SKKN một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cô si

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ - SI Lĩnh vực: Tốn Cấp học: Trung học sở Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh, Quận Đống Đa Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Năm học 2018 - 2019 MỤC LỤC Trang I.Lý chọn đề tài II Nhiệm vụ, mục đích đề tài III Phạm vi đề tài IV Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành Chương GIỚI THIỆU BẤT ĐẲNG THỨC CƠ – SI Bất đẳng thức Cơ-si 2 Những quy tắc chung Chương MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI 1.Kỹ thuật 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân .4 Kỹ thuật 2: Kỹ thuật tách nghịch đảo Kỹ thuật 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi Kỹ thuật 4: Kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC 11 Kỹ thuật 5: Kỹ thuật nhân thêm số 12 Kỹ thuật 6: Kỹ thuật ghép đối xứng 15 Kỹ thuật 7: Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho số, n số 16 Kỹ thuật 8: Kỹ thuật đổi biến số 18 Kết luận khuyến nghị 20 Tài liệu tham khảo 1/20 MỞ ĐẦU  I Lý chọn đề tài Tốn học nói chung tốn học phổ thơng nói riêng giúp người học, người nghiên cứu có kiến thức, tư logic khả suy luận Đối với học sinh trung học sở, tốn học hình thành cho em kiến thức sở ban đầu, kiến thức toán học đại Qua học, vấn đề toán với cách thức suy luận giúp em hình thành tư tốn học Tốn học sơ cấp có lẽ mảng tốn học địi hỏi trí thơng minh, óc tư linh hoạt người học, bất đẳng thức (BĐT) vấn đề hay khó Từ lớp trung học sở, học sinh giới thiệu cách bất đẳng thức, phương pháp chứng minh bất đẳng thức Và hầu hết người học bất đẳng thức, biết bất đẳng thức kinh điển, tiếng: bất đẳng thức Cô-si Nhưng thực tế chung học sinh phổ thông việc vận dụng bất đẳng thức Cơ - si vào giải tốn gặp nhiều khó khăn Chính vậy, để giúp học sinh khắc phục phần khó khăn trên, viết đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" II Nhiệm vụ, mục đích đề tài Đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" giới thiệu đến với học sinh bất đẳng thức Cô – si số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cơ-si Bên cạnh đó, đề tài sai lầm thường gặp học sinh sử dụng bất đẳng thức Cô – si Đề tài viết theo cách thức lý thuyết kèm với ví dụ minh họa Bên cạnh việc cung cấp, tổng kết cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si, đề tài cịn giới thiệu tốn minh họa, áp dụng kỹ thuật giới thiệu III Phạm vi đề tài Với học sinh trung học sở, lớp em giới thiệu tiếp cận với bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cơ -si nói riêng Vì vậy, đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" hướng tới việc giúp cho học sinh lớp 8; lớp có kiến thức bất đẳng thức Cô-si số kỹ thuật sử dụng từ giúp cho em phát triển tư bất đẳng thức, đặt móng cho cấp độ lớn sau IV Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành Đề tài tập trung nghiên cứu bất đẳng thức Cô-si Trên sở kiến thức dạng bất đẳng thức, tổng kết kỹ thuật thường dùng Phương pháp chủ yếu đề tài phương pháp nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm thực tế giảng dạy 3/23 Chương GIỚI THIỆU BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI Bất đẳng thức Cô – Si (CAUCHY) 1.1.Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3  Dạng 1:  Dạng 2:  Dạ ng 3:  xx   Dấu “ = ” xảy khi: Hệ 1: Nếu: x1  x2   xn  S  const thì: x Hệ 2: Nếu: : MinS  x  x  x 1.2.Dạng cụ thể ( số, số ): n = 2:  x, y ≥ đó: n = 3:  x, y, z ≥ đó: xyz xyz3 xyz   Bình luận:  Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN)  Dạng dạng đặt cạnh tầm thường lại giúp ta nhận dạng sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC khơng có thức 4/23 Những quy tắc chung chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cô – Si: Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giả nhanh Quy tắc dấu bằng: dấu “ = ” BĐT quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi BĐT Chính mà dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy dấu kì thi học sinh khơng trình bày phần Ta thấy ưu điểm dấu đặc biệt phương pháp điểm rơi phương pháp tách nghịch đảo kỹ thuật sử dụng BĐT Cơ Si Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: không học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh BĐT thương hay mắc sai lầm Áp dụng liên tiếp song hành BĐT không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành BĐT điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu “ = ” phải được thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Cơ sở quy tắc biên toán quy hoạch tuyến tính, tốn tối ưu, tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Quy tắc đối xứng: BĐT thường có tính đối xứng vai trò biến BĐT dấu “ = ” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu “ = ” xảy biến mang giá trị cụ thể Chiều BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN ngược lại Trên quy tắc giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh thực hiểu quy tắc qua ví dụ bình luận phần sau 5/23 CHƯƠNG MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI Kỹ thuật Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ” Đánh giá từ tổng sang tích Bài 1: Chứng minh rằng: a Giải Sai lầm thường gặp: 2 2 Sử dụng:  x, y x - 2xy + y = ( x- y) ≥  x + y ≥ 2xy Do đó: a  b  2ab a  (Sai) b2  c  Ví dụ: 22  ( Sai ) 35 4    Lời giải đúng: 2 Sử dụng BĐT Cô Si: x + y ≥  2 a  b  ab  b  c  bc  c  a  ca    a2   b2 b 2 y2 = 2|xy| ta có:  c a, b, (Đú c  ng) Bình luận:  Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế không âm  Cần ý rằng: x2 + y2 ≥   dương Nói chung ta gặp tốn sử dụng BĐT Cơ Si tốn nói mà phải qua phép biển đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT Cơ Si Trong toán dấu “ ≥ ”  đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho số, cặp số Bài : Chứng minh rằng: Giải   a,b ≥  a b    64ab(a b) 6/23 a Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab  a, b ≥ Giải Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ Bình luận:  = 3.3 gợi ý sử dụng Cô-si cho ba số, cặp Mỗi biến a, b xuất ba lần, sử dụng Cô Si cho ba số khử thức cho biến Bài 4: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2  a, b ≥ 3 3 3 Giải: Ta có: 3a + 7b ≥ 3a + 6b = 3a + 3b + 3b Bình luận:  9ab2 = 9.a.b.b  gợi ý đến việc tách hạng tử 7b thành hai hạng tử chứa b3 để áp dụng BĐT Cô-si ta có b Khi có định hướng việc tách hệ số khơng có khó khăn a, b, c, d   Bài 5: Cho:  CMR : abcd  b 1 a  Giải Từ giả thiết suy ra: 1 a   Vậy:   1 3 -1 b  1 a     1 b 3 1b  1 c     3 1 c  1 d    3   1 d   abcd  1 a  Bài toán tổng quát: Cho:   , x2  x , x3 , , xn    1 x  Bình luận: 7/23 b  Dấu “ = ” xảy   Côs   Bình luận: Cơs   b  ab 2 a  14/23 2+ ab  ab  Ta thấy việc nhân thêm số vào biểu thức khơng hồn tồn tự nhiên, lại nhân thêm mà Thực chất vấn đề chọn điểm rơi BĐT theo quy tắc biên a = b = 1/2 Nếu không nhận thức rõ vấn đề học sinh mắc sai lầm VD sau a , b, c  Tìm giá trị lớn nhất: S  a  b  b  c  c  a Bài 2: Cho     Giải Sai lầm thường gặp:    ab    bc    ca    ab Nguyên nhân sai lầm Dấu “ = ” xảy  a + b = b + c = c + a =  a + b + c = trái với giả thiết Phân tích tìm tịi lời giải: Do vai trị a, b, c biểu thức điểm rơi BĐT a  b  c  số cần nhân thêm    ab   a , b, c   a  b  c 1  bc         Bài toán cho hơn: Cho bc đầu theo u cầu sau học sinh có định hướng tốt Chứng minh rằng: S  15/23 a b  b  c  c  a  Tuy nhiên nắm kỹ thuật điểm rơi việc viết đầu theo hướng giải 0  x  Cho Tìm Max A = (3 – x )(12 – 3y)(2x + 3y) Bài 3:    Giải  A=    2x 12  3y Dấu “ = ” xảy  -2x = 12 - 3y = 2x + 3y = x  Bình luận:  Việc chọn điểm rơi toán học sinh thường bị lúng túng Tuy nhiên cắn vào yêu cầu đánh giá từ TBN sang TBC cần phải triệt tiêu hết biến vào hệ số tích ta nhân thêm vào thừa số thứ điều hợp lý Bài 4: Cho x, y > Tìm Min f(x, y) = Giải Ta có:  x y3 xy2  xy 4x 16  f(x,y) = 2727  Min f(x, y) = = 2x > Đó tập hợp tất điểm Dấu “ = ” xảy  4x = 2y = 2y  y thuộc đường thẳng y = 2x với x dương Thực việc để hệ số tùy ý cho sau áp dụng BĐT Cô-si ta biến tích thành tổng x + y ( Có thể nhân thêm hệ số sau: 2x.y.y) Bình luận:  Trong tốn u cầu tìm Min nên ta sử dụng kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC cho phần mấu số đánh giá từ TNB sang TBC đánh giá với dấu “ ≤ ” nên nghịch đảo “ ≥ ”  Ta đánh giá tử số từ TBC sang TBN để có chiều “ ≥ ” Bài tốn tổng qt : Cho Tóm lại : Để sử dụng BĐT Cơ-si từ TBN sang TBC ta cần ý: Chỉ số thức số số hạng nhiều số số hạng nhỏ số phải nhân thêm số để số số hạng số 6.Kỹ thuật 6: Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng cần nắm số kiểu thao tác sau: Phép nhân: x2 y2 z2   xy yz zx  Bài 1: Chứng minh rằng: Giải Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:      Dấu “ = ” xảy  a =      2  b = c Bài 2: Chứng minh rằng: a abc  b Giải Áp dụng BĐT Cô-si    2     1    b 2 a  Bài 3: Cho tam giác ∆ABC, a,b,c số đo ba cạnh tam giác CMR: a) abc ;  p  a  p  b  p  c   b) Giải a) Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 17/23  a      p  a  p  b       p  b  p  c       p  a  p  c      b) Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:           1 pa       pb   pa           Dấu “ = ” xảy cho a) b) vào ∆ ABC đều: a = b = c ( p nửa chu vi tam giác ∆ABC: Bài 4: Cho ∆ ABC, a, b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: b  c  a c  a  b a  b  c  Giải Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:   0   b  0      b 0    Dấu “ = ” xảy  ∆ ABC đều: a = b = c  b  c  a c  a  b  Kỹ thuật 7: Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho số, n số Nội dung cần nắm đượccác thao tác sau: 18/23 x, y , z  x  x   x 2 n  Bài 1: Giải Ta biến đổi  (1) tương đương: Bài 2:  Giải Ta 2 bca b biến abc    Bài 3: Chứng minh rằng:     a  b   b Giải Ta có biến đổi tương đương sau: (đpcm )  c  0(BĐT Nesbit)   1   Bài 4: Chứng minh rằng: Giải  c 1      a  b 3 c ca   Kỹ thuật 8: Kỹ thuật đổi biến số     a  b   b  c   Có tồn mặt biểu thức tốn học tương đối cịng kềnh khó giải, khó nhận biết phương hướng giải,ta chuyển tốn từ tình khó biến đổi trạng thái dễ biến đổi Phương pháp gọi phương pháp đổi biến a, b, c  (BĐT Nesbit) Bài 1: Chứng minh rằng: xy a yzx;b z2  x y  z Khi bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức sau: yzx  2x Bất đẳng thức hiển nhiên đúng, Thật áp dụng BĐT Cơ-si ta có: VT≥ Dấu “ = ” xảy  x = y = z  a = b = c Bài 2: Cho ∆ABC Chứng minh rằng: Giải  b c ax  Đặt:  c  a  b  y   a   abcz0  Khi bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức sau: z  x   Ta có: VT (2) 4y yz  x  Côsi  Bài 3:Cho ∆ ABC CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc (1) Giải  bcax0  Đặt:  c  a  b  y   a   Khi abcz0  tương đương với bất đẳng thức sau: xyz  Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: yz 2 Bài 4: Cho ∆ABC CMR:  a  Đặt: Ta có:  p pa Giải pax0     x  xy yz xyz (đpcm) zx  (1)  p p  b  p c 11xy z x y z2xyz (2)  1 VT (2)   =  xy yz Dấu “ = ” xảy  x = y = z  a = b = c  ∆ ABC  x zx 21/23 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ  Đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" bước đầu đạt số mục đích người viết: - Học sinh hứng thú, khơng cịn sợ bất đẳng thức lúc tiếp cận Học sinh bước đầu vận dụng bất đẳng thức Cô - si vào giải dạng toán đơn giản như: chứng minh bất đẳng thức đơn giản; tìm cực trị đại số Học sinh có kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cơ-si mắc sai lầm vận dụng Học sinh giỏi vận dụng tốt bất đẳng thức Cô-si kỳ thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên lớp chọn, thi vào lớp 10 THPT Kết khảo sát trước sau thực đề tài (thực với 52 học sinh lớp 9G 50 học sinh đội tuyển thi học sinh giỏi cấp Quận thi Olympic cấp Quận) Trước thực tài Sau đề tài Chúng ta biết vai trị quan trọng bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cơ-si tốn học Vai trị với học sinh giỏi tốn, học sinh chun tốn lại quan trọng Nó giúp học sinh có kiến thức bất đẳng thức, từ em phát triển thêm tư chứng minh, sử dụng bất đẳng thức việc giải dạng toán từ đơn giản đến phức tạp Tuy nhiên với góc nhìn cá nhân, đề tài khó tránh khỏi sai sót Đặc biệt kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si chưa đầy đủ, hệ thống tập chưa phong phú Người viết mong muốn nhận ý kiến đóng góp để đề tài hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp vui lịng liên hệ: Nguyễn Cao Cường Trường THCS Thái Thịnh - Quận Đống Đa – Thành Phố Hà Nội Địa chỉ: 131 A - Phố Thái Thịnh – Quận Đống Đa – Thành Phố Hà Nội Email: nguyencaocuong.hanoi@gmail.com 22/23 TÀI LIỆU THAM KHẢO  Hà Văn Chương - 838 toán bât đẳng thức – NXB ĐHQG TPHCM Nguyễn Đức Tấn – Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số (THCS) – NXB Giáo dục Trần Phương - Các phương pháp chứng minh BĐT - NXB TPHCM Trần Phương – Những sai lầm thường gặp giải toán Nguyễn Vũ Thanh – Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS : Đại Số - NXB Giáo dục Phạm Quốc Phong – Nâng cao đại số - NXB Giáo dục Nguyễn Văn Mậu -Giải phương trình vơ tỉ phương pháp không mẫu mực – NXB Giáo dục 23/23 ... tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" II Nhiệm vụ, mục đích đề tài Đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" giới thiệu đến với học sinh bất đẳng thức Cô – si số kỹ thuật. .. chung bất đẳng thức Cơ -si nói riêng Vì vậy, đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" hướng tới việc giúp cho học sinh lớp 8; lớp có kiến thức bất đẳng thức Cô- si số kỹ thuật sử dụng. .. tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" bước đầu đạt số mục đích người viết: - Học sinh hứng thú, khơng cịn sợ bất đẳng thức lúc tiếp cận Học sinh bước đầu vận dụng bất đẳng thức