Áp dụng bất đẳng thức tích phân giải các bài toán tích phân nâng cao – phạm minh tuấn

Bài 1 [ĐỀ MH 2018] Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn

 1 0

f  , 1   2

0

0

1 3

x f x dx

0

f x dx



A 7

7

Hướng dẫn giải:

Xét 1 2  

0

1 3

3 2

0

'

3

du f x

x

dv x dx v

 

 

 Chứng minh BĐT tích phân sau:     2 2  2   

f x g x dx f x dx g x dx



Với mọi t ta có:     2 2 2      2 

0tf x g x  t f x 2tf x g x g x

Lấy tích phân 2 vế theo biến x ta được:

h t t  f x dx t f x g x dx g x dx

 

h t là tam thức bậc 2 luôn không âm nên ta có điều kiện:

2

0

' 0

t

f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx

 

 

Dấu ‚=‛ xảy ra khi tf x   g x

 Áp dụng: 1 3   2 1 6 1   2

1

7

x f x dx x dx f x dx

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi   3

'

f x kx

0

7

4

x f x dx     k f x   x  f x   x dx  x C

Mà f 1 0 nên 1   1 4

NHẬN XÉT: Thật ra BĐT (*) chính là hệ quả BĐT Holder về tích phân

BĐT Holder về tích phân phát biểu như sau:

f x g x dx  f x dx  g x dx

     

p q

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực m n, không đồng thời bằng 0 sao cho

 p  q

Hệ quả: Với p q 2 thì BĐT trở thành      2    

f x g x dx  f x dx g x dx

BTAD: Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1   2

0

1

3

x f x dx

Giá trị nhỏ nhất của tích phân 1 2 

0

A  0 2

3

f 

B 3  0 2

3

C 3  0 2

3

f 

D  0 2

3

Bài 2 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 0,

 

0;1

max 'f x 6

 

0

1 3

f x dx

 Gọi M là giá trị lớn nhất của tích phân 1 3 

0

f x dx

Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1;3

2

 

  B

1 0;

2

 

1

;1 2

 

  D

3

; 2 2

Hướng dẫn giải:

Ta có: f x' 6,   x 0;1  f x f x'   6f x ,   x 0;1 (1)

Lấy tích phân hai vế BĐT (1) ta được:      

f t f t dt f t dt   x  

0

0

x

Lấy tích phân hai vế BĐT (2) ta được: 1 3  1    

12

x

I

f x dx f x f t dt dx

0

'

x

u f t dtdu f x x dx f x dx

Suy ra

 

1

f t dt



Vậy 1 3 

0

1 2 12

18 3



Nhận xét: Ta có thể chỉ ra 1 hàm số f x  thỏa mãn dữ kiện đề cho và xảy ra dấu ‘’=‛, hàm đó là: f x   28,815042623089894049x3  35,5890622041211331x2  8,6518534912024751x

- Chú ý:  

 

 

 

g x

h x

f t dt f g x g x f h x h x

Bài 3 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn   6 4 2

0

3

,

 1 2

f  và f x' 0,   x 0;1 Biết tích phân 1 2   2

0

2 2 2 x x  f x'  dx

trị nhỏ nhất, khi đó hãy tính f 2 ?

A.   6 4 2

2

3

f  

B   6 2 2 2

3

C   3 2 2 2

2

f  

D

  3 2

2

2



Hướng dẫn giải:

2

I   x x f x  dx  x x f x  dx

2

2

2

2

Do đó 8

3

I

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi :     2 3  3

3

f x   x x f x   x  x C

Bài 4 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn

 

, 0;1 2

x

x

f t dt  x

    

 Gọi m là giá trị nhỏ nhất của tích phân 1 2 

0

f x dx

định nào sau đây đúng?

A 1;3

2

 

1 0;

2

 

1

;1 2

 

3

; 2 2

Hướng dẫn giải:

Theo hệ quả BĐT Holder: 1   2 1 2 1 2  1 2  1   2

xf x dx x dx f x dx f x dx xf x dx

Giờ ta chỉ việc tìm min của tích phân 1  

0

xf x dx

 là giải quyết được bài toán

Gọi F(x) là một nguyên hàm của f x , khi đó ta có: 1    1  

0 0

xF x dx x F x F



xF x dx xF x dx F x dx xf x dx F x dx

Suy ra   1   1  

1

F xf x dxF x dx (1)

x

Tương đương   1   1 2

1

x

Thay (1) vào (2) ta được: 1  

0

1 3

xf x dx



Vậy 1 2  2

0

3

 

 



Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f x x

Bài 5 Cho hàm số f x  có đạo hàm liện tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0,

2

1

4

f x dx x e f x dx 

0

f x dx

A

2

4

e

B

2

e

2

e

Hướng dẫn giải:

Xét 1   

0

1 x

 1 x x' 

dv x e dx v xe



0

Ixe f x  xe f x dx   xe f x dx  

Áp dụng hệ quả BĐT holder:

  2  

2 2

xe f x dx x e dx f x dx

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f x' kxe x Mà 1   2

0

1

4

xe f x dx     k

 Suy ra f x   xe dx x  1 x e xC Mà f 1   0 C 0

0

Bài 6 Cho hàm số f x  có đạo hàm dương và liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 0 1,

2

1

9

f x f x dx f x f x dx

0

f x dx

A 5

3

8

7 6

Hướng dẫn giải:

1

3

f x f x dx f x f x dx

Áp dụng hệ quả BĐT holder: 1 1    2 1     2

dx f x f x dx  f x f x dx

f x f x dx  f x f x dx  f x f x dx 

Hay 1    

0

1 '

3

f x f x dx



Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi    

   

1

0

1

3

3 '

f x f x dx

k











Vì f 0 1 nên   3 1 3 

0

1

Bài 7 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  a b; thỏa mãn lim  

x a f x

 

lim

x b f x

   và f x'  f2 x    1, x  a b; Tìm giá trị nhỏ nhất của P b a 

A

2



2



Hướng dẫn giải:

Ta có:   2     

2

'

1

f x

f x f x

f x



Lấy tích phân hai vế ta được:

 

1 2

0

'

1

b

b a a

f x



Vì lim   , lim  

x a f x x b f x

      nên b a 

Nhận xét: Khi hàm số f x cotx cận b,a0 thì dấu ‚=‛ xảy ra

Bài 8 Cho hàm số f x  dương và liên tục trên 1; 3 thỏa mãn  

1;3

max f x 2

 

 



 

1;3

1

min

2

f x

 

   và biểu thức 3   3  

1

f x

  đạt GTLN, khi đó hãy tính 3  

1

f x dx



A 7

3

3

5 2

Hướng dẫn giải

Từ đền suy ra 1  

2, 1; 3

2  f x    x   nên

 

1

2 2

0

f x

   ,   x 1; 3

 

Lấy tích phân 2 vế ta được:

1

2

Tương đương 3   3   3   3   2 3   2

5

f x

       

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi 3  

1

5 2

f x dx



Bài 9 Cho hàm số f x  xác định và liên tục trên 1; 2 thỏa mãn 2  

1

3 3 2

2 1

3

x

x

x x



với mọi x x1, 2 1; 2 sao cho x1x2 Tìm GTLN của tích phân 2  

1

f x dx

A 1

3

5

5 2

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

1

3 3

3

x

x

x x

x dx 

0

Do hàm   2   2

f x x  f x  liên tục trên 1; 2 nên:

x f x    f x x   x  

Từ đó suy ra 2   2   2

3 2

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f x x ; x11;x22

Bài 10 Cho hai hàm số f x  không âm và liên tục trên 0;1 Đặt    

0

1 2

x

và ta giả sử rằng luôn có     2

, 0;1

g x f x    x   Tìm GTLN của tích phân

 

1

0

g x dx

A 7

8

5

13 6

Hướng dẫn giải

Gọi F x  là một hàm số thỏa mãn    

0

x

F x  f t dtF x g x '   1 2f x F x 

 



 

Nháp: xét  

Xét hàm số h x  1 2 F x   x C , x 0;1

Ta có    

 

2 '

2 1 2

F x

h x

F x

 nên h x  nghịch biên trên 0;1 Suy ra h x   h 0  1 2 F 0 C

Ta có   0  

0

0

7

3

BTAD: [ĐỀ VTED] Cho hàm số f x  không âm và liên tục trên 0;1 Đặt

0

1 2

x

, 0;1

g x f x    x   Tìm GTLN

của tích phân 1   2

3 0

 

 

A 5

4