SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG THCS&THPT PHÚ TÂN Họ và tên: Lê Thiện My Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: THCS&THPT Phú Tân Chuyên ngành: Sư phạm Toán 2018 - 2019 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG THCS&THPT PHÚ TÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHUONG PHÁP HÌNH HỌC” Họ và tên: Lê Thiện My Chức vụ: giáo viên Chuyên ngành: Toán Đơn vị: THCS&THPT Phú Tân MỤC LỤC A PHẦN MỞ ĐẦU B PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lý thuyết I.1 Các khái niệm I.2 Các phép toán I.3 Tính chất II Giải bài toán cực trị số phức phương ph II.1 Một số phương pháp giải bài toán cực trị số p II.2 Phương pháp hình học II.2.1 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang hệ tọa II.2.2 Các bài toán thường gặp III Hiệu đạt IV Mức độ ảnh hưởng V Kết luận Tài liệu tham khảo DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THCS&THPT Trung học sở Trung học phổ thông TN THPT Tốt nghiệp Trung học phổ thông SKKN Sáng kiến kinh nghiệm SGK Sách Giáo Khoa BGH Ban giám hiệu SKKN giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A PHẦN MỞ ĐẦU I Sơ lược lý lịch tác giả - Họ và tên: LÊ THIỆN MỸ - Ngày tháng năm sinh: 1985 - Đơn vị công tác: THCS&THPT Phú Tân - Chức vụ hiện nay: giáo viên mơn - Trình độ chun mơn: đại học sư phạm Toán - Lĩnh vực công tác: giáo dục II Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị - Tình hình đơn vị: Trường đóng địa bàn nơng thơn huyện Phú Tân tỉnh An Giang, sở vật chất phục vụ giảng dạy cịn hạn chế, đa sớ các gia đình làm ăn xa quan tâm đến việc học học sinh, phận học sinh có hồn cảnh khó khăn ảnh hưởng đến việc học tập - Thuận lợi: Được quan tâm đạo BGH nhà trường, giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm đồng nghiệp công tác giảng dạy, đa sớ học sinh u thích học toán - Khó khăn: Học sinh thuộc địa bàn nông thôn kinh tế cịn khó khăn nên việc quan tâm đầu tư cho học sinh gia đình cịn hạn chế Hơn trình độ tuyển sinh đầu vào trường khá thấp nên khó khăn cho việc giảng dạy nâng cao để học sinh đỗ vào các trường Đại học tốp đầu nước - Tên đề tài: “Giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học” - Lĩnh vực: “Phương pháp dạy học toán” Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học BI Mục đích yêu cầu đề tài III.1 Thực trạng ban đầu trước áp dụng sáng kiến Trong các lĩnh vực Toán học sớ phức đời khá muộn kể từ thế kỉ XVI sau các nhà toán học nghiên cứu phương trình đại sớ Tuy sinh sau sớ phức có nhiều đóng góp cho các ngành toán học như: đại sớ, lượng giác, hình học Ở trường phở thơng học sinh tiếp xúc sớ phức ći chương trình giải tích lớp 12 Số phức nội dung khá mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh biết các kiến thức số phức, toán cực trị số phức toán tương đới khó đặc biệt với hình thức thi trắc nghiệm học sinh khơng có nhiều thời gian để tư tìm lời giải Từ dẫn đến việc ơn tập TN THPT Q́c gia gặp khó khăn III.2 Sự cần thiết áp dụng sáng kiến Để làm tốt toán kì thi TN THPT Q́c gia học sinh phải tìm cách giải nhanh chóng, xác khoảng thời gian ngắn Vì sáng kiến “giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học” đưa cách giải ngắn gọn trực quan học sinh cần vẽ hình áp dụng các tính chất hình học có đáp sớ Sáng kiến đáp ứng yêu cầu xác nhanh chóng khơng địi hỏi tư quá nhiều việc giải thi trắc nghiệm III.3 Nội dung sáng kiến III.3.1 Tiến trình thực hiện  Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến sớ phức, các nội dung thi TN THPT Q́c gia mơn Toán có liên quan đến cực trị số phức  Hướng dẫn học sinh áp dụng sáng kiến giải các tập trắc nghiệm cực trị số phức  Tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ tiếp thu học sinh  Điều chỉnh sáng kiến, phương pháp giảng dạy Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học III.3.2 Thời gian thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng học kì năm học 2017 – 2018 trường THCS&THPT Phú Tân III.3.3 Biện pháp tổ chức  Nghiên cứu lý thuyết hoàn chỉnh sáng kiến  Áp dụng giảng dạy thực tế lớp  Đưa phương pháp để học sinh áp dụng giải tập  Sửa làm học sinh đối chiếu với các phương pháp giải khác  Tìm ưu điểm khuyết điểm phương pháp  Điều chỉnh sáng kiến, phương pháp giảng dạy  Kiểm tra mức độ tiếp thu học sinh Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học B PHẦN NỘI DUNG Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1 CÁC KHÁI NIỆM I.1.1 Định nghĩa số phức bi , a, b Mỗi biểu thức dạng ,i2 gọi số phức a Đối với số phức z a bi , ta nói a phần thực, b phần ảo z Tập hợp các sớ phức kí hiệu Chú ý:  Mỗi số thực a coi số phức với phần ảo bằng 0: a a 0i  Như ta có  Sớ phức bi với bđược gọi số ảo ( số ảo)  Số gọi số vừa thực vừa ảo; số i gọi đơn vị ảo I.1.2 Số phức Hai số phức bằng nếu phần thực phần ảo tương ứng chúng bằng nhau: a bi c di I.1.3 Số phức đối và số phức liên hợp Cho số phức z a  Sớ phức đới z kí hiệu z  Số phức liên hợp z I.1.4 Biểu diễn hình học số phức Điểm M ( a; b) hệ trục tọa độ vuông góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học I.1.5 Mơđun số phức Giả sử số phức z vectơ OM gọi mơđun số phức z kí hiệu | z | Vậy: | z | | OM | hay | z | Nhận xét: | z | | I.2 CÁC PHÉP TOÁN I.2.1 Phép cộng và phép trừ Phép cộng phép trừ hai số phức thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức Tổng quát: ( a ( a bi ) ( c di ) di ) bi ) (c ( a ( a c ) ( b d )i c) ( b d )i I.2.2 Phép nhân kết Phép nhân hai số phức thực hiện theo quy tắc nhân đa thức thay i2 nhận Tổng quát: (a bi ) (c di ) (a c bd ) bc )i (ad Chú ý:  Phép cộng phép nhân các sớ phức có đầy đủ các tính chất phép cộng phép nhân các số thực  Cho số phức z Giáo viên: Lê Thiện Mỹ a bi ,a , b ,i Ta có: z z 2a ; z z | z | Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học I.2.3 Phép chia hai số phức Với a bi c Cụ thể: I.3 TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z   Tính chất 1: Số phức z Tính chất 2: Số phức z Cho hai số phức z    Tính chất 3: Tính chất 4: Tính chất 5:  Tính chất 6: | z z | | z | | z2 |    Tính chất 7: Tính chất 8: | z Tính chất 9: | z a bi , để tính thương di SKKN giải tốn cực trị số phức phương pháp hình học A P 532 Lời giải M M z , z z 6i gọi H trung điểm AB suy H 6; Nhận xét: vẽ hình giấy kẻ ô dự đoán Smin AM S BM Kiểm tra dự đoán S OH R Ví dụ 16 Trong các số phức thỏa mãn S Giáo viên: Lê Thiện Mỹ z 5i 2 SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học A.P Lời giải M M z , z 5i z i z 9i gọi H trung điểm AB suy H Nhận xét: vẽ hình giấy kẻ dự đốn Smin Kiểm tra dự đoán: đường thẳng IH : x 3x Xét hệ: x Thử lại: x3; y M1 H13 ; x7 ; y2 M2 H 14 Theo lý thuyết Smin Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 28 SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Ví dụ 17: (Câu 46 – Đề minh họa THPT Quốc Gia 2018) Xét các số z z 3i A P 10 Lời giải Đặt M M z : z 3i z i Với I trung điểm AB suy I 0; Ta có: MA Vậy MA Nhận xét: tốn cần vẽ hình giấy kẻ ta đốn đáp số Đường thẳng d qua I x 2y Hệ x Chọn K 6; Giáo viên: Lê Thiện Mỹ SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học MB Ví dụ 18: Xét sớ phức P z A Pmin Lời giải M z điều kiện M P z iz 2i Nhận xét: vẽ hình giấy kẻ ta thấy AB A y A O Kiểm tra: MA Tọa độ giao điểm đường thẳng AB đường tròn x x 4y Giáo viên: Lê Thiện Mỹ SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Ta có y Vậy P Bài toán Cho hai số phức z1 ; z2 với z0 , z3 , z4 c Nhận xét  Với M C  M z1 , I I z0 điều kiện z tâm I bán kính R N N z2 , A A z , B B z4 kiện trung trực đoạn AB  S z1 z2 MN Bài toán trở thành Tìm giá trị nhỏ MN với M Trường hợp MN Trường hợp Lời giải  z C ,N điều RR suy M thuộc đường tròn ta zz M N RR Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 31 SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học C tâm I bán kính R  N N z2 thẳng  Tính MN Ví dụ áp dụng Ví dụ 18 Cho hai số phức z T A T Lời giải M M z1 N N z2 , , z2 A B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho z Câu A w z1 Giáo viên: Lê Thiện Mỹ SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Tìm giá trị nhỏ Câu A z Cho số phức z Câu z A.S 47 Tìm giá trị lớn Câu z 2i A Smax Xét các số phức z a Câu P z thỏa mãn bi a , b A a b Cho số phức z thỏa mãn : Câu P z z 2i A 70 Xét số phức Câu P z z i A Pmax Câu P A P Xét số phức z thỏa mãn z z 4i Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 33 SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học BI Hiệu đạt Sau áp dụng phương pháp hình học vào giảng dạy các toán cực trị số phức lớp 12C5 đa số các học sinh khá giỏi tiếp thu áp dụng tốt Tuy nhiên các học sinh trung bình áp dụng tương đới khó khăn Cụ thể kết sau: Loại Giỏi Sĩ số 39 Bài toán khảo sát Câu Cho số phức z thỏa A z = − 2i Lời giải M = M (z ), • • z OM y x O M Nhận xét: vẽ hình giấy kẻ ta thấy số phức z thỏa đề z = Câu Gọim , M g z mãn điều kiện A S 68 Giáo viên: Lê Thiện Mỹ SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Lời giải • M • z i Nhận xét: Vẽ hình giấy kẻ ô ta thấy: m AI S A M' I O A(-2;-1) Kết đạt Câu Ưu điểm  Phương pháp hình học có tính trực quan, khơng địi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, dễ đoán đáp số toán trắc nghiệm, học sinh dễ áp dụng Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 35 SII{N !i;i bni tu61 ! ni si thtc biq furdq phnp hi,h noc Khuydidiam D6ildi hoc sinh lrnns binh.hua nim vihs cic (inh chit hi.n hoc phans nen lp dung o'op"0i'htrl ;T r il ts d rc o l o nI d oM-",, ortr d.o'r " d lim bri dri rdn giiy kh6ng c6 hec siirl sd sip kh6 khan dr.r dorn q l\i k6r qud \i \'y0alin or o.l tl u -i.''ning.o d 10 I \ -e| e I i u o \r'I a \: r 1! ror uo,orcnott "\*dadiJ' JddxP; S6ng tjdn c6 SAng kidn E lG dnqc ep dung dng di tons viqc d0, Iac torn d cec tuong rmT tii Iicu lnam khio cho giio liCn day an UF thi THP] Qu60 Cia Trcnr c6ne rec 6n L!! thi I.IIIT Qu6c Gia ddi h6i gieo vien drlhg 16? vA noc phii c6 nhihe ptudg lbrp gini toan hid! qnd nha.h chdnC da huoB din hoc sinh linr ti,t biLi lhi than chi sJns oo.o'h;-1 o dC g.h clor drc drr dr no ach no,nh.no C ct._t \ O da\ ki6n da dm E phrp Cini quy6r bdi loin cuc tri s6 phnc m6t crdh k]1n 6t dep riDs tiau chi bdn nhanh ch6ng, chinhxnc, ir lu dnt.lloc sinnchicin vE hnfi vd ip duns cac tinh.hit.d cna hinn hoc phi.g da doin ii6! 6n bii totn I r ciri doen nu'dug ba! rlo lddunest l;Lt X,ic nhin cin rtotu r!,ip dto'gsdhgkii @> lrl SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học Tài liệu tham khảo [1] Bộ Giáo Dục và Đào Tạo - “Giải Tích 12 Nâng Cao”, NXBGD - 2012 [2] Đoàn Quỳnh - “Ứng dụng số phức hình học phẳng”, NXBGD - 2008 [3] Nguyễn Văn Mậu - Trần Nam Dũng - Nguyễn Đăng Phất - Nguyễn Thủy Thanh - “ Chuyên đề chọn lọc - Số Phức Áp Dụng”, NXBGD - 2009 [4] Bộ Giáo dục và Đào tạo – “Tạp chí Tốn học tuổi trẻ”, NXBGD [5] Tài liệu internet Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang 37 ... Trang SKKN giải toán cực trị số phức phương pháp hình học CHƯƠNG II GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC II.1 Một số phương pháp giải bài toán cực trị số phức Có nhiều phương. .. để học sinh đỗ vào các trường Đại học tốp đầu nước - Tên đề tài: ? ?Giải toán cực trị số phức phương pháp hình học? ?? - Lĩnh vực: ? ?Phương pháp dạy học toán? ?? Giáo viên: Lê Thiện Mỹ Trang SKKN giải. .. cách giải nhanh chóng, xác khoảng thời gian ngắn Vì sáng kiến ? ?giải toán cực trị số phức phương pháp hình học? ?? đưa cách giải ngắn gọn trực quan học sinh cần vẽ hình áp dụng các tính chất hình