Phương pháp sử dụng bất đẳng thức mô đun trong các bài toán về cực trị số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC MƠ ĐUN TRONG CÁC BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC Người thực hiện: Nguyễn Tư Tám MỤC LỤC Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn MỤC LỤC Mở đầu……………………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài……………………………………………………………1 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….1 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………1 1.5 Những điểm SKKN……………………………………………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………1 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm……………………………………1 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………………2 2.3 Giải vấn đề……………………………………….…………….…… I Kiến thức áp dụng …………………………………………………… II Ví dụ áp dụng………………………………………………………….2 III Bài tập rèn luyện…………………………………………………….13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm…… ……………… ……… .14 Kết luận kiến nghị………………………………………………………15 3.1 Kết luận……………………………………………………………………15 3.2 Kiến nghị………………………………………………………………… 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………16 DANH MỤC CÁC SKKN Đà ĐƯỢC XẾP LOẠI…………………………17 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Bài tốn cực trị số phức dạng tốn khó chương số phức lớp 12 Năm 2021 BGD &ĐT có đề tham khảo thi TN THPT có câu phần này, dẫn tới em học sinh lớp 12 trú tâm nghiên cứu học tập phần Để giảm bớt khó khăn cho em q trình học tơi cố gắng hệ thống kiến thức, tập hợp dạng toán phân loại chúng để hướng dẫn em học tập cách hiệu Các dạng tốn mà tơi hệ thống như: Cực trị số phức mà có điểm biểu diễn đường thẳng, đường trịn, e líp, đa giác,….Với phương pháp như: PP hàm số, PP biểu diễn hình học, PP sử dụng BĐT Bunhiacopxki, PP lượng giác hóa, PP sử dụng BĐT mơđun,… Trong “PP sử dụng BĐT mơđun tốn cực trị số phức” nhiều trường hợp giúp ta giải nhanh gọn gàng toán cực trị số phức, nên lựa chọn đề tài SKKN phương pháp để thể viết 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập phát triển pp sử dụng BĐT mơ đun để giải tốn cực trị số phức, giúp học sinh học tập phương pháp cách hệ thống dễ dàng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài viết mảng kiến thức phần cực trị số phức thuộc chương trình giải tích lớp 12 THPT Và hướng tới đối tượng học sinh có học lực từ trung bình đến khá, giỏi trường THPT Yên Định 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tôi chủ yếu sử dụng phương pháp thực nghiệm (nghiên cứu trực tiếp giảng dạy lớp 12A3, 12A4) Ngồi cịn sử dụng phương pháp: - Phương pháp quan sát (công việc dạy - học giáo viên học sinh) - Phương pháp đàm thoại, vấn (lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp) 1.5 Những điểm SKKN Xây dựng cách nhìn có hệ thống, xốy mạnh vào phương pháp với hướng biến đổi linh hoạt, sáng tạo Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm a Cơ sở triết học: Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển Vì trình giúp đỡ học sinh, người giáo viên cần trọng gợi động học tập giúp em thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức b Cơ sở tâm lí học: Theo nhà tâm lí học: Con người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu tư duy, đứng trước khó khăn cần phải khắc phục c Cơ sở giáo dục học: Để giúp em học sinh học tập tốt hơn, người giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức quan trọng, người muốn phát triển cần phải có tri thức, cần phải học hỏi tổng hợp kiến thức cho riêng d Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức, tác động đến tính cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Kiến thức tương đối khó học sinh, chưa có tài liệu hệ thống viết riêng cho phương pháp này, nên đa số học sinh mơ hồ cách áp dụng 2.3 Giải vấn đề I) KIẾN THỨC VẬN DỤNG *) Cho hai số phức z1  z2 �z1  z2 *) z1  z2 � z1  z2 z1 , z2  z2 �0  ta có: , dấu xảy z1  kz2  k  �, k , dấu xảy z1  kz2  k  �, k 0 0 II) VÍ DỤ ÁP DỤNG z  VÍ DỤ 1: Cho số phức z thỏa mãn Hãy tìm GTLN, NN biểu thức sau: P zi a) Q  z   4i b) Bài làm: a) Áp dụng BĐT mơ đun ta có: P  z  i �z  i    *) �z  ki (k  �, k � �z  *) 0) k 2 � �� �z  2i 0) k 2 � �� �z  2i Dấu xảy khi: P  z  i �z  i  1  �z   ki (k  �, k � z 2 Dấu xảy khi: � Vậy: MaxP  3, z  2i MinP  , z  2i b) Áp dụng BĐT mơ đun ta có: Q  z   4i  z   3  4i  �2 z  3  4i    *) Dấu xảy khi: � 2 z kγ 4i  ( k � � �z  �, k � 2 z kγ 4i  ( k 0) � �� �k  3  4i   �, k 0) Q  z   4i  z   3  4i  � z  3  4i    *) Dấu xảy khi: � �k  � �� �z    i � 5 � k   2 z kγ 4i  (k �, k 0) � � 2 z kγ 4i  ( k �, k 0) � � � � � � � � � �z   i �z  �k  3  4i   � 5 Bình luận: Qua VD1 ta thấy phương pháp sử dụng BĐT mô đun giúp giải nhanh tốn Nó hiệu hẳn phương pháp khác với nhiều ví dụ z  x  yi  x ��, y �� thỏa mãn z   i  VÍ DỤ 2: Cho số phức Hãy tính S  x  y trường hợp sau: a) b) P  2i  z đạt GTLN Q  z   2i đạt GTNN Bài làm: a) P  2i  z  z  2i   z   i     3i  �z   i   3i   13 Dấu xảy khi: � γi k  3i  (k �z  � �z   i  �, k 0) � γi k  3i  (k �, k 0) �z  �� �k   3i   3 � k  � 13 � �� �z  �  � �  1� i � �� � � � � 13 � � � 13 �6 � �9 � z  �  � �  1� i � S  x  y 1 13 � 13 � � 13 � Vậy: MaxP   13, b) Q  z   2i  z   2i  z   2i   z   i   �2  z   i      Dấu xảy khi: � 2  z 2γ�i kγ.5  k � � �z   i  �, k 0 2 z i  � �� �5k  5k  k �, k 0 � k � �� � �z  1  i Vậy: MinQ  1, z  1  i � S  x  y  2 w i  5w 2i z  VÍ DỤ 3: Cho số phức z , w thỏa mãn z Gọi M , m GTLN, NN = M + mi Hãy tính mô đun số phức w � Bài làm: *) Điều kiện: z �4 5w   i � 5w    i   z   *) Ta có: z  thay vào giả thiết đầu ta được: 5i 5w  5i  �   i   z    5i  �  i z   3 2i * Ta có : +) � z   2i  z   z   2i     2i  �z   2i   2i   13 +) z   z   2i     2i  � z   2i   2i  13  w� M  m  3     11 Vậy: (Lưu ý với cách làm VD ta dễ thấy ln có số phức z để dấu xảy ra) 13 13  z 5 VÍ DỤ 4: Cho số phức z thỏa mãn Kí hiệu M , m GTLN GTNN biểu thức   2i  z  z Tính P  M  m Bài làm:   2i  z  z  z    2i  z  z z    2i   125 z    2i  *) Ta có: *) Áp dụng BĐT mơ đun, ta có: 2 z  1  2i �z   2i �z  1  2i � z  �z   2i �z  � 25  �z   2i �25    (Nhận xét ta thấy dấu xảy ra)  M  125 25  , m  125 25  Vậy: � P  6250  z  w    3i  z   2i VÍ DỤ 5: Cho số phức z , w thỏa mãn , w Tính GTNN Bài làm: w    3i  z   2i �  3i  z   2i  z  4 Vậy: (dấu xảy ra) Min w  VÍ DỤ 6: Cho số phức z thỏa mãn Bài làm: *) Điều kiện: z �0 1  z  �z  z z *) Ta có: z 4 z z Tính GTLN  � z� 4z  z z z �1 �z  kz  k  �, k � �z   � 0 Dấu xảy khi: (dễ thấy hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện) Vậy: Max z   z �2 VÍ DỤ 7: Cho số phức z �0 thỏa mãn Tính tổng GTLN GTNN biểu thức P z i z Bài làm: *) Điều kiện: z �0 z i i P  1 z z *) Ta có: 1 Áp dụng BĐT mơ đun ta có: Vậy: MinP  MaxP  i �1  �1  z z z � P z � 2 mà (các dấu xảy ra)  2 2 z  GTNN biểu thức VÍ DỤ 8: Cho số phức z thỏa mãn A B C Bài làm: *) Điều kiện: z �۹ z *) Do: z D P  z2  z  � z.z  z  � z  z  z  z  z z    z �3  z  z Dễ thấy dấu xảy z  Vậy: MinP  , z  Chọn D � P  z2  VÍ DỤ 9: Cho số phức z thỏa mãn z số thực P  iz   i thực Tính GTLN biểu thức Bài làm: i (*) *) ĐK: z �2۹� z z w � w.z  z  2w=0 2 z *) Ta có: w z  z số  1 w �� nên   phương trình bậc hai với hệ số thực, có z nghiệm Do z khơng phải số thực nên phương trình có nghiệm z Áp dụng 2w � z 2� z  w định lí Viét ta có: 1 i P  iz   i  i z   z 1 i i *) Ta có: z z  Áp dụng BĐT mơ đun ta có: Dấu xày P �z   i  2 2 � �z  k   i  ( k  �, k 0) � z 1 i � �z  (thỏa mãn (*)) Vậy: MaxP  2 z2   z VÍ DỤ 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Khẳng định sau ? A 1 1 �z � 3  �z �  C Bài làm Áp dụng BĐT mơ đun ta có: B 1 1 �z � 6 D  �z �  z  z2  �z2   z 4  2t t2 (với t z ) � 2t �t  �2t �  �z �  (dấu xảy ra) Vậy chọn C z 3  z 3 8 z VÍ DỤ 11: Cho số phức z thỏa mãn Tìm GTLN Bài làm: z   z  3   z  3 �z   z  Ta có: 8 z 4 � γ k  z 3  k �, k  �z  � z 3  z 3 8 Dấu xảy khi: � (Hệ có nghiệm, tức dấu xảy ra) Max z  Vậy: z 1 VÍ DỤ 12: Cho số phức z thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  z  z   z3  Bài làm: * Ta có: P �z  z   z   Dễ thấy dấu xảy z   z3  z3  z3  z3   z3 P  1 z �  � 1 1 z 2 *) Mặt khác: Dấu xảy z  1 Vậy: MaxP  , z  MinP  , z  1 z   i  z2  iz1 VÍ DỤ 13: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn P  z1  z2 Tìm GTNN biểu thức Bài làm P  z1  z2  z1  iz1    i  z1  z1 Mặt khác: z1   z1   i    1  i  � z1   i  1  i   (dấu xảy ra) Vậy: MinP  2  z   z  i �2 VÍ DỤ 14: Cho số phức z thỏa mãn Mệnh đề đúng? 3  z  z 2 z 2 A B C Bài làm Ta có: D z 2 �2 z   z  i   z   i  z   z  i �2 i   z  i  2  z  i �2 Dễ thấy dấu xảy z  i � z 1 Vậy chọn A z  �3 z  i �4 VÍ DỤ 15: Gọi P tập hợp số phức z thỏa mãn Tìm z1 , z2 số phức có mơ đun lớn nhỏ P Bài làm Ta có: � 3�z  z �� � �z �� �� � �z  i � z  i 4 �z  �4 � � *) z  �z γ2k  k � � �z  � �z γki  k � z 5 z  *) � Vậy: z1  5i ; z2  �, k �, k 0 0 �z � �z �5 z � k � �� � �z  k 5 � �� �z  5i z   2i  VÍ DỤ 16: Cho số phức z thỏa mãn P  z   i  z   2i Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài làm: Áp dụng BĐT mơ đun, ta có: P  z   i  z   2i  z   i   z   2i � z   i     z   2i    i  17 Dấu xảy khi: � z 2γ� i k  z 1Σ�i   k � � �z   2i  �, k 0 �z i m  i   m �,0 m 1 �� �z   2i  � �z   4m  1   m  1 i �� 2  4m  1   m  1  (hệ có nghiệm) � Vậy: MinP  17 z  i  , biểu thức VÍ DỤ 17: Cho số phức z thỏa mãn P  z  10i  z   5i đạt GTNN z  a  bi  a, b �� Giá trị S  a  2b  17  17  17 7  17  A B C D Bài làm: *) Trước tiên ta phải cân hệ số biểu thức P : r r r r a r b r z z a  b  r b  r a � z1  z2  z2  z1 z1 z2 a b Áp dụng tính chất véc tơ: z  10i   z  i   9i  Ta có: *) zi 9i 9i  z  i  z  2i zi 9i P  z  10i  z   5i   z  2i  z   5i    z  2i   z   5i  �3  z  2i     z   5i   3  3i  Dấu xảy khi: 3m  3m  i  m �,0 m 1 � � 2iΣ� m  3i   m �,0 m 1 �z  �z Σ� � � � 2  3m    3m  1  �z  i  � 10 � 1  17 m � � � �z  1  17   17 i � � 2 Vậy: MinP  , z 1  17  17  17  i �S  2 Chọn B z1  i  z1  z1  2i VÍ DỤ 18: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z2  i  10  Tính GTNN biểu thức P  z1  z2 Bài làm x2 z  x  yi  x, y �� Từ z1  i  z1  z1  2i � y  *) Gọi *) Áp dụng BĐT mơ đun ta có: z1  z2  z2  i  10 � z1  z2    z2  i  10   z1  10  i   x  10    y  1 2 �x �   x  10   �  1� �4 � x4 x2    20 x  101 16 Xét f  x  Suy ra: x4 x2   20 x  101, x �� Minf  x   45 , x  16 Ta tìm z1 z� z2 i 10  P Vậy: MinP   VÍ DỤ 19: [Câu 49-ĐỀ THAM KHẢO-BGD 2021] Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z  z  5i GTLN A  19 Bài làm: B  19 *) Áp dụng BĐT mơ đun, ta có: z1  1, z2  z1  z2  C 5  19 D  19 P  3z1  z2  5i �3z1  z2  5i 11 *) Ta tính Ta có: z1  z2 sau: 2 2 z1  z2  z1  z2  12 z1  z2 � z1  z2   3  12.12  4.2 � 3z1  z2  19 Suy ra: P � 19  (đảm bảo dấu xảy số ẩn số phương trình điều kiện) Vậy: MaxP  19  Chọn B z  2w  3, z  3w  , VÍ DỤ 20: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  4w  GTNN 3z  2w  4i A 197  Bài làm B 297  *) Áp dụng BĐT mô đun, ta có: 497  C D 397  P  3z  2w  4i �3z  2w  4i  3z  2w  z  2w sau: *) Ta tính Gọi A, B điểm biểu diễn cho số phức z , w Ta có: uuu r uuu r uuu r uuu r z  2w  � OA  2.OB  � OA  2.OB  +) uuu r uuu r � OA2  4.OA.OB  4.OB   1 uuu r uuu r uuu r uuu r 2 z  3w  � 2.OA  3.OB  � 2.OA  3.OB  36 +) uuu r uuu r � 4.OA2  12.OA.OB  9.OB  36 uuu r uuu r uuu r uuu r z  4w  � OA  4.OB  � OA  4.OB  49 +) uuu r uuu r � OA2  8.OA.OB  16.OB  49  3     Từ  1 ,   ,  3 Ta có: ta có: � OA2  33 r uuu r �uuu OA OB  14 � � OB  �   2  uuu r uuu r2 uuu r uuu r z  2w  3.OA  2.OB  9.OA2  12.OA.OB  4.OB 12  9.33  12. 14   4.8  497 � z  2w  497 Suy ra: P � 497  (dấu xảy số ẩn số phương trình điều kiện) Vậy: MaxP  497  Chọn C z  2w  4, 3z  w  VÍ DỤ 21: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  3w  i đạt GTNN, z  w  17 A Bài làm *) *) B C D 170 z  2w  � z  4w  z  3w  i   z  4w    3z  w   i � z  4w    z  w   i �2 z  4w  z  w    1  �  z  4w    3z  w   ki � 4w  m  3z w   z γ�  k , m �, k � � z  4w  8, z  w  Dấu xảy khi: � � z i � 3z  w  5i � � �� �� z  4w= 8i � �w  17 i � 0, m  11 � 11 � 170 z  w    i  12  �  � 7� Chọn D � Khi đó: p/s: Đa số ví dụ tơi nêu làm theo nhiều cách, tơi trình bày xun suốt cách áp dụng BĐT mô đun, để hs có nhìn hệ thống cho phương pháp Đây phương pháp hay hiệu để làm toán cực trị số phức Trong số ví dụ tơi khơng trình bày cụ thể điều kiện để dấu xảy mà nói đảm bảo 13 dấu xảy ra, thực tế giảng dạy để tiết kiệm thời gian cho học sinh làm trắc nghiệm nhiều không cần thiết ta cần dấu xảy III BÀI TẬP RÈN LUYỆN z 1 Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn Hãy tìm GTLN, NN biểu thức sau: P  z   2i a) Q   3iz b) z  x  yi  x ��, y �� thỏa mãn z   2i  Câu 2: Cho số phức Hãy tính S  x  y trường hợp sau: P  z   i đạt GTLN Q   3i  2iz đạt GTNN b) w   2i  Câu 3: Cho số phức z , w thỏa mãn w    i  z   2i Gọi M , m GTLN, NN z  = M + mi Hãy tính mơ đun số phức w � a) z   3, 1 i w  1 i z  Câu 4: Cho số phức z , w thỏa mãn w Tính GTNN 2  3i z 1   i Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn Tính giá trị lớn mô đun số phức z z  Gọi M , m GTLN, NN Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn biểu thức P  z   z2  z  Tính giá trị M m z   z  z  2i  z Câu 7: Cho số phức thỏa mãn zi Tính giá trị nhỏ Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z số thực thực Tính GTLN biểu thức Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn P  z   3i  z  z   10 w 2z  z số Tính GTLN z 14 Câu 10: Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn � z2  � z1   2i  2, log � �2 z  � � 1, z2  z1  21 z1   i 3� � Tính giá trị lớn 2z  z  i 2.4 Hiệu SKKN Đề tài kiểm nghiệm trình giảng dạy lớp 12, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả làm toán cực trị số phức cho học sinh Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 12 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói tăng, kết qua kiểm tra thử sau : Điểm Điểm từ đến Điểm Năm Tổng trở lên Lớp Số Tỷ Số Số học số Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lệ lượng lượng 2020 12 A3 43 33 77% 20% 3% 47 25 53 % 19 40% 7% -2021 12 A4 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Bài viết thể rõ ràng ý tưởng tơi Mong ý tưởng có ích cho thầy, cô giáo việc soạn dạy ôn tập cho học sinh 3.2 Kiến nghị: Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm tư liệu giảng dạy làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề 15 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 08 tháng 05 năm 2021 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Nguyễn Tư Tám 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [I] Đề thi thử trường THPT, sở GD&ĐT nước năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021 [II] Các đề minh họa, đề thi BGD & ĐT năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021 17 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Tư Tám Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên toán trường THPT Yên Định Kết Năm học Cấp đánh giá TT Tên đề tài SKKN đánh giá đánh giá xếp loại xếp loại xếp loại Dạy học khám phá Sở Giáo Dục & C 2016 vận dụng BĐT Côsi Đào Tạo Câu hỏi mở ôn tập Sở Giáo Dục & phần hàm số cho học C 2018 Đào Tạo sinh khối 12 18 ... giác,….Với phương pháp như: PP hàm số, PP biểu diễn hình học, PP sử dụng BĐT Bunhiacopxki, PP lượng giác hóa, PP sử dụng BĐT m? ?đun, … Trong “PP sử dụng BĐT m? ?đun toán cực trị số phức? ?? nhiều trường... gọn gàng toán cực trị số phức, nên lựa chọn đề tài SKKN phương pháp để thể viết 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập phát triển pp sử dụng BĐT mô đun để giải toán cực trị số phức, giúp... Đa số ví dụ tơi nêu làm theo nhiều cách, tơi trình bày xun suốt cách áp dụng BĐT mơ đun, để hs có nhìn hệ thống cho phương pháp Đây phương pháp hay hiệu để làm toán cực trị số phức Trong số ví