Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski

Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên 3.1 Kỹ thuật c[r]

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI A MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI  Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức chứng minh bài toán để định hướng cách giải nhanh  Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” bất đẳng thức có vai trò quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính vì giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện dấu mặc dù số bài không yêu cầu trình bày phần này  Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm tính xảy đồng thời dấu “=” áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng thỏa mãn với cùng điều kiện biến  Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt vị trí biên  Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò các biến các bất đẳng thức là đó dấu “=” thường xảy vị trí các biến đó Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể dấu “=”xảy các biến đó và giá trụ cụ thể B MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY I BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho n số thực không âm a1 , a , , a n , n  Z , n  , ta luôn có: a1  a   a n  n n a1 a a n Dấu “=” xảy và a1  a   a n Lop10.com II MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Kỹ thuật tách ghép số 1.1 Kỹ thuật tách ghép Bài 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b b  c c  a   8abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a  b b  c c  a   ab bc ac  8abc (đpcm) Bài 2: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ac  bd  a  b c  d  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ac  bd a  b c  d     ac  bd  a c  a  b  c  d  b d a  b  c  d  1 a c  1 b d  1ab cd           1 2ab cd  2ab cd  2ab cd  a  b c  d  (đpcm) a  c Chứng minh rằng: b  c Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa  ca  c   cb  c   ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ca  c   cb  c  ab  c a  c  c b  c   b a a b  1c ac 1c bc       2b a  2a b   1c c 1c c  1    1   2b a 2a b  ca  c   cb  c   ab (đpcm) Lop10.com Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  abc  1  a 1  b 1  c  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:  abc 1  a 1  b 1  c  1 a b c 3 1  a  1  b  1  c  1  a  1  b  1  c  3 1 1  1 a b c           1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c       1 1 a 1 b 1 c    abc  1  a 1  b 1  c  (đpcm) a  Chứng minh rằng: b  Bài 5: Cho số thực dương a, b thỏa  a b   b a   ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b   a ab  a  Tương tự: b a   a  ab  a   ab (1) 2 ab (2) Cộng theo vế (1) và (2), ta được: a b   b a   ab (đpcm) Bài 6: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16aba  b 2  a  b 4 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 16aba  b   4.4ab a  b  2  4ab  a  b 2   a  b 2   4.   4.   a  b  (đpcm)     2 Bài 7: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  a1  b  b1  c  c1  a   33 abc  abc  Giải: Ta có: a1  b  b1  c  c1  a   a  b  c  ab  bc  ca  Lop10.com Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a  b  c  33 abc ab  bc  ca  33 abc    a  b  c  ab  bc  ca   33 abc  33 abc   33 abc  33 abc   a1  b  b1  c  c1  a   33 abc  abc   (đpcm) Bài 8: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: ab  a b   a  b 1 b a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ab  a b  ab a   ab b   a b          b a  2b   2a   2b 2a  2 ab a ab b a b 2 2  a  b  (đpcm) 2b 2a 2b 2a Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  10 Tìm GTLN của: A a 2b3c Giải: Ta có: a a b b b c c c c c a b c 10  a  b  c            1010       2 3 5 5  2  3 5 5 a b c a b c                 a 2b3c  22 3355  337500  2  3 5  2  3 5 10 a  a b c a b c abc     Dấu “=” xảy         b  3 10 a  b  c  10 c   Vậy GTLN A là 337500 1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo Bài 1: Chứng minh rằng: a b   , a,b  b a Giải: Vì a,b  nên a b  0, 0 b a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b a b    (đpcm) b a b a Lop10.com Bài 2: Chứng minh rằng: a   , a  a 1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a 1  a 1   a  1     (đpcm) a 1 a 1 a 1 a2  Bài 3: Chứng minh rằng: a2 1  , a  R Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2  a2 1  a2 11  a2 1  a2 1 2 a2 1 a2 1 a2 1  (đpcm) 3a  , a   9a Bài 4: Chứng minh rằng: Giải: Với a  , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3a 1 1     (đpcm) 4 1 9a  9a  3a 2 3a 2  2 3a 3a 3a 3a 2  a2  Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a  1     , a  1  a 1  Giải:  a  2a    A  a  1   a     a  12  1  a  1     a 1  2    a  1   a    a 1  2  2a  1  a  1 2 Cauchy  2a  1 a  12 Dấu “=” xảy và 2a  12  a  12 22 22 hay a  24 Vậy GTNN A  2  Lop10.com Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  a  , a  a2 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Aa a a    a2 2 a a 1   33  2 a a a a 2 2 2 Dấu “=” xảy và Vậy GTNN A  a  hay a  a 33 Bài 7: Chứng minh rằng: a   , a  b  b( a  b) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a 1  b  a  b   33 b.a  b  3 ba  b  ba  b  ba  b  Bài 8: Chứng minh rằng: a  a  b b  12  , a  b  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b  1  b  1  1  b  1b  1 2 a  b b  1 a  b  2 b  1 b  1  a  b  1  2 a  b b  1b  1 2  a  b  1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: ab bc ca    a  b  c  Phép cộng:  2 2a  b  c   a  b  b  c  c  a  abc  ab bc ca , a b c  ab bc ca  Phép nhân:  a, b, c  0 Lop10.com Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: bc ca ab    abc a b c Giải: Ta có: bc ca ab  bc ca   ca ab   ab bc              a b c 2 a b  2 b c  2 c a  bc ca ca ab ab bc    abc a b b c c a a2 b2 c2 b c a      b2 c2 a2 a b c Bài 2: Cho ba số thực abc  CMR: Giải: Ta có: a2 b2 c2  a2 b2      b c a 2  b c    b2 c2     a  2c   c2 a2     b  2a    a2 b2 b2 c2 c2 a2 b c a b c a         2 2 a b c a b c b c c a a b Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc  CMR: bc ca ab    a  b  c 3 a b c Giải:  bc b  c c  a a  b bc ca ab ca ab         2    a b c a b c a b c    bc ca   ca ab   ab bc            b   c  a b c a       2  bc ca 2 a b ca ab 2 b c  a 2 a b c   a  b  c  33 Vậy ab bc c a  a b c  b c  a b c  a  b  c 3 bc ca ab    a  b  c 3 a b c Lop10.com Bài 4: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p  abc CMR: p  a p  b p  c   abc Giải: Ta có: p  a p  b p  c   p  a p  b  p  b p  c  p  c p  a  p  a  p  b  p  b  p  c  p  c  p  a   2 p  a  b  p  b  c  p  c  a    2 Bài 5: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p  abc abc CMR: 1  1 1    2    pa pb pc a b c Giải: Ta có: 1 1 1  1 1  1 1                p  a p  b p  c  p  a p  b   p  b p  c   p  c p  a   p  a p  b   p  b p  c   p  c p  a  1   p  a  p  b  p  b  p  c  p  c  p  a  2  1 1  2    a b c  1.4 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau Với n  N  và x1 , x , , x n  thì  x1  x2   xn   x1 1      n x2 xn   Chứng minh bất đẳng thức trên : Ta có với x1 , x , , x n  thì  x1  x2   xn   x1  1      n n x1 x x n n n  n2 x2 xn  x1 x x n Lop10.com Với n  và x1 , x , x3  thì  x1  x2  x3   x1  1    x x3  Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: bc ca ab   6 a b c Giải: Ta có: bc ca ab  bc  ca  ab    1    1    1  3 a b c a   b   c   abc bca cab    3 a b c  1 1  a  b  c         a b c Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: a b c    bc ca ab (Bất đẳng thức Nesbit) Giải: Ta có: a b c a   b   c      1    1    1  3 bc ca ab  bc  ca  ab abc bca cab    3 bc ca ab 1    a  b  c    3 bc ca ab 1    b  c  c  a  a  b    3 bc ca ab  3 2 c2 a2 b2 abc    Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: ab bc ca Giải:  c2 a2 b2 c2   a2   b2     a     b    a  b  c      c  ab bc ca  ab  bc  c  a  c   a   b    c 1    a 1    b1    a  b  c   ab  bc  ca Lop10.com abc bca cab  c   a   b   a  b  c   ab   bc   ca  a b   c  a  b  c      a  b  c  ab bc ca a b  c   a  b  c     1 ab bc ca  Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh bài thì: a b c    bc ca ab Do đó c2 a2 b2 3  abc    a  b  c   1  (đpcm) ab bc ca 2  Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Chứng minh bất đẳng thức sau: 1   9 a  2bc b  2ca c  2ab Giải: Do a  b  c  ta có: 1 1 1  2    a  b  c      a  2bc b  2ca c  2ab  a  2bc b  2ca c  2ab  1    a  b  c  2ab  2bc  2ac      a  2bc b  2ca c  2ab  1    a  2bc  b  2ac  c  2ab    9  a  2bc b  2ca c  2ab        Kỹ thuật đổi biến số Có bài toán mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán dạng đơn giản và dễ nhận biết Bài 1: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b CMR: b  c  a c  a  b a  b  c   abc (1) Giải: 10 Lop10.com yz  a  b  c  a  x  zx   Đặt: c  a  b  y  b  a  b  c  z   x y  c   Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: x y.z  x y yz zx 2 Do tam giác, tổng độ dài hai cạnh luôn lớn độ dài cạnh còn lại nên : x, y , z  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x y yz zx  xy yz zx  xyz 2 Hay b  c  a c  a  b a  b  c   abc (đpcm) Bài 2: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b CMR: a b c    (1) bca cab abc Giải: Đặt: yz  a  b  c  a  x   zx   c  a  b  y   b  a  b  c  z    x y  c   Khi đó vế trái bất đẳng thức (1) trở thành: yz zx x y   2x 2y 2z Ta có: y z z x x y 1 y x 1 z          2x 2y 2z 2 x y 2 x  Hay a b c   3 bca cab abc 2 y x  x y x 1 z y     z   y z  z x  x z z y 3 y z (đpcm) 11 Lop10.com Bài 3: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b CMR: a2 b2 c2    a  b  c (1) bca cab abc Giải: Đặt: yz  a  b  c  a  x   zx   c  a  b  y   b  a  b  c  z    x y  c   Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: y  z 2  z  x 2  x  y 2 4x 4y 4z  x yz Ta có: y  z 2  z  x 2  x  y 2 4x 4y  4z yz zx  x y  Hay yz zx xy  yz zx   zx xy   xy yz                x y z 2 x y  2 y z  2 z x  zx xy  y z xy yz  zx y z x a2 b2 c2    a  b  c (đpcm) bca cab abc Bài 4: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p  p  a   p  b   p  c   abc CMR: p p  a p  b p  c  (1) Giải: Ta có: pa  bca 0 Tương tự: pb  pc  Đặt: p  a  x   p  b  y   p  x  y  z p  c  z   Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: 12 Lop10.com 1 x yz    xyz x y z Ta có: 1 1 1  1 1  1 1                2 x x y z y  2 y z  2 z x  1  x2 y2  Hay p  a   1  y2 z2 p  b   1 1 x yz     2 xy yz zx xyz z x p  c   p (đpcm) p  a p  b p  c  Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: a b c    (1) bc ca ab Giải: Đặt: yzx  a  b  c  x  zx y   c  a  y  b  a  b  z   x yz  c   Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành: yzx zx y x yz    2x 2y 2z Ta có: y zx z x y x yz 1 y x 1 z          2x 2y 2z 2 x y 2 x  Hay 2 y x  x y z x  x z x 1 z y     z   y z  z y 3   y z 2 a b c    (đpcm) bc ca ab Bài 6: Cho số thực không âm a, b, c thỏa a  c b  c   CMR: 1   4 2 a  b  a  c  b  c 2 (1) 13 Lop10.com Giải:  x  y  a  c  x  xy  1    y   x b  c  y a  b  x  y  a  b  x  y   Đặt: Khi đó vế trái bất đẳng thức (1) trở thành: 1   4 x  y  x y Ta có: 1 1  2   x2  y2   x2  y2 2 x  xy  y x  y  x y x  y       1  x2  y2    2 x2  y2    x 2 y x   y2 1    (đpcm) 2 a  b  a  c  b  c 2 Vậy Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz  Tìm GTNN biểu thức: A x y  z  y z  x   y y  2z z z z  2x x  z x  y  x x  2y y Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: A x 2 yz y y  2z z    x x xyz y y  2z z 2x x y y  2z z y 2 zx z z  2x x    y y yzx z z  2x x 2y y z z  2x x z 2 xy x x  2y y   z z zxy x x  2y y 2z z x x  2y y 14 Lop10.com  x x   2a  4b  c   a  y y  z z    Đặt: b  z z  x x   y y  a  2b  4c    c  x x  y y    z z  4a  b  2c   Khi đó A   2a  4b  c a  2b  4c 4a  b  2c      9 a b c  2  b a c   c a b    4          9  a c b   a b c  2 b a c c a b     4.3.3  3.3     12  3  9 a c b a b c  Dấu “=” xảy  a  b  c  Vậy GTNN A là Kỹ thuật chọn điểm rơi Điểm rơi các bất đẳng thức là giá trị đạt biến dấu “=” bất đẳng thức xảy Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy các trường hợp sau:  Các biến có giá trị Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt tâm  Khi các biến có giá trị biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt biên Căn vào điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi các trường hợp trên 3.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi bài toán cực trị xảy biên Xét các bài toán sau: Bài toán 1: Cho số thực a  Tìm giá trị nhỏ (GTNN) A  a  Sai lầm thường gặp là: A  a  a 1  a  Vậy GTNN A là a a Nguyên nhân sai lầm: GTNN A là  a   a  vô lý vì theo giả thuyết thì a a  Lời giải đúng: A  a  a 3a a 3a 3.2    2   1  a a 4 a 4 15 Lop10.com Dấu “=” xảy  a  hay a  a Vậy GTNN A là Vì chúng ta lại biết phân tích lời giải trên Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN a  Khi đó ta nói A đạt GTNN “Điểm rơi a  ” Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và phải tách a vì không thỏa quy tắc dấu “=” Vì ta a để áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa quy tắc dấu “=” a  a 1 Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số  ,  cho “Điểm rơi  a  a  ” thì a  , ta có sơ đồ sau: a  a    a2      1   a Khi đó: A  a  a 3a    và ta có lời giải trên a 4 a  a 1 Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số  ,  ta có thể chọn các các  a  1      cặp số sau:  a,   a,   a,  a   a  a  Bài toán 2: Cho số thực a  Tìm giá trị nhỏ A  a  a2 Sơ đồ điểm rơi: a    a2    8  1 1  a Sai lầm thường gặp là: A  a 7a a 7a   2   a 8 a 7a   2a 7.2   2.2 Dấu “=” xảy  a  16 Lop10.com Vậy GTNN A là Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN A là là đáp số đúng cách giải trên mắc sai lầm đánh giá mẫu số: “ a   Lời giải đúng: A   2a là sai” 2.2 a a 6a a a 6a 6.2     3.3     8 a 8 a 8 Dấu “=” xảy  a  Vậy GTNN A là Bài 1: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  ab  ab Phân tích: ab ab       Ta có: Sơ đồ điểm rơi:  ab   1  4 ab      4  4 16 1 4  ab Giải: Ta có: ab ab         ab   A  16ab  1 17  15ab  16ab  15ab   15  ab ab 4 Dấu “=” xảy  ab  Vậy GTNN A là 1 ab 17 Bài 2: Cho số thực a  Tìm GTNN A  a  18 a Phân tích: 17 Lop10.com Ta có A  a2  18 9  a2   a a a Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN a  Ta có sơ đồ điểm rơi:  a 36     36     24 a 6   9    a Giải: a 9 23a a 9 23a     33  24 a a 24 24 a a 24 23.36    39 24 A Ta có: Dấu “=” xảy  a2  a6 24 a Vậy GTNN A là 39 Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  2b  3c  20 Tìm GTNN A abc   a 2b c Phân tích: Dự đoán GTNN A đạt a  2b  3c  20 ,tại điểm rơi a  2, b  3, c  Sơ đồ điểm rơi: a    a2      3   a b     3 b 3     2  9 3  2b c     c4  1    4   c 18 Lop10.com Giải:  3a   b   c  a b 3c A          a   2b   c  4 3a b c a  2b  3c 2 2  a 2b c      13 2 Dấu “=” xảy  a  2, b  3, c  Vậy GTNN A là 13 ab  12 Chứng minh rằng: bc  Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa  a  b  c  2 1  121      ab bc ca  abc 12 Phân tích: ab  12 ,tại điểm rơi a  3, b  4, c  bc  Dự đoán GTNN A đạt  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b a b    33  18 24 ab 18 24 ab a c a c    33 1 ca ca b c b c    33  16 bc 16 bc a c b a c b     44  12 abc 12 abc 13a 13b 13a 13b 13 13 13  2 2 12  18 24 18 24 18 24 13b 13c 13b 13c 13 13 13  2 2  48 24 48 24 48 24 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: a  b  c  2 1  121      ab bc ca  abc 12 (đpcm) 3.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi bài toán cực trị đạt tâm Xét bài toán sau: Bài toán: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN 19 Lop10.com A ab Sai lầm thường gặp là: A  a  b  1  a b 1 1   44 a.b  a b a b Vậy GTNN A là Nguyên nhân sai lầm: GTNN A là  a  b  1   a  b  Khi đó a b a  b   trái giả thuyết Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt ab Sơ đồ điểm rơi: a b   1   2 ab    2  2 1    a b   1 1    3a  3b  44 4a 4b  3a  b     a b a b Lời giải đúng: A   4a  4b  Dấu “=” xảy  a  b  Vậy GTNN A là Bài 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  A abc Tìm GTNN 1   a b c Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt abc Sơ đồ điểm rơi: 20 Lop10.com