Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 6 khai thác các ứng dụng từ một bài toán

Qua giảng dạy, tìm hiểu, quan sát trong môn số học lớp 6 có dạng toán tính tổng dãy các phân số có quy luật đã gây nhiều khó khăn hơn cả, phần lớn các em chưa biết cách tìm lời giải, chư

A.MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Trong dạy học môn toán, giải toán là một yêu cầu mà học sinh và giáo viên thường xuyên phải thực hiện Qua giải toán, kiến thức toán học được giáo viên củng cố, mở rộng cho học sinh, …, từ đó có sức hấp dẫn, đồng thời rèn luyện tư duy logic, sáng tạo; rèn luyện các kỹ năng giải toán cho các em

Với học sinh lớp 6, từ môi trường tiểu học lên cấp THCS việc tiếp cận với cách học, phương pháp học các môn trong đó có môn toán đã gặp không ít khó khăn Qua giảng dạy, tìm hiểu, quan sát trong môn số học lớp 6 có dạng toán tính tổng dãy các phân số có quy luật đã gây nhiều khó khăn hơn cả, phần lớn các em chưa biết cách tìm lời giải, chưa có kĩ năng phát hiện vấn đề, tìm đường lối giải quyết vấn đề, số ít em giải được nhưng khả năng khái quát đặc điểm bài toán để từ đó giải những bài toán tương tự chưa có, điều này ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng học toán của học sinh

Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy: Khi cho một bài toán, đa số các em đều xem bài toán đó thuộc dạng nào và đi tìm các phương pháp giải dạng toán đó, nhưng khi gặp một bài toán không vận dụng được các phương pháp “truyền thống” đã học thì một số em rất lúng túng, chưa có nhiều khả năng tư duy sáng tạo, chưa khéo léo vận dụng các bài toán đã biết vào giải bài toán mình đang làm Đặc biệt, đa số các em chưa biết tự khai thác và phát triển bài toán theo các hướng khác nhau, đôi khi gặp những dạng toán quen thuộc nhưng nhiều em vẫn không giải được vì các em còn máy móc, chưa linh hoạt

Từ những lý do trên, tôi nghiên cứu hướng dẫn học sinh lớp 6 biết giải

và khai thác bài toán, kết quả thu được rất khả quan: Chất lượng học tập bộ môn tốt; tinh thần học tập, sự hứng thú say mê học tập của học sinh được nâng lên,

…, đây cũng chính là động lực giúp tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm về

“ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 6 khai thác các ứng dụng từ

một bài toán” để chia sẻ cùng đồng nghiệp

II Mục đích nghiên cứu:

Từ một bài toán trong chương trình toán 6, tôi giúp học sinh biết giải, nắm vững cách giải từ đó hướng dẫn học sinh biết tổng quát hóa bài toán, khai thác

và vận dụng bài toán vào giải các bài tập khác có liên quan

III Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài nghiên cứu dạng toán tính tổng dãy các phân số có quy luật và khai thác các ứng dụng của dạng toán này từ bài tập 87 trang 26 (sách bài tập toán 6, tập hai)

IV Phương Pháp nghiên cứu:

- Điều tra, khảo sát thực tế việc học của học sinh đối với dạng toán tính tổng dãy các phân số có quy luật

- Thu thập thông tin, thống kê, sử lý số liệu

- Áp dụng giảng dạy trên lớp và các tiết dạy buổi hai.

Các phương pháp giảng dạy đã được áp dụng là:

+ Phương Pháp vấn đáp gợi mở

+Phương pháp lập luận suy diễn logic

+ Phương pháp phân tích tổng hợp

+ Phương pháp cụ thể hóa, khái quát hóa

B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Trên cơ sở lý luận: kiến thức – phương pháp – thực hành – thai thác mở rộng

kết quả, thứ nhất: tôi cung cấp kiến thức cho Học sinh, yêu cầu học sinh nắm vững quy tắc các phép tính về phân số ( SGK toán 6 tập hai) đồng thời giải tốt bài tập sách giáo khoa toán 6, sách bài tập toán 6

Tiếp theo, sau khi nghiên cứu tài liệu tôi chọn bài tập 87 sách bài tập toán

6 - tập2 để giải quyết vấn đề và tạo tình huống học tập cho học sinh Mục đích dạy học sinh biết cách giải đồng thời biết chọn và sắp xếp các bài tập cùng dạng theo thứ tự từ dễ đến khó

Khi học sinh đã nắm được cách giải, biết trình bày lời giải, tôi tập trung hướng dẫn cách khai thác bài toán để học sinh hiểu sâu hơn về bài toán, từ đó giúp học sinh biết mở rộng bài toán thành những bài toán mới và có bài tập tự luyện để học sinh rèn luyện kỹ năng giải dạng toán đã học

II.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Qua các tiết dạy trên lớp , dạy buổi hai cũng như những buổi dạy bồi dưỡng cho học sinh lớp 6B trường THCS Phú Nhuận về bài tập dạng tính tổng dãy các phân số có quy luật, mặc dù các em đã nắm vững kiến thức cơ bản nhưng nhiều

em vẫn gặp khó khăn

Cụ thể: Trước khi triển khai đề tài tôi yêu cầu học sinh làm bài kiểm tra khảo sát như sau

ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT

(Thời gian: 45 Phút)

Bài 1 (3 điểm): Tính tổng

a, 151.16

5 4

1 4 3

1 3 2

1









b, 1 1 1 1 1.3 3.5 5.7   2009.2011

Bài 2 (3 điểm): Tìm số tự nhiên n, biết:

( 1 3) 1540101

154

1 88

1 40

1













n n

Bài 3 ( 4 điểm): Chứng minh rằng:

2 2 2 2

65 6 7  100 4

Kết quả kiểm tra :

Kết quả cho thấy: Không có bài đạt khá, giỏi; số bài yếu, kém chiếm tỉ lệ cao

Từ thực trạng trên, xét thấy cần thiết phải dạy cho học sinh biết giải dạng toán tính tổng dãy các phân số có quy luật và các bài toán liên quan bởi vì ngoài yêu cầu trong chương trình dạng toán này còn có ở các đề thi khảo sát, thi học sinh giỏi,v.v…, không chỉ dừng lại ở chương trình toán lớp 6 mà còn xuất hiện ở môn toán lớp 7,8,9 cấp THCS và các cấp cao hơn

III Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Để học sinh dễ tiếp cận và lĩnh hội được các kiến thức toán học, người giáo viên cần có sự đổi mới trong phương pháp dạy học Vì vậy, để học sinh có thể giải một số dạng toán một cách dễ dàng, tôi nghiên cứu, tìm hiểu tài liệu, thu thập thông tin về dạng toán quan tâm để đưa ra cách “khai thác các ứng dụng

từ một bài toán tính tổng dãy các phân số có quy luật”

Trước khi đưa ra một dạng toán vận dụng, tôi yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức có liên quan, sau mỗi dạng vận dụng phải có ví dụ cụ thể và các bài toán tương tự để luyện tập cho học sinh trên tinh thần nhắc nhở học sinh phải chú ý luyện giải để “tái hiện” kiến thức khi đã hiểu và biết giải Sau đây là những giải pháp bản thân đã áp dụng

1 Chọn bài toán trong chương trình toán 6:

* Xét thấy học sinh gặp khó khăn khi giải toán liên quan đến tính tổng dãy phân

số có quy luật, tôi nghiên cứu chương trình toán 6 và chọn bài tập 87 (sách bài tập toán 6, tập 2) để phân tích, hướng dẫn học sinh giải đồng thời giúp các em nắm vững cách giải của bài tập này

Cụ thể tôi thực hiện:

- Nêu bài tập:

Bài 87 (sbt toán 6-tâp 2)

a) Cho hai phân số n1 và 11



n ( n  Z, n  0 ) Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng

b) Áp dụng kết quả trên để tính giá trị các biểu thức

A =

9

1 8

1 8

1 7

1 7

1 6

1 6

1 5

1 5

1 4

1 4

1 3

1

3

1

.

2

1











B = 301 421 561 721 901 1101 1321

Hướng dẫn:

- Tôi yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài, phân tích rồi định hướng giải cho các em

Câu a: Tìm tích hai phân số; tìm hiệu hai phân số ; so sánh tích và hiệu tìm được, từ đó rút ra kết luận

Câu b: A: Áp dụng trực tiếp kết luận ở câu a

B: Phân tích mỗi mẫu số thành tích hai thừa số hơn kém nhau 1 đơn vị các em sẽ áp dụng được công thức ở câu a

Lời giải:

a) Ta có: 1. 11 ( 1 1)





 n n n

n

1 11 ( 1 1)  ( 11)













n n n

n

n n n

Vậy:

1

1 1 1

1 1







n

n (n  Z, n  0 )

b) Áp dụng:

8

1 8

1 7

1 7

1 6

1 6

1 5

1 5

1 4

1 4

1 3

1 3

1

.

2

1















A

18

7 9

1 2

1 ) 9

1 8

1 ( ) 8

1 7

1 ( ) 7

1 6

1 ( ) 6

1 5

1 ( ) 5

1 4

1 ( ) 4

1 3

1 ( ) 3

1 2

1

B 301 421 561 721 901 1101 1321

51.6 61.7 71.881.99.110101.11111.12

12

1 11

1 ( ) 11

1 10

1 ( ) 10

1 9

1 ( ) 9

1 8

1 ( ) 8

1 7

1 ( ) 7

1 6

1 ( ) 6

1 5

1



51 121 607

- Sau khi học sinh giải xong câu a, tôi yêu cầu học sinh rút ra công thức tổng quát: ( 1 1) 1 11

n

n Với n  Z, n  0 (1)

Ví dụ : 51.6 = 51 61; 61.7 = 61 71; v.v…, công thức này cũng đã được

áp dụng cho câu b của bài toán

Vậy: Phân số n(n11) có mẫu là tích 2 thừa số có giá trị hơn kém nhau 1 đơn vị; 1 chính là tử số Phân số nào có đặc điểm như vậy thì luôn viết được dưới

dạng hiệu hai phân số có tử là 1 như công thức (1)

2 Khai thác, mở rộng bài toán 87 sách bài tập toán 6 tập 2:

- Tình huống 1: Tôi yêu cầu học sinh suy nghĩ và cho biết: Phân số n(n11) ở

công thức (1) nếu tử số khác số 1, mẫu giữ nguyên là hai thừa số hơn kém nhau

1 đơn vị như phân số 25.3 thì sao? Học sinh suy nghĩ, tìm được kết quả :

) 3

1 2

1 ( 5 3

.

2

1

.

5

3

.

2

5







Vậy: Phân số có mẫu là tích 2 thừa số có giá trị hơn kém nhau 1 đơn vị, tử số khác 1 thì biến đổi đề xuất hiện phân số n(n11) và áp dụng công thức (1)

( Kết quả của câu a bài 87 SBT toán 6 tập 2 đã giải ở trên)

- Tình huống 2: Ở công thức (1) , nếu tử số khác số 1, hai thừa số ở mẫu hơn

kém nhau bằng tử số của nó Ví dụ 23.5 thì sao?

Học sinh tiếp tục suy nghĩ, trả lời, khi các em lúng túng, tôi gợi ý biến đổi để có:

23.5 12 51

Vậy: Phân số a(a nn) có tử số nN*, mẫu là hai thừa số khác không và có giá trị hơn kém nhau n đơn vị đúng bằng tử số thì ta có thể viết phân thức

)

(a n

a

n

 thành hiệu của hai phân thức nào?

Học sinh chứng minh được: a a n n a an



1 1 ) ( (2) với a, nN*

Ví dụ áp dụng công thức (2)

a, 53.8 51 81 ; b, 27.9 12 91; …

c,52.77.310104.14 51 7171  101 101  141 51 141 709

-Tình huống 3: Trở lại công thức (1), tôi giữ nguyên tử số là 1, mẫu thay bằng

tích hai thừa số hơn kém nhau n đơn vị được phân số: a(a1n) (a, nN* ) ,

Em hãy cho biết phân số a(a1n) có thể viết thành tích hai thừa số trong đó một thừa số là hiệu của hai phân số có tử là 1?

Học sinh có thể dự đoán được: 1(1 1 )

) (

1

n a a n n a

a    

Tôi yêu cầu học sinh hãy làm sáng tỏ dự đoán trên?

) ( 1 ) 1 1 (

1

n a a n a a

n n n a a

a n a n n a a











Kết luận: 1(1 1 )

) (

1

n a a n n a

a     (3)

Ví dụ áp dụng công thức (3) và (2)

a, )

5

1 3

1 ( 2

1 5 3

2 2

1 5 3

1





b, )

7

1 4

1 ( 3

2 7 4

3 3

2 7 4

2







11 8

3 3 8 7

1 3 7 5

2 3 15 11

12 11 8

9 8 7

3 7 5

6















5

2 ) 15

1 5

1 ( 3 ) 15

1 11

1 11

1 8

1 8

1 7

1 7

1 5

1 (



Học sinh thấy được : Câu a, dùng công thức (3) biến đổi làm xuất hiện phân

số có hai thừa số ở mẫu hơn kém nhau 2 đơn vị đúng bằng tử số, từ đó vận dụng

công thức (2)

Câu b, học sinh phải nghĩ được cách biến đổi để làm xuất hiện phân số có

mẫu là tích hai thừa số hơn kém nhau 3 đơn vị đúng bằng tử số là 3 để có thừa

số là hiệu hai phân số có tử là 1

Câu c, áp dụng tổng hợp các phép biến đổi đã nêu.

Vậy: Từ bài tập 87 ( SBT toán 6- tập 2), học sinh rút ra được các công thức cần ghi nhớ là

1/ ( 1 1) 1 11

a

a với aN*

2/ a a n n a an



1 1 ) ( với a,nN*

3/ 1(1 1 )

) (

1

n a a n n a

a     với a,nN*

Ba công thức trên là kết quả có được từ bài tập 87 sách bài tập toán 6 tập hai Với kết quả này, tôi hướng dẫn học sinh khai thác các ứng dụng của bài toán đã nêu trong dạng toán tính; toán rút gọn biểu thức; toán chứng minh đẳng thức; toán tìm số; toán chứng minh bất đẳng thức

3 Ứng dụng kết quả bài 87 (SBT toán 6- tập 2) trong bài toán tính tổng dãy các phân số có quy luật:

Bài 1: Tính tổng [1]

1.2 2.3 3.4 4.5 5.6     2010.2011

1.2 2.3 3.4 4.5 5.6     n n(  1) (nN*)

Hướng dẫn: Viết mỗi hạng tử trong tổng dưới dạng hiệu hai phân thức:

Lời giải

1.2 2.3 3.4 4.5 5.6     2010.2011

2011

2010 2011

1 1 2011

1 2010

1

6

1 5

1 5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1

2

1

1.2 2.3 3.4 4.5 5.6     n n(  1)

1 1

1 1 1

1 1

6

1 5

1 5

1 4

1 4

1 3

1 3

1

2

1

2

1

1







































n

n n

n

Nhận xét:

- Câu a, vận dụng công thức (1) kết quả bài 87 sbt toán 6 đã giải.

- Câu b, là bài toán tổng quát của câu a

Những phân số ở bài tập 1 đều có mẫu là tích của hai số hơn kém nhau 1 đơn vị Vậy nếu gặp những bài toán xuất hiện phân số có mẫu là tích của hai số

hơn kém nhau n đơn vị (n0) và tử các phân số đó là các số bằng nhau thì ta làm thế nào? Nêu bài tập 2

Bài 2: Tính tổng [1]

a) A = 1 1 1 1

1.4 4.7 7.10   301.304

b) B = (5 4)(25 1)

16 11

2 11 6

2 6

.

1

2













n

n ( nN*)

Hướng dẫn:

a) Tương tự bài 1: Biến đổi để viết mỗi hạng tử trong tổng thành tích có thừa số

là hiệu hai phân thức :

Ta có: 1 1(1 1)

1.43  4

1 1 1 1( )

4.73 4 7

1 1 1( 1 )

7.103 7 10

…

1 1 1( 1 )

301.304 3 301 304

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có:

1.4 4.7 7.10   301.304 = 1(1 1)

3  4 +1 1 1( )

3 4 7 +1 1( 1)

3 7 10 +…+1 1( 1 )

3 301 304

= 31 (1- 14 +41 71 + 71  101 + + 3011  3041 )

= 1(1 1 )

3  304 = 101

304

Vậy: A = 101

304

b) Tương tự câu a ta có:







































) 1 5 )(

4 5 (

5

16 11

5 11 6

5 6 1

5 5

2 ) 1 5 )(

4 5 (

2

16 11

2 11

.

6

2

6

.

1

2

n n

n n

) 1 5

1 4 5

1

16

1 11

1 11

1 6

1

6

1

1

(

5

2























n

2 1 5

5 5

2 ) 1 5

1 1 ( 5

2















n

n n

n n

* Nhận xét:

- Với cách suy luận như vậy tôi đề xuất và yêu cầu học sinh đề xuất một loạt bài toán cùng loại với cách giải cùng phương pháp trên

- Mở rộng : Tôi yêu cầu học sinh suy nghĩ sang dạng toán có mẫu là tích của 3,

4, …, số tự nhiên cách đều nhau Liệu có sử dụng phương pháp trên được không? Từ đây Học sinh tiếp tục nghiên cứu bài tập

Bài 3: Tính tổng [1]

1.3.5 3.5.7 5.7.9   (2n 1)(2n 1)(2n 3) với n 1, n N

b) N = 1 1 1 1

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6   27.28.29.30

Hướng dẫn giải:

*Nhận xét: Phương pháp giải tương tự như các bài trên: Ta có thể viết mỗi hạng

tử dưới dạng tích có thừa số là hiệu:

a) Tôi nêu và hướng dẫn học sinh chứng minh công thức:

(2n 1)(2n 1)(2n 3) 4 (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 3)

Áp dụng ta có:

4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 3)

4 3 (2 n 1)(2n 3)

M =

2 2

3(2 1)(2 3)



b) Tương tự, ta có:

1.2.3.43 1.2.3 2.3.4

2.3.4.53 2.3.4 3.4.5

………

27.28.29.303 27.28.29 28.29.30

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6   27.28.29.30

=1( 1 1 )

3 1.2.3 2.3.4 + 1( 1 1 )

3 2.3.4 3.4.5 + + 1( 1 1 )

3 27.28.29 28.29.30

8120

451 )

30 29 28

1 3

.

2

.

1

1

(

3

1







Vậy: N =

8120

451

Tôi yêu cầu học sinh lưu ý: Khi mở rộng bài 87 (đã nêu) vào những bài toán mà tử là một số, mẫu là tích của hai số có giá trị hơn kém nhau n đơn vị thì cách giải quyết tương tự

* Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tính tổng [5]

a) 1 1 1 1

1.3 3.5 5.7   2009.2011

b) 7 7 7 7 7

2.4 4.6 6.8 8.10    2 (2n n 2) với n 1

4 Ứng dụng kết quả bài 87 (SBT toán 6- tập 2) trong toán rút gọn biểu thức; toán chứng minh đẳng thức:

Bài 1 Tính tỉ số B A biết: [3]

A = 734.13 + 1351.22+2285.37 +3768.49 và B = 739.16 + 1665.31+3152.43+4326.49

Hướng dẫn:

Bản chất của vấn đề là: B A =

49 43

26 43

31

52 31 16

65 16

7

68 37

22

85 22

13

51 13

7 34













Tuy nhiên sẽ không thực hiện theo cách trình bày như vậy, tránh phức tạp các em nên dùng phương pháp đã học để tính riêng giá trị A, tính giá trị B, sau

đó tính tỉ số B A

Nếu học sinh không phát hiện được cách tính giá trị các biểu thức, tôi yêu cầu học sinh nhận xét các mẫu ở mỗi dãy có hai thừa số cách nhau mấy đơn vị?

từ đó tìm cách đưa mỗi phân số trong dãy về dạng tích có thừa số là hiệu hai phân số có tử là 1

Vì dụ: 734.13 = 346 7.613 = 346 ( 71 -131 )

Sau khi học sinh phát hiện được vấn đề và tìm được cách giải, tôi yêu cầu học sinh trình bày lời giải

Giải

Ta có:

A = 734.13 + 1351.22+2285.37 +3768.49

=

6

34

13

7

6

+

9

51

22 13

9

+

15

85

37 22

15

+

12

68

49 37 12

= 173 ( 71 -131 ) + 173 (131 -221 ) + 173 (221 -371 ) + 173 (371 -491 )

= 173 ( 71 -131 + 131 -221 + 221 -371 + 371 -491 ) = 173 (71 -491 )

B = 739.16 + 1665.31+3152.43+4326.49

= 399 7.916 + 1565.1615.31+ 1252.3112.43+ 266 436.49

= 133 (71 -161 ) + 133 (161 -311 )+ 133 (311 -431 )+ 133 (431 -491 )

=

3

13

(

7

1

-16

1

+

16

1

-31

1

+

31

1

-43

1

+

43

1

-49

1

) = 133 (71 -491 )

Suy ra: B A =

) 49

1 7

1 ( 3 13

) 49

1 7

1 ( 3 17





= 173 133 = 1713 Vậy: B A = 1713

Bài 3: Chứng minh rằng: [5]

26 27 28   50 1.2 3.4 5.6    49.50

Hướng dẫn giải:

Biến đổi vế trái ta có:

26 27 28   50

    - (1 1 1 1

    )

=1 1 1 1

    - 2(1 1 1 1

2 4 6   50) = 1 1 1 1 1 1

     

= 1 1 1 1

1.2 3.4 5.6   49.50

Vậy: 1 1 1 1 1 1 1 1

26 27 28   50 1.2 3.4 5.6    49.50 (Điều phải chứng minh)

Bài tập tự luyện [2]

Bài 1: Tính giá trị biểu thức:

A =

1.99 3.97 5.95 97.3 99.1

    

Bài 2: Cho biết a, b, c là các số nguyên khác nhau Chứng minh rằng:

5 Ứng dụng kết quả bài 87 (SBT toán 6- tập 2) trong bài toán tìm số chưa biết trong một đẳng thức:

* Để vận dụng bài toán 87(SBT toán 6-tập 2) vào dạng toán tìm x ta phải rút gọn một biểu thức (gồm các phân số viết theo quy luật), sau đó đưa về dạng cơ bản đã biết

Bài 1: Tìm số tự nhiên x biết : [2]

11.13 13.15 15.17 53.55 11

x       (x  N)