SKKN kĩ THUẬT sử DỤNG bất ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GIẢI các bài TOÁN

- Bất đẳng thức là nội dung rất khó trong chương trình THPT, nó có mặt hầu hết trong bộ môn toán sơ cấp và đóng một vai trò hết sức quan trọng.Tuy nhiên bất đẳng thức rất khó định hướng

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

Mã số: ………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GIẢI CÁC BÀI

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 2

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CÁ NHÂN:

1 Họ và tên : Nguyễn Kiều Linh

2 Ngày tháng năm sinh : 01-08-1987

3 Nam, nữ: Nam

4 Địa chỉ : Tổ 31- Ấp 3- Xã Hiệp Phước - Huyện Nhơn Trạch- Tỉnh Đồng Nai

5 Điện thoại : + Cơ quan: + Di động:0986892792

6 Chức vụ: Giáo viên

7 Đơn vị công tác : Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:

- Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Đại học Sư phạm

- Chuyên ngành: Toán học

- Năm nhận bằng : 2011

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC:

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : 1 năm

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 3

“ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GẢI CÁC BÀI TOÁN ”

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Bất đẳng thức là nội dung rất khó trong chương trình THPT, nó có mặt hầu hết trong bộ môn toán sơ cấp và đóng một vai trò hết sức quan trọng.Tuy nhiên bất đẳng thức rất khó định hướng giải không những thế còn đòi hỏi ta cần phải nhớ thêm những bất đẳng thức phụ rất khó nhớ.Gần như học sinh không có hướng giải và rất lúng túng khi gặp loại toán này ngay cả đó là bài toán rất đơn giản

- Bất đẳng thức cũng là câu khó nhất trong các đề thi ĐH những nằm gần đây và các kì thi học sinh giỏi các cấp trong và ngoài nước trong khi đó thời lượng học lại rất ít và sơ sài làm cho học sinh chưa hiểu sâu về nó

- Chính vì lí do đó tôi viết đề tài này nhằm cung cấp thêm cho hoc sinh cũng như các đồng nghiệp về kiến thức và kĩ năng khi giải các bài toán về bất đẳng thức, tuy nhiên là vấn đề

khó và rộng nên tôi chọn viết về bất đẳng thức Cauchy.Vì đây là một bất đẳng thức rất quan

trọng và thông dụng mà các em hoc sinh đã được học trong trường phổ thông

C.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

1) Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh:

-Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành chùm bài toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh còn rất hạn chế

-Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em còn rất ít, khả năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh còn lúng túng, bỡ ngỡ

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 4

2) Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng:

-Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận dụng những phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học trong việc hình thành chùm bài toán từ bài toán cơ bản Tuy nhiên việc vận dụng nó một cách có hiệu quả thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn

D CƠ SỞ LÝ LUẬN:

I TÁC DỤNG CỦA BÀI TẬP TOÁN HỌC

1 Phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh

2 Giúp học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức

3 Hệ thống toán kiến thức đã học: một số đáng kể bài tập đòi hỏi học sinh phải vận dụng tổng hợp kiến thức của nhiều nội dung trong bài Dạng bài tập tổng hợp học sinh phải huy động vốn hiểu biết trong nhiều chương

4 Cung cấp kiến thức mới, mở rộng sự hiểu biết của học sinh.Rèn luyện một số kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng giải từng loại bài tập khác nhau

5 Phát triển tư duy: học sinh được rèn luyện các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, so sánh, quy nạp, diễn dịch

6 Giúp giáo viên đánh giá được kiến thức và kỹ năng của học sinh Học sinh cũng tự kiểm tra biết được những lỗ hổng kiến thức để kịp thời bổ sung

7 Rèn cho học sinh tính kiên trì, chịu khó, cẩn thận, chính xác khoa học Làm cho các

em yêu thích bộ môn, say mê khoa học (những bài tập gây hứng thú nhận thức)

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

- Phương pháp giải toán hình học không gian

- Phương pháp giải hệ phương trình, bất phương trình

- Phương pháp phân tích tổng hợp

Và nhiều phương pháp khác

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 5

III MỘT SỐ LƯU Ý ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP TỐT

IV NHỮNG CHÚ Ý KHI CHỮA BÀI TẬP

1 Xác định rõ mục đích của bài tập, mục đích của tiết bài tập

- Ôn tập kiến thức gì?

- Bồi dưỡng kiến thức cơ bản?

- Bổ sung kiến thức bị thiếu hụt ?

- Hình thành phương pháp giải với một dạng bài tập nào đó?

2 Chọn chữa các bài tập tiêu biểu, điển hình, tránh trùng lập về kiến thức cũng như về dạng bài tập Chú ý các bài:

- Có trọng tâm kiến thức toán học cần khắc sâu

- Có phương pháp giải mới

- Dạng bài quan trọng, phổ biến, hay được ra thi

3 Phải nghiên cứu chuẩn bị trước thật kỹ càng:

-Tính trước kết quả

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 6

-Giải bằng nhiều cách khác nhau

-Dự kiến trước những sai lầm học sinh hay mắc phải

4 Giúp học sinh nắm chắc phương pháp giải bài tập cơ bản:

- Chữa bài mẫu thật kỹ

- Cho bài tập tương tự về nhà làm (sẽ chữa vào giờ sau)

- Khi chữa bài tập tương tự có thể:

+ Cho học sinh lên giải trên bảng

+ Chỉ nói hướng giải, các bước đi và đáp số

+ Chỉ nói những điểm mới cần chú ý

- Ôn luyện thường xuyên

5 Dùng hình vẽ và sơ đồ trong giải bài tập có tác dụng:

- Cụ thể hoá các vấn đề, quá trình trừu tượng

- Trình bày bảng ngắn gọn

- Học sinh dễ hiểu bài

- Giải được nhiều bài tập khó

6 Dùng phấn màu khi cần làm bật các chi tiết đáng chú ý:

- Phần tóm tắt đề

- Viết kết quả bài toán…

7 Tiết kiệm thời gian:

- Đề bài có thể photo phát cho học sinh, hoặc viết trước ra bảng, bìa cứng

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 7

- Tận dụng các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập

- Không sa đà vào giải đáp những thắc mắc không cần thiết

8 Gọi học sinh lên bảng

- Những bài đơn giản, ngắn gọn có thể gọi bất cứ học sinh nào, nên ưu tiên những học sinh trung bình, yếu

- Những bài khó, dài nên chọn học sinh khá giỏi

- Phát hiện nhanh những lỗ hổng kiến thức, sai sót của học sinh để bổ sung, sửa chữa kịp thời

9 Chữa bài tập cho học sinh yếu

- Đề ra yêu cầu vừa phải

- Đề bài cần đơn giản, ngắn gọn, ít sử lý số liệu

- Không giải nhiều phương pháp

- Tránh những bài khó học sinh không hiểu được

- Bài tương tự chỉ cho khác chút ít

- Nâng cao trình độ dần từng bước

10 Sửa bài tập với lớp có nhiều trình độ khác nhau

V CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TẬP TRÊN LỚP

1.Tóm tắt đầu bài một cách ngắn gọn trên bảng

2.Xử lý số liệu dạng thô thành dạng cơ bản (có thể làm bước này trước khi tóm tắt đầu bài)

3.Gợi ý và hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm lời giải:

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 8

- Phân tích các dữ kiện của đề bài từ đó cho ta biết được những gì

- Liên hệ với những bài tập cơ bản đã giải

- Quy luận ngược từ yêu cầu của bài toán

4.Trình bày lời giải

5.Tóm tắt, hệ thống những vấn đề cần thiết, quan trọng rút ra từ bài tập (về kiến thức, kỹ năng, phương pháp)

VI XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP

1 Lựa chọn các bài tập tiêu biểu, điển hình Biên sọan hệ thống bài tập đa cấp để tiện cho sử dụng

- Sắp xếp theo từng dạng bài toán

- Xếp theo mức độ từ dễ đến khó

- Hệ thống bài tập phải bao quát hết các kiến thức cơ bản, cốt lõi nhất cần cung cấp cho học sinh.Tránh bỏ sót, trùng lặp, phần thì qua loa, phần thì quá kỹ

2 Bài tập trong một học kỳ,một năm học phải kế thừa nhau, bổ sung lẫn nhau

3 Đảm bảo tính phân hoá, tính vừa sức với ba loại trình độ học sinh

4 Đảm bảo sự cân đối về thời gian học lý thuyết và làm bài tập

E MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

- Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy ở trường THPT, cùng với một chút kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại các kiến

thức thành một chuyên đề: “KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN’’

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 9

- Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và một số phương pháp để giải Học sinh có thể nhận dạng và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn toàn diện, hiểu rõ bản chất và nắm được các kĩ thuật khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải các bài toán từ đơn giản cho đến phức tạp

F NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI:

- Xuất phát từ lý do chọn đề tài, chuyên đề thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán bất đẳng thức từ phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễ dàng Muốn vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh biết các dạng toán và phương pháp phân tích bài toán

- Yêu cầu của chuyên đề: Nội dung, phương pháp rõ ràng, không phức tạp phù hợp với đối tượng học sinh trường THPT, có sáng tạo đổi mới Giới thiệu được các dạng phương trình

cơ bản, đưa ra được giải pháp và một số ví dụ minh hoạ

- Đề tài này dùng cho các đối tượng hs trung bình,khá, giỏi,bồi dưỡng học sinh giỏi và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán

-Trong đề tài này tôi chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải (mặc dù ta có thể sử dụng các bất đẳng thức khác chẳng hạn như Cauchy-Schwarz để giải thì rất ngắn gọn) với mục đích giúp các em hs hiểu rõ hơn về bất đẳng thức Cauchy

G.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

1)Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, rút kết kinh nghiệm

2)Cách thực hiện:

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 10

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng và rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

H.ĐỐI TƯỢNG VÀ CƠ SỞ NGHIÊN CỨU:

1) Đối tượng: Học sinh khối 3 khối

2) Cơ sở nghiên cứu: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

PHẦN II NỘI DUNG

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 1.Dạng Tổng Quát:

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 11

Chú ý :Dấu bằng của các bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi các số đó bằng

nhau.Vì vậy khi áp dụng bđt cauchy ta cần lưu ý điều này.Sau đây là một số bài

Như vậy ta không tìm được kết quả cụ thể vì biểu thức vẫn còn chứa x.Để ý trong

biểu thức có x2 vì vậy ta cần tìm cách làm mất x như

    (thỏa x0).Vậy giá trị nhỏ nhất là 7

2 khi x=1

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 12

Nhận xét :Khi tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất ta phải luôn đảm bảo dấu bằng

  b) Nhận thấy có a2b ta phân tích như sau:

5 5

a b

a b

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 13

Áp dụng bđt cauchy cho 5 số dương trên ta

a b ab ab

xảy ra khi a=b=1

   Vì vậy ta phải tách 1 15 1

16 16

ab ab abđể xuất hiện 1 1

16ab  4 abnhư đoán.Ta làm như

162

1 1

2

ab ab

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 14

Hệ vô nghiệm nên

không thể chỉ ra được dấu bằng.Vậy P không thể bằng 6 mà hoàn toàn lớn hơn 6

Phân tích giống bài trên để các số hạng đảm bảo bằng nhau và với dự đoán dấu

bằng xảy ra khi a=b=c=1

Cách giải dài dòng như vậy với mục đích để các bạn hiểu rõ hơn vấn đề khi áp

dụng bđt ta luôn phải đảm bảo rằng dấu bằng xảy ra.Các số hạng khi dùng bdt

cauchy khi phải được đảm bảo bằng nhau.Kể từ sau bài này các bạn sẽ không thắc

mắc rằng tại sao ta lại phải làm như vậy

a b   a b

3) Nếu a, b dương thỏa 1

1) Dễ dàng dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=1

2.Khi áp dụng ta luôn phải đảm bảo điều này

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 15

2 3

Rõ ràng ta đã đoán được dấu bằng và khi áp dụng luôn phải đảm bảo điều đó nên

công việc tìm ra dấu bằng ở bước cuối chỉ ghi lại mà thôi

2) Tiếp tục dự đoán dấu bằng a=b=1

2 1

Ta cần chú ý những kĩ thuật để đưa về để sử dụng giả thiết của bài toán

3) Tiếp tục dự đoán dấu bằng a=b=1

4.Các số hạng đề cho không bằng nhau như dự đoán của ta vì vậy ta cần phải phân tích để đảm bảo dấu bằng trước khi làm

( ) 2

4 2

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 16

được kết quả gì vì ta đang cần dấu,tai sao vậy?vậy sai ở đâu.Rất đơn giản các

bạn cứ tưởng tượng là dấu ta đánh giá chỉ là 1 phần nhỏ không đủ sức để kéo

toàn bộ bài thành dấuđược.Vì dấu nói chung là mạnh hơn ở bài này.Ta cần

làm như sau để trung hòa 2 dấu đó lại,sau đó dư lại dấu nào thì đó là dấu của toàn

2 2 2 7

A

a b c a b c ab bc ac

a b c ab ab bc bc ac ac a b c

a b c abc

Với giả thiết cho a+b+c=1 mà biểu thức cần chứng minh gồm cóa2b2c2nằm ở

dưới mẫu.Theo tự nhiên nếu áp dụng ngay để đưa về giả thiết ta sẽ được dấu mà

đề bài lại cần chiều ngược lại.vì vậy cần phải trung hòa đi đại lượng 2 2 2

a b c về (a+b+c)2 rồi sau đó mới đánh giá tiếp được.Các bạn nên xem lại câu 2 và câu 3 của

bài 6 đơn giản hơn để hiểu rõ vấn đề

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 17

1 7

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 18

1) Bài này có nhiều cách giải nhưng ở đây ta sẽ sử dụng bđt cauchy giải để các bạn

nắm được những kĩ thuật cần thiết.Ta thấy dấu bằng xảy ra khi a=b và vế phải

xuất hiện ab2a b2 vì vậy ta cần áp dụng sao cho xuất hiện chúng.Ta làm như sau :

Bài 10(ĐH khối A 2006) :Cho 2 số thực khác không thỏa

mãn :(xy xy) x2y2xy.Hãy tìm giá trị lớn nhất của

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 19

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 20

2

17 17

y y

z z

162

 

 

 Dấu bằng xảy ra khi 1

 

 

 

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 21

Dấu bằng xảy ra khi 1

7 9

4 9 16 29

4 9



29 (4 9 16 )

6

21 27

29 4 9 163

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 22

Tuy nhiên với cách giải phía trên để các bạn hiểu rõ kĩ thuật khi dùng bđt

cauchy.Các bạn hãy thử làm bài 12 và bài 13 kết hợp phương pháp tọa độ thử

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 23

x  y z ,vế phải xuất hiện xyz là bậc 3 trong khi

vế trái là bậc 4 vì vậy cần bổ sung cho bậc chúng bằng nhau.vì x+y+z=1 nên xyz

có thể ghi lại (x+y+z)xyz

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 24

Ta thấy dấu bằng xảy ra khi a=b=c.Ta cần áp dụng sao cho xuất hiện vế phải, nhận

thấy rằng mẫu số của VT gần giống với VP.Vì vậy ta sẽ áp dụng sao cho làm mất

mẫu số ở VT nhưng sẽ xuất hiện điều cần CM ở VP

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 25

( Theo kết quả bài 23)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Đây rõ ràng lại là kết quả của bài 24 vừu CM ở trên

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= 3

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 26

P

 

Giải

Ta cần làm xuất hiện x+y để sử dụng giả thiết, nhận thấy mẫu số có chứa 4y vì

vậy ta cần phân tích sau khi dùng bđt để tạo ra 4x

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 27

x y

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 28

3 (1 1 1 4 )(1 1 1 4 )(1 1 1 4 )x y z 3 4 1.1.1.4 4 1.1.1.4 4 1.1.1.4x x x

24 24