thì các em sẽ giải quyết tốt bài toántrên.Vấn đề là thông qua bài toán này học sinh biết khai thác kiến thức cơbản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm
Trang 1MỤC LỤC I.MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài……… 1
1.2.Mục đích nghiên cứu……… 1
1.3.Đối tượng nghiên cứu……….1
1.4.Phương pháp nghiên cứu……… 1
II.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………2
2.1.Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm………2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……3
2.3.Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề………3
2.3.1.Nội dung hướng dẫn học sinh……… 3
2.3.2.Bài tập củng cố………17
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục , với bản thân,đồng nghiệp và nhà trường ……… 19
III.KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ……… 20
3.1.Kết luận……… 20
3.2.Kiến nghị………20
TÀI LIỆU THAM KHẢO………21
Trang 2đó biết qui lạ thành quen.
Đặc biệt việc giải bài toán “Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳngbiểu diễn số phức” không phải là bài toán quá khó đối với học sinh Các emchỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđuncủa số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trìnhđường thẳng, đường tròn, đường Elíp, thì các em sẽ giải quyết tốt bài toántrên.Vấn đề là thông qua bài toán này học sinh biết khai thác kiến thức cơbản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm,lượng giác, bài toán cực trị trong hình học, để từ đó giải quyết được bài
toán “Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho trước”
Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duylogíc của mình Riêng bản thân, ở mỗi tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn trăntrở tìm ra những phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đốitượng học sinh, và tìm mọi cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức một cáchthụ động Đồng thời nâng cáo trình độ tư duy và sức sáng tạo của học sinh
trong các đề thi THPT Quốc gia Đặc biệt, năm học 2016- 2017, lần đầu tiên
Bộ giáo dục đào tạo chuyển hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm đối vớimôn Toán, và số lượng bài toán tìm số phức z để môđun lớn ,nhất nhỏ nhất
đã xuất hiện nhiều hơn qua các đề minh họa và thử nghiệm của Bộ Điều đó không chỉ gây lúng túng, khó khăn cho học sinh mà còn gây trăn trở cho giáo viên trong việc giảng dạy các dạng toán này Bởi vậy, tôi mạnh dạn lựa
chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh Lớp 12 giải quyết
các bài toán tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất’’.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm nhằm mục đích hướng tới giải quyết các vấn đề sau:
-Định hướng giải và phân dạng các bài tập thường gặp
-Xây dựng một số bài toán trắc nghiệm ứng dụng trong quá trình học tập và thi THPTQG của học sinh
-Rèn luyện kỹ năng làm toán thông qua hệ thống bài toán viết dưới dạng trắc nghiệm có hướng dẫn và hệ thống bài tập tự rèn luyện
Tr
ang 2
Trang 3-Đề xuất một phương án khai thác trong dạy học ,nhằm góp phần gây hứng thú học tập đối với học sinh
1.3.Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh khối 12 THPT ôn thi THPT quốc gia
- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT
1.4.Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích chọn đề tài ,trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
1.4.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình
nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài
1.4.2.Phương pháp điều tra thực tế:
+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan
+ Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn
1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi vàhiệu quả của giải pháp đề ra
Trang 4II NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Mục đích của dạy học toán là cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông,những kiến thức cơ bản từ đó rèn luyện tư duy logic, phát triểnnăng lực tìm tòi sáng tạo góp phần tạo thế giới ,nhân sinh quan đối với học sinh
Bài toán “Tìm số phức để môđun đạt GTLN,GTNN” có nhiều
phương pháp giải ,yêu cầu cần phải từ giả thiết bằng những kiến thức đã học
có thể chuyển về những bài toán tìm GTLN,NN đã học ,rồi sử dụng các công
cụ đạo hàm ,khảo sát hàm số,lượng giác ,hình học phẳng…
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh bậc trung họcphổ thông hiện nay Vì mới đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có rất íttài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượngbài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong Sách giáo khoa còn nhiềuhạn chế Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinhgặp không ít những khó khăn
Trước đây trong các đề thi ít đề cập đến phần tìm ra được môđun sốphức lớn nhất, nhỏ nhất.Đa phần giáo viên chỉ giới thiệu và hướng dẫn họcsinh một số ít bài tập Học sinh cũng chỉ một số ít quan tâm và số đông các
em chỉ học những phần liên quan đến thi cử, các em khá lúng túng khi sửdụng các kiến thức đã học để xử lý các bài toán này,
+ Nhận dạng và sử dụng kiến thức ứng dụng chưa nhanh nhạy
+ Chưa có thói quen tự nghiên cứu và kiểm tra lời giải
+ Chưa biết hệ thống và phân loại các loại bài tập nhằm rèn kỷ năngVới hình thức trắc nghiệm trong kì thi THPTQG ta thấy một thực tế là dạngtoán tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất vẫn có trong các đề thi
Bên cạnh đó, bài toán tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn
số phức z và bài toán tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất có quan hệmật thiết vơi nhau Trong quá trình giảng dạy phần nội dung này tôi nhận thấyvẫn còn một số học sinh chưa giải quyết được bài toán tìm tập hợp các điểmbiểu diễn số phức mặc dù tập hợp các điểm cần tìm thông thường là đườngthẳng, đường tròn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol, Nhiều họcsinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài toán tìm số phức có môđunlớn nhất, nhỏ nhât Để làm tốt được bài toán này trước hết học sinh phải tìmđược tập hợp các điểm biểu diễn số phức sau đó áp dụng kiến thức về bấtđẳng thức, đạo hàm, lượng giác, hình giải tích trong mặt phẳng: đường thẳng,đường tròn, Elíp, để từ đó tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất
Tra
ng 4
Trang 52.3 Các giải pháp
Để hướng dẫn cho học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết cácbài toán “Tìm số phức z để môđun lớn nhất, nhỏ nhất”tôi đã hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô
hình Toán học cho vấn đề đang xét
Đây là bước quan trọng,từ giả thiết của bài toán và các mối liên hệ ta xây dựng,thiết lập và biểu diễn chúng dưới dạng các biến số,lập hàm số tìm các điều kiện tồn tại của chúng
Bước 2: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài
toán ở bước 1
Với các kiến thức đã học ta vận dụng giải quyết bài toán như: sử dụng công cụ đạo hàm để khảo sát hàm số hoặc áp dụng công thức lượng giác, giải phương trình, các bài toán hình học phẳng…và giải quyết bài toán hình thành ở bước 1.Và đặc biệt tôi luôn lưu ý các em về các điều kiện ràng buộc của biến số và hướng dẫn các em sử dụng CASIO để tính toán
nhanh,chính xác và tiết kiệm thời gian
Bước 3:Kiểm tra kểt quả thu được ở bước 2 rồi rút ra kết luận
z=a+0i được gọi là số thực (a R )
z=0+bi được gọi là số ảo (b R )
0=0+0i vừa là số thực vừa là số ảo
Biểu diễn hình học của số phức:
M(a,b) biểu diẽn số phức z z a bi
2.Hai số phức bằng nhau
Cho hai số phức z1 a bi z; 2 a b i' ' với a b a b, , ', ' R
1 2
' '
Trang 62 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
2.Định lý về dấu tam thức bậc hai
3.Sự đồng biến ,nghịch biến của hàm số và bảng biến thiên
4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng,đường thẳng và đường tròn
5.Tính chất của hàm số lượng giác
6.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp
Tra
ng 6
Trang 7+Phương trình đường thẳng :ax+by+c=0
+Phương trình đường tròn (x-a) 2 +(y-b) 2 =R 2
+Phương trình đường Elip:x22 y22 1
C CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
Tìm số phức z có môđun lớn nhất(hoặc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện cho trước
Phương pháp chung:
Bước 1:Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện
Bước 2:Tìm số phức z tương ứng với điểm M thuộc (G) sao cho OM có giá trị
lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)
Ngoài ra ta xét ba bài toán sau:
Bài toán 1: Cho đường tròn (T) cố định có tâm I,bán kính R và điểm A cố
định Điểm M di động trên đường tròn (T) Hãy xác định vị trí của điểm M sao cho AM lớn nhất,nhỏ nhất
Bài giải:
TH1:A thuộc đường tròn (T)
Ta có :AM đạt GTNN bằng 0 khi M trùng với A
AM đạt GTLN bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I
TH2:A không thuộc đường tròn (T)
Gọi (d) là đường thẳng đi qua hai điểm
A và I Gọi B,C là giao điểm của đường
thẳng d và đường tròn (T) ,giả sử AB<AC
+Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì
với điểm M bất kì trên (T) ta có:
AM AI IM AI IB AB
Đẳng thức xáy ra khi M trùng B
AM AI IM AI IC AC
.Đẳng thức xáy ra khi M trùng C
+Nếu A nằm trong đường tròn (T)
thì với điểm M bất kì trên (T) ,ta có
Trang 8Vậy khi M trùng với B thì AM đạt GTNN
-Gọi d là đường thẳng đi qua I,J
d cắt đường tròn (T1) tại hai
điểm A,B ( giả sử JA JB ),
d cắt (T2) tại hai điểm C,D
(giả sử ID IC )
-Với điểm M bất kì trên (T1)
và điểm N bất kì trên (T2),ta có :
+ MNIM IN IM IJ JN R1 R2 IJ AD
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D
+ MN |IM IN | | IJ IM IN | | IJ R 1 R2 | BC
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C
Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt GTLN, Khi M trùng với
B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất
Bài toán 3:Cho đường tròn (T) có tâm I,bán kính R,đường thẳng không có điểm chung với (T) Tìm vị trí điểm M trên (T) ,điểm N trên sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất
Giải :
Gọi H là hình chiếu vuông góc
của I trên Đoạn IH cắt (T) tại J
Với N thuộc đường thẳng ,M
thuộc đường tròn (T) ,ta có :
D BÀI TẬP MINH HOẠ
Dạng 1:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn
Tra
ng 8
d
D C
M
Trang 9Bài 1: Cho số phức z thoả mãn |z 3 4 | 4 i Tìm số phức z có môđun lớn nhất,nhỏ nhất
Cách 1 : Phương pháp lượng giác hoá
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z x yi ( ,x y R )
| |z OM x y (3 4sin ) t ( 4 4cos )t 41 8(3sin t 4cost)
Vì 5 3 cost 4sint 5 nên 1 | | 9 z
Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi 27 36
Trang 10Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z x yi ( ,x y R ) Khi đó
Phương trình đường thẳng OI là 4x+3y=0
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm A,B có toạ độ là
nghiệm của hệ phương trình
Với mọi điểm M thuộc đường tròn (T) thì OA OM OB 1 | | 9z
Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi 27 36
I B H
Trang 11đường tròn (T) có tâm I(3;-4),bán kính R=4
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai
điểm A,B như hình vẽ
Ta có | |z min M trùng với A trên (T) gần O
Trang 13Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên :x y 6 0 H(3,3)
Đoạn OH cắt đường tròn (T) tại ( 2; 2)
Dạng 2:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng
Bài 4:Trong các số phức z thoả mãn |z-2-4i|=|z-2i|.Tìm số phức z có môđun
nhỏ nhất
A.z 2 2i B z 2 2i C z 2 2i D z 2 2i
Bài giải
Trang 14Đẳng thức xảy ra khi x=2,y=2
Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 khi z 2 2i
Dạng 3:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elip
Bài 5:Trong các số phức z thoả mãn điều kiện |z 3 | | z 3| 10 Tìm số phức
Trang 15Bài 1 : (Câu 23-Đề thi thử Trần Hưng Đạo-Ninh Bình-Lần 3)
Trong các số phức thoả mãn điều kiện|z 3 | |i z 2 i| Tìm số phức có
Trang 16Bài 2: ( Câu 48-Đề minh hoạ lần 3)
Xét số phức z thoả mãn:|z 2 i| | z 4 7 | 6 2 i Gọi m,M lần lượt là
Bài 3: (Câu 46-Đề THPT Chuyên-Trường Đại Học Vinh-Lần IV)
Cho số phức z thoả mãn z không phải là số thực và 2
2
z w
z
là số thực Giá trị lớn nhất của biểu thức M |z 1 i| là:
Trang 17Bài 9:Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất Biết số phức z thoả mãn điều kiện
Bài 14: Tìm z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất Biết số phức z thoả
mãn các điều kiện sau u(z 3 i z)(_ 1 3 )i là số thực
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Sau khi tiến hành thử nghiệm dạy lớp 12A10, lớp đối chứng là trường THPT Hoằng Hóa 4; hai lớp này có lực học là tương đương; qua quá
Trang 1812A6-trình thiết kế bài soạn, thực nghiệm giảng dạy và kiểm tra đánh giá kết quả, tôithấy rằng:
- Học sinh lớp 12A10 rất hứng thú học tập và tiếp thu khá nhanh kiến thức đưa ra Các em có khả năng vận dụng các kiến thức đó để giải quyết và làm bài toán có liên quan đến số phức Từ đó tư duy toán học của các em được nâng lên, chất lượng môn Toán được nâng lên đáng kể
Qua đợt khảo sát chất lượng Lớp 12 của Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa,
đề thi hay, phù hợp và bám sát với thi THPT Quốc Gia, có 6 bài toán liên quan đến số phức, 80% học sinh 12A10 làm đúng 6 bài toán đó
Kết quả thu được như sau :
Điểm 4-4.8 5-5.8 6-6.8 7-7.8 8-8.8 9-9.8 10 Tổng
Qua đây, học sinh có hứng thú hơn trong học tập nhất là cùng một bài toán
mà có thể tìm ra được nhiều phương pháp giải Các em không còn thấy “xa lạ”với các bài toán trắc nghiệm Giáo viên sẽ tích cực giảng dạy, khai thác sâu hơn các bài toán liên quan đến số phức
Trang 19Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhấtcho gian đoạn hiện nay ,giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, mộtđất nước đang phát triển như Việt nam ta nói chung ,riêng đối với ngành giáodục cần phải đổi mới nhanh chóng, song ở mỗi bộ môn đặc biệt các môn tựnhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp dụng thì mỗi giáoviên chúng ta nên chỉ ra và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được Có nhưvậy, tình trạng hổng kiến thức cơ bản mới hạn chế và dần khắc phục được.
Đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được một số phương pháp giảng dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh.Chính vì vậy đã phần nào tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên khi giảng dạy ở những tiết bài tập trong quá trình ôn thi THPTQG
Nêu bật được ứng dụng các phương pháp trong việc giải quyết một bài toán kể cả dùng kiến thức của hình học phẳng
Đề tài có thể là tài liệu tham khảo giảng dạy cho giáo viên Toán hoặc sửdụng làm tài liệu liên môn, cũng như tài liệu học tập cho học sinh lớp 12
Đề tài của tôi trên đây còn mang màu sắc chủ quan, chắc chắn còn nhiều thiếu sót và hạn chế Vì vậy tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến quí báu, phê bình, phản hồi của các thầy cô, các đồng nghiệp để càng hoàn thiện hơn
3.2 Kiến nghị.
-Từ kết quả nghiên cứu đã đạt được trên đây, tôi xin mạnh dạn đề xuất một sốkiến nghị như sau:
Một là, đối với Sở giáo dục và đào tạo: Cần tổ chức tập huấn cho giáo viên
nhiều hơn nữa về việc đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là tập huấn việc
ra đề trắc nghiệm
Hai là, đối với nhà trường: cần tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, trang
thiết bị hỗ trợ giáo viên Có chế độ khen thưởng kịp thời đối với giáo viên có nhiều sáng kiến kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy
Ba là, đối với giáo viên: Cần phối hợp nhiều phương pháp dạy học tích cực
trong quá trình dạy học, đổi mới phương pháp theo hướng tích cực hóa người học, tích cực soạn giáo án liên môn tích hợp và giảng dạy
Đề tài này cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh và đồng nghiệp dạy 12.Tuy nhiên các ví dụ cũng cần được sưu tập thêm, với sự cộng tác của độc giả