :

7

6 6

x x

6 6

Vậy phương trình cần lập có dạng:

y2 Sy P  0hay 2 49 49 2

y  y  � y  y 

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

2

1

y x

x

  và 2 2

1

1

y x

x

 

2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

4

y x và 4

y x

3/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:

a/ y1  x1 3 và y2  x2 3

b/ y1  2x1  1 và y2  2x2 1

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm của phương trình:

1 Cách giải

+ Chứng tỏ phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 ( �0)

+ Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích hai nghiệm

+ Viết hệ thức Vi-ét thay vào biểu thức tính giá trị

Ngoài các bước giải trên, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh một số phép biến đổi các biểu thức để đưa về dạng chứa tổng và tích của các nghiệm



b/ 2 2  2 2  2

x x  x  x x x  x x  x x  x x

c/ 3 3    2 2    2

x x  x x x x x x  x x ��x x  x x �� hoặc

x x  x x  x x x x

d/ 4 4     2 2 2 2 2 22 2 2  2 2 2

x x  x  x  x x  x x  ��x x  x x �� x x

x x x  x x x  x  x x x  x x  x x  x x

x  x x x  x x

2 Ví dụ

giá trị của các biểu thức sau( Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x1<x2)

a) 2 2

x x b)

1 1

x x c) 3 3

x x

d) 2 1

x x

x  x e) 2 2

x x g) 3 3

x x

Học sinh thường giải như sau: Theo hệ thức Vi-ét ta có x1  x2 10, x x1. 2  15 Sau đó biến đổi các hệ thức của bài cho mà không biết phương trinh đã cho có nghiệm hay không Do đó giáo viên cần nhắc lại cho học sinh cách giải trước hết là phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình

Giải:

Xét phương trình x2- 10x+15 = 0

’=(-5)2-1.15=10>0=> phương trình có hai nghiệm x1, x2 (x1<x2)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x  x (1)

x x  (2) a) 2 2

x x = 2

(x x )  2x x =102-2.15=100-30=70 b)

1 1

x x = 1 2

1 2

x x

x x

 =10

15 = 2

3 c) 3 3

(x x )(x x x x )= 2

(x x )[(x x )  3x x ]

(x x )  3x x x( x )=103-3.10.15=1000-450=550

d) 2 1

x x

x x = 22 21

x x

 = 70 14

15  3 e) Đặt A= 2 2

x x =(x1 x2)(x1x2)

B=x1 x2<0 (vì x1<x2)

Ta có B2 = (x1 x2) 2 = 2 2

x x 2x x1 2= 70-2.15 = 40

=>B= -2 10

Do đó A= 2 2

x x =10.(- 2 10)= -20 10

g) 3 3

(x x )(x x x x )= -20 10 (70 15)  = -20 10.85= 170 10

Ví dụ 2: Cho phương trình x2-5x+6=0 không giải phương trình Hãy tính giá trị của các biểu thức sau( Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x1>x2)

a) x1  x2 b)x x1 1 x2 x2

c) x2 x1 x x1 2 d) x1  x2

Giải:

Xét phương trình x2-5x+6=0

=(-5)2-4.6=25-24=1>0

Phương trình có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x   x

x x   => x1>0, x2>0 a)A= x1  x2 >0

A2= ( x1  x2 )2=x1 x2 2 x x1 2 =5 2 6 =( 3  2) 2

Vậy A= 3  2

b)x x1 1 x2 x2 = ( x1 x2)(x1 x2 x x1 2) = ( 3  2)(5  6)=3 3 2 3  c) x2 x1 x x1 2 = x x2 1( x1 x2)  6( 3  2) 3 2 2 3  

d) Đặt B= x1  x2 >0 vì x1>x2

B2=( x1  x2 )2=x1 x2 2 x x1 2 =5 2 6 =( 3  2) 2

Vậy B= 3  2

Bài tập áp dụng: