Vì vậy trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh những bài toán cực trị thông th-ờng chỉ áp dụng bất đẳng thức Côsi.. Mặt khác bài toán cực trị là một bài toán khó
Trang 2Mục Lục
0.1 Mở đầu 2
0.2 Nội dung 3
0.2.1 Sử dụng điều kiện đẳng thức xảy ra 3
0.2.2 Ph-ơng pháp cân bằng hệ số 6
0.2.3 Thêm, ghép, tách một biểu thức 13
0.2.4 Biến đổi đồng bậc 17
0.2.5 Kỷ thuật Côsi ng-ợc chiều 20
0.2.6 Đổi biến 22
0.2.7 Đ-a về bất đẳng thức một biến 26
0.2.8 Bất đẳng thức đồng bậc cộng mẫu số 29
0.3 Kết luận 32
Tài liệu tham khảo 33
Trang 30.1 Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Có nhiều cách giải một bài toán cực trị Trong ch-ơng trình THPT học sinh chỉ học bất đẳng thức Côsi Vì vậy trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh những bài toán cực trị thông th-ờng chỉ áp dụng bất đẳng thức Côsi Mặt khác bài toán cực trị là một bài toán khó đối với học sinh nên học sinh ngại học bất đẳng thức Vấn đề đặt ra là làm cho học sinh hiểu và vận dụng thành thạo bất đẳng thức Côsi Do đó tôi chọn đề tài một số ph-ơng pháp sử dụng bất
đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị để giúp cho học sinh giải quyết thành thạo vấn đề trên trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
Đây cũng là tài liệu để giáo viên dạy cho học sinh lớp 10, dạy luyện thi đại học
và bồi d-ỡng học sinh giỏi và cũng là một tài liệu tham khảo cho giáo viên.
2 Mục đích, phạm vi và ph-ơng pháp nghiên cứu
Thông qua giảng dạy học sinh lớp 10, dạy luyện thi đại học và bồi d-ỡng học sinh giỏi, qua s-u tầm nghiên cứu các đề thi tuyển sinh Đại học, đề thi học sinh giỏi, giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh Qua đó tôi tổng kết đ-ợc một số ph-ơng pháp
sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị.
Mục đích của đề tài làm sao đ-a ra các ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị giảng dạy cho học sinh có hiệu quả nhất
Trong khuôn khổ của đề tài, dù biết rằng không thể đề cập hết các ph-ơng pháp
sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị, nh-ng tôi vẫn hy vọng
đây là một tài liệu giảng dạy bổ ích cho học sinh và cũng là tài liệu bổ ích cho thầy cô giáo Mặc dù đã cố gắng hết sức, nh-ng khả năng và thời gian có hạn, chắc chắn đề tài có nhiều thiếu sót Rất mong các bạn đồng nghiệp trong tổ góp
ý kiến để đề tài đ-ợc hoàn thiện hơn và đ-ợc áp dụng rộng rãi cho giáo viên và học sinh của tr-ờng.
Trang 40.2 Nội dung
Bài toán 0.1 Cho các số không âm a, b, c.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a3+ b3+ c3, biết rằng
27 để đánh giá; đó là do trong câu a, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c = 1 a = b = c = 1
3; còn lý do vì sao ta thêm vào hai số nh- vậy là để Côsi ba số thì a3 tính đ-ợc qua a.
Để minh họa cách giải trên ta xét tiếp bài toán sau:
Bài toán 0.2 Cho các số không âm a, b, c.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a3+ b3+ c3, biết rằng
a. a2+ b2+ c2 = 3
b. a2+ b2+ c2 = 1
Trang 53 là để đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c, còn ở bài toán này ta chỉ thêm một số 1 và hai số a3 là để Côsi ba
số thì ta tính đ-ợc a3 theo a2 Ngoài ra, ta còn tách một số hạng thành nhiều số hạng để đảm bảo đẳng thức xảy ra Ta xét bài toán sau:
Bài toán 0.3 (Thi học sinh giỏi tỉnh, khối 11, năm học 2003-2004)
Cho ba số không âmx, y, z thõa mãn điều kiện: x2005+ y2005+ z2005 = 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2+ y2+ z2
Chứng minh.
Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra: x = y = z = 1
- Cần đánh giáx2005 qua x2 Do đó biểu thức thêm vào để đánh giá quax2 và để
đẳng thức xảy ra: 2x2005, và 2003 số 1.
2x2005+ 2003.1 ≥ 2005x2.
2y2005+ 2003.1 ≥ 2005y2.
2z2005+ 2003.1 ≥ 2005z2.
Trang 6Cộng ba bất đẳng thức này ta đ-ợc: P ≤ 3.
Suy ra max P = 3, đẳng thức xảy ra ⇐⇒ x = y = z = 1.
Tổng quát ta có bài toán sau
Bài toán 0.4 Cho ba số không âmx, y, zthõa mãn điều kiện: xn+ yn+ zn= 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xk + yk+ zk, với 0 < k < n.
Bài toán 0.5 Cho ba số không âmx, y, zthõa mãn điều kiện: xn+ yn+ zn = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xm+ ym+ zm, với m > n.
Bài toán 0.6 Cho ba số không âmx, y, z thõa mãn điều kiện: x + 2y + 3z ≥ 14 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 6x + 8y + 9z + 4
Ta xét thêm bài toán một: Cho các số không âm a, b, c: a + b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a3+ b3+ c3.
Trang 7ë ®©y hÖ sè cña a, b, c b»ng nhau; cßn nÕu bµi to¸n yªu cÇu:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = ka3 + lb3+ mc3
th× bµi to¸n trë nªn phøc t¹p h¬n v× c¸c hÖ sè cñaa, b, c kh¸c nhau Trong tr-êng hîp nµy ta ph¶i c©n b»ng c¸c hÖ sè B©y giê ta xÐt c¸c bµi to¸n d¹ng nµy
Bµi to¸n 0.7 Cho c¸c sè d-¬ng x, y, z sao cho x + y + z = 1.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x3 + 64y3+ z3.
Bµi to¸n 0.8 Cho c¸c sè d-¬ng x, y, z sao cho x3+ y3+ z3 = 10.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = x + 4y + z.
Bµi to¸n 0.9 Cho c¸c sè d-¬ng x, y, z sao cho x2+ y2+ z2 = 129.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = x3+ 8y3+ z3.
Trang 8Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n sau
Bµi to¸n 0.11 Cho ba sè d-¬ng a, b, c sao cho ab + bc + ca = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = xa2+ xb2+ c2, x > 0
Trang 9Bµi to¸n 0.12 Cho c¸c sè d-¬ng x, y, z sao cho x + y + z = 3.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P =√xy + 2√yz +√zx.
√
3 − 1, l =
√
3 + 1 2
VËy max P = 3(
√
3 + 1)
Bµi to¸n 0.13 Cho c¸c sè d-¬ng x, y, z thâa m·n x2 + y2+ z2 = 1.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = 6xy + 6yz + zx
Trang 10Chọn a, sao cho 1 + 36a2 = 2
a2 Suy ra a =
√ 2
3 Cộng ba bất đẳng thức: max P = 9
Tổng quát ta có bài toán sau:
Bài toán 0.14 Cho các số d-ơng x, y, z thõa mãn x2 + y2+ z2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P = kxy + kyz + zx
5 .
Bài toán 0.16 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2+ z3.
Trang 116 Cộng ba bất đẳng thức: min P = 2a2+ b3
Bài toán 0.17 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y2 + z3.
Bài toán 0.18 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P =√xy +√ 3
14xyz Chứng minh.
Trang 12Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 5x2+ 16y2+ 27z2.
Bài toán 0.20 Đề thi học sinh giỏi năm học 2009-2010-Khối 11
Cho tứ diện gần đều AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Gọi α, β, γ là góc tạo bởi(DAB), (DBC), (DCA) vói (ABC).
Tìm giá trị lớn nhất của P = cos α +√cos α cos β +√ 3
cos α cos β cos γ Chứng minh.
Ta chứng minh đ-ợc cos α + cos β + cos γ = 1
Đặt x = cos α, y = cos β, z = cos γ Bài toán đã cho t-ơng với bài toán sau
Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P = x +√xy +√ 3
Tìm giá trị lớn nhất của P = 2xy + 3yz + 4zx.
Bài toán 0.22 Cho bốn số d-ơng a, b, c, d sao choa + b + c + d = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a3+ 8b3+ 8c3+ d3
Trang 13Bài toán 0.23 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2+ y2+ z2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P = x(y + z).
Bài toán 0.24 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2+ y2+ z2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P = xy + 16yz + zx.
Bài toán 0.25 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2+ y2+ z2 = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y4+ z6.
Bài toán 0.26 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2+ y2+ z2 = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x3 + 8y3+ 8z3.
Bài toán 0.27 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P = x2+ 4y2+ z2.
Bài toán 0.28 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x3 + 4y3+ z3.
Bài toán 0.29 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2+ y2+ z2 = 3.
Tìm giá trị lớn nhất của P = xy + 4yz + 4zx.
Bài toán 0.30 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P =√xy +√yz +√ 3
xyz Bài toán 0.31 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P =√x +√y +√xy +√ 3
xyz Bài toán 0.32 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P =√x +√xy +√ 3
xyz Bài toán 0.33 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2+ y2+ z2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P = x + yz.
Bài toán 0.34 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2+ y2+ z2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của P = 2x + 3y2+ 4yz.
Trong nhiều bài toán cực trị ta gặp những bài toán dạng phân thức Trong tr-ờng hợp này ta cần thêm vào biểu thức thích hợp để khử mẫu thức Bây giờ ta xét các bài toán dạng này
Trang 140.2.3 Thêm, ghép, tách một biểu thức
Bài toán 0.35 (Thi học sinh giỏi tỉnh, khối 11, năm học 2002-2003)
Cho ba số d-ơng x, y, z thõa mãn điều kiện: xy√xy + yz√yz + zx√zx.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
Chứng minh.
Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra: a = b = c
- Biểu thức thêm vào để khử mẫu của biểu thức a
3
(a + b)(a + c) có dạng k(a +
Trang 15- Dự đoán đẳng thức xảy ra: a = b = c
- Biểu thức thêm vào để khử mẫu của số hạng: a
Trang 16LËp luËn t-¬ng tù nh- trªn Ta gi¶i ®-îc c¸c bµi to¸n sau
Bµi to¸n 0.39 Cho a, b, c > 0 Chøng minh
Trang 17§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z = 1
Trang 18Bài toán 0.43 Cho a, b, c > 0.
Bài toán 0.48 (Thi học sinh giỏi tỉnh, khối 12, năm học 2002-2003) Cho
A, B, C là ba góc của tam giác ABC, (đo bằng Radian).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức d = A + B
AB2C3
Trong các bài toán cực trị ta th-ờng gặp các bài toán mà bậc của tử thức (hoặc mẫu thức) không bằng nhau Trong tr-ờng hợp này tr-ớc hết ta biến đổi đồng bậc ở tử thức (hoặc mẫu thức) Ta xét các bài toán dạng này
-Biến đổi đồng bậc ở mẫu
- Dự đoán đẳng thức xảy ra: a = b = c = 3
- Thêm biểu thức vào để khử mẫu của biểu thức: a
3
(a + b)(a + c), mà đẳng thức xảy ra: a = b = c = 3 nên a
3
(a + b)(a + c) =
3a
4 .
Trang 19Do đó biểu thức thêm vào để khứ mẫu là a + b
2bc
1
c + a+
1
a + b
+1
2ca
1
Trang 20ab
(c + a)(c + b) ≤
1 2
Bµi to¸n 0.54 Cho ba sè d-¬ng a, b, c sao cho a + b + c = 3 Chøng minh
Bµi to¸n 0.56 Cho ba sè d-¬ng a, b, c sao cho a + b + c = 1 Chøng minh
Trang 21Bài toán 0.57 Cho ba số d-ơng a, b, c sao choab + bc + ca = 1 Chứng minh
Nhiều bài toán nếu ta sử dụng bất đẳng thức Côsi thì ta đ-ợc bất đẳng thức ng-ợc chiều với bài toán đã cho trong tr-ờng hợp này ta biến đổi dấu ” − ” tr-ớc biểu thức cần Côsi để đ-ợc bất đẳng thức cùng chiều
Bài toán 0.58 Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c = 3 Chứng minh
Trang 22Tới đây chứng minh t-ơng tự nh- trên ta có điều phải chứng minh
Bài toán 0.60 Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c = 3 Chứng minh
1 + b2c ≥ a −
ab + 1
4 T-ơng tự ta có hai bất đẳng thức t-ơng tự
Cộng ba bất đẳng thức này lại ta đ-ợc:
Trang 23Bài toán 0.63 Cho ba số d-ơng a, b, c.
Bài toán 0.67 (Tuyển sinh Đại học năm 2009-Khối A)
Cho các số d-ơng x, y, z thõa mãn điều kiện: x(x + y + z) = 3yz.
Chứng minh (x + y)3+ (x + z)3+ 3(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 5(y + z)3
Đặt a = y + z, b = z + x, c = x + y Khi đó bài toán đ-a về bài toán đơn giản hơn: Cho các số d-ơng a, b, c thõa mãn điều kiện a2 = b2+ c2− bc.
Trang 24Phân tích
- Dự đoán đẳng thức xảy ra: a = b = c
- Biểu thức thêm vào để khử mẫu của biểu: x
Sử dụng ph-ơng pháp thêm biểu thức thích hợp ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 0.70 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Trang 25Chứng minh.
Đặt x =√1 − a, y =
√
1 − b, z =√1 − c Bất đẳng thức đã cho
c+
1
ab ≥ 1 +
r 1
bc +
r 1
ca+
r 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c = 3
Bài toán 0.73 Cho a, b, c > 0 : a + b + c = 3
2 Chứng minh
Chứng minh.
Từ: √a2+ ab + b2 ≥
√ 3
2 (x + y) và 4bc ≤ (b + c)2 Ta đ-ợc
Trang 26Sử dụng Bất đẳng thức Côsi ng-ợc chiều ta có điều phải chứng minh
Bài toán 0.74 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c, có chu vi bằng 2010 Chứng minh ab
Bài toán 0.75 Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Trang 27Cho các số thực x, y khác không thõa mãn điều kiện (x + y)xy = x2+ y2− xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1
Bài toán 0.78 (Tuyển sinh Đại học-Khối A-Năm 2007)
Cho x, y, z > 0 : xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán 0.82 Cho các số d-ơng a, b, c thõa mãn điều kiện
Trong nhiều bài toán vai trò các tham số có mặt trong bất đẳng thức nh- nhau Trong tr-ờng hợp này ta đ-a bài toán về bài toán chứng minh bất đẳng thức một biến Sau đó ta thay biế x bởi các tham số có mặt trong bài toán, để minh họa ph-ơng pháp này ta xét các bài toán sau
Bài toán 0.85 Cho 0 < a, b, c < 1
Trang 282 x
2, ∀x ⇐⇒ x(1 − x2 ) ≤ 2
3√3, ∀x ThËt vËy, ta cã x3 + 1
3
√
3 +
1 3
√
3 ≥ 3x
1
√ 3
1
√
3 = x, ∀x ⇐⇒ x(1 − x
2 ) ≤ 23
1 − a2 + b
1 − b2 + 1
1 − c2 ≥ 3
√ 2
Trang 29Cho ba sè d-¬ng x, y Ta cã
(x + y)
1
1
Trang 301
Bài toán 0.92 Đề thi tuyển sinh đại học năm 2005-Khối A
Cho ba số d-ơng x, y, z thỏa mãn điều kiện 1
1
2
Trang 31Bµi to¸n 0.94 Cho ba sè d-¬ng x, y, z Chøng minh
x + y + 2z ≥
4
z2 + 7 2
2x + y + z ≥
4
x2 + 7
Trang 32Bµi to¸n 0.100 Cho ba sè d-¬ng x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn
xy + 2zx + 3yz = 2010xyz T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt biÓu thøc
Trang 330.3 Kết luận
1 Đề tài đã tập trung sử dụng một số ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị.
2 Hiệu quả sử dụng: học sinh sử dụng thành thạo, chứng minh đ-ợc nhiều bất
đẳng thức nên kết quả học sinh của tr-ờng trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi đại học đều làm đ-ợc bài toán cực trị Do đó hằng năm học sinh của tr-ờng đều đạt học sinh giỏi cấp tỉnh Kết quả trong năm có 9 học sinh đạt học sinh giỏi cấp tỉnh, trong đó có hai học sinh đạt giải nhì.
3 Mức độ triển khai: dạy học sinh lớp 10, dạy luyện thi đại học và chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi.
4 Khả năng áp dụng: dễ áp dụng, giáo viên vận dụng tạo ra đ-ợc nhiều bài toán
và dễ dạy cho học sinh nhìn nhận bài toán và vận dụng để giải, có khả năng áp dụng đại trà cho các bạn đồng nghiệp và tài liệu liệu để giáo viên tham khảo giảng dạy.
Một lần nữa, tôi chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã đóng góp ý kiến để đề tài đ-ợc hoàn thiện.
Trang 34Tài liệu tham khảo
[1] ˝ Tạp chí toán học tuổi trẻ ˝, NXB Giáo dục.
[2] ˝ Đề thi học sinh giỏi ˝.
[3] ˝ Đề thi tuyển sinh Đại học ˝.
[4] Phạm Kim Hùng (2007), ˝ Sáng tác bất đẳng thức ˝, NXB Hà Nội [5] ˝ Tuyển tập các đề thi Olimpic 30-4 ˝.