Hướng dẫn học sinh lớp 10 giải bài toán “ tìm tọa độ của điểm ” từ việc khai thác “bài toán cơ bản” trong hình học giải tích phẳng

A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Môn Tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng, mơn học cơng cụ Nếu học tốt mơn Tốn tri thức Toán với phương pháp làm việc Toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Hơn nữa, mơn Tốn cịn góp phần phát triển nhân cách học sinh Ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng, mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động như: Tính cẩn thận, tính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo… Do q trình dạy học địi hỏi đội ngũ thầy, giáo phải tích cực học tập, khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn, đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, bồi dưỡng khả tự học, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho học sinh Trong trình thực tế giảng dạy học sinh khối 10 trường THPT Thạch Thành năm học qua đặc biệt năm học 2019-2020 , tơi thấy học sinh cịn gặp nhiều lúng túng việc giải tốn hình học nói chung đặc biệt tốn “Hình học giải tích mặt phẳng” nói riêng Bài tốn hình học giải tích mặt phẳng dạng tốn thường xun có mặt kỳ thi gây khó khăn cho học sinh Đây phần tiếp nối hình học phẳng cấp THCS nhìn quan điểm đại số giải tích Như tốn hình học giải tích mặt phẳng mang chất tốn hình học phẳng Tuy nhiên nhiều học sinh cịn có tâm lý “bỏ ln, khơng đọc đề” với toán Một số khác quan tâm tới việc tìm lời giải tốn mà khơng tìm hiểu chất hình học Chính em khơng phân loại dạng tốn chất nên nhiều toán tương tự xuất nhiều đề thi cách cho khác mà học sinh không nhận dạng làm Có thể có nhiều ngun nhân dẫn đến tình trạng nói trên, theo tơi, ngun nhân chủ yếu học hình học, học sinh khơng để ý đến các định nghĩa, định lý tính chất hình học Các phương pháp giải cịn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp tốn trọng tìm cách giải cho riêng tốn mà khơng có cách nhìn tổng qt Chính dẫn đến tình trạng em bị lúng túng trước cách hỏi toán Với vai trị giáo viên dạy Tốn qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi thầy đồng nghiệp với mong muốn tìm hướng giải đơn giản cho toán, làm cho học sinh nhớ kiến thức sở để sáng tạo Tơi xin trình bày kinh nghiệm việc giải tốn “Tìm tọa độ điểm hình học giải tích phẳng” Hướng dẫn học sinh lớp 10 giải tốn “ Tìm tọa độ điểm ” từ việc khai thác “bài tốn bản” hình học giải tích phẳng Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm phương pháp dạy học phù hợp cho đối tượng học sinh, để từ tạo hứng thú học tập cho em, giúp cho em hiểu rõ dạng toán định hướng cách giải cho tốn, từ giáo viên rút kết luận đề xuất số biện pháp cụ thể tiến hành giúp đỡ đối tượng học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy học Đối tượng nghiên cứu + Phương pháp giải tập “ tìm tọa độ điểm ” hình học giải tích phẳng thơng qua việc vận dụng tốn hình học phẳng + Các tập hình học giải tích mặt phẳng từ đề thi HSG giao lưu trường, HSG cấp tỉnh đề thi THPT Quốc gia qua năm Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến việc sử dụng phương pháp tọa độ, nghiên cứu chương trình giáo khoa môn + Phương pháp nghiên cứu thực tế: Thơng qua việc dạy học mơn hình học trường THPT Thạch Thành 2, từ rút số nhận xét phương pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ giải toán + Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy kiểm tra khả ứng dụng học sinh khối 10, đội tuyển HSG khối, học sinh ôn luyện thi tốt nghiệp THPT B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận Trong học tập mơn Tốn hoạt động chủ đạo thường xuyên học sinh hoạt động tư giải tập, thơng qua hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ Vì vậy, quan tâm nhiều dạy học Việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, biến trình đào tạo thành trình tự đào tạo vấn đề cần thiết Đối với mơn tốn việc rèn luyện khả tư trìu tượng, tư logic, khả phân tích tổng hợp, dự đốn, tương tự hóa, khái quát hóa, biết liên hệ, xâu chuỗi kiến thức góp phần định việc tìm lời giải tập hình học nói chung tập phần phương pháp tọa độ mặt phẳng nói riêng Do q trình hướng dẫn học sinh làm tập giáo viên cần quan tâm đến vấn đề phát huy khả tư độc lập, định hướng tìm lời giải cho tốn đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho em Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sau nhiều năm dạy học mơn Tốn phần hình học giải tích mặt phẳng trường THPT Thạch Thành 2, nhận thấy số vấn đề thực trạng sau: + Trường THPT Thạch Thành trường đóng địa bàn miền núi, học sinh đại đa số em nơng thơn có đời sống khó khăn Điểm chuẩn đầu vào trường thấp, học sinh có học lực trung bình chiếm 60% nên việc học tốn em cịn nhiều hạn chế Bên cạnh cịn có nhiều học sinh học với tâm lý để thi tốt nghiệp, không tham gia xét tuyển vào trường ĐH, cao đẳng… + Khi gặp tốn hình học, em thường lúng túng việc định hướng tìm lời giải đa số lựa chọn "con đường" mò mẫm, thử nghiệm, đơi việc thử nghiệm đến kết không đưa kết quả, rõ ràng nhiều thời gian không nhận chất toán + Bài tập phần hình học giải tích mặt phẳng đa dạng khó nên học sinh thường lúng túng làm tập phần + Khi dạy xong nội dung phương pháp tọa độ mặt phẳng thấy đa số học sinh làm số dạng tập đơn giản, tập mang tính suy luận, địi hỏi khả vận dụng cao em khơng tự tìm lời giải trước giáo viên tiến hành giảng dạy tiết chữa tập em tỏ hiểu Trong đó, tốn liên quan đến phần đề thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi HSG năm gần lại địi hỏi tính suy luận cao Để giải tốn học sinh khơng phải nắm kiến thức hình học giải tích mà cịn phải phát “điểm nút” tốn tính chất hình học túy trung học sở ẩn chứa toán Điều dẫn đến kết làm học sinh chưa tốt + Khi dạy dạng tập phần này, thực tế thường xảy nhiều giáo viên theo lối mòn như: Nêu dạng tốn, phương pháp giải chưa phân tích cho học sinh thấy toán lại phải tìm toạ độ điểm trước, điểm sau, ưu tiên đường trước, đường sau, tính độ dài đoạn thẳng , tính góc để làm gì? Tại lại kẻ thêm đường thẳng này, kẻ với mục đích gì? Các giải pháp thực để giải vấn đề Để giúp học sinh định hướng tốt trình giải tốn hình học giải tích mặt phẳng, đặc biệt tốn “ tìm tọa độ điểm ” giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét tốn nhiều góc độ, khai thác yếu tố đặc trưng liên hệ tính chất hình học phẳng Trong việc hình thành cho học sinh khả tư theo kiến thức hình học phẳng điều cần thiết Việc trải nghiệm qua q trình giải tốn giúp học sinh hồn thiện kỹ định hướng giải toán Để giải vấn đề thực trạng nêu trên, đưa giải pháp thực sau Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua buổi học có hướng dẫn giáo viên Tổ chức rèn luyện khả phân tích, định hướng giải tốn học sinh Tổ chức kiểm tra, đánh giá để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh Trong tốn hình học giải tích mặt phẳng yêu cầu học sinh thực phân tích chất hình học phẳng đưa hướng khai thác mở rộng cho toán Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện Từ giải pháp đó, tơi xin giới thiệu “ tốn ” kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Thạch Thành áp dụng tốn vào việc “tìm tọa độ điểm” hình học giải tích phẳng 3.1 Bài tốn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm N  x0 ; y0  đường thẳng  : Ax  By  C  Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  cách điểm N khoảng không đổi d Nhận xét: Từ giả thiết toán, rõ ràng tọa độ điểm N , phương trình đường thẳng  khoảng cách d biết nên ta hướng dẫn học sinh trình bày lời giải tốn theo cách sau Cách 1: - Do M thuộc đường thẳng Δ biết phương trình nên ta tham số hóa tọa độ điểm M theo ẩn t - Khi việc sử dụng kiện MN = d giúp ta thiết lập phương trình chứa t ( f  t   ), từ giải phương trình tìm t suy tọa độ điểm M Cách 2: Do MN = d nên M thuộc đường tròn (C) tâm N, bán kính d Khi tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình gồm phương trình Δ phương trình đường trịn (C) Ta xét cụ thể ví dụ sau: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I  5;  đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ cho MI  Cách 1: + Vì M � nên gọi M  t ; 2t  3 + Ta có MI  � MI  25 �  t     2t  1  25 � 5t  6t   2 � M  1;5  t 1 � � � � � � �1 17 � � t M �; � � � � �5 � Cách 2: + Vì MI  nên M thuộc đường trịn (C) tâm I R = có phương trình  x  5   y    25 + M � nên tọa độ điểm M nghiệm hệ 2x  y   � � � 2  x  5   y   � � �x  � � �y  � � M  1;5  � � � � �� x �1 17 � � � M  25 � �; � � � �5 � � � � 17 � y � � � Nhận xét + Với cách không cần quan tâm tới toán tương giao đường thẳng đường tròn giải theo phương pháp đại số thông thường Với cách ta thấy rõ chất toán , điểm cần tìm giao đường thẳng đường trịn + Cách cách hai cách trình bày khác phương pháp giải hệ phương trình Nếu tìm điểm M IM   (hay đường trịn (I;R) tiếp xúc với Δ M) Vấn đề đặt làm để giúp học sinh áp dụng toán vào tốn khác, để thực ý tưởng ta cần hai điều kiện sau: Điểm cần tìm thuộc đường thẳng biết phương trình lập phương trình, tức điểm cần tìm thuộc đường nào? Đường thẳng biết phương trình chưa? Nếu chưa có viết khơng? Viết cách nào? Điểm cần tìm cách điểm biết tọa độ khoảng không đổi, tức điểm cần tìm cách điểm cho trước (đã biết tọa độ) khoảng bao nhiêu? Cắt nghĩa kiện toán để tính khoảng cách đó? 3.2 Áp dụng �2 � � Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I � ;0 �, phương trình đường thẳng � AB x  y   AB = 2AD Tìm tọa độ điểm A, B, C, D biết A có hồnh độ âm Phân tích tốn + Có A �AB : x  y   + AD  2d  I , AB  � AB  ? � AI  ? � chuyển toán → tọa độ điểm A → tọa độ B, C, D Lời giải mong muốn Gọi H hình chiếu vng góc I AB Khi IH  d  I , AB   Suy AH  2 12  22  AB 5  AD  IH  � IB  IA  IH  AH  5  Do A, B giao điểm đường thẳng AB với đường trịn tâm I, bán kính R �x  y   �x  2 �x  � � Vậy tọa độ A, B nghiệm hệ: �� � � � 25 �y  �y  �x  � y  � � 2� � Suy A  2;0  , B  2;  (Vì xA  ) Mặt khác I trung điểm AC BD nên suy C  3;0  , D  1; 2  Vậy A  2;0  , B  2;2  , C  3;0  , D  1; 2  Nhận xét: Khi toán yêu cầu tìm từ hai điểm trở lên, mà điểm có vai trị (trong A, B có vai trị nhau) ta nên hướng dẫn học sinh trình bày theo cách để từ điểm ta suy điểm Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, có BD nằm đường thẳng có phương trình x  y   , điểm M  1;  thuộc đường thẳng AB, điểm N  2; 2  thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết điểm B có hồnh độ dương Phân tích tốn + Trong kiện tốn ta nhận thấy điểm có “lợi” để ta khai thác điểm B, B thuộc BD biết phương trình B có hồnh độ dương + Ta biết tọa độ hai điểm M  1;  N  2; 2  nên tính độ dài đoạn BM BN ta tìm tọa độ điểm B nhờ toán Nghĩa ta cần yếu tố định lượng, điều gợi ý ta tính d  M , BD  d  N , BD  Trong hai đại lượng này, đại lượng d  M , BD  giúp ta dễ dàng tìm �  90�), từ “tháo” điểm B theo góc nhìn độ dài BM (do MBH toán + Khi tìm tọa độ điểm B ta tìm tọa độ điểm cịn lại nhờ viết phương trình AB, AD tính chất trung điểm hai đường chéo Lời giải mong muốn Gọi H hình chiếu vng góc M BD � MH  d  M , BD   1   12  12  Do MHB tam giác vuông cân H � BM  2MH  Gọi B  t ;3  t  với t  , đó: BM  �  t  1   t  1  � t  � t  t  1 (loại) � B  1;  2 AB qua B M nên có phương trình y  AD qua N vng góc với AB nên có phương trình x  Suy A  2;  �x  �x  �� � D  2;1 �x  y   �y  Tọa độ điểm D nghiệm hệ � 3 � � Gọi I trung điểm BD � I � ; �� C  1;1 (do I trung điểm AC) �2 � (Có thể tìm C qua hệ thức DC  AB ) Vậy A  2;  , B  1;  , C  1;1 , D  2;1 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D, có AB  AD  CD , điểm B  1;  , đường thẳng BD có phương trình y  Biết đường thẳng  : x  y  25  cắt đoạn thẳng AD, CD hai điểm � M, N cho BM vng góc với BC tia BN tia phân giác MBC Tìm tọa độ điểm D biết D có hồnh độ dương Phân tích tốn + Với kiện tốn ta có D �BD : y  điểm B  1;  , nên tính độ dài đoạn BD ta nhìn thấy ln tốn việc tìm điểm D khơng có khó khăn Nghĩa ta cần có yếu tố “định lượng” Lúc đường thẳng Δ biết phương trình nên ta nghĩ tới việc tính khoảng cách từ B tới Δ tạo mối liên hệ gắn kết với độ dài BD + Với kiện cịn lại tốn phương pháp hình học túy ta dễ dàng BH  d  B, CD   d  B,   , tính độ dài BD Lời giải mong muốn Gọi H hình chiếu vng góc B CD, ABHD hình vng �  MBA � � ) Suy CBH (hai góc phụ với MBH Từ ta có CBH  MBA (g.c.g) � CB  MB � CBN  MBN (c.g.c) Khi BH  d  B, CN   d  B, MN     25 50  Mà tam giác DHB vuông cân H nên BD  BH  Gọi D  t ;  �BD với t  , đó: BD  16 �  t  1  16 � t  t  3 (loại) � D  5;  Vậy D  5;  Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm 11 � � cạnh CD cho CN  ND Giả sử M � ; � AN có phương trình �2 � x  y   Tìm tọa độ điểm A Phân tích tốn + A �AN : x  y   + Điểm M biết tọa độ nên tính đoạn AM coi điểm A tìm nhờ tốn Lúc ta gắn AM vào tam giác vuông AMH với cạnh MH  d  M , AN  ta dễ dàng tính Như biết thêm yếu tố cạnh góc tam giác vng ta tính độ dài AM Do cạnh tam giác AMH biểu diễn thơng qua độ dài cạnh hình vng nên ta nghĩ tới việc tính góc A nhờ định lí cosin tam giác Lời giải mong muốn Gọi H hình chiếu M lên AN � MH  d  M , AN   11  3 2 1 2  �ND  2a; NC  4a �MB  MC  3a Đặt AB  6a � � (Vì ABCD hình vng CN  ND ) (Ta đặt AB  a , ta đặt AB  6a để việc biểu diễn độ dài khác đơn giản) Khi áp dụng Pitago ta AM  5a; MN  5a AN  10a Trong ΔAMN ta có cos �MAN  AM  AN  MN 45a  40a  25a 60a 2    AM AN 2.3 5a.2 10a 60 2a � �MAN  45�� MAH cân H � AM  2MH  Gọi A  t ; 2t  3 �AN Ta có AM  10  (*) 2 45 (theo (*)) 2 � A  1; 1 t 1 � � 11 � � � 45 �� t  � �2t  � � t  5t   � � � � t4 � A  4;5  � � � 2� � Vậy A  1; 1 A  4;5 Nhận xét + Khi muốn chuyển việc tìm điểm toán mà yếu tố độ dài MI chưa biết (trong tốn AM chưa biết) thường ta hay “cắt nghĩa” thông qua kiện định lượng Nếu khơng có điều đề thường ẩn chứa � yếu tố bất biến góc (ví dụ tốn góc MAH ta ln tính được), khoảng cách (trong ví dụ d  M , AN  đại lượng khơng đổi)… Từ việc tìm độ dài MI (trong toán AM) đơn giản + Ngồi cách tìm AM  sinh tham khảo việc 10 ví dụ trên, hướng dẫn học tìm AB  a � S AMN  S ABCD   S ADN  SCNM  S BAM   AM theo cách sau: Đặt 5a a 10 AN  12 5a 2S AMN 10 � a  � AM  a  10 Khi d  M , AN   AN �  2 a 10 Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn  C  : x  y  x  y  18  Biết AC  BD , điểm B có hồnh độ dương thuộc đường thẳng  : x  y   Viết phương trình cạnh AB 2 Phân tích tốn + Ở B thuộc đường thẳng Δ I tâm đường tròn (C) biết tọa độ tính độ dài đoạn BI ta chuyển toán Lúc ta cắt nghĩa kiện toán để làm điều + Khi tìm điểm B ta chuyển tốn viết phương trình đường thẳng AB qua điểm B biết tọa độ cách điểm I cho trước khoảng không đổi R Lời giải mong muốn Đường trịn (C) có tâm I  1; 1 bán kính R  Gọi H hình chiếu I AB, suy IH  R  Vì ABCD hình thoi AC  BD nên AI  BI , xét tam giác vng ABI ta có: 1 1 1   �   2 AI BI IH BI BI   � BI  2 Gọi B  t; 2t  5 � với t  , đó: BI  � BI  25 �  t  1   2t    25 (loại) � B  4;3 uuur Gọi vecto pháp tuyến AB nAB   a; b  với a  b  , phương trình � 5t  18t   � t  t   AB có dạng: a  x    b  y  3  � ax  by  4a  3b  Ta có d  I , AB   R � a  b  4a  3b a2  b2  �  3a  4b   20  a  b  2 a a �a � �a � � 11a  24ab  4b  � 11� � 24 � �  �   b 11 b �b � �b � 2 Với �a  a  chọn � , phương trình AB là: x  y  11  b 1 b � Với �a  a  chọn � , phương trình AB là: x  11y  41  b  11 b 11 � Như đề thi, nhiệm vụ người đề làm “mờ” toán bản, kiện số liệu kèm Nhiệm vụ học sinh dùng 10 kiến thức để cắt nghĩa toán, làm cho toán “hiện ngun hình” Qua tốn ta thấy phần tầm “sát thương” tính hiệu việc giải “bài tốn tìm điểm” tốn liên quan khác… Nó giúp học sinh biết cách đặt câu hỏi hướng vào đối tượng kiện đề mà ta cần có định hướng để tư tháo gỡ toán Nếu biết cách “làm chủ” tốn có nghĩa em học sinh có tay cơng cụ đơn giản hiệu việc đưa đáp số xác cho tốn khơng có khó khăn với học sinh Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có E, F thuộc đoạn AB, AD cho EB  EA, FA  3FD, F  2;1 tam giác CEF vuông F Biết đường thẳng x  y   qua hai điểm C, E Tìm tọa độ điểm C, biết C có hồnh độ dương Phân tích tốn + Điểm C �CE biết phương trình F  2;1 Điều gợi ý ta tính độ dài CF, làm điều ta dễ dàng có đáp số theo góc nhìn toán + Với kiện EB  EA, FA  3FD tam giác CEF vuông F ta tìm mối liên hệ hai cạnh hình chữ nhật Song ta thiếu yếu tố định lượng Nếu đề khơng cho ta nghĩ tới việc tính d  F , CE  (yếu tố ẩn tốn) Thơng số giúp ta có độ dài đoạn CF Lời giải mong muốn Ta có �C � F 1 AEF ~ DFC � (vì phụ với �) F � �  90� , AD suy AE AF EF   DF DC FC � AE  AB � EB  EA � � �� Mà � �FA  3FD �DF  AD; AF  AD � 4 AB AD AB 3  � AB  AD �  suy AB 16 AD AD 11 AB EF AE    � EF  FC , suy FEC vng cân F Do FC DF AD Gọi H hình chiếu vng góc F EC Khi đó: CF  FH  2.d  F , CE   239 12  32 2 Gọi C  3t  9; t  với t  3 (do xC  ) Suy ra: CF  20 �  3t     t  1  20 � t  4t   � t  1 2 t  3 (loại) � C  6; 1 Vậy C  6; 1 Nhận xét Ở ví dụ việc tìm điểm C theo góc nhìn tốn “tự nhiên” C thuộc đường thẳng biết phương trình điểm F  2;1 cố định Song câu hỏi tốn khơng dừng lại việc tìm điểm C mà phải tìm tất đỉnh hình chữ nhật ABCD ta hồn tồn giải triệt để tốn Cụ thể: + Khi tìm điểm C ta viết phương trình EF (đi qua F vng góc với CF) suy tọa độ điểm E (với CE �EF   E ) � AB �AE  FE  �  + Việc � AD �AF  hay A giao điểm đường tròn  E;   F ;3  � tọa độ điểm A (chú ý A, C khác phía EF để loại điểm A) uuur uuur �AB  AE � + Từ �uuur uuur ta suy tọa độ điểm B D �AF  3FD Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D �  45� Đường thẳng AD BD có phương trình có đáy lớn CD BCD x  y  x  y  Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang 15 điểm B có tung độ dương Phân tích tốn + Với việc B �BD biết phương trình điều kiện B có tung độ dương giúp ta nghĩ tới nên tìm tọa độ điểm B trước Do AD �BD   D ta dễ dàng tìm tọa độ điểm D, B �BD cắt nghĩa kiện tốn để tính độ dài BD ta tìm tọa độ điểm B theo tốn Ở có kiện S ABCD  15 (*) mà S ABCD phụ thuộc vào AB, AD DC Nghĩa đẳng thức (*) chứa tới ẩn Nếu cần giảm số ẩn, điều làm AB, AD DC có mối liên hệ với nhau, hay nói cách khác có hai ba ẩn biểu diễn theo ẩn lại Vậy ta cần khai thác số liệu cụ thể 12 �  45�và AD, BD biết phương toán Dữ kiện toán cho góc BCD trình, từ gợi ý ta nên tính góc ADB (ta nháp uuur uuur nAD nBD 3 cos  AD, BD   uuur uuur   �� ADB  45�) Như tam giác ABD 10 nAD nBD DBC vuông cân A B Lúc ta biểu diễn AD, BD theo AB; từ (*) ta suy AB dễ dàng có độ dài BD + Khi tìm B suy phương trình BC CB  BD (tam giác DBC vuông B) Lời giải mong muốn Do AD �BD   D nên tọa độ điểm D 3x  y  � �x  �� � D  0;0  � �x  y  �y  nghiệm uuur hệ: uuur Ta có vecto pháp tuyến tương ứng AD BD là: nAD   3; 1 , nBD   1; 2  uuur uuur nAD nBD 3  �� ADB  45� Suy ra: cos  AD, BD   uuur uuur  10 nAD nBD Khi tam giác ABD BDC vuông cân A B, suy ra: AB  AD  DC Ta có: S ABCD   AB  DC  AD   AB  AB  AB  AB  15 � AB  2 10 � BD  Gọi B  2t; t  với t  Khi đó: BD  � BD  20 �  2t   t  20 � t  � t  t  2 (loại) � B  4;  uuur uuur Đường thẳng BC qua B  4;  có vecto pháp tuyến: nBC  uBD   2;1 , (vì tam giác BDC vng B) nên ta có phương trình  x     y    � x  y  10  Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với AD  3BC Đường thẳng BD có phương trình x  y   tam giác ABD có trực tâm H  3;  Tìm tọa độ đỉnh C D Phân tích tốn 13 Với u cầu toán, ban đầu cho ta chùm câu hỏi hướng phân tích sau: “Với C D ta ưu tiên tìm điểm trước? D thuộc đường thẳng BD biết phương trình, C thuộc đường thẳng AC mà ta hồn tồn viết phương trình (AC qua H vng góc với BD) Khi giao điểm  I   BD �AC hoàn toàn xác định Ta cần thêm kiện “có lợi” cho C D” Do ABCD hình thang cân nên �  45�� BCH tam giác cân B � I trung điểm HC IB  IC � BCI Nghĩa ta tìm tọa độ điểm C trước Lúc kiện chưa khai thác BC // AD AD  3BC , từ ta nghĩ tới định lý Ta – Lét suy DI  3BI  3IH Khi việc tìm tọa độ điểm D đưa tốn Lời giải mong muốn uuur uuur Vì AC  BD � nAC  u BD   2; 1 , nên AC có phương trình là:  x  3   y    � x  y   Gọi BD �AC   I  Khi tọa độ điểm I nghiệm hệ: �x  y   �x  2 �� � I  2;  � 2x  y   � �y  �  45�� BCH tam giác cân B Do ABCD hình thang cân nên IB  IC � BCI Suy I trung điểm HC � C  1;6  Áp dụng định lí Ta – lét với AD / / BC ta có: ID AD   � ID  3IB  3IH  IB BC Gọi D   2t; t  �BD , ID  � ID  45 �  2t     t    45 2 � D  4;1 t 1 � � t  8t   � � � � t 7 � D  8;7  � � C  1;  � C  1;6  � � � �D  4;1 �D  8;7  Vậy � Nhận xét Khi tốn u cầu tìm từ hai điểm trở lên thứ tự tìm điểm thường ưu tiên theo kiện sau: Điểm cần tìm có liên quan tới hệ thức vecto (trong ví 14 dụ trênuuurI làuutrung điểm HC hiểu C liên hệ với H, I qua hệ thức r vecto HI  IC ), điểm thuộc đường biết phương trình… Ví dụ 9: Cho tam giác ABC vuông A, điểm B  1;1 Trên tia BC lấy điểm M cho BM BC  75 Phương trình đường thẳng AC : x  y  32  Tìm tọa độ điểm C biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MAC 5 Phân tích tốn + Ta dễ dàng tìm tọa độ điểm A giao AC AB (AB qua B vng góc với AC) + Khi tốn kiện BM.BC = 75 thường nghĩ tới tam giác đồng dạng tứ giác nội tiếp đường tròn (kiến thức hình lớp hay đề cập tới điều này) Trong tốn lại có yếu tố bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAC, để khai thác kiện gợi ý ta dựng thêm điểm D cho ACMD nội tiếp đường tròn, việc giúp ta cắt nghĩa tất thông số + Sau dựng điểm D ta cắt nghĩa số liệu toán để tính độ dài đoạn AC, ta tìm tọa độ điểm C theo góc nhìn tốn Cụ thể điểm C �AC : x  y  32  điểm C cách A khoảng xác định AC Lời giải mong muốn uuur AB qua B  1;1 vng góc với AC  u AC   3; 4   nên có phương trình: 3x  y   Do AC �AB   A nên tọa độ điểm A nghiệm hệ: x  y  32  � �x  �� � A  5;  � 3x  y   � �y  Kẻ MD vng góc với BC cắt AB K, suy ACMD tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính CD (cũng đường trịn ngoại tiếp tam giác MAC), đó: CD  R  5 BM BD Ta có BMD ~ BAC (g.g) nên BA  BC � BD  BM BC 75   15   AB BA  32 � A nằm B D 15 Khi AD  BD  BA  15   10 , suy AC  CD  AD   5  102  2 Gọi C   3t ; 4t  �AC , AC  � AC  25 �  3t  3   4t    25 � C  8;0  t 0 � � 25t  50t  � � �� t  2 � C  2;8  � Vậy C  8;0  C  2;8 Ví dụ 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C  : x  y  x  y  20  hai đường thẳng d1 : x  y   0, d : x  y  Lập phương trình đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn  C  A cắt d1 , d B C cho B trung điểm đoạn thẳng AC Phân tích tốn + Như cách tư thông thường để viết đường thẳng Δ, ta nghĩ tới việc tìm điểm mà Δ qua với vecto pháp tuyến phương Lúc có ba lựa chọn điểm A, B C Song ba điểm chưa biết tọa độ Vậy câu hỏi lúc nên tìm tọa độ điểm nào? Ta nhận thấy hai điểm B, C có lợi thuộc đường thẳng biết phương trình, gần kiện có lợi cho B C Nghĩa việc tìm tọa độ B, C gặp “khó khăn” Chỉ cịn lựa chọn điểm A Có vẻ hợp ulí, tìm u r tọa độ điểm A, ta tìm vecto pháp tuyến Δ IA suy phương trình Δ Thế tìm điểm A cách nào? Với kiện toán ta có IA  R  Vậy việc tìm điểm A trực tiếp lúc lại gặp trở ngại Khi đứng trước tình kiểu này, kinh nghiệm ta ý tới thông số, kiện đề ẩn chứa yếu tố đặc biệt giúp ta tháo gỡ “nút thắt” tốn Nhận thấy, có hai yếu tố số liệu đặc biệt tâm I (C) thuộc d d1 / / d Nghĩa JB đường trung bình tam giác IAC với d1 �IA   J  , suy J trung điểm IA Nếu tìm tọa độ điểm J ta suy tọa độ điểm A viết phương trình Δ Vậy thay tìm A ta tìm gián tiếp thơng qua điểm J + Ta nhận thấy: J �d1 JI  IA R  Như lúc “lộ diện” tốn 2 bản, có nghĩa ta tìm tọa độ điểm J nhờ tốn Lời giải mong muốn 16 Đường trịn (C) có tâm I  1; 2  thuộc d bán kính R  Gọi d1 �IA   J  Do d1 / / d nên JB đường trung bình tam giác IAC, suy J trung điểm IA IA R 25 25 2   � JI  �  t  1   2t    2 4 �  5t  30t  50   25 � 4t  24t  35  � t  t  2 Gọi J  t ;5  t  �d1 , đó: JI  Do J trung điểm IA nên: 5 �2 7 � � Với t  � J � ;0 �� A  4;  , Δ qua A  4;  có vecto pháp tuyến � uu r IA   3;  nên có phương trình:  x     y    � 3x  y  20  � � Với t  � J � ; 2 �� A  6; 2  , Δ qua A  6; 2  có vecto pháp tuyến 2 � � uu r IA   5;0  nên có phương trình:  x     y    � x  Vậy Δ có phương trình: 3x  y  20  x  Nhận xét Ví dụ kiểu tốn khơng mẫu mực, nghĩa với cách tư thông thường (chưa để ý tới số liệu cụ thể) ta khó đưa lời giải cho Khi giải pháp cho lớp toán khai thác triệt để số liệu đặc biệt đề bài, số liệu “chìa khóa” giúp ta đến đáp số toán 3.3 Bài tập tương tự 17 Bài 1: Trong mặt  C  : x2  y2  2x  y   phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn đường thẳng d : x  y   Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường trịn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C), tiếp xúc ngồi với đường tròn (C) Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : x  y   đường 2 tròn  C  : x  y  x  y  Gọi I tâm (C), M điểm thuộc Δ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A, B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A  1;  đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  y   Xác định tọa độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1 : 3x  y   0,  : x  y   đường tròn  C  : x  y  x  10 y   Gọi M 2 điểm thuộc đường tròn (C) N điểm thuộc đường thẳng 1 cho M N đối xứng qua  Tìm tọa độ điểm N Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A  1;   có góc � ABC  30�, đường thẳng  : x  y   tiếp tuyến B đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm B C, biết B có hồnh độ số hữu tỉ Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Việc hướng dẫn học sinh áp dụng tốn để tìm tọa độ điểm hình học giải tích phẳng thân tơi đồng nghiệp đơn vị thí điểm lớp mũi nhọn em học sinh có học lực từ trở lên Kết thu khả quan, em học tập cách say mê hứng thú Một số em đạt thành tích tốt qua đợt thi học sinh giỏi tỉnh, thi THPT Quốc gia Tuy nhiên với đề tài người thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp, ln khơng ngừng tìm tịi, tham khảo tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại cho học sinh tập định hướng để em học tập, tìm hiểu C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18 Với mục đích nâng cao lực tư duy, tính sáng tạo giải tốn học sinh Hy vọng với kết nhỏ bổ sung phần kiến thức cho em, giúp em nhận thức đầy đủ rèn luyện tốt kỹ giải tốn tìm tọa độ điểm hình học giải tích phẳng Qua thời gian thực tế giảng dạy tốn tìm tọa độ điểm dựa vào toán trường THPT Thạch Thành 2, rút số kinh nghiệm sau  Về phương pháp dạy học, cần ý đến phương pháp lĩnh hội tri học sinh, giúp em có khả tiếp thu sáng tạo vận dụng linh hoạt tri thức tình đa dạng  Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật việc thực kĩ giải tốn thơng qua việc luyện tập, nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác người học, thơng qua hình thành phát triển nhân cách em  Phải thường xuyên học hỏi trau chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp  Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập  Luôn tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tịi học tập học sinh  Đặt câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh trình giảng dạy Do thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa nhiều nên đề tài tơi khơng tránh khỏi cịn nhiều hạn chế Rất mong đóng góp đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Nguyễn Sỹ Thạc 19 ... Thành áp dụng toán vào việc ? ?tìm tọa độ điểm? ?? hình học giải tích phẳng 3.1 Bài tốn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm N  x0 ; y0  đường thẳng  : Ax  By  C  Tìm tọa độ điểm M thuộc đường... học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy học Đối tượng nghiên cứu + Phương pháp giải tập “ tìm tọa độ điểm ” hình học giải tích phẳng thơng qua việc vận dụng tốn hình học phẳng + Các tập hình học. .. hồnh độ số hữu tỉ Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Việc hướng dẫn học sinh áp dụng toán để tìm tọa độ điểm hình học giải tích phẳng thân tơi đồng nghiệp đơn vị thí điểm lớp mũi nhọn em học sinh có học