CHUYÊN đề một số kỹ THUẬT sử DỤNG bất ĐẲNG THỨC CAUCHY

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Tác giả chuyên đề: Phùng Văn Long Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường Huyện Vĩnh Tường-Tỉnh Vĩnh Phúc Đối tượng: Học sinh lớp Số tiết: 15 tiết I ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học môn học có ý nghĩa đặc biệt với học sinh phổ thông Nó giúp học sinh phát triển tư logic, phát triển lực trí tuệ hình thành phẩm chất đạo đức, môn toán môn học công cụ nên việc học tốt môn toán giúp học sinh học tốt môn học khác Tuy nhiên môn toán môn học mang tính trừu tượng cao nên học sinh thường gặp khó khăn học toán, song không mà toán học thiếu hấp dẫn người học Một những bộ phận rất quan trọng và hấp dẫn với học sinh giỏi là phân môn Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Nhưng phần khó môn Toán Bất đẳng thức là một vấn đề cổ điển của toán học sơ cấp ngày càng quan tâm phát triển, cũng là một phần toán học sơ cấp đẹp và thú vị nhất, vì thế cuốn hút rất nhiều sự quan tâm của học sinh, đặc biệt là học sinh giỏi, học sinh có khiếu học toán Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức toán sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán hay và khó, thậm chí là rất khó Tuy nhiên cái khó ở không nằm ở gánh nặng về lượng kiến thức mà ở yêu cầu óc quan sát, linh cảm tinh tế và sức sáng tạo rồi rào của người học, vì thế người học có thể giải được bằng những kiến thức rất và việc hoàn thành được những chứng minh vậy là một niềm vui thực sự Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán toán bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, lớn toán có khả rèn luyện cho học sinh óc phán đoán tư logic, song phần lớn học sinh gặp khó khăn giải dạng toán Đối với học sinh trung học sở, việc chứng minh bất đẳng thức thường có công cụ, học sinh chủ yếu sử dụng định nghĩa bất đẳng thức Cauchy để chứng minh Tuy nhiên việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh toán khác đa số trường hợp yêu cầu học sinh phải biết cách biến đổi cách hợp lý, chí phải tinh tế Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 1/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Bất đẳng thức Cauchy a Cho hai số thực không âm a,b Khi ta có: a+b ≥ ab Dấu “=” xảy a=b b (Dạng tổng quát).Cho n số thực không âm a1 , a , , a n Khi ta có: a1 + a + + a n n ≥ a1 a a n Dấu “=” xảy a1 = a = = a n n Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic mean- Geometric mean) Chứng minh: -Với n=2 bất đẳng thức hiển nhiên đúng và dấu bằng xảy và chỉ a 1=a2 - Giả sử bất đẳng thức đúng đến n=k, tức là ∀a1 , a2 , , ak ≥ ta có: a1 + a + + a k k ≥ a1 a a k , dấu bằng xảy a1 = a = = a k k -Xét n=k+1.Với ∀a1 , a , , a k +1 ≥ ta có: S k +1 a + a2 + + ak + ak +1 = = k +1 k a1 + a2 + + ak + ak +1 k k +1 Theo giả thiết quy nạp, suy S k +1 ≥ (1) k k a1 a a k + a k +1 (2) k +1 Dấu “=” (2) xảy (theo giả thiết quy nạp) a1 = a = = a k Đặt a1 a a k = α k ( k +1) và a k +1 = β k +1 đó (2) dạng S k +1 ≥ Từ (3) ta có S k +1 − k +1 a1 a a k +1 ≥ Dễ dàng thấy rằng: VP( ) = k α k +1 + β k +1 k +1 k α k +1 + β k +1 −α kβ k +1 (3) (4) [ k α k +1 + β k +1 − kα k β − α k β = k α k ( α − β ) − β α k − β k k +1 k +1 ( )] ( α − β ) k −1 = [α + α k − ( α + β ) + α k −3 (α + αβ + β ) + + (α k −1 + α k − β + + β k −1 ) ] k +1 Do α , β ≥ nên suy VP( ) ≥ ⇒ S k +1 ≥ k +1 a1 a a k +1 Do đó bất đẳng thức Cauchy cũng đúng với n=k+1.Theo nguyên lý quy nạp ta suy bất đẳng thức Cauchy đúng ∀n ∈ N a1 = a = a k ⇔ a1 = a = a k = a k +1 α =β  Dấu bằng xảy  Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 2/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Ví dụ Ví dụ Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: + x + y ≥ 3xy ⇒ + x3 + y ≥ xy xy Đẳng thức xảy = x = y Chứng minh tương tự, ta được: + y3 + z3 ≥ yz (Đẳng thức xảy yz + z + x3 ≥ zx (Đẳng thức xảy = z = x ) zx 1= y = z ) Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:  1 + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 1  + + ≥ 3 + + ÷ ( 1)  xy yz zx yz zx ÷  xy  Đẳng thức xảy x = y = z = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 + + ≥ xy yz zx 3 =3 xyz ( 2) Đẳng thức xảy x = y = z = Từ (1) (2), ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z = Chú ý: Nói chung, ta gặp toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy ví dụ mà thường phải biến đổi toán đến tình thích hợp sử dụng Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 3/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 bất đẳng thức Cauchy Khi biến đổi, ta thường sử dụng số hạng vế cộng thêm số hạng thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi biến đổi, ta lưu ý số nhận xét sau: Nhận xét Số chiều BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng bậc cao Ví dụ Với số thực dương a, b, c, chứng minh rằng: a + b3 + c ≥ ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao 3, nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm Chẳng hạn, số hạng ab ứng với ba số a , b3 , b3 Cứ vậy, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a + b3 +b3 ≥ 3ab b3 + c + c ≥ 3bc c + a + a ≥ 3ca Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: ( a + b3 + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) ⇔ a + b3 + c3 ≥ ab + bc + ca a = b  Dấu đẳng thức xảy khi: b = c ⇔ a = b = c c = a  Ví dụ Với số thực không âm a, b, c, chứng minh rằng: a 2b + b 2c + c a ≥ abc ( a + b + c ) Dấu đẳng thức xảy nào? Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a 2b + b 2c ≥ 2ab 2c b 2c + c 2a ≥ 2abc c a + a 2b ≥ 2a 2bc Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 4/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 ( a 2b + b a + c a ) ≥ 2abc ( a + b + c ) ⇔a 2b + b 2c + c 2a ≥ abc ( a + b + c ) ab = bc  Dấu đẳng thức xảy khi: bc = ca ⇔ a = b = c ca = ab  Nhận xét Bậc số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bậc số hạng cần mô tả Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ ab +bc +ca b c a Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên trái có chứa mẫu, số hạng bên phải không chứa mẫu, ta cần khử mẫu cách thêm số hạng vào bên trái bất đẳng thức Bậc số hạng cần mô tả hai, nên bậc số hạng thêm vào hai Chẳng hạn, số hạng a3 có chứa mẫu b, nên số hạng thêm vào phải chứa nhân tử b b Bậc số hạng 2, nên ta cộng thêm vào ab a3 + ab ≥ 2a b Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a3 +ab ≥ 2a b b3 + bc ≥ 2b c c3 + ca ≥ 2c a Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: a b3 c + + + ab + bc + ca ≥ ( a + b + c ) b c a (1) Dấu đẳng thức xảy : Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 5/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 a3  = ab a = b b a = b  b   = bc ⇔ b = c ⇔ b = c ⇔ a = b = c c c = a c = a   c  = ca a Lại có, a + b + c ≥ ab + bc + ca (2) Dấu đẳng thức xảy a = b = c Từ (1) (2) suy ra: a b ⇔ b + a c b + c + b a c + + ab + bc + ca ≥ ( ab + bc + ca ) c a ≥ ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ a +b + c bc ca ab Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên trái có chứa mẫu, số hạng bên phải không chứa mẫu, ta cần khử mẫu cách thêm số hạng vào bên trái bất đẳng thức Bậc số hạng cần mô tả một, nên bậc số hạng thêm vào Chẳng hạn, số hạng a3 bc có chứa mẫu b, c bậc số hạng thêm vào nên số hạng thêm vào b, c: a3 + b + c ≥ 3a bc Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a3 + b + c ≥ 3a bc Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 6/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 b3 + c + a ≥ 3b ca c3 + a + b ≥ 3c ab Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: a3 bc + b3 ca + c3 ab + ( a + b + c ) ≥ 3( a + b + c ) ⇒ a3 bc + b3 ca + c3 ab ≥ a+b+c a3 bc = b = c  b Dấu đẳng thức xảy  = c = a ⇔ a = b = c ca  c3 = a =b  ab Nhận xét Khi bậc không số hạng cộng thêm số Ví dụ Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = , chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 ≥ Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Cho a = b = c thay vào điều kiện ta tính a = b = c = Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = cộng với số hạng số, số hạng chứa biến thích hợp để mô tả điều kiện bất đẳng thức cần chứng minh Chẳng hạn, với số hạng ab điều kiện xác định, ta sử dụng số hạng 3 a ,b , 3 a +b + 3 : 3 ≥ 33 a b 3 3 = ab Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 7/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán a + b3 + Năm học 2013-2014 ≥ ab 3 b3 + c + ≥ bc 3 c3 + a + ≥ ca 3 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: ( a + b3 + c ) + ⇒2 ( a + b3 + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) = 3 ≥ ⇒a + b3 + c3 ≥ 3  a = b =  b = c = 1  ⇔a =b =c = Dấu đẳng thức xảy   c = a =    ab + bc + ca = Ví dụ Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ( a + b + c ) = 3abc , chứng minh rằng: 1 + 3+ 3≥ a b c Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Biến đổi điều kiện, ta được: 1 + + = ab bc ca Cho a = b = c thay vào điều kiện ta tính a = b = c = Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = cộng với số hạng số, số hạng chứa biến thích hợp để mô tả điều kiện bất đẳng thức cần chứng minh Chẳng hạn, với số hạng số dương a , ab điều kiện, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1 , , ta có: b Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 8/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán a + b + ≥ 33 Năm học 2013-2014 1 = a b ab Giải Ta có: ( a + b + c ) = 3abc ⇔ ab + bc + ca = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a + b + ≥ ab 1 + 3+ ≥ b c bc 1 + 3+ ≥ c a ca Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: 1  3 1  1 1  + + ÷+ ≥  + + ÷= ⇔ + + ≥ b c   ab bc ca  a b c a 1 1 = = =  a b c ⇔a = b = c = Dấu đẳng thức xảy  1 + + =3  ab bc ca Nhận xét Ta cần để ý đến trường hợp đẳng thức xảy với a = b = c bất đẳng thức để thêm hệ số cho thích hợp Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ ( a +b + c) b ( b + c ) c ( c + a ) a ( a +b ) Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Cho a = b = c thay vào số hạng bên vế trái BĐT cần chứng minh, chẳng hạn số hạng a3 a ta thu Mặt khác, số hạng lại có mẫu chứa b( b +c) b b +c nhân tử b, b + c Do đó, ta thêm vào số hạng , sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = 3: Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 9/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán a3 b( b + c) + b + b +c Năm học 2013-2014 b b +c = a b( b + c) a3 ≥ 33 Dấu đẳng thức xảy khi: 2a = b ( b + c ) a3 b b +c  = = ⇔ ⇔a =b = c b( b +c) b = c   Ta làm tương tự với số hạng khác thu bất đẳng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a3 b b +c a3 b b +c 3 + + ≥3 = a b( b +c) b( b +c) Dấu đẳng thức xảy khi:  a3 b b +c 2a = b ( b + c ) = = ⇔ ⇔a = b = c b( b +c) b = c   Tương tự, ta có: b3 c c +a + + ≥ b c ( c +a ) c3 a a +b + + ≥ c a ( a +b ) Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: a3 b3 c3 + + + a +b + c ≥ ( a +b + c ) b ( b + c ) c ( c + a ) a ( a +b ) ⇔ a3 b3 c3 + + ≥ ( a +b +c ) b ( b + c ) c ( c + a ) a ( a +b ) Dấu đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a3 ( b + 2c ) + b3 ( c + 2a ) + c3 ( a + 2b ) ≥ ( a +b + c) Dấu đẳng thức xảy nào? Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 10/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán a a + ab + b 2 b + Q= b + bc + c a Giải Đặt P = c + 2 c + ca + a b + a + ab + b 2 3 c + ≥ b + bc + c a+b+c 3 a + ab + b b Năm học 2013-2014 c + c + ca + a b + bc + c 2 a + 3 c + ca + a 2 Ta có: a −b P−Q = b −c 3 c −a 3 + + 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a =a−b+b−c+c−a =0 a +b ⇒ 2P = P + Q = b +c 3 a + ab + b 2 + c +a b + bc + c + c + ca + a 2 Mặt khác, ta có: ( ) a + b ≥ ab ⇔ a + b − ab ≥ a + b + ab 2 a + b − ab ⇔ a + b + ab 2 ≥ 2 a +b ⇔ a + ab + b 2 ≥ a+b Chứng minh tương tự, ta được: b +c 3 b + c + bc 2 c +a b+c c+a c + a + ca ≥ ≥ Cộng vế với vế bất đẳng thức , ta được: a +b 2P = a + ab + b a+b+c ⇔P≥ b +c 3 + c +a b + bc + c + c + ca + a 2 ≥ a+b+c Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 16 Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 17/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán ( a + 2b − c ) + a + b + 4c Năm học 2013-2014 ( 2b + c − a ) + b + c + 4a ( 2c + a − b ) c + a + 4b ≥ (a 2 +b +c 2 ) Giải Đặt x = 2a + 2b − c, y = 2b + 2c − a , z = 2c + 2a − b Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên x, y , z dương Ta có: ( x + y + z =9 a +b +c 2 2 2 ) y + z = a + b + 4c z + x = b + c + 4a x + y = c + a + 4b Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: x y+z + y z+x + x x +y +z ≥ x+ y 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: x y+z y x( y + z) y ( z + x) y+z z + + z( x + y) + x+ y ≥x ≥y ≥z Cộng vế với vế bất đẳng thức , ta được: 3 x3 y x xy + yz + zx 2 + + + ≥x +y +z y+z z+x x+ y x ⇔ y+z + y z+x + x ≥x +y +z − x+ y 2 xy + yz + zx Áp dụng bất đẳng thức x + y + z ≥ xy + yz + zx , ta được: x y+z + y z+x + x x+ y x +y +z ≥ Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường 2 Trang 18/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Nhận xét Khi biến đổi ta điều chỉnh hệ số cho khử hết số hạng mặt bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 17 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a b b + c 4c + ≥ a + 3b a Đẳng thức xảy nào? Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b b + b ≥ 2a c 4c a + c ≥ 4b + a ≥ 4c Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta có: a b ⇔ b + a c + b 4c + b a c + + b + 4c + a ≥ a + 4b + 4c 4c ≥ a + 3b a  a2  b =b  a = b b  Đẳng thức xảy  = 4c ⇔ b = 2c c  a = 2c   4c =a  a  Ví dụ 18 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a b( c + a) + b c( a + b) + c b+c ≥a+ b Đẳng thức xảy nào? Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 19/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán a b( c + a) b b c ( a + b) c + b+c + c + b+c + + c+a a+b ≥ ≥ Năm học 2013-2014 a b ≥c Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta có: a b( c + a) ⇔ a + b c( a + b) b( c + a) + b + c b+c c ( a + b) + + c a +b+c≥ b+c ≥a+ a+ b+c b b c+a  a3 b( c + a) = =   b3 c a+b = = ⇔a=b=c Đẳng thức xảy  c a + b ( )   c2 b+c =  b + c MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 3.1 KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU 3.1.1.Ví dụ mở đầu: Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ac + a (Nguyễn Đức Tấn-“Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số”- NXB giáo dục-Tr 77) Lời giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng: Ta có: a3 2a − b ≥ 2 a + ab + b ( a3 2a − b ⇔ 3a ≥ ( 2a − b ) a + ab + b ≥ 2 a + ab + b ) ⇔ 3a ≥ 2a + 2ab − a b − b − ab ⇔ a + b + a b − ab ≥ ⇔ ( a + b )( a − b ) ≥ (Bất đẳng thức đóng) Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 20/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Dấu “=” xảy ⇔ a=b a3 2a − b ≥ Do đó, ta có: 2 a + ab + b (1) b3 2b − c ≥ Tương tự, ta có: , dấu “=” xảy b=c b + bc + c (2) c3 2c − a ≥ , dấu “=” xảy a=c 2 c + ac + a Cộng (1),(2),(3) vế với vế (3) ta : a3 b3 c3 2a − b 2b − c 2c − a a + b + c + + ≥ + + = (ĐPCM) 2 2 2 3 3 a + ab + b b + bc + c c + ac + a Dấu “=” xảy ⇔ a=b=c Nhận xét: Bất đẳng thức chứng minh gọn hay không “tự nhiên” tác giả đưa bất đẳng thức riêng a3 2a − b ≥ Ta thấy 2 a + ab + b tìm bất đẳng thức riêng toán trở nên thật đơn giản, nhiên làm để tìm bất đẳng thức riêng đó, điều ta cần phải giải đáp cho học sinh giúp học sinh tìm bất đẳng thức riêng tương tự 3.1.2 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu Ví dụ 27: Cho số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3 Chứng minh rằng: a b c + + ≥ 2 2 1+ b 1+ c 1+ a Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số ta có: a b c a b c a b c + + ≤ + + =  + +  ≥ ? 2 2b 2c 2a  b c a  1+ b 1+ c 1+ a Như ta bất đẳng thức đổi chiều, ta điều phải chứng minh Tuy nhiên, thử biến đổi chút biểu thức cho ta thấy: a ab Cauchy ab ab = a − ≥ a − = a − , thật may mắn đến ta bất đẳng 2 1+ b 1+ b 2b thức chiều Làm tương tự cho biểu thức lại cộng chúng lại ta điều phải chứng minh Lời giải: Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 21/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Ta có: Năm học 2013-2014 a ab Cauchy ab ab = a − ≥ a − = a− 2 1+ b 1+ b 2b Tương tự ta có b bc Cauchy bc bc = b − ≥ b − =b− 2 1+ c 1+ c 2c c ca Cauchy ca ac = c − ≥ c − =c− 2 1+ a 1+ a 2a Cộng bất đẳng thức với vế với vế ta được: a b c  ab + bc + ac  + + ≥ ( a + b + c) −   2 2 1+ b 1+ c 1+ a   3 Mặt khác ta có: ab + bc + ac ≤ ( a + b + c ) = = Từ suy a b c 3 + + ≥ 3− = 2 2 1+ b 1+ c 1+ a Nhận xét: Như ta thấy qua phép biến đổi ta đưa biểu thức mà ta muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu thức mang dấu âm, từ ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu mà bất đẳng thức chiều Đó kỹ thuật Cauchy ngược dấu Ví dụ 19: Chứng minh với số thực dương a,b,c ta có: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a +b b +c c +a Lời giải: a3 ab Cosi ab b =a− ≥ a− = a − Dấu “=” xảy a=b Ta có: 2 2ab a +b a +b b3 bc Cosi bc c = b − Dấu “=” xảy b=c Tương tự ta có: 2 = b − 2 ≥ b − 2bc b +c b +c c3 ca Cosi ca a = c − ≥ c − = c − Dấu “=” xảy a=c 2 2 2ac c +a c +a Cộng ba bất đẳng thức vế với vế ta : a3 b3 c3 a+b+c a+b+c + + ≥ ( a + b + c) − = 2 2 2 a +b b +c c +a Dấu “=” xảy a=b=c Từ toán Ví dụ Ví dụ ta có toán tương tự sau: Ví dụ 20: Cho a,b,c,d số thực dương có tổng Chứng minh rằng: Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 22/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 a b c d + + + ≥2 2 1+ b 1+ c 1+ d 1+ a2 Ví dụ 21:Cho a,b,c số thực dương có tổng Chứng minh rằng: a +1 b +1 c +1 + + ≥ b +1 c +1 a +1 Ví dụ 22: Cho a,b,c,d số dương có tổng Chứng minh rằng: a +1 b +1 c +1 d +1 + + + ≥4 b +1 c +1 d +1 a +1 Ví dụ 23: Cho a,b,c,d số thực dương có tổng Chứng minh rằng: 1 1 + + + ≥2 a +1 b +1 c +1 d +1 Ví dụ 24:Chứng minh với số thực dương a,b,c,d ta có: a3 b3 c3 d3 a+b+c+d + + + ≥ 2 2 2 2 a +b b +c c +d d +a Ví dụ 25: Chứng minh với số thực dương a,b,c,d ta có: a4 b4 c4 d4 a+b+c+d + + + ≥ 3 3 3 a + 2b b + 2c c + 2d d + 2a Ví dụ 26: Chứng minh với số thực dương a,b,c có tổng 3,ta có: a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2b b + 2c c + 2a Ví dụ 27: Cho a,b,c số dương có tổng 3.Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ a + 2b b + 2c c + 2a Hướng dẫn a2 2ab 2ab =a− ≥a− = a − ⋅ b.3 a Ta có: 3 3 a + 2b a + 2b ab Từ ta cần chứng minh: b.3 a + c.3 b + a.3 c ≤ (*) Vì a = a.a.1 ≤ 2a + ⇒ b.3 a ≤ b( 2a + 1) Bây trở lại với Ví dụ mở đầu: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ac + a Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu, ta có: a3 ab( a + b ) ab( a + b ) a + b 2a − b =a− ≥a− =a− = 2 3ab 3 a + ab + b a + ab + b Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 23/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Như vậy, ta có bất đẳng thức riêng a3 2a − b ≥ mà tác giả Nguyễn Đức Tấn 2 a + ab + b đưa Ví dụ mà giới thiệu 3.2 KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 3.2.1 Điểm rơi đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Ví dụ 28 : Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + a Phân tích:  Sai lầm thường gặp giải bài toán là: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm a, 1 ta có: a + ≥ a ⋅ = Vậy S=2 a a a  Nguyên nhân sai lầm: Min S=2 ⇔ a = ⇔ a = mâu thuẫn với giả thiết a ≥ a Tìm lời giải đúng: Vì bất đẳng thức Cauchy xảy dấu “=” tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau, nên thay cho việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a, đẳng thức Cauchy cho cặp số ta sẽ áp dụng bất a a , Khi đó để bất đẳng thức Cauchy xảy dấu “=” thì α a a = Mặt khác ta nhận thấy S đạt được a=3(trong điều kiện a ≥ ).Do đó ta α a có sơ đồ điểm rơi ứng với a=3 a =3 a  = ⇒ α α ⇒ = ⇒ α = Từ đó ta có lời giải đúng sau: 1 α  = α Lời giải đúng: Ta có S =a+ Vậy MinS=  a  8a a 8.3 10 = + + ≥ ⋅ + = Dấu “=” xảy a=3 a 9 a 9 a 10 ⇔a=3 Ví dụ 29: Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1.Chứng minh rằng a + b + Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường ≥ a+b Trang 24/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Phân tích: a = b > ⇔ a = b =1  a.b = Ta dự đoán dấu bằng bất đẳng thức đã cho xảy  a + b  α =α ⇒ = ⇔ α = Từ đó ta có lời giải: Với a=b=1 ta có sơ đồ điểm rơi:  1 α  = a +b Lời giải: Ta có: a + b + a+b 3.( a + b ) = + + ≥ a+b a+b ( a + b) ⋅ 3.2 ab + = 1+ = a+b 2 a = b > ⇔ a = b =1  a.b = Dấu “=” xảy  Ví dụ 30: Cho a, b, c ≥ thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= a + b + c + abc Phân tích:  Sai lầm thường gặp : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm a,b,c và abc ta được: a + b + c + 1 ≥ 4.4 a.b.c = suy minT=4 abc abc  Nguyên nhân sai lầm: minT=4 ⇔ a = b = c = = ⇒ a + b + c = mâu abc thuẫn với giả thiết a + b + c = Tìm lời giải đúng: Vì dấu “=” xảy a = b = c = nên đó =3 abc  a=b=c=   ⇒ = 3 ⇒α =9 ⇒ Sơ đồ điểm rơi: a = b = c = α 3  =3  α abc α Lời giải đúng: Ta có: Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 25/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán a+b+c+ Năm học 2013-2014 1 = a+b+c+ + ≥ 4.4 a.b.c + abc 9abc 9abc 9abc Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy minT= ⇔ a = b = c = a2 + b2 + c2 93 = + =4 3.2.2 Điểm rơi đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Ví dụ 31: a, b, c ≥ và Cho a + b + c = Tìm giá trị lớn nhất của S = a+b +3 b+c +3 c+a Phân tích:  Sai lầm thường gặp: Tương tự: b + c ≤ Từ đó suy ra: S ≤ a + b = ( a + b ).1.1 ≤ b+c+2 và c+a ≤ a+b+2 c+a+2 2( a + b + c ) + 8 = ⇒ max S = 3 a + b =   Nguyên nhân sai lầm: max S= ⇔ b + c = ⇒ a + b + c = mâu thuẫn với giả c + a =  thiết a + b + c = Tìm lời giải đúng: Vì S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên MaxS đạt tại:  a=b=c ⇔a=b=c=  a + b + c = Khi đó ta có a + b = b + c = c + a = Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a+b = Tương tự ta có: b + c = ( b + c ) ≤ Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường 3 93 2 ( a + b ) ≤ 3 b+c+ a+b+ 3 3 Trang 26/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán a+c = 3 Từ đó suy S ≤ Năm học 2013-2014 93 2 ( a + c ) ≤ 3 dụ 32: 3 2.( a + b + c ) + = 18 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy MaxS= 18 ⇔ a = b = c = Ví a+c+ Cho a, b, c ≥ thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng a+b + b+c + c+a ≤ Phân tích: Do vế trái của biểu thức cần chứng minh là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dấu “=” xảy a = b = c = Khi đó ta có: a + b = b + c = c + a = 3 Lời giải: Từ đó ta có : a+b = Tương tự: b + c = c+a = suy ( a + b ) ≤ 3 ( b + c ) ≤ 3 ( c + a ) ≤ a+b + b+c + c+a ≤ Dấu “=” xảy a = b = c = a+b+ b+c+ c+a+ 3 2.( a + b + c ) + = 2 3.3 KỸ THUẬT ĐỒNG BẬC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Ví dụ 33: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ a+b+c b c a ∀a, b, c ≥ Phân tích: Do cả hai vế là các biểu thức bậc nên biểu thức cộng thêm cũng phải có bậc Cosi a2 a2 Lại có + b ≥ .b = 2a cũng là biểu thức bậc 1, từ đó ta có lời giải sau: b b Lời giải: Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 27/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Cosi a2 a2 + b ≥ .b = 2a b b Tương tự ta có: Cosi b2 b2 + c ≥ .c = 2b c c và Cosi c2 c2 + a ≥ .a = 2c a a a2 b2 c2 Cộng các bất đẳng thức vế với vế ta được: + b + + c + + a ≥ 2a + 2b + 2c b c a hay a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c Dấu “=” xảy a=b=c b c a Ví dụ 34: Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b Phân tích: Vì vế trái là một biểu thức có bậc nên ta sử dụng giả thiết a + b + c = để đưa bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức đồng bậc 2: a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + + ≥ Khi đó biểu thức cộng thêm cũng phải là một b + 2c c + 2a a + 2b biểu thức bậc Lời giải: Áp dụng bất dẳng thức Cauchy ta có: Tương tự ta có: 9a 9a + a ( b + 2c ) ≥ a.( b + 2c ) = 6a b + 2c b + 2c 9b 9b + b( c + a ) ≥ b.( c + 2a ) = 6b c + 2a c + 2a 9c 9c + c( a + 2b ) ≥ c.( a + 2b ) = 6c a + 2b a + 2b Cộng các bất đẳng thức vế với vế ta được:  a3 b3 c3   + 3.( ab + bc + ac ) ≥ a + b + c ≥ a + b + c + 3.( ab + bc + ac ) 9 + +  b + 2c c + 2a a + 2b  ( Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường ) ( ) Trang 28/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Do (a Năm học 2013-2014 ) + b + c ≥ ( ab + bc + ac ) Suy ra:  a3 b3 c3   ≥ a + b + c 9 + +  b + 2c c + 2a a + 2b  ( )  a3 b3 c3  a2 + b2 + c2   ≥ + + = Hay  b + c c + a a + b 3   Dấu “=” xảy a = b = c = Một số ví dụ có cách giải tương tự Ví dụ 35: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: a) a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b b) a3 b3 c3 a b2 c + + ≥ + + b c a b2 c2 a2 Ví dụ 36: Cho ≤ a ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a + a Ví dụ 37: Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + a2 Ví dụ 38: Cho a, b > và a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + Ví dụ 39:Cho a, b, c > và a + b + c ≤ S = a+b+c+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 + + a b c Ví dụ 40: Cho Cho a, b, c > và a + b + c ≤ S = a2 + ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 + b2 + + c2 + 2 b c a III KẾT LUẬN Như vậy, ngoài việc áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy thì một số lượng lớn các bài toán cần phải áp dụng bất đẳng thức dưới những biến dạng và những kỹ thuật khác Các kỹ thuật này đã làm cho việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy trở lên phong phú và đa dạng nhiều Nó cũng giúp giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy mặc dù lượng kiến thức phải sử dụng là không nhiều song lại yêu cầu óc quan sát, linh Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 29/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 cảm tinh tế và sức sáng tạo rồi rào để có những nhận dạng một cách chính xác và có những biến đổi hợp lý trước áp dụng bất đẳng thức Cauchy Với học giáo viên có phương pháp tiếp cận,một phương pháp giảng dạy khác điều tùy thuộc vào mức độ nhận thức học sinh Với chuyên đề trình độ học sinh không giống phương pháp giảng dạy nhau.Vì người giáo viên càn phải tìm phương pháp dạy, cách tiếp cận vấn đề cho phù hợp với đối tượng học sinh Trên chuyên đề nhỏ mà thân thấy rất càn thiết trình bồi dưỡng học sinh giỏi,hy vọng chuyên đề góp phần nang cao chất lượng học sinh giỏi thân bạn đồng nghiệp thời gian tới Rất mong đóng góp ý kiến cá đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Vĩnh tường, ngày 01 tháng năm 2014 Người viết Phùng Văn Long Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 30/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Phương “Những viên kim cương bất đẳng thức toán học.”NXB Tri Thức-Năm 2009 [2].Nguyễn Đức Tấn “Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số”-NXB Giáo Dục-Năm 2003 [3].Nguyễn Đễ-Nguyễn Hoàng Lâm “Các toán bất đẳng thức hay khó”-NXB Giáo Dục-Năm 2001 [4].Nguyễn Vũ Thanh “263 toán bất đẳng thức chọn lọc”-NXB Đại Học Quốc Gia TPHCM-Năm 2000 [5].Nguyễn Kim Hùng “Sáng tạo bất đẳng thức”-NXB Hà Nội –Năm 2010 [6].Trần Tuấn Anh “Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức”-NXB Tổng hợp TPHCM-Năm 2006 [7].Phan Huy Khải “10.000 bài toán sơ cấp- bất dẳng thức”-NXB Hà Nội-Năm 2001 [8].Phan Huy Khải “Chuyên đề bất đẳng thức chọn lọc cho học sinh phổ thông sở”- NXB Giáo dục1998 [9].Nguyễn Văn Quí-Nguyễn Tiến Dũng-Nguyễn Việt Hà “Các dạng Toán về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấ ”-NXB Đà Nẵng-1998 [10].Titu Andresscu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu “Old and New Inequality”- Gil publishing House [11] Old and new inequaliti.-internet Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 31/31 [...]... a + 2b ) 2 ≥ 2( a + b + c) 9 3a = b + 2c  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3b = c + 2a ⇔ a = b = c 3c = a + 2b  Nhận xét 5 Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với một số bất đẳng thức phụ Ví dụ 10 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng: a5 b5 c5 + 2 + 2 ≥ a 2 +b 2 + c 2 2 bc ca ab Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a5 a5 2 2 3 + c + ab ≥ 3 c ab = 3a... Nhận xét: Như vậy ta thấy rằng qua một phép biến đổi ta đã đưa biểu thức mà ta muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu thức mang dấu âm, từ đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu mà vẫn được các bất đẳng thức cùng chiều Đó chính là kỹ thuật Cauchy ngược dấu Ví dụ 19: Chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 2 2 2... học.”NXB Tri Thức-Năm 2009 [2].Nguyễn Đức Tấn Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số -NXB Giáo Dục-Năm 2003 [3].Nguyễn Đễ-Nguyễn Hoàng Lâm “Các bài toán bất đẳng thức hay và khó”-NXB Giáo Dục-Năm 2001 [4].Nguyễn Vũ Thanh “263 bài toán bất đẳng thức chọn lọc”-NXB Đại Học Quốc Gia TPHCM-Năm 2000 [5].Nguyễn Kim Hùng “Sáng tạo bất đẳng thức -NXB Hà Nội –Năm 2010 [6].Trần Tuấn Anh... a=b=c Nhận xét: Bất đẳng thức trên được chứng minh rất gọn và hay nhưng có vẻ không “tự nhiên” khi tác giả đưa ra bất đẳng thức riêng a3 2a − b ≥ Ta thấy 2 2 3 a + ab + b rằng khi đã tìm ra bất đẳng thức riêng này thì bài toán trở nên thật đơn giản, tuy nhiên làm thế nào để tìm ra bất đẳng thức riêng đó, đó là điều ta cần phải giải đáp cho học sinh và giúp học sinh tìm ra bất đẳng thức riêng trong... z ( 1) Bất đẳng thức phụ 2 : với các số dương a ,b, c, ta có: ( a + b + c )  1 1 1 1 1 1 9 + + ÷≥ 9 ⇔ + + ≥ a b c a +b +c a b c  Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 13/31 Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 1 1 1 9 + + ≥ x y z x + y +z ⇒( x + y + z ) 2 2 1 1 1  81 2 + + + ÷ ≥( x + y + z ) + 2 y z ( x + y +z) x ( 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ... thức riêng trong các bài tương tự 3.1.2 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu Ví dụ 27: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3 Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≥ 2 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số thì ta có: a b c a b c 1 a b c 3 + + ≤ + + =  + +  ≥ ? 2 2 2 2b 2c 2a 2  b c a  2 1+ b 1+ c 1+ a Như vậy ta sẽ được một bất đẳng thức đổi chiều, và do đó ta không có... ( b + c) 2 b + 2c b + 2c a = 27 27 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a3 ( b + 2c ) 2 = b + 2c 3 ⇔ 27 a 3 = ( b + 2c ) ⇔3a = b + 2c 27 Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a3 ( b + 2c ) 2 + b + 2c b + 2 c a3 b + 2 c b + 2c a + ≥33 = 2 27 27 27 27 3 ( b +c) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a3 ( b + 2c ) 2... 1 1  + + ÷= 1 4 x y z  x = y = z 3  ⇔x= y=z= Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  1 1 1 4  x + y + z = 4 Nhận xét 6 Đặt ẩn phụ trước khi biến đổi giúp ta đưa một số bất đẳng thức về các bất đẳng thức đơn giản Ví dụ 13 Với các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 , chứng minh rằng: 1 a ( b + c) 2 + 1 + b ( c + a) 2 1 c 2 ( a + b) ≥ 3 2 Đẳng thức xảy ra khi nào? 1 1 1 a b c Giải Đặt x = , y = ,... + 2 ≥ a + 3b a Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a 2 b b + b ≥ 2a 2 c 4c a + 4 c ≥ 4b 2 + a ≥ 4c Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có: a 2 b ⇔ b + a 2 c + 2 b 4c + b a 2 c + 2 + b + 4c + a ≥ 2 a + 4b + 4c 4c 2 ≥ a + 3b a  a2  b =b  2 a = b b  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  = 4c ⇔ b = 2c c  a = 2c  2  4c =a  a  Ví dụ 18 Với các số dương a, b,... Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  c a + b 2 4 ( )   c2 b+c =  2 b + c 3 MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 3.1 KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU 3.1.1.Ví dụ mở đầu: Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 2 2 2 3 a + ab + b b + bc + c c + ac + a (Nguyễn Đức Tấn- Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số - NXB giáo dục-Tr 77) Lời giải: Chứng minh bất đẳng ... biểu thức mà ta muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu thức mang dấu âm, từ ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu mà bất đẳng thức chiều Đó kỹ thuật Cauchy. .. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = cộng với số hạng số, số hạng chứa biến thích hợp để mô tả điều kiện bất đẳng thức cần chứng minh Chẳng hạn, với số hạng số dương a , ab điều kiện, ta sử dụng. .. + a c bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: x ≥ xy + yz + zx Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Đẳng thức xảy x = y = z ⇔ a = b = c Nhận xét Sử dụng đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy Ví