Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh THCS áp dụng bất đẳng thức cauchy vào giải bài toán tìm cực trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GD &ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀO GIẢI BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ Người thực hiện: Lê Thu Hồng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Quảng Thắng SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2021 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt từ lâu vấn đề trung tâm phương pháp dạy học toán trường phổ thơng Việc giải tốn có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, phát triển trí tuệ rèn luyện học sinh nhiều mặt Qua giải toán học sinh rèn luyện suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải vấn đề nhiều phẩm chất đạo đức người lao động xã hội Đối với giáo viên dạy giải tốn tình điển hình tiết dạy Dạy giải tốn cơng việc đầy khó khăn mang tính sáng tạo, linh hoạt, địi hỏi giáo viên phải có phương pháp khoa học, hợp lý phải có nỗ lực cố gắng vươn lên Bởi dạng tốn, tốn, giáo viên không đơn cung cấp lời giải mà quan trọng dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm đường hợp lý để giải tốn Qua nhiều năm giảng dạy, nhận thấy kì thi khảo sát chất lượng học kì, kì thi vào lớp 10 THPT, đề thi vào trường chun phần lớn có tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức gọi chung toán cực trị Đây loại tốn đa dạng, phong phú, có ba lĩnh vực toán học: Số học, đại số, hình học Chính vậy, vấn đề giải tốn cực trị cần quan tâm khơng riêng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi mà cần phát triển rộng việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh đại trà Giải tốn tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ vấn đề khó Các phương pháp giải lại đa dạng phong phú, việc sử dụng bất đẳng thức CauChy phương pháp để giải loại toán Tuy nhiên, sử dụng phương pháp lại giải nhiều tập GTLN - GTNN Chính vậy, tơi chọn viết đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trung học sở áp dụng bất đẳng thức CauChy vào giải tốn tìm cực trị” Qua đề tài giúp học sinh có hứng thú với dạng tốn tìm GTLN - GTNN nâng cao lực tư sáng tạo học sinh học tập Đặc biệt giải tốt tốn tìm GTLN - GTNN có liên quan đến bất đẳng thức CauChy 1.2 Mục đích nghiên cứu - Đề tài có tác dụng giúp học sinh học tốt mơn tốn nói chung việc giải tập tìm cực trị nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm cơng cụ giải tập có liên quan đến bất đẳng thức CauChy - Gây hứng thú cho học sinh việc làm tập sách giáo khoa, sách tham khảo - Giải thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp vận dụng thành thạo phương pháp để giải tập - Thơng qua việc giải toán cực trị giúp học sinh thấy mục đích việc học tốn học tốt tập tìm cực trị, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong sáng kiến nghiên cứu đối tượng học sinh lớp 9A, 9B trường THCS Quảng Thắng năm học 2018 - 2019, thực luyện tập, ơn tập cuối học kì, cuối năm ơn thi cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu - Phương pháp vấn, tọa đàm - Phương pháp quan sát sư phạm - Phương pháp kiểm tra sư phạm - Phương pháp luyện tập, thực hành qua kiểm tra - Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm Qua việc nghiên cứu tài liệu tìm hiểu mạng Internet; Qua buổi tập huấn chuyên môn; Qua trải nghiệm thực tế với GV dạy Toán trường; Qua sai lầm thường gặp học sinh giải toán cực trị; với việc kết hợp phương pháp nêu để thực sáng kiến NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Tốn học mơn học quan trọng để phát triển lực trí tuệ, tư tích cực, độc lập sáng tạo học sinh Mơn Tốn phải góp phần với mơn học khác thực mục tiêu chung giúp cho học sinh nắm vững tri thức tốn học phổ thơng bản, thiết thực, có kỹ thực hành tốn học Dạng tốn tìm GTLN – GTNN dạng tốn khó, địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức có kỹ vận dụng mức độ cao, khả tư sáng tạo nhạy bén linh hoạt Tuy nhiên, lứa tuổi học sinh lớp em bước vào giai đoạn tập làm người lớn, tiếp thu nhanh song nhanh quên, độ bền chưa có nhiều.Vì giáo viên cần có định hướng cho em, cần sai lầm thường gặp, phương pháp thường sử dụng cho em tập luyện tập để em khắc sâu phương pháp làm, từ vận dụng vào tốn khác Chính lẽ đó, tơi nghiên cứu áp dụng đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trung học sở áp dụng bất đẳng thức CauChy vào giải toán tìm cực trị” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi: Trường THCS Quảng Thắng có sở vật chất tương đối đầy đủ Giáo viên tạo điều kiện giảng dạy Máy chiếu đa sử dụng thường xuyên Giáo viên cấp lãnh đạo, nhà trường hội phụ huynh học sinh quan tâm tạo điều kiện để thực tốt công tác giảng dạy Đội ngũ giáo viên mơn Tốn trường tơi phần đông đạt chuẩn chuẩn Bản thân giáo viên khác tạo điều kiện giảng dạy chun mơn Về phía học sinh, đa số em học sinh ngoan, lễ phép, có ý thức vươn lên học tâp, sĩ số lớp ít, em có lịng đam mê tìm tịi học hỏi, chăm học tập 2.2.2 Khó khăn Về giáo viên thân đồng nghiệm trường có nhiều trăn trở bận nhỏ, chồng cơng tác xa nên thực việc bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10 cịn nhiều hạn chế Về phía học sinh, trường THCS Quảng Thắng trường vùng ven nên đầu vào thấp, số học sinh trung bình trung bình chiếm tỉ lệ lớn lớp, số lượng học sinh giỏi chiếm tỉ lệ Nhiều phụ huynh chưa quan tâm đến việc học tập em số phụ huynh làm ăn xa nên không sát việc học tập 2.2.3 Kết khảo sát Qua trình theo dõi, đánh giá phiếu học tập theo hình thức kiểm tra khảo sát đầu năm học 2018 - 2019 học sinh khối lớp trường THCS Quảng Thắng, kết đạt sau: Lớp Số học sinh Yếu Trung bình Khá Giỏi Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số lượng % lượng % lượng % lượng Tỉ lệ % 9A 25 16% 10 40% 28% 16% 9B 25 24% 11 44% 20% 12% Tổng 50 10 20% 21 42% 12 24% 14% Trong q trình học, có nhiều học sinh tâm “cứ đề liên quan đến tìm GTLN - GTNN em thấy khó, với kiểm tra phần lớn chúng em khơng biết làm nào”, “nếu gặp tốn tìm GTLN – GTNN em xác định bỏ khơng làm ấy” Tìm hiểu ngun nhân tơi thấy có ngun nhân chính: Thứ nhất: Bài tập tìm GTLN - GTNN dạng tập khó Thứ hai: Số lượng tập em tiếp cận ít, thời gian em luyện tập khơng nhiều Chính em sợ loại toán 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trước tiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh hiểu rõ kiến thức sau: * Định nghĩa GTLN - GTNN biểu thức (+) Định nghĩa: - Ta nói m GTNN f(x,y…) xác định miền D, ký hiệu f = m hai điều kiện sau thỏa mãn: + ∀ x, y….∈ D f(x, y…) ≥ m (m số) (1) + Tồn xo, yo,… ∈ D cho f(xo, yo,…) = m (m số) (2) Lưu ý: Để có f = m thiết phải có điều kiện xảy ra, hai điều kiện chưa kết luận GTNN - Ta nói M GTLN f(x,y…) xác định miền D, ký hiệu max f = M hai điều kiện sau thỏa mãn: + ∀ x, y….∈ D f(x,y…) ≤ M (M số) (3) + Tồn xo, yo,… ∈ D cho f(xo, yo,…) = M (M số) (4) Lưu ý: Để có max f = M M phải số thiết phải có hai điều kiện xảy ra, thiếu hai điều kiện khơng thể kết luận GTLN * Bất đẳng thức CauChy: Chúng ta biết: Với a ≥ 0, b ≥ a + b ≥ ab (5) Dấu “=” xảy ⇔ a = b a1 + a2 + …… + an ≥ n a1 , a , , a n (6) Dấu “=” xảy ⇔ a1 = a2 = …… = an Với a, b ≥ từ (5) ta có: + Nếu ab = k khơng đổi (a+b) = k ⇔ a = b + Nếu a + b = k khơng đổi max ab = k2 ⇔a=b Kết mở rộng với n số không âm + Nếu a1, a2 …… an = k khơng đổi a1 + a2 + …….+ an = n n k ⇔ a1 = a2 = …… = an k n + Nếu a1 + a2 + …… + an = k không đổi max a1 a2 …… an =  ÷ n ⇔ a1 = a2 = …… = an Khi học sinh hiểu rõ kiến thức trên, giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp sau: 2.3.1 Phương pháp 1: Vận dụng bất đẳng thức CauChy *Mục đích: Học sinh hiểu rõ nắm bất đẳng thức CauChy Biết tìm giá trị biến x để biểu thức đạt cực trị *Biện pháp: Áp dụng bất đẳng thức CauChy, tổng kết kinh nghiệm Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A = Bài giải: Ta có: A = Vì x > => Ta có x + x2 + x + với x > x x2 x 4 + + = x +1+ = x + +1 x x x x x 4 > áp dụng bất đẳng thức CauChy cho hai số dương x x x ≥ x x = = 2.2 = x ⇒ A≥ 4+1 ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = => x2 = => x = ± Vì x > nên x = x Vậy A = ⇔ x = xy yz zx Ví dụ 2: Cho x, y, z > 0; x + y + z = Tìm GTNN A = z + x + y xy Bài giải: Với x, y, z > => z , yz , x zx y >0 Áp dụng bất đẳng thức CauChy: xy yz + z x ≥ xy yz z x = 2y yz zx + x y ≥ yz zx x y = 2z zx xy + y z ≥ zx xy y z = 2x  xy yz zx  =>  + + ÷≥ 2( x + y + z ) x y  z (Cộng vế bất đẳng thức chiều) Hay 2A ≥ ⇔ A ≥  xy yz xz z = x = y  Vậy A = ⇔  x + y + z =  x, y , z >   ⇔x= y=z= Ví dụ 3: Trong hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi bé Bài giải: Gọi a, b độ dài cạnh hình chữ nhật (a, b > 0) Ta có SHCN = ab = k (khơng đổi) Nửa chu vi hình chữ nhật là: A = (a + b) Ta có: A = (a + b) ≥ ab = k GTNN A = k ⇔ a = b Điều có nghĩa hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi bé 1 Ví dụ 4: Cho x, y > thỏa mãn x + y = Tìm GTNN A = x + y Bài giải: Với x, y > biểu thức A ln xác định Vì x > 0, y > => x, y > , áp dụng bất đẳng thức CauChy với số dương x, y ta có: A = x + y ≥ x y = xy Vì x > 0, y > ⇒ x > 0, y > , áp dụng bất đẳng thức CauChy với số dương 1 2 1 1 hay ≥ ⇔ ≥ , ta có: + ≥ x y xy xy xy x y ⇔ xy ≥ Do A = x + y ≥ xy ≥ = Vậy A = ⇔ x = y = Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng bất đẳng thức CauChy hai lần sau: Lần thứ nhất: x + y ≥ (1) x y Đến chưa kết luận GTNN A 1 Lần thứ hai: x + y ≥ xy ⇒ xy ≥ Thay xy ≥ vào biểu thức (1) ta tìm GTNN A Các tập vận dụng: (Giáo viên cho tập nhà) Tìm GTNN B = x2 + với x > x −1 Tìm GTLN biểu thức P = x y x + x − 16 với x ≥ 16 3x z Tìm GTNN A = y + z + x với x, y, z > Chứng minh rằng: a) Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn b) Trong hình hộp chữ nhật có thể tích hình lập phương có tổng kích thước bé 1 Cho x > 0, y > x + y = 2a (a > 0) Tìm GTNN A = x + y Tuy nhiên lúc ta dùng trực tiếp bất đẳng thức CauChy với số đề Giáo viên cần hướng dẫn học sinh số biện pháp biến đổi biểu thức để vận dụng bất đẳng thức CauChy tìm cực trị 2.3.2 Phương pháp 2: Biến đổi biểu thức cần tìm cực trị *Mục đích: Biến đổi biểu thức cần tìm cực trị để áp dụng bất đẳng thức CauChy * Phương pháp: - Bình phương biểu thức cần tìm cực trị - Nhân chia biểu thức với số khác không - Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số - Thêm hạng tử vào biểu thức cho - Biến đổi tìm cực trị biến 2.3.2.1 Biện pháp 1: Bình phương biểu thức cần tìm cực trị * Phương pháp: Áp dụng đẳng thức thứ đẳng thức thứ hai để đưa tổng tích Ví dụ 5: Tìm GTLN A = 3x − + − 3x Bài giải: ĐKXĐ: ≤x≤ 3 với ĐKXĐ: 3x – ≥ 0; – 3x ≥ ( x − ) ( − 3x ) ⇒ A2 ≤ + ( x − ) + ( − x ) = A2 = x − + − x + Vì A = 3x − + − 3x > nên < A ≤ Vậy Max A = ⇔ 3x – = – 3x ⇔ x = Nhận xét: A có dạng tổng hai thức mà biểu thức lấy có tổng khơng đổi để tìm cực trị A ta bình phương biểu thức A Bài tập vận dụng: Tìm GTLN biểu thức A = − x + 23 − x Cho x + y = 15 Tìm GTLN, GTNN B = xy yz zx Tìm GTNN A = z + x + y x−4 + y −3 với x, y, z > x2 + y2 + z2 = 2.3.2.2 Biện pháp 2: Nhân chia biểu thức với số khác *Phương pháp: Áp dụng tính chất phân thức, ta nhân hay chia tử thức mẫu thức phân thức với số khác khơng giá trị phân thức khơng thay đổi Ví dụ 6: Tìm GTLN A = x−9 5x Bài giải: ĐKXĐ: x ≥ ( x − ) x − + x −9 = ≤ 5x 15 x 9.5 x x ⇒ A≤ = 30 x 30 A= Vậy A = x − + ≤ ( x − + 9) ⇔ x − = ⇔ x = 18 30 Nhận xét: Ở ta nhân tử mẫu với số có tích hai thừa số x – ln có tổng x sử dụng bất đẳng thức CauChy tử xuất x rút gọn với thừa số x mẫu cho ta kết số Bài tập vận dụng: Tìm GTLN B = x −1 + x y−2 y 2.3.2.3 Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số *Phương pháp: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử để triệt tiêu biến dấu bất đẳng thức CauChy Ví dụ 7: Tìm GTNN A = 3x + 16 với x > x3 Bài giải: Với x > biểu thức A ln xác định Ta có: A = 3x + 16 16 16 = x + x + x + ≥ 44 x.x.x = 4.2 = x x x Vậy A = ⇔ x = 16 ⇔ x = (Vì x > 0) x3 Nhận xét: Hai số dương 3x 16 có tích khơng phải số Muốn khử x3 bỏ x3 tử phải có x3 = x.x.x biểu diễn 3x = x + x + x dùng bất đẳng thức Cô si với số dương 12 16 Ví dụ 8: Cho x > 0, y > x + y ≥ Tìm GTNN P = x + y + x + y Bài giải: Với x > 0, y > P ln xác định Ta có: 12 16 + y+ x y x + y ≥ ⇒ 2(x + y) ≥ 2.6 Vì 3x + y+ 2( x + y ) + x + 12 12 ≥ x = 2.6 x x 16 16 ≥ y = 2.4 y y ⇒ P ≥ 2.6 + 2.6 + 2.4 = 32 10 Dấu “=” xảy  x + y =   12 ⇔ 3 x = x   16 y = y  x = ⇔ y = Min P = 32 ⇔ x = y = Nhận xét: Sẽ nhiều học sinh mắc sai lầm giải sau: P = 5x + y + 12 16 12 16 12 16 + = x + + y + ≥ x + y = 60 + 48 x y x y x y  12 12  x = x =  x  ⇔ Min P = 60 + 48 ⇔  3 y = 16  y = 16  y  Sai lầm chỗ x = 12 16 ;y = x + y < khơng thỏa mãn điều kiện x + y ≥ Các tập tương tự ví dụ 7, ví dụ 8: x + 2000 Cho x > Tìm GTNN N = x Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > xyz(x + y + z) = Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > xyz(x + y + z) = Tìm GTNN P = 3x + y + x + y với x >0, y > thỏa mãn x + y ≥ Tìm GTNN A = 2x − 6x + với x > 2x Cho a, b, x Tìm GTNN P = ( x + a)( x + b) x x + x + 17 Ví dụ 9: Cho x ≥ Tìm GTNN Q = 2( x + 1) Bài giải: Với x ≥ biểu thức Q xác định x + x + 17 ( x + 1) + 16 x + 16 x +1 x +1 = = + = + ≥2 =4 2( x + 1) 2( x + 1) 2( x + 1) x +1 x +1 x +1 ⇒ Min Q = ⇔ = ⇔ ( x + 1) = 16 ⇔ x = x +1 Q= 11 Nhận xét: Để tìm GTNN Q ta biến đổi tử cho có hạng tử chia cho x + Vì Q = x + x + 16 x + 16 x +1 = + = + 2( x + 1) 2( x + 1) x +1 Q trở thành tổng hạng tử có tích Từ ta áp dụng bất đẳng thức CauChy Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+8 x +1 Bài giải: ĐKXĐ: x ≥ Ta có: P= x −1+ x +1 = x +1+ = ( x − 1)( x + 1) + x +1 x +1 − ≥ ( x + 1) Vậy P = ⇔ x + = = x −1+ x +1 x +1 x +1 = 2.3 − = ⇔x=4 Nhận xét: Trong phép biến đổi biểu thức P trên, lần ta tìm cách biến đổi tử để có hạng tử chia cho x + ta được: P = x −1+ x +1 Tuy nhiên lần hai ta biến đổi P = x + + số dương x + x +1 x − x +1 x +1 chưa có tích số, − áp dụng bất đẳng thức CauChy với Ta tìm GTNN P Các tập sau giải tương tự ví dụ 9, ví dụ 10: Cho A = a2 + a2 +1 Tìm GTNN A x + 1,2 xy + y 2 Cho x > y; xy > Tìm GTNN Q = x− y Cho x, y ∈ R xy = 1; x > y Tìm GTNN B = Ví dụ 11: Cho < x < Tìm GTNN A = x2 + y2 x− y 9x + 2− x x Bài giải: Với < x < A ln xác định 12 Ta có: A = 9x 9x 2− x + = + +1 2− x x 2− x x Áp dụng bất đẳng thức CauChy với số dương 9x ta có: 2−x x 9x 9x − x + ≥2 2−x x 2− x x 9x − x +1 2− x x ⇒ A ≥ 2.3 + = ⇒ A≥2 Dấu “=” xảy ⇔ 9x 2− x = ⇔x= 2−x x Vậy A = ⇔ x = Nhận xét: Trong cách giải tách 2−x + với mục đích xuất thành x x hạng tử A có tích số từ áp dụng bất đẳng thức CauChy Các tập sau giải tương tự ví dụ 11: Cho x > Tìm GTNN A = x + 25 x −1 Cho < x < Tìm GTNN B = + 1− x x Cho < x < Tìm GTNN B = + 1− x x 2.3.2.4 Biện pháp 4: Thêm hạng tử vào biểu thức cho *Phương pháp: Khi cộng hai vế bất đẳng thức với biểu thức bất đẳng thức khơng đổi chiều Ví dụ 12: Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN P = x2 y2 z2 + + y+z z+x x+ y Bài giải: Với x, y, z > biểu thức P ln xác định x2 y+z Áp dụng bất đẳng thức CauChy với số dương ta có: y+z 13 x2 y+z x2 y + z x + ≥2 = = x y+z y+z y2 z+x y2 z + x y + ≥2 = = y Tương tự: z + x z+x z2 x+ y z2 x + y z + ≥2 = = z x+ y x+ y ⇒ x2 y2 z2 x+ y+z + + + ≥ x+ y+z y+z z+x x+ y Hay P + ≥ => P ≥  x2 y+z =  y+ z  y2 z+x =  Dấu “=” xảy ⇔  z + x  z2 x+ y  = x + y x + y + z =  Vậy P = ⇔ x = y = z = Nhận xét: Ta thêm ⇔x=y=z= 3 y+z x2 vào hạng tử để vận dụng bất đẳng y+z thức CauChy khử y + z Cũng tương tự hạng tử thứ thứ Dấu đẳng thức xảy đồng thời ta tìm x = y = z = Giáo viên lưu ý có nhiều học sinh thêm y + z vào hạng tử x2 để y+z vận dụng bất đẳng thức CauChy để khử y + z tìm x, y, z để dấu “=” xảy đồng thời ta lại khơng tìm x, y, z Do khơng tìm GTNN P Bài tập vận dụng: Tìm GTNN của: a) A = a2 b2 c2 + + với a, b, c > 0; a + b + c = b+c c+a a+b a2 b2 c2 d2 + + + b) B = với a, b, c, d > 0; a + b + c + d = a+b b+c c+a a+b 2.3.2.5 Biện pháp 5: Đổi biến tìm cực trị với biến * Phương pháp: Bằng cách đặt ẩn phụ ta đổi biến để áp dụng bất đẳng thức CauChy 14 Ví dụ 13: Tìm GTNN A = a2 b2 + với a > 1; b > a −1 b −1 Bài giải: Đặt a – = x ; b – = y ( Điều kiện: x > ; y > 0) Ta có: A = ( x + 1) ( y + 1) x + x + y + y + 1 + = + = (x + ) + ( y + ) + x y x y x y 1 >0⇒ x+ ≥ x x 1 y > 0; > ⇒ y + ≥ y y Vì x > 0; ⇒ A≥ 2+2+4 =8   x = x  x = a = ⇔ Vậy A = ⇒  ⇔   y = b = y = y  Nhận xét: Nhiều tập sau biến đổi ta tìm cực trị với biến dễ dàng Tuy nhiên, tập học sinh nhận cách giải tương tự ví dụ 2.3.3 Một số ý giáo viên hướng dẫn học sinh giải tốn tìm GTLN - GTNN Chú ý 1: Khi làm toán cực trị học sinh cần nắm vững tính chất bất đẳng thức hay dùng Khơng mắc sai lầm sử dụng tính chất Muốn vậy, giáo viên cần nhấn mạnh tính chất thường dùng sau: + Cộng vế bất đẳng thức chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho a ≥ b; c ≥ d => a + c ≥ b + d Lưu ý: Không trừ vế hai bất đẳng thức chiều + Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ => a.c ≥ b.d Lưu ý: Chỉ nhân hai vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm + Lấy nghịch đảo vế đổi chiều bất đẳng thức hai vế dấu Chú ý 2: Đôi để vận dụng bất đẳng thức CauChy phải phối hợp nhiều biện pháp biến đổi biểu thức tìm cực trị, vận dụng linh hoạt bất đẳng thức CauChy tìm cực trị Ví dụ 14: Tìm GTLN A = x − x Bài giải: 15 ĐKXĐ: x2 ≤  x2 x2  + + − x2 ÷ 2  x x 2 ÷ = 4.27 = 108 Ta có: A = x (9 − x ) = .(9 − x ) ≤  2 2  ÷ ÷   Với x2 ≤ ta có A ≥ ⇒ A ≤ Vậy Max A = ⇔ x2 = − x2 ⇔ x = ± Nhận xét: Ở ta sử dụng biện pháp biến đổi sau: Bình phương biểu thức A, biến đổi A2 cho chúng thành thừa số, thừa số có tổng khơng đổi Từ áp dụng bất đẳng thức CauChy Chú ý 3: Khi giải tốn tìm GTLN – GTNN nhiều ta cần xét khoảng giá trị biến sau so sánh giá trị biểu thức khoảng để tìm GTLN – GTNN Ví dụ 15: Tìm GTLN A = x2(3 – x) với x ≥ Bài giải: x x 2 + Xét ≤ x ≤ ta có: A = x (3 − x) = .(3 − x) Áp dụng bất đẳng thức CauChy với số không âm x x ; ; (3 − x) ta có: 2 x x  x  + +3− x ÷ x x x x  = 3− x (3 − x) ≤  ⇔ x=2 ÷ = ⇒ ( − x ) ≤ ⇒ A ≤ ⇔  2 2 0 ≤ x ≤  ÷   x  = 3− x ⇔ x=2 ( 1) Vậy Max A = ⇔  0 ≤ x ≤ + Xét x ≥ A < ( 1) (2) So sánh (1) (2) ta có Max A = ⇔ x = Nhận xét: có nhiều học sinh mắc sai lầm khơng chia khoảng Biến đổi x x A = x (3 − x ) = .(3 − x) áp dụng bất đẳng thức Điều khơng 2 lúc chưa thể có – x > Bài tập tương tự: Tìm GTLN A = x − x 2 Tìm GTNN A = x2(2 – x) ≤ 16 Chú ý 4: Để GTLN – GTNN ta phải biến đổi biểu thức cho để tìm liên hệ biểu thức cho biểu thức cần tìm cực trị Ví dụ 16: Cho x, y thỏa mãn x + y = 1; x > Tìm GTNN B = x2y3 Bài giải: * Xét y ≤ => B ≤ (1) * Nếu y > x x y y Ta có: = x + y = + + + + x2 y3 x2 y3 ⇒ ≤ ⇒ 108 108 108 ⇒ B ≤ 3125 y x x y y y x2 y3 ≥ 5.5 = 5.5 2 3 108 1 ≤  5  x= x y  108  =  ⇒ GTLN B ⇔ 2 ⇔ (2) 3125  x + y = y =   x=  108  ⇔ Từ (1) (2) => GTLN B 3125 y =  Nhận xét: Để tìm liên hệ x + y với x2y3 ta biến đổi: x x y y y + + + + sau áp dụng bất đẳng thức CauChy với số dương 2 3 x y y y ; ; ; cho ta biểu thức x2y3 Từ ta tìm cực trị B 3 x+ y = x ; = x2y3 Ví dụ 17: Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = (1 + a )(1 + b)(1 + c) Tìm GTNN A = (1 − a)(1 − b)(1 − c) Bài giải: Ta có: b + c = – a > a + b + c =1 b, c > Tương tự a+b=1–c>0 c+a=1–b>0 Mặt khác + a = + – b – c = (1 – b) + (1 – c) ≥ (1 − b)(1 − c) 17 Tương tự 1+b = (1 – a) + (1 – c) ≥ (1 − a)(1 − c) 1+c = (1 – a) + (1 – b) ≥ (1 − a)(1 − b) => (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 – a)(1 – b)(1 – c) (1 + a )(1 + b)(1 + c) => A = (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≥ 1 − b = − c 1 − a = − c  ⇔a=b=c= Vậy A = ⇔  1 − a = − b a + b + c = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau áp dụng đề tài học sinh khối trường THCS Quảng Thắng năm học 2018 - 2019, nhận thấy học sinh tiếp cận toán liên quan đến GTLN – GTNN với thái độ tích cực hơn, chủ động, linh hoạt Các em hứng thú học tập, học sinh giỏi làm nhanh, học sinh có khả vận dụng, học sinh trung bình giải đơn giản Từ em hứng thú, say mê, sáng tạo với tiết học Toán nhiều hơn, việc học toán trở nên dễ dàng mang lại hiệu tốt năm học 2018 – 2019 Kết xếp loại mơn Tốn cuối năm học 2018 – 2019 khối lớp trường THCS Quảng Thắng sau: Lớp Số học sinh Yếu Trung bình Khá Giỏi Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số lượng % lượng % lượng % lượng Tỉ lệ % 9A 25 4% 32% 10 40% 24% 9B 25 4% 12 48% 32% 16% Tổng 50 4% 20 40% 18 36% 10 20% Đối chiếu kết khảo sát đầu năm cuối năm học 2018 – 2019 học sinh khối trường THCS Quảng Thắng, với việc vận dụng bất đẳng thức CauChy vào giải tốn cực trị trình bày tỉ lệ học sinh – giỏi tăng lên rõ rệt (từ 36% đầu năm tăng lên 56% cuối năm học), tỉ lên học sinh yếu giảm mạnh (chỉ cịn 4%) Bản thân tơi nhận thấy em khơng cịn cảm giác sợ gặp dạng tốn tìm GTLN – GTNN đầu năm, mà em chủ động hơn, hứng thú linh hoạt làm dạng toán 18 Như vậy, việc áp dụng đề tài “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trung học sở áp dụng bất đẳng thức CauChy vào giải tốn tìm cực trị” vào công tác giảng dạy thân năm học 2018 – 2019 đạt hiệu tương đối cao KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trên số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trung học sở áp dụng bất đẳng thức CauChy để giải tốn cực trị, theo tơi khái quát sau: Trước tiên xác định dạng tập từ tìm hướng giải tập theo phương pháp vận dụng trực tiếp bất đẳng thức CauChy, biến đổi biểu thức cần tìm cực trị, cách thứ có biện pháp sau: - Bình phương biểu thức cần tìm cực trị - Nhân chia biểu thức với số khác không - Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số - Thêm hạng tử vào biểu thức cho - Biến đổi tìm cực trị với biến Ở biện pháp đưa cho học sinh đưa tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp đồng thời có tập tương tự để học sinh tự luyện tập Qua việc thực sáng kiến: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trung học sở áp dụng bất đẳng thức CauChy vào giải tốn tìm cực trị” tơi rút cho số học kinh nghiệm bước đầu kinh nghiệm trình giảng dạy học sinh sau Đó là: - Xây dựng thành hệ thống phương pháp để giải dạng toán, loại tốn từ khái qt hóa, tổng qt hóa - Tìm tịi, khai thác sâu, nâng cao dạng, loại bản, đồng thời tìm nhiều dạng loại khác, nhiều phương pháp khác để làm phong phú vốn kiến thức phát triển tư cho học sinh - Thường xuyên tích lũy, sưu tầm, học hỏi, sáng tạo, phải biết tập hợp tư liệu, tổng hợp toán đơn lẻ sách, đề để xếp thành hệ thống, thành dạng, loại phù hợp với yêu cầu đối tượng giảng dạy - Quá trình giảng dạy, phải tiến hành từ đơn giản đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp Cố gắng đào sâu, phát triển, nâng cao sở kiến thức xây dựng củng cố vững Lưu ý tính vừa sức, tránh tải với học trò 19 - Để bồi dưỡng học sinh giỏi tốn thân người thầy phải đầu tư thời gian, ln phấn đấu nâng cao trình độ đáp ứng yêu cầu ngày cao công tác “bồi dưỡng nhân tài” nghiệp đổi đất nước Trên toàn biện pháp thực mà làm rút trình giảng dạy Vì khả có hạn, tầm quan sát tổng thể chưa cao, nên khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong lãnh đạo đồng nghiệp góp ý bổ sung cho để sáng kiến đầy đủ hơn, vận dụng tốt có chất lượng cao năm học sau 3.2 Kiến nghị * Đối với cấp lãnh đạo: - Thường xuyên tổ chức, triển khai chuyên đề đổi phương pháp dạy học cụ thể, sát thực - Tạo điều kiện thuận lợi tối đa thời gian để giáo viên trao đổi chuyên môn nâng cao tay nghề * Đối với giáo viên: - Tận tâm với nghề dạy học (Đi sâu vào việc tìm tịi biện pháp để cơng tác giảng dạy đạt hiệu hơn, quan tâm thực đến chất lượng học tập học sinh, đồng nghĩa với chăm lo cho thành dạy học Tơn trọng thành đạt học sinh dù nhỏ nhất) Tôi mong bạn đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ để nâng cao kết học tập môn Tốn cho học sinh kinh nghiệm cho Tôi xin chân thành cảm ơn./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Quảng Thắng, ngày 25 tháng 03 năm 2021 ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Lê Thu Hồng 20 MỤC LỤC Nội dung Phần mở đầu Trang 1.1 Lí chọn đề tài: 1.2 Mục đích nghiên cứu: 1.3 Đối tượng nghiên cứu: 1.4 Phương pháp nghiên cứu: 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi 2.2.2 Khó khăn 2.2.3 Kết khảo sát 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp 1: Vận dụng bất đẳng thức CauChy 2.3.2 Phương pháp 2: Biến đổi biểu thức cần tìm cực trị 2.3.2.1 Biện pháp 1: Bình phương biểu thức cần tìm cực trị 2.3.2.2 Biện pháp 2: Nhân chia biểu thức với số khác 2.3.2.3 Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức cho thành tổng 21 biểu thức cho tích chúng số 2.3.2.4 Biện pháp 4: Thêm hạng tử vào biểu thức cho 12 2.3.2.5 Biện pháp 5: Đổi biến tìm cực trị với biến 13 2.3.3 Một số ý giáo viên hướng dẫn học sinh giải tốn 14 tìm GTLN – GTNN 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 17 Kết luận, kiến nghị 3.1 17 Kết 17 3.2 Kiến nghị 19 luận 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nâng cao phát triển Toán tập 1, tập – NXB Giáo dục – Tác giả: Vũ Hữu Bình Ơn luyện thi vào lớp 10 mơn Tốn – NXB Giáo dục Việt Nam – Tác giả: Tôn Thân (Chủ biên) – Mai Công Mãn – Nguyễn Văn Ngọc – Hoàng Xuân Vinh Các tốn bất đẳng thức kì thi học sinh giỏi toán thi tuyển vào lớp 10 chuyên – NXB Giáo dục – Tác giả: Nguyễn Đức Tấn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Đại số - NXB Đại học sư phạm – Tác giả: Phạm Trọng Thư Khai thác phát triển số toán Trung học sở tập – Đại số NXB giáo dục Việt Nam – Tác giả: NGƯT Nguyễn Tam Sơn 23 ... tự để học sinh tự luyện tập Qua việc thực sáng kiến: ? ?Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trung học sở áp dụng bất đẳng thức CauChy vào giải tốn tìm cực trị? ?? tơi rút cho số học kinh nghiệm. .. toán 18 Như vậy, việc áp dụng đề tài ? ?Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trung học sở áp dụng bất đẳng thức CauChy vào giải tốn tìm cực trị? ?? vào công tác giảng dạy thân năm học 2018 – 2019 đạt... ? ?Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trung học sở áp dụng bất đẳng thức CauChy vào giải tốn tìm cực trị? ?? 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi: Trường THCS