Thông tin tài liệu
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a A Kiến thức cần nhớ ta phải tách a n2 x, y n Điều kiện n3 x, y, z để áp dụng bất đẳng thức Cauchy thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy Giả a a 1 a cho “Điểm rơi a ” , ta có k a k a sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , Dạng xy xyz Dạng x y xy x y z xyz 1 x y xy 1 x y z xyz Khi ta A a x, y 0 x, y, z Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta xy Dạng Dạng sơ đồ sau: xyz a a k a k 1 k a Aa x, y 0 x, y, z Đẳng thức xẩy a Vậy giá trị nhỏ A x y xy xy a k a x y xy yz zx + x y y 2z2 z2 y2 xyz x y z + x y z xy yz zx 3xyz x y z Bài toán Cho số thực a Tìm giá trị nhỏ của: A a a2 Sai lầm thường gặp là: A a a 7a a 7a 2 a2 8 a 7a 2a 7.2 2.2 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù giá trị nhỏ A 1 a Vậy giá trị nhỏ A a a Nguyên nhân sai lầm: giá trị nhỏ A a k a a 2 k a Sơ đồ điểm rơi: a k8 k 1 a B Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy Kỹ thuật chọn điểm rơi đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Sai lầm thường gặp là: A a Bài toán Cho số thực a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A a + x y z xy yz zx 1 a a, ka + x y z2 x y z Chú ý: Ngoài cách chọn cặp số , ta chọn các cặp số sau: ka, a, 2 a 3a a 3a 3.2 2 1 a a 4 a 4 x y z x1 y1 1z + x y2 2xy; x y2 x y ; a 3a ta có lời giải a 4 a x y x1 1y xy xyz Đẳng thức xẩy Một số bất đẳng thức suy từ bất đẳng thức Cauchy + x y2 khơng thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy Vì a sai lầm đánh giá mẫu số: a a , điều khơng xẩy theo a Lời giải đúng: A giả thiết a Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy giá trị a tăng A tăng, ta dự đốn A đạt giá trị nhỏ a Khi ta nói A đạt giá trị nhỏ “Điểm rơi a ” Ta 2a đáp số cách giải mắc sai 2.2 a a 6a a a 6a 6.2 3 8 a2 8 a 8 Đẳng thức xẩy a Vậy giá trị nhỏ A Bài toán Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A ab ab Sơ đồ điểm rơi: Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b Theo bất đẳng thức Cauchy ta có b 3 m 2b b3 m2 m 9 3 2b 2 a b ab Khi ta có điểm rơi sau: c c n c n 4 n 1 c ab 1 k ab ab 4k 4k 16 4 ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3a b c a b 3c A a 2b c 4 3a b c a 2b 3c 2 2 2 13 a 2b c Đẳng thức xẩy a 2, b 3, c Vậy giá trị nhỏ A 13 a b 1 ab ab 4 Do ta A 16ab 1 17 15ab 16ab 15ab 15 ab ab 4 Đẳng thức xẩy a b 17 Vậy giá trị nhỏ A Bài toán Cho số thực a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A a Phân tích: Ta có A a2 Bài tốn Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab 12; bc Chứng minh rằng: 121 a b c ab1 bc1 ca1 abc 12 18 a Phân tích: Dự đoán giá trị nhỏ A đạt ab 12; bc ,tại điểm rơi 18 9 a2 a a a a 3; b 4; c Khi ta ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho nhóm sau: Dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ a Ta có sơ đồ điểm rơi: a b a c b c a c b ; ; ; , ; ; , ; ; , ; ; 18 24 ab ca 16 bc 12 abc a2 a 36 k 24 a 6k 9 k a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b a b 33 18 24 ab 18 24 ab a c a c 33 1 ca ca Lời giải 2 a a k a k 3 k a 2 a 9 23a a 9 23a 23.36 33 39 24 a a 24 24 a a 24 24 Đẳng thức xẩy a Vậy giá trị nhỏ A 39 Bài toán Cho số thực dương a, b, c thỏa a 2b 3c 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Ta có A b c b c 33 16 bc 16 bc a c b a c b 44 12 abc 12 abc 3 A abc a 2b c Phân tích: Dự đốn giá trị nhỏ A đạt a 2b 3c 20 điểm rơi a 2, b 3, c 13a 13b 2 18 24 13b 13c 2 48 24 13a 13b 2 18 24 13b 13c 2 48 24 13 13 13 12 18 24 13 13 13 8 48 24 4 Bài toán Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 121 a b c 2 ab bc ca abc 12 A 1 a b2 2ab Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a 3; b 4; c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt Bài toán Cho a, b số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức : ab A ab ab ab ab k 2 2 2ab a b ab 2k k 2 2ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a b nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a b Khi ta có sơ đồ điểm rơi: Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b ab k ab a b ab k4 k ab a b A A 4 1 a b2 2ab Phân tích: Dự đốn giá trị nhỏ A đạt a b a b c bc ca ab bc ca ab a b c ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a b c Khi ta có sơ đồ điểm rơi: 1 k3 a b2 2kab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Khi ta có sơ đồ điểm rơi: a b c a b c b c c a a b k b c c a a b 2 k ka kb kc k A Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a b c b c ca a b 3b c ca a b A 4a 4b 4c a b c bc ca a b a bc b ca c a b 3b c c a a b 2 2 2 b c 4a c a 4b a b 4c 4a a b b c c 1 1 15 2 2 2 2 Vậy giá trị nhỏ A Bài toán 10 Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài toán Cho a, b, c số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A Đẳng thức xẩy ab ab a b ab ab 3.2 ab A 2 1 ab a b a b 2 ab ab ab Đẳng thức xẩy a b Vậy giá trị nhỏ A 1 4 2ab a b2 2ab a b2 ab a b2 2ab ab a b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta Khi ta có sơ đồ điểm rơi: 1 a b2 6ab 3ab a b2 6ab 3ab a b 4ab 3ab a b a b 1 4 a b 3 4 2.1 3.1 1 a b2 6ab 1 Đẳng thức xẩy a b ab a b Đẳng thức xẩy a b c Vậy giá trị nhỏ A 1 2 a b2 6ab 3ab 15 Vậy giá trị nhỏ A Bình luận: Qua tốn ta thấy, giải tốn chứng minh bất đẳng thức đánh giá trung gian phải bảo toàn dấu đẳng thức Cho nên việc xác định vị trí điểm rơi xẩy tránh cho ta sử dụng đánh giá trung gian sai lầm Trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, việc xác định điểm rơi cho ta cách chọn đánh giá hợp lí chuỗi đánh ta cần phải sử dụng Bây ta tìm hiểu kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thơng qua số ví dụ sau Ví dụ 1.1: Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a b2 b c2 c 8a b c 2ab.2bc.2ca , tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình lại 64ab a b a b ; 4ab a b 4ab 4ab a b a b ab a b Như lúc ta thấy vế trái 4ab a b vế phải có đại lượng 64ab a b Để ý ta nhận thấy Hay 4ab , tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá từ trung bình 1 4 1 4ab Cộng theo vế bất đẳng thức ta 4ab , đến 2ab Đến ta trình bày lại lời giải sau 1 4 a b2 2ab a b2 2ab ab a b ab Như lúc bên vế trái lại Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có đánh giá sau: Phân tích: Trước hết ta dự đốn đẳng thức xẩy a b Trong bất đẳng thức trên, vế trái có đại lượng 1 1 4ab 4ab 4ab 4ab a b2 ab a b2 2ab hay dương - Nói chung ta gặp toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy tốn nói mà phải qua vài phép biến đổi đến tình thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Ví dụ 1.2: Cho a, b số thực dương không âm tùy ý Chứng minh rằng: a b Lời giải Ta viết lại biểu thức vế trái thành a a 2b2c2 8a 2b2c2 - Để ý ta sử dụng cách đánh giá x y x 2y xy chưa xác định x, y âm 1 ta cần Điều khơng thể làm khó ta dễ nhận 4ab 4ab Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Nhận xét: - Chỉ nhân vế bất đẳng thức chiều (kết bất đẳng thức chiều) vế không âm 1 Khi ta có a b2 2ab 4ab Để ý đại lượng a b2 nằm mẫu nên ta cần 4ab 4ab a b Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức ta được: ab 64ab a b ta sử dụng cách ghép hai đại lượng nghịch đảo 4ab a b2 ab 2 b c bc c2 a ca c 1 4ab a b2 ab Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x2 y2 x2 y2 xy , ta có: c2 1 4 a b2 2ab a b2 2ab ab Lời giải 2 a b nhân a b2 2ab; b2 c2 2bc; c2 a 2ca b tìm cách thêm vào 2ab để tạo thành a b , tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá 2 b2 a b ab Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b Ví dụ 1.3: Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b Chứng minh rằng: ab đại lượng a b2 ; b2 c2 ; c2 a vế phải chứa đại lượng 8a 2b2c2 Để ý ta nhận thấy a b Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy a 8a 2b2c2 Phân tích: Trước hết ta dự đốn đẳng thức xẩy a b c Trong bất đẳng thức vế trái có a 1 1 4ab 4ab 2ab 4ab 4ab (a b)2 4ab ab 7 1 4ab ab a b Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b cộng sang trung bình nhân cho hai số a b ab Lời giải Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho ví dụ sau Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y2 x y2 2xy , ta được: Ví dụ 1.4: Cho số thực a Chứng minh rằng: a2 a2 2 Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh a a Để ý ta nhận thấy Phân tích: Đây bất đẳng thức Neibizt chứng minh phép biến đổi tương đương Tuy nhiên a2 a2 1; a a2 1.1 , ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung ta thử dùng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh xem bình nhân để chứng minh bất đẳng thức + Hướng 1: Để ý đẳng thức xẩy a b c nên có a2 Ngồi ra, Để ý ta viết a2 a 1 a2 a2 a2 , đến ghép bất đẳng thức Cauchy cho hai số cặp nghịch đảo để chứng minh bất đẳng thức Lời giải a bc a bc ta ; , áp dụng tương tự ta b c 4a bc 4a bất đẳng thức: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y xy , ta có b c ca a b a b c 3 bc ca ab 4b 4c 4a a2 a2 a 1.1 a2 Như ta cần chứng minh Hay a2 bc ca ab bc ca ab 4a 4b 4c a b c Bất đẳng thức chứng minh a2 Đánh giá cuối đánh giá sai Do ta khơng thể thực chứng minh theo hướng thứ Đẳng thức xẩy a a Ta trình bày lời giải sau: Biến đổi vế trái áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có a2 a2 a2 a2 1 a 1 a2 + Hướng 2: Để ý 2 a2 a2 a a 1 Ví dụ 1.5: Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện a b Chứng minh rằng: b ab Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải không chứa biến, nên áp dụng áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái ta cần phải khử hết biến, ta cần phải có đại lượng a b; b , chiều bất đẳng thức gợi ý cho ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Để b ab abc abc abc bc ca ab 1 abc 9 b c c a a b a b c a b b c c a 3 a b b c c a 1 1 3 bc ca ab ab bc ca a b ab b sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ab b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 1 bab 3 b a b 3 b ab b ab b ab 1 1 ý ta lại thấy 3 bc ca ab ab bc ca Hay Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta a a b c a b b c c a 3 a b b c c a Đến ta có lời giải 3 ý a b a b ta áp dụng đánh giá cho số dương a b; b; a abc , áp dụng tương tự bất đẳng thức 1 bc bc abc abc abc 1 hay a b c Dễ dàng bc ca ab b c c a a b Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a a b c Sử dụng bc ca ab 1 9 b c c a a b Nhân theo vế hai bất đẳng thức ta a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 1.7: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh : a b c Ví dụ 1.6: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: bc ca ab 1 a 1 b 1 c abc 10 Phân tích: Dự đốn đẳng thức xẩy a b c , để đơn giản hóa bất đẳng thức ta lũy thừa bậc hai vế, ta a b c abc a b a b c a b c d hay 1 a 1 b 1 c abc a b c abc Quan sát bất đẳng thức ta ý đến đẳng thức 1 a 1 b 1 c a b c ab bc ca abc 3 2 Đến ta nhân theo vế thu gọn Như bất đẳng thức chứng minh ta a b c abc 64abcd Bây ta trình bày lại lời giải sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b a b c a b c d 64abcd Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Cauchy dạng x y ab bc ca 3 a b2c2 , rõ ràng hai đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy 4xy , ta có Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c abc a b c ab bc ca 3 a b c d 4d a b c a b c 4c a b 0; a b 4ab a b c ab bc ca abc 3 abc 3 a b2 c2 abc Hay Hay Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta suy 2 a b a b c a b c d 64abcd a b a b c Hay a b a b c a b c d 64abcd abc 3 a b2c2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b c 3 abc ab bc ca 3 a b2c2 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy d 2c 4b 4a Ngồi ra, ta trình bày lời giải sau: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 1.8: Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh rằng: a b a b c a b c d a b ab; a b c 2 abcd Phân tích: Bất đẳng thức viết lại thành a b a b c a b c d 64abcd Dễ thấy đẳng thức không xẩy a b c d , để dự đoán dấu đẳng thức xẩy đâu ta cần quan sát thật kỹ vai trò biến bất đẳng thức Nhận thấy bất đẳng thức a b, a b c, a b c d có vai trò nhau, ta dự đốn đẳng thức xẩy a b; a b c; a b c d hay 4a 4b 2c d , kiểm tra lại ta thấy kết Như a b c; a b c d abc d 16 ab a b c a b c d a b c a b c d ab 2c ab.2 4ab; a b c Tiếp tục áp dụng đánh ta a b c a b c d ab 2c ab.2 a b c.d Đến ta thu a b a b c a b c d 64abcd Hay bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 1.9: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c.d đẳng thức phụ đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Ta viết lại bất đẳng thức phụ thành a b3 a 2b ab2 , ta có đánh giá a a b3 3a b; a b3 b3 3ab2 Đến cộng theo vế ta thu bất đẳng thức Đến 64abcd bất đẳng thức cần 4c a b ; a b c d ta trình bày lời giải sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có chứng minh Ngồi ra, để đơn giản ta thực đánh a b c a b c d thức phụ a b ab a b phép biến đổi tương đương Trong ví dụ ta chứng minh bất Đến ta thu a b a b c a b c d a b 16 ab Phân tích: Bất đẳng thức chứng minh cách đánh giá mẫu, ta chứng minh bất đẳng ab 2c ab.2 2c ab.d 4abcd 1 1 a b3 abc b3 c3 abc c3 a abc abc Tiếp tục áp dụng đánh ta ab ab 2c ab.2 2c ab.d 4abcd Nhân theo vế bất đẳng thức ta a b a b c a b c d ab áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cần ý bảo tốn dấu đẳng thức Trước hết ta có đánh sau: a b a b c a b c d abc d Nhân theo vế bất đẳng thức ta 64 a b ab; a b c 2 a b c; a b c d a a b3 3a b; a b3 b3 3ab2 abc d 11 12 Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta a b3 a 2b ab2 a b3 abc ab a b c Suy 1 c 3 a b abc ab a b c abc a b c Từ ta Ta cần chứng minh Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 1 ; ; a b a b b c b c c a c 2a Chứng minh tương tự ta có 1 a 3 b c abc bc a b c abc a b c 1 b c3 a abc ac a b c abc a b c 1 1 1 a b b c c 2a a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta thu Ví dụ 1.11: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c a b c bc ca ab Cộng theo vế bất đẳngthức ta Phân tích: Vì vai trò biến bất đẳng thức nên ta dự đoán đẳng thức xẩy 1 1 a b abc b3 c3 abc c3 a abc abc Nhận xét: Khi tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, làm khó ta phải phát bất đẳng 3 1 1 1 a b2 b2c2 c2a a b4 c4 a a b c , ta a a , đẳng thức xẩy a b c Ta 2 a viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a b2 c2 a b2 c2 abc Để ý đến đánh giá a b2 c2 ab bc ca ta thức phụ a b ab a b Trong trình đòi hỏi ta phải có phân tích kĩ có định hướng rõ ràng, trình bày chứng minh bất đẳng thức cách miễn gọn tốt a b2 c2 a b2 c2 a b2 c2 1 abc a b c Ví dụ 1.10: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 2a 2b 2c 1 a b b6 c c6 a a b c Ta cần chứng minh Phân tích: Vì vai trò biến bất đẳng thức nên ta dự đoán đẳng thức xẩy 2a 2a a , đẳng thức xẩy a b c a b c , ta a a4 a4 Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái bất đẳng thức phức tạp nên ta chọn đánh giá bên vế trái trước Từ chiều bất đẳng thức ta cần phải thay mẫu đại lượng bé hơn, tức ta cần có đánh giá a b4 ? , cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy, ta có a b4 2a 3b2 , đánh giá bảo toàn dấu đẳng thức Lúc ta a b2 c ; ; Chú ý đến a b c , ta có a 2 b 2 c a2 a2 1 , đến toán chứng minh a 2a 2a Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b2 c a b c abc a b2 c2 ab bc ca 1 abc abc a b c 2a 2a áp dụng tương tự ta thu a a 2a b2 a b2 Mặt khác ta có 2a 2b 2c 1 Việc chứng minh hoàn tất ta a b4 b6 c4 c6 a a b2 b2c2 c2a Do ta 1 1 1 , đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy Do a b2 b c c a a b c Ta cần chứng minh toán chứng minh Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số ta Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b2 c2 a b2 c2 a b2 c2 1 abc a b c Áp dụng tương tự ta 2a 2b 2c 2a 2b 2c 1 a b b6 c c a 2a 3b2 2b c2 2c 3a a 2b2 b2 c2 c2a a b2 c2 1 a b c b c2 ; b 2 c Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta 13 a2 a2 1 a 2a 2a a b2 c2 1 a b c 14 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 1.12: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc Chứng minh rằng: Nhân theo vế hai bất đẳng thức ta a b3 b3 c3 c3 a 3 ab bc ca Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta có ý Suy tưởng tiếp cận sau: + Hướng thứ nhất: Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến đánh giá tương tự ví dụ 1.9 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta a b 1 ab a b 1 ab 3 ab a b c ab b c 1 bc 3 hoàn tất ta abc áp dụng hoàn toàn tương tự ta bất đẳng thức ab 3 ab ab bc ca 33 ab bc ca 3 3 , áp dụng tương tự ta bất đẳng thức Phép chứng minh hoàn tất ta ab bc , nhiên đánh giá ca ab a b c ab 3 ca a b2 c2 bc a b b c c a 1 ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 2 2 2 2 1 b 1 c 2 Với bất đẳng thức trên, ta sử dụng phép biến đổi tương đương bất đẳng thức Cauchy Ở ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ý bên vế phải bất đẳng thức có chứa đại lượng ca 33 ab bc ca a b ab , ta cần biến đổi vế trái thành a b ab Để kiểm tra nhận định ab ab 1 a 1 b a b 1 ab ta cần nhân tung hai biểu thức so sánh may nhận định Bây ta trình bày lại lời giải sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại sau: Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b c 3 abc Quan sát thật kĩ bất đẳng thức ta thấy cần phải chứng minh abc a b 1 b c 1 c a 1 1 a b c ab bc ca bc ca ab 33 a b b c c a ab bc ca 1 2 2 2 8 1a 1b 1 c a b b c c a ab bc ca a Áp dụng tương tự ta bc Hay ta cần chứng minh Cách 1: Dễ dàng chứng minh a b3 ab a b , ta có a b 1 ab Phân tích: Với bất đẳng thức việc dự đốn dấu đẳng thức xẩy khó Để dễ quan sát ta viết lại bất đẳng thức sau: khẳng định hướng thứ Bây ta trình bày lại lời giải sau Lời giải ab Ví dụ 1.13: Cho a, b, c số thực Chứng minh rằng: a b3 b3 c3 c3 a 1 3 ab bc ca bc ca ab a b3 b3 c3 c3 a 3 ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c + Hướng thứ hai: Áp dụng trự tiếp bất đẳng thức Cauchy ta có a b a b 3ab nên ta a b 1 ab Do ta được , áp dụng tương tự ta bất đẳng thức Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 1 a b c 3 Tuy nhiên bất đẳng thức bc ca ab a b c 3 abc 3 ab a b3 b3 c3 c3 a 1 3 ab bc ca bc ca ab c a 1 1 a b c Phép chứng minh ca bc ca ab a b3 ab Suy nhờ hai đánh giá sau: a b3 b3 c3 c3 a 3 ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c a b3 3 a b3 3ab a b3 a b3 abc ab a b c , ta bất đẳng thức 1 a b c 3 bc ca ab 3 a b b c c a 1 ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 15 2 2 16 Hay ta cần chứng minh Để ý ta thấy đánh giá xuất cặp nghịch đảo nên ta ghép chúng lại a b b c c a ab bc ca a 2 1 b 1 c 2 a2 c2 b2 c2 b2 a2 4b 4b 8b; 4a 4a 8a; 4c 4c 8c 2 2 1 c 1a 1c 1 b 1a b2 Chú ý đến giả thiết a b c ta có điều cần chứng minh lúc ta trình bày lại lời Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 a 1 b a 2 b2 a b2 a b ab a b ab giải sau Lời giải Áp dụng bất đẳng Cauchy ta có Áp dụng tương tự 1 b 1 c b c 1 bc ; 1 c 1 a c a 1 ca 2 2 Nhân theo vế bất đẳng thức ta a b b c c a ab bc ca a 2 1 b 1 c 2 1 b c2 1 b 1 c a2 1 c 1a 1c 1 b 1 c 24 1a c2 2 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 c 1a 1 b 2 33 4b a b 1 c a b2 c2 1 b thành đại lượng có chứa 2 1 b 1 c 1a 2 4b 2 c2 c2 c2 b2 c a 4c ; 1a a2 b2 2 2 4a c2 a2 4c 1 b b2 a2 b2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 4b 4a b 4c 4a 4c 2 2 1 c 1 c 1a 1a 1 b b2 a2 c2 b2 c2 b2 a2 4b 4a 4a 4c 4c a b c 24 Do 2 2 1 c 1a 1 c 1 b 1a b2 2 2 a 1 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a c2 a2 b2 24 a b c a 1 b 1 c 1 ab bc ca 12 c2 b2 c a 4c ; 1a a2 b2 Chứng minh rằng: Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết ta có Tương tự ta có c2 b2 c2 a b c 1 1 1 a 1 b1 c 1 b 1 c 1 1 a ; 1 b ta biến đổi sau: 1 a 1 b ab a b ab 1 a b 4a 1 b 4b 1 a 1 a 1 b 4b a 4a b , áp dụng tương tự ta thu Đến ta 2 4a Ví dụ 1.15: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c thức trước Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần biến đổi a a2 c2 b2 c2 b2 a2 4b 8b; 4a 4a 8a; 4c 4c 8c 2 2 1 c 1a 1c 1 b 1a b2 ta Tuy nhiên đánh giá lại không Như để đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy hay Bunhiacopxki ta cần biến đổi biểu 4b Bất đẳng thức chứng minh ta Suy a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có 4b Bunhiacopxki khơng thực Trong tình ta nghĩ đến đánh giá bất đẳng thức Cauchy Trước hết ta thử đánh giá trực tiếp bất đẳng thức Cauchy xem sao, ta có 2 2 a 2; b c để thử thấy bất đẳng thức khơng Do đánh theo bất đẳng thức 2 1 c 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c a Tuy nhiên bất đẳng thức không đúng, muốn kiểm tra ta cần chọn một số, chẳng hạn Khi ta bất đẳng thức 1a 1 b 1b 1 c 1 c 1a 24 a b2 c Áp dụng tương tự ta thu Phân tích: Đầu tiên ta dự đoán đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, tức ta cần phải chứng minh ab a b 4a b2 4b a 2 b2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 1.14: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c Chứng minh rằng: a 1 1 a 1 b ab a b 1 a 1 b 4b a Suy 4a c2 a2 4c 1 b b2 Khi ta 17 b b1 c 1 a 1 ; b 1 c 1 c c1 a 1 b 1 a 1 b 1 ab ab c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 18 Áp dụng tương tự ta bc b 1 c 1 ; a 1 ca c 1a 1 b 1 Lời giải Cộng theo vế bất đẳng thức ta ab bc ca a 1 a b2 ; y b2 c2 ; z c2 a , ta x; y; z từ giả thiết ta Đặt x a 1 b 1 b 1 c 1 c 1a 1 c1 a2 b2 c2 bc ca ab Chứng minh rằng: b 1 xyz Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có Từ ta có x y2 z2 a b2 c2 Do ta a 1 b 1 b 1 c 1 c 1a 1 a2 c 1 a 1 b 1 Suy ab bc ca 12 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c 2 2 2 x y z x y z x2 y2 z2 ; b2 ; c2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b c Ví dụ 1.16: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 27 a b b c c a 16 ab bc ca a b c Hoàn toàn tương tự ta có Lời giải ab bc ca 27 a b b c c a a b c 27 a b b c c a a b c 27 a b b c c a Ta cần ab bc ca a b c ab bc ca a b c 2 3 chứng minh a b b c c a ab bc ca a b c a b b c c a a b c ab bc ca abc 27 a b2 c2 Dễ thấy 3 Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta có a b c 3 abc; ab bc ca a b2 c2 2 b3 2c 24 a b c a b c ab bc ca ab bc ca a b c a b c a b c Hay 2 2 2 b c a2 c3 2a c a b2 a 2b3 2 a b2 c2 a a b2 c2a a 2 a b2 c2 2a 3 Hoàn toàn tương tự ta b4 c2 a 2b ; c a b2 2c Khi ta Rõ ràng đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 1.17: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết ta có Phép chứng minh hoàn tất ta b2 x y z2 c2 x y z2 , ca ab 2z 2x c a 89 a b c cb bc ca c a b b c c a 24 a b c a b c cb bc ca 2 a2 b2 c2 bc ca ab x2 y2 z2 y x2 y2 z2 z x2 y2 z2 x 2y 2 2z 2 2x 2 1 1 x y z 2 x y z 2 x y z 1 1 1 xyz 2 x y z 1 1 9.3 xyz xyz 3 3 6 x y z a b c2 Do ta a b b c Suy 27 a b2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 1.18: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: a b c cb bc ca abc Suy Suy Do ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương a b2 c b2 c2 2y a x y z bc 2y Do ta a b2 c2 2 a b2 c Đẳng thức xẩy a b c , a b2 c2 a b b c c a 3 b 2c 19 b c a2 c 2a c a b2 a 2b 2a 2b3 2c3 3 b 2c c 2a a 2b3 20 a3 b 2c b 2c b 2c a3 b 2c b 2c a 33 27 27 27 27 bc 1 a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 b 2c Phân tích: Biến đổi giả thiết ta b 2c b 2c a3 b 2c b 2c a 33 27 27 27 27 bc c 2a c 2a c 2a b c3 ; 27 27 a 2b Lời giải a 2b a 2b c 27 27 a b c b 2c c 2a a 2b a3 b3 c3 b 2c c 2a a 2b 1 1 1 33 a b3 a b ab Hoàn toàn tương tự ta 1 1 1 ; b3 c3 bc c3 a ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 4.21: Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca Chứng minh rằng: a b3 c3 Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 3 1 1 2 ab bc ca 8 b c a b c a Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy Phân tích: Để ý đến đánh giá a b 3 3 a b3 3 1 1 abc2 a b c 1 3 ab bc ca ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b3 3 1 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có abc abc abc Từ giả thiết ta có a b c 3abc Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: 1 Chú ý đến đánh giá ab bc ca 1 1 1 33 a b3 a b ab Hồn tồn tương tự ta có b3 Ví dụ 4.22: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c 3abc Chứng minh rằng: ab 3; b3 c 3 bc 3; c a 3 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu Trong trình tìm lời giải cho toán bất đẳng thức, sai lầm thường gặp sau loạt đánh giá ta thu bất đẳng thức ngược chiều Điều làm khơng người cảm thấy nản lòng Lúc ta bình tĩnh suy nghĩ chút thấy với đánh giá ngược chiều cách ta thêm vào trước dấu âm đánh giá chiều Sử dụng ý tưởng tương tự kỹ thuật thêm bớt, chí có phần khéo léo hơn, kỹ thuật Cauchy ngược dấu chứng tỏ đột phá đơn giản đem lại hiệu bất ngờ đến ngạc nhiên giải lớp bất đẳng thức hốn vị chặt khó Chúng ta bắt đầu làm quen với số ví dụ sau Ví dụ 5.1: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: ca Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: a b3 c3 a b3 c 3 ab bc ca a b3 c3 Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b b c abc 3 c a ab bc ca 1 1 a b2 c2 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức khơng bạn đánh giá a 2a , áp dụng tương tự ta bất đẳng thức 1 1 1 a b2 c2 2a 2b 2c 69 70 Tuy nhiên bất đẳng thức thu lại bị ngược chiều Đến bị lúng túng cách giải Ta phải đánh giá mẫu thêm dấu âm trước đánh giá tốt Điều ta mong muốn giải phép biến đổi sau a b c b2 c2 a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a2 a2 a 1 1 1 2a a 1 a 1 a ab2 ab2 ab a a a 2b b 1 b 1 b bc c ca Tương tự ta có b ; c a 1 c2 Đến ta đánh giá mẫu mà không sợ bị ngược chiều Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cacuchy ta a2 a2 a 1 1 1 2a a 1 a 1 b c Hoàn tồn tương tự ta có: 1 ; 1 c 1 b2 Cộng theo vế theo vế bất đẳng thức ta được: a b d ab bc ca abc b2 c2 d2 Cộng theo vế theo vế bất đẳng thức ta được: Mặt khác theo đánh giá quen thuộc ab bc ca 1 abc 3 2 a b c2 a3 b3 c3 abc 2 a b b c c a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 1 ab bc ca ab bc ca a3 ab2 ab2 b a a a 2 2 2ab a b a b b c c3 a Tương tự ta có b ; c 2 c a2 b c Do ta áp dụng bất đẳng Cauchy theo ý tưởng Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ab ab ab 1 1 1 ab ab 2 ab Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta a3 b3 c3 abc abc abc 2 2 a b b c c a2 Bài toán giải Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 5.5: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: bc ca 1 ; 1 bc ca 2 Cộng theo vế theo vế bất đẳng thức ta 1 1 3 ab bc ca ab bc ab bc ca 1a b b c ca a b c ca 2 2 2 a 1 b 1 c 1 3 b2 c2 a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Nhận xét: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu hiểu ta lấy nghịch đảo hai vế đánh giá theo bất a b2 a b2 a 1 ab b a 1 a 1 a 1 2 2b b 1 b 1 b1 bc c c ca a Tương tự ta có: b 1 ; c 1 2 c 1 a 1 đẳng thức Cauchy sau nhân hai vế với -1 Khi bất đẳng thức ban đầu không bị đổi chiều Dưới Cộng theo vế bất đẳng thức ta đươc Do ta 3 Ví dụ 5.4: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp ta thu 2 a b c 3 3 2 b2 c2 a Bài toán giải xong Đẳng thức xảy a b c 1 1 ab bc ca Để ý Do ta Bài tốn giải xong Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 5.2: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: Tương tự ta có abc 1 ab bc ca Bài toán giải xong Đẳng thức xảy a b c số ví dụ tương tự Ví dụ 5.3: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 71 72 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca abc3 b2 c2 a abc ab bc ca 3 2 a b c Mà theo đánh giá quen thuộc ta có ab bc ca Tương tự ta có Cộng theo vế bất đẳng thức ta ab bc ca a b c abc a bc2 2b 2c3 2a b 2bc c 2ca b ; c 2a 2c3 3 Mặt khác ta lại có a 1 b 1 c 1 Do ta 3 b2 c2 a a b c ab bc ca a b c ab bc ca 3 Bài toán giải xong Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 5.6: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: Do ta a b c b2c c2a a 2b Bài toán giải xong Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 5.8: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b a ac b a ac a ab2c ab2c ab c a a a a a 2 b c1 b c1 2b c a2 b2 c2 1 2 a 2b b 2c c 2a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a a ab abc b2c Suy ta có a2 2ab2 2ab2 a a a 2 a 2b ab b ab Hoàn toàn tương tự ta có b c b bc abc ; c ca abc 4 c2a a b1 b2 b b 2c2 Mặt khác ta có 3abc a b c abc 4 ab a.ab.b Hoàn toàn tương tự ta Do ta a b c 3 a b c hay b c c2 a a b 4 b c c2 a a b Bài toán giải xong Đẳng thức xảy a b c ab bc ca a b c 1 2b3 2c3 2a Suy ta có Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2b3 c 3 ca bc a ab b b bc c ; 3 ca c ca a Cộng theo vế bất đẳng thức ta Ví dụ 5.7: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ac Chứng minh rằng: a ab bc ca 4 a bc ; c c2a Và 2 2 a2 b2 c2 2 a b c ab bc ca 2 3 a 2b b 2c c 2a 2 2 3 3 ab bc ca 3 Mặt khác ta có theo đánh giá quen thuộc ta Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c ab bc ca 3abc 3 4 b c c2 a a b ab bc ca ab Tương tự ta có Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c 3 a b c 1 2b3 2c3 2a 2ab3 ab3 2ab a a 3 b b 1 3b Do ta 73 3 a b c ab bc ca 3 2 abc 32 abc 3 3 3 2 2 ab bc ca a2 b2 c2 1 2 a 2b b 2c c 2a 74 Bài toán giải xong Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 5.9: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1 3 a 2b b 2c c 2a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Áp dụng tương tự ta b bc c cd d da b ; c ; c d2 a2 c2 b2 c2 b c b2 ; c a c2 3 b 2c c 2a3 Cộng theo vế bất đẳng thức ta Tương tự ta có Áp dụng tương tự ta a b c d ab bc cd da 4 2 2 1 b 1 c 1d 1a a2 b2 c2 a b c b a2 c b2 a c2 3 3 a 2b b 2c c 2a b a c b2 a c2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có a a 1 2a 2ab b b a b a.a.1 b b 3 Do ta 2 a b c d 2 b c d2 a 1 1 2 a b c d2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta b a c b2 a c2 abc abc abc ab bc ca 3 3.3 Do ta có a2 b2 c2 1 3 a 2b b 2c c 2a 3 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a2 a2 a2 a2 a 1 1 1 2 2a a 1 a 1 a 1 Bài toán giải xong Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 5.10: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: Hoàn toàn tương tự ta b c d 1 ; 1 ; 1 c 1 d 1 b2 a3 b3 c3 abc 2 a ab b b bc c c ca a 2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Bài tốn giải xong Đẳng thức xảy a b c d Ví dụ 5.12: Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a b c d Chứng minh rằng: 2bc c 2ca a ; a c2 3 ac bd abcd ab bc cd da 2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có Tương tự ta có c b2 a b2 ab2 a ab2 ab a a 2 1 b 1 b b2 a2 2ab 2ab a a a b a2 3 3 a 2b ab b ab a b c d 2 b c d2 a 1 1 2 a b c d2 ab a b a3 a 2b ab2 a b 2a b a a a 2 3ab 3 a ab b a ab b b3 2b c c3 2c a Tương tự ta có ; 3 b2 bc c2 c ca a Bài toán giải Đẳng thức xảy a b c d Ví dụ 5.13: Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a b c d Chứng minh rằng: a b c d 2 2 b c c d d a a2b Cộng theo vế bất đẳng thức ta Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a3 b3 c3 abc 2 a ab b b bc c c ca a a b2c ab2c a ab2c ab2c ab c a a a 2 2 1 b c 1b c 1b c 2b c Bài toán giải xong Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 5.11: Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a b c d Hoàn toàn tương tự ta 75 76 b bc d c cd a d da b b ; c ; d 2 c2 d d2 a a 2b 4a 2b2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta ab c bc d cd a da b a b c d 4 2 2 2 2 1 b c 1 c d 1 d a 1a b b a.ac b a ac Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có Đặt ac bd acbd ab bc cd da Mà ta có 4 16 a b a b2 b2 ab 5 ta có t Từ suy 1 t 1 Chứng minh : a b c 1 ta cần chứng x2 y2 z2 minh xyz Đây bất đẳng thức chứng minh cách ghép cặp đối xứng Tuy nhiên lời giải ta chứng minh toán kỹ thuật đổi biến Lời giải Đặt x a 2; y b 2; z c với x, y, z số thực dương Bài toán quy chứng minh xyz với x, y, z thỏa mãn 1 x y z 1 1 x2 y2 z2 x 2 y2 z2 Đến ta đặt tiếp m x y z ;n ;p mnp 1 x 2 y2 z2 x 2 2 np 2m 1 1 x m x x x m m np y Tương tự ta đươc 2n 2p ;z pm mn Do bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2m 2n 2p m n n p p m 8mnp np pm mn x a 2; y b 2; z c , giả thiết trở thành Phân tích: Nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy hai hạng tử sau vế trái tạo nghịch đảo hạng tử thứ Vì ta thử phân tích tổng hai hạng tử để xem kết có dự đốn hay không a b a b2 a b4 2a b2 2a b2 2 b a ab a b2 b Phân tích: Để triệt tiêu dấu trừ bất đẳng thức cần chứng minh ta đổi biến Khi ta có a a b c 2 a b2 3 b2 a 2 4a 2b2 Ví dụ 6.2: Cho số thực a, b, c thỏa mãn Kỹ thuật đổi biến số Trong bất đẳng thức, có quy luật chung, “Trong dạng cụ thể, bất đẳng thức nhiều biến khó” Điều đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán trở nên đơn giản ta đưa bất đẳng thức nhiều biến dạng biến hơn” Kỹ thuật đổi biến cơng cụ hữu ích để thực ý tưởng Ví dụ 6.1: Cho a, b hai số thực khác Chứng minh rằng: b2 t 1 t t t2 5t 5 0 0 t t Bất đẳng thức cuối t Bài toán giải hoàn toàn Đẳng thức xảy a b abc bcd cda dab bc a d da b c 4 2 ad bc bc ad abcd 16 4.16 a b c d Do ta 2 b c c2 d d2 a a b Bài toán giải xong Đẳng thức xảy a b c d t b a.ac c b.bd d c.ca a d.db ab bc cd da abc bcd cda dab 2 a Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Tương tự ta 4a b2 a t a b2 2 Với kết ta sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức đơn giản Lời giải Để ý bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có m n n p p m mn.2 np.2 pm 8mnp Bài toán giải xong Đẳng thức xảy m n p a b c 1 x y z 3 Ví dụ 6.3: Cho a, b, c số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 77 78 1 1 2a 2b 2c Đặt x a; y b; z c , ta xyz x y z Phân tích: Giả thiết abc gợi ý cho ta cách đổi biến a ; b ; c với x, y, z số y z x 1 1 x y y z z3 x thực dương Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta Bất đẳng thức càn chứng minh trở thành 1 y z x 1 1 x y z 2x y 2y z 2z x 1 1 1 y z x Tương tự ta có z 2x z x 2y x z x ; 2x y 2z x xyz xyz a b 1 xy yz zx x2 y2 z2 x y z b c 1 c a 1 3 abc abc Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải chứa bậc ba Do điều ta nghĩ đến làm bậc ba ta có hai ý tưởng đổi biến để làm bậc ba Ví dụ 6.5: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: - Đặt x Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: x3 y3 a, y b, z c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành y z3 z3 x xyz xyz - Đặt abc k Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 a b 1 b c1 c a 1 k 1k Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 6.4: Cho a, b, c số thực thỏa mãn abc chứng minh rằng: Ta thử chứng minh toán với cách đổi biến sau Lời giải 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 Đặt x 1 1 3 a b b c c a3 Do ý tưởng ta đặt x a; y b; z c , ta xyz ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh 1 1 x y y z z3 x Ngoài từ giả thiết abc , ta sử dụng phép đổi sau a, y b, z c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Phân tích: Ta nhận thấy tương tự bất đẳng thức với bất đẳng thức 1 z x y 1 x y y z z3 x x y z x y z x y z Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c y 2z y z 2x z x 2y x y z x 2x y 2y z 2z x xyz Chứng minh tương tự ta Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có 1 z x y xy x y xyz x y z Khi ta thành y 2z y y 2z y y 2z y y 2x y 2x y 2z y 2x y 2z y xyz x y x y x y2 xy xy x y x y z Đặt a ; b ; c với x, y, z số thực dương Bất đẳng thức cần chứng minh trở y z x x y 1 x y z x y z yz zx xy a ;b ;c ,a ;b ;c ;a 2;b 2;c y z x yz zx xy x y z y z 1 z x 1 xyz xyz Ta có 1 M x y 3z3 3 3 3 x y 1 y z 1 z x 1 1 x y3 y3z3 z3 x 3 3 3 3 x 1 y 1 z 1 x y 1 y z 1 z x 1 1 x x y3 1 y z y 1 x z 1 x 1 y z z y3 z3 1 z z3 y3 x 3 3 3 Lời giải 79 80 Theo bất đẳng thức Caucy ta x3 y3 Phân tích: Ta viết lại giả thiết thành z3 3 3 3 xyz x y 1 y z 1 z x 1 z y 1 x z 1 3xyz 1 y 1 z 1 z 3 Từ suy M 3xyz 1 x y z P 3xyz 3 xyz xyz xy yz zx ta viết Mặt khác ta lại có bất đẳng thức cần chứng minh y3 x 3 3 3 xyz 3xyz x xyz 3 3 Đặt x Với cách đặt abc k , tồn số thực dương x , y, z cho ky kz kx ;b ; c x y z x2 y2 Tương tự ta x y 1 y z 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta x y z x y kz y z kx z x ky x y z k k 1xy yz zx Ta cần chứng minh c a c a2 x y2 y z2 z x2 x y x z z x z y x2 xy yz zx z2 z x 1 x y x y z y z x z y z x y x z 2x 2y 2z x 2y z x y 2z 2x y z 2x 2y 2z x 2y z x y 2z 2x y z 2x 2y 2z 2x2 2y2 2z2 x 2y z x y 2z 2x y z x x 2y z y x y 2z z 2x y z x y z x y z x y z xy yz zx x y z x y z Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.6: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c abc Chứng minh rằng: b c2 x y x z ta suy Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta Chú ý đến 1 ab bc ca y z y x ; x y z x2 y2 z2 y kz z kx x ky x y kz y z kx z x ky x y x z x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x y z y kz z kx x ky k 1 ; y ; z , Khi giả thiết tốn trở thành xy yz zx a b c Dễ thấy 1 ky kz kz kx kx ky k k 1 1 1 1 x y y z z x b z x z y z 1 z z x xy yz zx Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b2 y y 1 y x 1 Từ giả thiết a b c abc suy Hay 2 Đến ta sử dụng đánh giá Cauchy để giải toán Lời giải Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a b c Nhận xét: Ta chứng minh tốn theo cách sau a y x y z 1 x y z P 1 x y z xyz xyz 1 P xyz xyz 1 3 x Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Do ta 1 ; y ; z Khi giả thiết toán trở thành xy yz zx a b c 3 x y2z2 xyz x y3z3 xyz xyz x 1 , điều gợi ý cho ta đặt biến phụ ab bc ca 2 2 Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.7: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 81 82 y 4x z 16x ; 3x 3y 15x 15z 15 a b 3c a 3b c 3a b c 15 3a 3b 2c 3a 2b 3c 2a 3b 3c ab bc ca 16 Đẳng thức xẩy a b c b c 4a a c 16b 15 Phân tích: Để đơn giản hóa đại lượng vế trái ta đặt Do ta 3y 3z 5x a x 2a 3b 3c 3z 3x 5y y 3a 2b 3c b z 3a 3b 2c c 3x 3y 5z y 4x 3x 3y a z 16x b 15x 15z 5c 3c Bài tốn chứng minh xong Ví dụ 6.9: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: Khi ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành x y y z z x 27 15 8 z x y 8 a Đến ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá tiếp Lời giải Đặt x 2a 3b 3c; y 3a 2b 3c; z 3a 3b 2c , ta 1 3a b b c ca b c3 a b b c 2 c a Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta chưa thấy có dấu hiệu đặt biến phụ, ta cần phải biến đổi bất đẳng thức trước Ở ta chọn biến đổi vế trái trước a 3y 3z 5x 3z 3x 5y 3x 3y 5z a ;b ;c 8 1 1 a b b c3 c a b c3 b c c3 a3 b3 a Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành Quan sát biểu thức sau biến đổi ta thấy cần phải đánh giá x y y z z x 27 15 8 z x y 8 a b a b3 , điều có c3 c nghĩa ta cần chứng minh a b k a b , ý đến dấu đẳng thức xẩy ta tìm Theo bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh xy yz zx 6 z x y k 1 Như ta chứng minh a b a b , đánh giá chứng 4 minh cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy x y y z z x 27 7.6 27 15 Do ta 8 z x y 8 8 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Đến ta đặt x ab bc ca bất đẳng thức cần chứng minh ; y ; z c a b x y z3 x y z Chú ý lúc đẳng thức xẩy Ví dụ 6.8: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: viết lại thành ab bc ca 16 a b c b c 4a a c 16b 15 x y z ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh toán Lời giải Bất đẳng thức viết lại Lời giải x a b c 3a y x 3 z c a 16b 15c 21x 5y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta Đặt y b c 4a 15b z x a b3 b3 c c3 a 3 a b b c c a 2 c a b c3 a3 b3 6x 5y z 20x 5y 16x z 16 15x 15y 15z 15 Hay a b3 a b3 a b3 a b3 a b a b2 ab Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành a b 3ab a b a b y 3x z 16x 16 28 3x 4y 15x 15z 15 15 Suy ab a b3 c3 4c 3 Áp dụng tương tự ta có bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 83 84 ab a b3 b3 c c3 a 3 c a b 4c 3 b c c a 4a 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x y z 3 xyz 4b Nên Ta cần chứng minh 3 a b b c c a 3 4c3 Đặt x 3 4a 3 4b3 Do ta ab bc ca , bất đẳng thức trở thành ; y ; z c a b x y3 z3 x y z Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn c 8ab Chứng minh rằng: c c 4a 2b 4bc 3c 2ac 3c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy khác biệt giả thiết bất đẳng thức cần chứng minh so với ví dụ Từ bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vai trò a, b Do ta dự đốn dấu đẳng thức xẩy a b Mặt khác ta thấy tử biểu thức thứ hai thứ ba có x 12x; y 12y; z 12z Suy x y z3 48 12 x y z x y z x y z biến c, ta viết lại hai biểu thức biểu thức thứ mẫu xuất đại lượng x y z 36 3 12 x y z x y z Hay 2 Hay 12 x y z3 x y z Hay Ta có 3a b b c ca 2 c a b x y z x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y z x y z tự nhiên ta nghĩ đẳng thức xẩy a b Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.10: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: ta thấy cách đặt x 2a; y 2b; z 1 , ta viết lại giả thiết 8ab Đến c c bất đẳng thức viết lại thành c a b c 3a b b c ca b c a a b c 1 1 2x y 2y z 2z x Phân tích: Cũng tương tự ví dụ ta cần biến đổi bất đẳng thức trước đưa cách đổi biến Trong ví dụ ta chọn biến đổi vế phải Tuy nhiên từ hình thức bất đẳng thức ta thấy tương tự bất đẳng thức quen thuộc 1 1 2x y 2y2 z2 2z2 x ab bc ca a b b c c a c a b c c a a b b Do ta chọ cách đặt x2 2a; y2 2b; z2 a b c Lúc để ý ta thấy hai vế xuất đại lượng ; ; , lại để ý ta nhận thấy b c a để đưa toán dạng quen thuộc c Lời giải a a b b b c c c a a b c ; ; Do ta đặt x ; y ; z , ta xyz c b c a c a b a b b c a Đặt x2 2a; y2 2b; z2 bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x y z xy yz zx x y z P 2 Khi từ giả thiết ta xyz c 1 1 2x y2 2y2 z2 2z2 x Đến ta có lời giải sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b c Đặt x ; y ; z suy xyz b c a Do ta Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành P x y z xy yz zx x y z , c 2x2 y2 x2 y2 x2 xy x xy x yz y zx z 85 86 Ta chứng minh 1 theo cách sau xy x yz y zx z m n p Cách 1: Do xyz , nên tồn số dương x, y, z để x ;y ;z n p m 1 1 1 xy x yz y zx z m m n n p m 1 1 1 p n m p n m np pm mn 1 mn np pm mn np pm mn np pm Cách 2: Do xyz , nên ta y z a 2a b 2b c 2c z x x y y3 z3 x 2 y z y z y z 3x 8 z x z x 3y 8 x y x y 3z 8 y3 z3 y z z x x y Hay z3 2z z x3 y3 xyz xyz 24 z3 y z z x x y xyz Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Giả thiết toán viết Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1 ca 2c2 ab2 2a bc2 2b2 Lời giải Đặt x Nhận xét: Ngồi cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Ví dụ 6.14: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3abc Từ giả thiết ab bc ca 3abc ta 1 a b c 1 ; y ; z Khi ta x y z a b c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Đến ta chứng minh bất đẳng thức cách thêm bớt sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải x2 y2 z2 1 2 x 2y y 2z z 2x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x2 x2 2xy2 2xy2 2xy2 2xy2 x y2 x x x 2 2 x 2y x 2y xy y xy4 1 Từ giả thiết ab bc ca 2abc suy a b c Đặt x x3 1 ; b ; c , thay vào bất đẳng thức cần chứng minh x y z y Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 1 1 lại thành , để đơn giản hóa giả thiết ta đổi biến x ; y ; z , a b c a b c giả thiết x y z với x, y, z Cũng từ cách đặt ta suy x3 z3 Phân tích: Dễ dàng dự đoán đẳng thức xẩy a b c a y3 ; c 2 Ví dụ 6.13: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2abc Chứng minh rằng: 2y y z z x x y Vậy bất đẳng thức chứng minh xong x3 Đẳng thức xẩy x y z hay a b y3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 1 xyz y xy x yz y zx z xy x xyz yz y xyz yz y yz y 1 yz y yz y yz y 1 2x x Hay Khi ta có Suy P x3 Bất đẳng thức viết lại Áp dụng tương tự ta 1 ; y ; z , ta có x y z a b c y2 2 y2 z2 z2 2 z2 x y ; z 2 3 y 2z z 2x 87 88 Cộng theo vế bất đẳng thức ta x2 y2 z2 xyz x 2y2 y 2z2 z 2x 2 2 xy yz zx x 3y2 Suy 3 2 2 x 3y xy yz zx xy yz zx b 3c a x 3y2 y2 3z2 Chú ý đến giả thiết x 3y 1 b c x 3y Chứng minh rằng: y 3z 1 z 3y 2 x 3y2 xy x 3y y 3z2 1 3 ; 8y z z2 3y2 11 3 8z x y 3z z 3y 1 1 1 2x y z 1 3 x y x 3y x y y y x 3y Do ta x 3y 1 1 1 2x y z 2 ab 2 c ab 1 1 11 2 11 3 2 44x y y x y y x y a; y b; z c Khi ta 2 x 3y x 3y 1 3 x 3y x y Ví dụ 6.17: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: bc a bc Phân tích: Để ý ca b ca ab c ab 1 c ab Đến áp dụng tương tự ta Lời giải Đặt x x2 y2 y 4 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta Để ý theo bất đẳng thức Cauchy ta có x 3y x y y y 4 x y , ta a; y b; z c , giả 1 z2 3y2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c 1 ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh x y z x2 y6 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có 1 thiết viết lại thành bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z 1 1 2 4 y xy 11 2 11 3 8x y y 8x y Nhận xét: Ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức Phân tích: Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết cách đặt x Tương tự ta có 1 c 3a Ví dụ 6.15: Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn 1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c a 3b 1 x y z x y z 2.3 3 x 2y2 y 2z2 z 2x Do ta z2 3y2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy khác ta 2 x 3y2 x y2 y2 y2 4 x y6 xy xy 2xy xy 3 yz yz 2yz 2 yz 3 zx zx 2zx 2 zx 3 y2 3z2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta Mạt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có , ta đặt x 2 a bc ;b b ca ;z c ab Lời giải Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 1 2 x y z ab c ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành bc a bc ca b ca c ab 89 2 b ca 2 a bc 2 90 a Đặt x bc ;b b ca c ;z ab x 3; y z hoán vị a 3; b c hoán vị , suy xyz Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a 3; b c hoán vị 1 Biểu thức P viết lại thành x 2 y2 z2 Nhận xét: Qua ví dụ ta nhận thấy, đổi biến có vai trò to lớn chứng minh bất đẳng thức, đổi biến làm bất đẳng thức trở nên đơn giản, đổi biến đưa bất đẳng thức hoán vị bất đẳng thức đối xứng Chúng ta tham khảo thêm số ví dụ khác sau để thấy độc đáo kỹ thuật đổi biến Ví dụ 6.19: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x y y z z x x y z 2 Triển khai thu gọn ta xy yz xz Đánh giá cuối theo bất đẳng thức Cauchy xyz Do bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Nhận xét: Ta chứng minh tốn theo cách khác sau Biểu thức vế trái viết lại ab bc ca c ab a bc b ca M Đặt Lời giải Đặt a x ; b y ; c z , x, y, z Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 c a b 3 2 c ab a bc b ca c c ab a a bc a b c 3 3 2 bc ca ab b x3 y3 3 y z z x3 3 z3 2 x y3 b ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau ab a b; bc b c; ca c a Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với Do ta có c a b c a b M 1 a b c a b c a b c c ab a bc b ca ab Suy c ab bc a bc ca b ca 1 a a b b c c abc 3 x3 y3 3 y z z x3 Ta cần chứng minh Lời giải 3 z3 x y3 z2 x y2 x y3 z z2 xy x y3 x z3 x y x xy y2 x xy y2 3y2z2 y2 z2 2y 3z z2 x y2 z2 2 x y2 x2 x y2 z2 y2 y2 z2 x2 z2 z2 x y2 Vậy bất đẳng thức ban đầu chứng minh Ví dụ 6.20: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc Chứng minh rằng: Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2x2 2y2 2z2 2 2 2 x y z x y z x y2 z2 z2 xy; x2 y2 z2 z3 x2 y2 y z z x2 x2 y2 y z z x2 Khơng tính tổng qt ta giả sử x y z Khi ta có 2 x2 y2 y z2 z2 x2 Khi bất đẳng thức trở thành P x y z xyz 3 Do ta có y x2 y2 z2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a; y b; z c Từ giả thiết ta x2 y2 z2 x3 y z3 Đánh giá cuối theo bất đẳng thức Cauchy Áp dụng tương tự ta Do bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.18: Cho a, b, c số thực dương không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: Đặt x x3 x2 y z2 3 y z y z x y2 1 1 a b c b c a 27 Lời giải Do abc nên ta đặt a Suy x y 3 nên ta P 3 Đẳng thức xẩy x y z ; b ; c với x, y, z số thực dương y z x Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại 91 92 1 1 2 a b c abc x y z Đặt a , với x, y, z 0; x y z ;b ;c yz zx xy x z y x z y 1 1 1 y z z x x y xyz x y z Hay Từ giả thiết suy y z x z x y Do x, y, z có vai trò nhau, khơng tính tổng qt ta giả sử x y z Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Như x y z 0; x z y Như ta xét trường hợp x yz zx xy y z 4 x y z y z z x x y - Nếu y z x bất đẳng thức hiển nhiên - Nếu y z x , áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x y z y z x x; y z x z x y y; z x y x y z z x x 4x y y 4y z z 4z ; ; y z yz x z zx x y xy Nhân theo vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Ví dụ 6.21: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc a b c Chứng minh rằng: a b c Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta x yz zx xy y z 4 x y z yz z x x y abc Lời giải Biến đổi giả thiết abc a b c ta Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 Ví dụ 6.23: Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 a 1 b1 ca Đặt x a b c d 2 bcd cda dab abc 1 suy x y z ;y ;z a 1 b1 ca Từ suy a Lời giải Khơng tính tổng qt ta chọn a b c d Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1x y z 1 y z x 1z x y ;b ; c x x y y z z a b c d 2 1a 1b 1c 1c Và bất đẳng thức viết lại thành yz zx x y xy z x y y z z x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có a 1a xyz x y y z yz zx zx xy Hay z x xy yz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a 2a 1a a b 2b; 1b c 2c; 1c d 2d 1d Cộng vế theo vế bốn bất đẳng thức ta được: a b c d 2 1a 1b 1c 1c Ở dấu đẳng thức không xẩy nên a b c d 2 1a 1b 1c 1c Bất đẳng thức chứng minh hoàn tồn Khi đưa lời giải cho tốn trên, hẳn bạn đọc thắc mắc lại chọn a b c d chọn a b c d k tốn có giải khơng? Và ngồi cách chọn điều kiện chọn theo cách khác (chẳng hạn abcd ) không? Câu trả lời hoàn toàn được, thực chất việc chọn bắt nguồn từ việc đổi biến Sau cách đổi biến dẫn đến kết a b c d Ta thực biến đổi hạng tử bên vế trái sau: Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta thu điều phải chứng minh Ví dụ 6.22: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab bc ca 2abc Chứng minh rằng: a 1a a Hoàn toàn tương tự ta có x y 1 x y yz zx 2yz zx y z 1 y z z x x y 2z x x y z x 1 z x x y y z 2x y y z 1 abc a b c Lời giải 93 94 a abcd bcd abcd a bcd a bcd a bc b c Chia hai vế cho abc a abc ;y abc c abc b c ab a b c b 1b 2b 2b c 1c 2c 2c 2a 2a 2a a a 1a 2a 2a a 1 1 a a 4 a a a 4a a 1a a a2 b c c 1c b2 c a c2 a b Lời giải Đặt x x y z xy yz zx x y y z z x b 1b 1 1 a b c 2a 2a 2b 2b 2c 2c 3.9 43 a b c Vậy toán chứng minh xong Dấu đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.26: Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc Chứng minh rằng: xyz c a Do ta Thay vào bất đẳng thức ta ;z Suy a b b c c a b Hoàn toàn tương tự ta abc a c ab bc ca 8 3 2 3 abc abc (abc) (abc) (abc)2 abc a b b c a c 9 3 3 abc abc abc abc abc abc Đặt x b ca a 1a abc b 2 ta 2 a 1 2a a 2a a a b c ab bc ca 2a 2a Lời giải Đây bất đẳng thức đơn giản chứng minh phép biến đổi tương đương kết hợp với bất đẳng thức Cauchy Ta thử chứng minh phương pháp đổi biến xem Bất đẳng thức tương đương với Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a b c ab bc ca 89 a b b c c a a a 1a Ví dụ 6.24: Cho a, b , c số thực dương tùy ý Chứng minh Lời giải Khơng tính tổng qt ta chọn a b c t 2 xyz đẳng thức cần chứng minh bổ sung thêm điều kiện giả thiết cho biến x y z t Dễ thấy theo bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cuối ln Vậy bất đẳng thức chứng minh hồn tồn Ví dụ 6.25: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: Như sau phép đổi biến ta có bất đẳng thức có hình thức hoàn toàn giống bất a b c ab bc ca a b b c c a x x y y z z x y y z z x xy yz zx y z x z x y x x y z t yzt z txy Áp dụng cho vế trái bất đẳng thức cần chứng minh ta x y yzt ztx Và x y z t a b c d ;y ;z ;t abcd abcd abcd abcd Thay vào biểu thức ta được: x2 y y2z z2 x xy2 yz2 zx x y y2z z2 x xy2 yz2 zx Tới ta đổi biến sau: x x y z xy yz zx x y y z z x a abcd b c d abcd abcd abcd Ta có Như sau phép đổi biến ta có bất đẳng thức có hình thức hoàn toàn giống bất đẳng thức cần chứng minh bổ sung thêm điều kiện cho biến xyz Bây ta chứng minh bất đẳng thức với điều kiện biến xyz Thật vậy: 95 1 ; y ; z ta thu xyz a b c x2 x2 yz x 1 y z y z a bc y z Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 96 x y z x y z 1 1 1 yz zx xy yz zx xy 1 xyz yz z x x y Đánh giá cuối theo bất đẳng thức Cauchy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 6.27: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 3 2a 2b c 2b 2c a 2c 2a b a b 4c b c 4a c a 4b a b2 c2 Lời giải Đặt x 2a 2b c; y 2b 2c a; z 2c 2a b Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên x; y; z số dương Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x3 y3 x3 x y2 z2 yz zx xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x yz y zx z xy x3 y3 z3 x2 ; y2 ; z2 yz yz xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta x3 y3 x3 xy yz zx x2 y2 z2 yz zx xy x3 y3 x3 xy yz zx x2 y2 z2 yz zx xy Áp dụng bất đẳng thức x y2 z2 xy yz zx ta x3 y3 x3 x y2 z2 yz zx xy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c 97 ... 2 1 b 1 c 2 Với bất đẳng thức trên, ta sử dụng phép biến đổi tương đương bất đẳng thức Cauchy Ở ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ý bên vế phải bất đẳng thức có chứa đại lượng ca... đến chiều bất đẳng thức ta thấy, cần đổi chiều bất đẳng thức ta sử dụng bất đẳng thức có thức hoán vị Cũng từ điều kiện ab bc ca ta thấy ba số có nhiều số Do đánh giá bất đẳng thức ta cần... a3 a bc Phân tích: Dấu đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức điều sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Tuy nhiên ta xem sử dụng bất đẳng thức Cauchy không? Nhận thấy
Ngày đăng: 14/02/2019, 18:15
Xem thêm: MỘT số kỹ THUẬT sử DỤNG bất ĐẲNG THỨC CAUCHY
