SKKN dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình

Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình PHềNG GD&T PH C TRNG THCS èNH CAO SNG KIN KINH NGHIM Dựng bt ng thc gii phng trỡnh, h phng trỡnh Mụn: Toỏn hc Ngi vit: Trn ng Tin Giỏo viờn: Toỏn Nm hc: 2013 - 2014 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình XC NHN CA HI NG KHOA HC TRNG: THCS èNH CAO Tng im: Xp loi: TM HI NG KHOA HC HIU TRNG Nguyn Vn Hnh XC NHN CA HI NG KHOA HC PHềNG GD&T PH C Tng im: Xp loi: TM HI NG KHOA HC Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình PHN I: PHN L LCH - H v tờn: Trn ng Tin - Chc v: Giỏo viờn T trng t Khoa hc T nhiờn - n v cụng tỏc: Trng THCS ỡnh Cao - Tờn sỏng kin kinh nghim Dựng bt ng thc gii phng trỡnh, h phng trỡnh Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình PHN 2: NI DUNG A M U t a, Thc trng ca : Giỳp hc sinh l mt nhng nhim v quan trng nht m ngi thy nht thit phi lm Nhim v ú khụng phi l d nú ũi hi phi cú thi gian, kinh nghim, phi cú lũng tn tõm v nhng nguyờn tc ỳng n Ngi hc sinh vi s n lc ca bn thõn phi thu c cng nhiu cng tt nhng kinh nghim c lp cụng tỏc Nhng nu Hc sinh ng mt mỡnh trc mt bi toỏn m khụng cú giỳp no, hay mt s giỳp quỏ ớt thỡ khụng th tin b gỡ c Mt khỏc nu thy giỳp nhiu quỏ thỡ hc sinh chng cũn gỡ phi lm Thy giỏo phi giỳp va phi khụng nhiu quỏ, cng ớt quỏ v nh vy hc sinh cú mt cụng vic hp lý.Trong cỏc kỡ thi chn hc sinh gii cp huyn, cp tnh ca trung hc c s v thi vo lp 10 chỳng ta thng gp bi toỏn gii phng trỡnh, h phng trỡnh khụng chớnh tc, chỳng thng c thit k di ý tng ca mt bt ng thc tớnh cht bt ng thc no ú Phng trỡnh, h phng trỡnh khụng chớnh tc l s phi hp nhiu lung kin thc, k nng gii toỏn Bi toỏn ũi hi ngi lm toỏn phi hiu bit sõu sc bt ng thc, linh hot s dng Ngi lm toỏn cn tỡm tũi, cng c h thng, liờn h cỏc kin thc, ng thi cho chỳng ta lm quen vi nghiờn cu, khỏm phỏ v p toỏn hc L giỏo viờn dy toỏn nhiu nm tụi nhn thy cn phi hp li thnh mt chuyờn dy cho hc sinh s dng dng toỏn mt cỏch cú h thng nhm cho hc sinh hiu rừ v s dng dng toỏn mt cỏch chớnh xỏc, linh hot, dy tớnh tớch cc, ch ng, t giỏc hc ca hc sinh nhm giỳp hc sinh cú th gii mt s bi toỏn nhanh, gn v tit kim c thi gian Cn c vo thc t trờn, yờu cu ca vic bi dng hc sinh khỏ gii v c bit l vic phỏt huy tớnh tớch cc ch ng sỏng to ca hc sinh hot ng hc Vi cỏc lý nờu trờn tụi cú ý tng xõy dng ti: Dựng bt ng thc gii phng trỡnh h phng trỡnh Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình b, í ngha v tỏc dng ca gii phỏp mi Theo ti ny a vo ỏp dng s cú tỏc dng sau: Nhm nõng cao cht lng Gii phng trỡnh, h phng trỡnh bng phng phỏp dựng bt ng thc Giỳp cho thy v trũ dy v hc t c kt qu cao cỏc k thi hc sinh gii Toỏn, gii toỏn trờn mỏy tớnh b tỳi THCS, hc sinh cú nim tin v k nng dng dng toỏn gii phng trỡnh v h phng trỡnh Gúp phn nõng cao cht lng dy hc toỏn v cỏc b mụn khỏc ngy cng cao hn Thc t qua theo dừi cht lng bi dng hc sinh gii 8, cú ỏp dng sỏng kin kinh nghim trờn thỡ tụi thy rng a s cỏc em tớch cc t duy, hng thỳ vi bi mi, kin thc mi hn so vi cỏc lp cũn li c bit l lp luụn cú s thi ua tỡm cỏch gii hay nht, nhanh nht Khụng khớ lp hc luụn sụi ni, khụng gũ bú, hc sinh c c lp t iu hng thỳ hn l phỏt huy c trớ lc ca cỏc em, giỳp cỏc em phỏt trin k nng nghiờn cu khoa hc hng thỳ vic tỡm tũi kin thc mi, k nng mi c, Phm vi nghiờn cu: Hc sinh cỏc lp khi trng THCS ỡnh cao huyn Phự C - Tnh Hng yờn Phng phỏp tin hnh a, C s lý lun v thc tin Núi n dy hc l mt cụng vic va mang tớnh khoa hc va mang tớnh ngh thut Do ú ũi hi ngi giỏo viờn cn cú nng lc s phm vng vng, phng phỏp ging dy phự hp theo hng tớch cc giỳp hc sinh ch ng vic chim lnh kin thc Vic to cho hc sinh nim hng thỳ hc Gii phng trỡnh h phng trỡnh bng phng phỏp dựng bt ng thc hon ton ph thuc vo nng lc s phm ca giỏo viờn Ngoi vic lờn lp ngi giỏo viờn phi khụng ngng hc hi, tỡm tũi ti liu cú liờn quan lm cú th truyn th cho hc sinh mt cỏch nh nhng, d hiu, phự hp vi kh nng tip thu ca tng i tng hc sinh Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình Hng i mi phng phỏp dy hc Toỏn hin trng THCS l tớch cc húa hot ng hc ca hc sinh, dy v phỏt trin kh nng t hc, nhm hỡnh thnh cho hc sinh t tớch cc, c lp, sỏng to, nõng cao nng lc phỏt hin v gii quyt , rốn luyn k nng dng kin thc vo thc tin: tỏc ng n tỡnh cm em li nim vui, hng thỳ hc cho hc sinh c bit hin ton ngnh giỏo dc ang sc thc hin cuc ng Xõy dng trng hc thõn thin, hc sinh tớch cc thỡ vic to hng thỳ hc cho hc sinh cng chớnh l to cho cỏc em cú nim tin hc tp, dy cỏc em ý thc mi ngy n trng l mt nim vui Bn thõn tụi l mt giỏo viờn ó trc tip ging dy mụn Toỏn tụi cú nhiu nm tham gia vo cụng tỏc bi dng hc sinh gii mụn Toỏn, Toỏn trờn mỏy tớnh ti trng THCS ỡnh Cao tụi thy rng: - i vi hc sinh gii phng trỡnh, h phng trỡnh bng phng phỏp dựng bt ng thc cỏc em rt tớch cc vỡ mt s iu nh kt qu nhanh, chớnh xỏc, lm c nhiu bi khong thi gian ngn, to hng thỳ cho hc sinh hc toỏn - i vi giỏo viờn a s ú kin thc ó khú li rng ln v bao trựm Do ú thi gian vo nghiờn cu, tỡm tũi cú kin thc vng v sõu thỡ rt khú, cú l mi ngi cựng mt suy ngh rng - c gng hon thnh nhim v l c cũn nghiờn cu tỡm tũi ó cú cỏc nh khoa hc - Nguyờn nhõn gúp phn khụng nh na cho rng vic nghiờn cu tỡm li gii cho cỏc bi toỏn l nhng ngi phi cú trớ tu, phi l bc v nhõn Suy ngh ny ch ỳng mt phn vỡ Ngc khụng mi thỡ khụng sỏng c Do ú ũi hi ngi giỏo viờn phi cú thi gian, cú tõm huyt v tinh thn hc hi cao thỡ mi ỏp ng c chuyờn mụn, cụng vic ging dy ca mỡnh Toỏn hc cao cp cú kin thc, cú cỏch gii nhanh v khoa hc vi bi toỏn trờn song khụng dng c vo cp hc ph thụng, hoc cha tỡm c phng phỏp khoa hc hc sinh tip cn cho phự hp vi chng trỡnh hc, v ni dung sỏch giỏo khoa hin hnh b, Cỏc bc tin hnh *-Nghiờn cu ti liu : +SGK - Sỏch tham kho ; trớ toỏn hc *-S dng phng phỏp phõn tớch i lờn (xung), tng hp Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình ca dy hc *- So sỏnh, tng kt *- Kt hp vi hi ng s phm nh trng cựng nghiờn cu dng kin thc hp lý khụng quỏ sc hc sinh khuụn kh chng trỡnh hc Tng kt kinh nghim bng thc t ging dy (c bit l bi dng hc sinh gii) ca bn thõn v ng nghip bi dng hc sinh gii Toỏn núi chung v gii toỏn trờn mỏy tớnh núi riờng cú hiu qu theo tụi phi lm c nhng cụng vic sau: - u nm phõn loi i tng hc sinh, chn nhng em hc khỏ Toỏn tr lờn v chm hc vo i tuyn HSG Toỏn - Chun b ti liu, sỏch tham kho, sỏch nõng cao mụn Toỏn - Son ni dung bi dng hc sinh gii, ni dung bi dng hc sinh gii phi h thng, phõn loi c tng dng Toỏn c phõn cụng bi dng - Lờn k hoch bi dng hc sinh gii theo tng tun - Thng xuyờn tỡm hiu v nghiờn cu cỏc kin thc cú liờn quan trờn mng internet - Cỏc dng toỏn gii phng trỡnh, h phng trỡnh v cỏc bt ng thc chng trỡnh THCS * Thi gian to gii phỏp: Nm hc 2012 2013; 2013 - 2014 B NI DUNG Mc tiờu Sỏng kin kinh nghim ny c ỏp dng hai v kh nng nhn thc ca hc sinh khụng ng u, a s hc sinh cũn thiu ng c hc tp, li hc, khụng tớch cc hc vỡ cho rng õy l chuyờn khú khụng quan trng, khụng thit thc vy vic phỏt huy tớnh tớch cc ca mt s hc sinh ú rt hn ch Hn na nhng hc sinh trờn ớt c s quan tõm ca gia ỡnh.Vỡ vy ũi hi s c gng tn tõm ca ngi thy dn giỳp cỏc em hũa nhp vi kh nng nhn thc chung cu mụn hc Rốn luyn Gii phng trỡnh h phng trỡnh bng phng phỏp dựng bt ng thc l mt nhng cỏch hỡnh thnh kin thc, k nng mi cho hc sinh phng phỏp luyn thụng qua bi l quan trng nõng cao cht Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình lng dy v hc b mụn Vi hc sinh hat ng gii bi l hot ng tớch cc cú tỏc dng sau: - Rốn k nng dng kin thc ó hc, kin thc tip thu c qua bi ging thnh kin thc ca mỡnh, kin thc c nh lõu c dng thng xuyờn - o sõu m rng kin thc ó hc mt cỏch sinh ng, phong phỳ, hp dn - L phng tin ụn tp, cng c, h thng hoỏ mt cỏch tt nht kin thc ó hc - Phỏt trin nng lc nhn thc, rốn trớ thụng minh cho hc sinh GII PHP CA TI 1.2 QU TRèNH THC HIN A- p dng bt ng thc Cauchy Kin thc Bt ng thc Cauchy l mt bt ng thc quen thuc i vi hu ht hc sinh Tuy nhiờn, ngi ta xõy dng c nhiu bi toỏn mi hay khú Bt ng thc cauchy c phỏt biu: Cho dóy s khụng õm a1,a2, an Ta cú bt ng thc: a1 + a2 + .an n n a1a2 an V du bng xy v ch a1=a2= =an Bt ng thc c chớnh minh rt nhiu ti liu, xin phộp khụng trỡnh by chng minh bi vit ny Mt s vớ d Phng trỡnh, h phng trỡnh gii bng cỏch dựng bt ng thc cauchy rt phong phỳ v a dng Thụng qua cỏc vớ d in hỡnh mong rng chỳng ta s nhn dng nhanh c im ca bi toỏn Vớ d 1: Gii phng trỡnh: x + y + z + = x + y + z * Li gii: iu kin cú ngha: x ; y ; z Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình p dng Bt ng thc Cauchy, ta cú: x x +1 (1) z z 5+9 y y +4 (2) (3) Cng (1), (2), (3), ta cú: x + y + z x + y + z + Du = xy x = 1; y = 2; z = Vy nghim ca phng trỡnh l: (x ; y; z) = (3; 5; 8) Nhn xột: õy l phng trỡnh vụ t khụng chớnh tc, bi toỏn cũn cú nhng cỏch gii khỏc, nhiờn vi cỏch gii dựng bt ng thc Cauchy l dng ý ca ngi vit õy l bi toỏn c bn, chỳng ta cú th to nhiu bi tng t vi mt chỳt bin i Vớ d 2: Gii phng trỡnh: 16 x + = 63 x + x Li gii: iu kin cú ngha: Vỡ 16x4 + > nờn x + x > x > p dng Bt ng thc Cauchy cho s dng 4x; 4x2 +1 ; ta cú: x + x = 3 x(4 x + 1).2 x + (4 x + 1) + = x + x + => 16x4 + 4x2 + 4x + 8x4 - 2x2 - 2x + (2x-1)2 (2x2 + 2x + 1) (2x - 1)2 0, vỡ (2x2 + 2x + 1) 0, nờn x = 1/2 tha Nhn xột: õy l bi toỏn phng trỡnh vụ t khú, hiu gii bng cỏch nõng lờn ly tha thỡ bi toỏn phc v khú gii c Bng cỏch quan sỏt, s dng iu kin hp lý, bt ng thc Cauchy kt hp vi bin i tng ụng chỳng ta tỡm li gii Quan sỏt k chỳng ta cú th to mt lp bi toỏn bng cỏch bin i i lờn Vớ d 3: Gii h phng trỡnh Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình 2x2 + =3 y4 y2 + =3 x4 Li gii: Cng v vi v ta cú: x2 + 1 + y2 + = x y (1) ỏp dng Bt ng thc Cauchy ta cú: x + x + y2 + y2 + 1 3.3 x x = x x 1 3.3 y y = y y x2 = x4 Vy du bng xy (1) khi: y = y x = y= Vy nghim ca h phng trỡnh l: ( x ; y) = (1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1) Nhn xột: ng gúc no ú, thỡ õy l l phng trỡnh i xng loi 2, bi toỏn cú th gii theo phng trỡnh chung ú Vn dng bt ng thc cauchy bi l li gii c ỏo v sỏng to Ch s dng bt ng thc Cauchy thỡ phng trỡnh (1) d phỏt hin hn so vi h phng trỡnh u bi cho ỏp dng cỏch gii, ta cú th to nhiu bi hay v khú hn Vớ d 4: Gii h phng trỡnh : 2x2 =y + x2 y2 =z 1+ y2 2z2 =x 1+ z2 Li gii: 10 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình D thy ( x; y; z) = (0; 0; 0) l mt nghim ca h phng trỡnh Xột x, y, z v x, y, z > p dng Bt ng thc Cauchy ta cú: 1+ x2 2x , 1+ y2 2y ,1 +z2 2z y2 2x2 2z2 y x z Vy t h phng trỡnh ta cú: Nờn ta cú: ; ; 1+ y2 1+ x2 1+ z2 y x z y ú x = y = z Gii ta cú: x = y = z = Vy h phng trỡnh cú hai nghim (x, y, z) = {(0, 0, 0) ; (1, 1, 1)} Nhn xột: õy l h phng trỡnh cú dng hoỏn v, ngoi cỏch gii trờn, bi toỏn cũn cỏch gii khỏc Tuy nhiờn cỏch gii trờn ngn gn, phự hp vi hc sinh THCS hn, Bt ng thc Cauchy ó em li li gii hay, c ỏo B- p dng bt ng thc BUNHIACễPSKI 1- Kin thc: Khi nhc n bt ng thc chỳng ta khụng th khụng nhc n Bt ng thc Binhiacụpski õy l mt bt ng thc quen thuc vi hc sinh, c s dng nh mt cụng c, phn ny chỳng ta nghiờn cu di dng ng dng gii phng trỡnh, h phng trỡnh khụng mu mc Trc ht ta phỏt biu bt ng thc Binhiacụpski Gi s: a1, a2,, an v b1, b2,bn l hai hóy s tựy ý Ta cú bt ng thc (a1b1 + a2b2+ anbn) (a12 + a22 + + an2 ).(b12 + b22 + + bn2 ) a a a n V du bng xy khi: b = b = b n Bt ng thc c chng minh rt nhiu ti liu, xin phộp khụng trỡnh by cỏch chng minh bi vit ny Mt s vớ d: K thut dựng bt ng thc Bunhiacụpski gii phng trỡnh, h phng trỡnh thng phong phỳ v a dng Khi gii dng toỏn bng phng 11 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình phỏp ny, cn quan sỏt, cú k nng nhn bit cỏc cp s Sau õy l mt s vớ d phõn tớch nhn bit ny: Vớ d 1: Gii phng trỡnh x + x = x 12 x + 38 Li gii: iu kin cú ngha: x p dng bt ng thc Bunhia-cụpski ta cú: V trỏi: x + x + ( ) ( 7x + x ) =2 V phi: x2 - 12x + 38 = (x-6)2 + (1) (2) Vy VT VP x = x ( x 6) = T (1), (2) ng thc xy khi: x = Vy phng trỡnh cú nghim nht x = Nhn xột: õy l bi toỏn c bn i vi hc sinh Nhn bit hai b s 7x ; x v 1; s dng bt ng thc Buhnhia-cụpski ỏnh giỏ v trỏi kt hp dựng hng ng thc ỏnh giỏ v phi Cỏch thit k nhng bi toỏn nh vy s kim tra c nhiu lung kin thc ca hc sinh Vớ d 3: Gii h phng trỡnh ( x + y + z ) = 26(x + y + z ) x + y + z = 92 Li gii: p dng bt ng thc Bunhia-cụpski ta cú: ( x + y + z ) (12 + 32 + )( x + y + z ) ( x + y + z ) 26( x + y + z ) 12 (1) Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình ng thc (1) xy x y z = = kt hp vi h phng trỡnh ta tỡm c nghim nht (x, y, z) = (1 ; ; 4) Nhn xột: õy l h phng trỡnh khụng mu mc phỏt hin cỏch dng bt ng thc Bunhia-cụpski bi ta chỳ ý n v phi ca phng trỡnh th nht (cha x2 + y2 + z2), Sau ú chn b s thớch hp l 1; 3; v x, y, z ỏnh giỏ Phng trỡnh th hai ch dựng ỏnh giỏ xong phng trỡnh th nht Nhng bi kiu ny d thit k, xong khú gii Ngi gii phi cú kin thc nht nh v bt ng thc Vớ d 4: Gii h phng trỡnh + x1 + + x2 + + x2006 = 2006 2007 2006 x1 + x2 + x2006 = 2006 2005 2006 Li gii: iu kin cú ngha; -1 xi ; i = 1, ., 2006 p dng bt ng thc Bunhia-cụpski ta cú: 2006 ( 2007 = 2006 + x1 + + x2 + + + x2006 ) (1 + + + 1)(1 + x1 + + x2 + + + x2006 ) 2006.2007 2006.(2006 + x1 + x2 + + x2006 ) x1 + x2 + + x2006 2006 2005 = 2006 ( (1) x1 + x2 + + x2006 ) 2006.2005 2006.(2006 x1 x2 x2006 ) x1 + x2 + + x2006 (2) T (1), (2) x1 + x2 + .+ x2006=1 iu kin bt ng thc ca h xy ra, nờn h ó cho tng ng vi: 13 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình + x1 = + x2 = = + x2006 Tng ng vi: x1 = x2 = = x2006 x1 + x2 + + x2006 = => x1 = x2 = x 2006 = 1/2006 Nhn xột: õy l bi toỏn khú, du bit rng phi s dng bt ng thc Cỏch ỏnh giỏ liờn lc hai phng trỡnh ri so sỏnh vi ũi hi ngi gii phi cú k nng thun thc, sỏng to, nhy bộn dng bt ng thc núi chung + x1 + + + x2 + + xn = n n+k n x1 + + x2 + xn = n nk n Tng quỏt ta cú bi toỏn sau: C- Gii phng trỡnh bng cỏch ỏnh giỏ cỏc n 1- Kin thc: Nhiu bi toỏn tng chng khụng gii c , tht bt ng chung ta ch cn ỏnh giỏ, so sỏnh cỏc n phng trỡnh thỡ bi toỏn cho ta mt li gii thỳ v n bt ng K thut phn ny thng s dng quan sỏt cỏc n, ỏnh giỏ hai v hoc gia cỏc phng trỡnh ca h tỡm s kiờn h gia cỏc n s, t ú cú c mt phng trỡnh , h phng trỡnh n gin hn Mt vớ d: Trong phn ny thụng qua mt vớ d, chỳng ta quan sỏt cỏch ỏnh giỏ gia cỏc n hoc vi mt s, t ú xỏc nh c nghim ca h Vớ d 1: Gii phng trỡnh 20 x + 10 x + = y + 2(2 x 3) y + x 16 x + 20 3x + x + Li gii: * Xột v trỏi: 14 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình 20 x + 10 x + 20 x + 10 x + ( x 2) = + =7 3x + x + 3x + x + 3x + x + ng thc xy x = (1) * Xột v phi: y2 + (2x - 3) y + 5x2 - 16x + 20 = (y+2x-3)2 + (x-2)2 + ng thc xy x = , y = (2) T (1), (2) phng trỡnh cú mt nghim nht Nhn xột: õy l bi toỏn rt phc tp, khụng gii c trc tip Bng cỏc quan sỏt chỳng ta ỏnh giỏ hai v ca phng trỡnh vi cựng s 7, bi toỏn cú nghim nht Cỏch to c bi toỏn ny khụng khú nhng gii c thỡ khụng d Vớ d 2: Gii h phng trỡnh: x + 1998 y = 1998 1998 x + y = 1998 Li gii: iu kin ca bi: x 1998 y 1998 - Nu x > y thỡ: x + 1998 y > y + 1998 x => Vụ lý - Nu x > y thỡ: x + 1998 y > y + 1998 x => Vụ lý - Vy x = y ta cú h phng trỡnh: x + 1998 x = 1998 Bỡnh phng hai v: x + x(1998 x) + 1998 x = 1998 x = , x = 1998 Vy phng trỡnh cú hai nghim (x ; y) {(0 ; 0) , (1998 ; 1998)} Nhn xột: Bi toỏn cú vai trũ bỡnh ng Bng s ỏnh giỏ gia hai n, ta tỡm c x = y l then cht ca bi ý tng ny c s dng rng cỏc bi cha n cú vai trũ nh D -Mt s cỏch s dng khỏc ca bt ng thc 15 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình 1- Kin thc ó núi v bt ng thc thỡ rt rng v khú, vic s dng cng a dng v phong phỳ, cỏc thit mc trờn ó kim tra qua nhng nột chớnh, nhng kin thc kinh in Trong mc ny chỳng ta xột thờm mt s k thut khỏc m tng chng nh n gin song ụi li gp khú khn Mt s chỳ ý l: - iu kin ca bi toỏn - Tớnh cht ca ly tha, a 1, m > n > => am an 1 a; m < n => am an - Bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i | A| +| B| | A + B| | A| - | B| ; | A| -A - Lm tri bt ng thc khụng cht, Mt s vớ d Sau õy thụng qua mt s vớ d, chỳng ta thy s linh hot ca ý tng s dng, s dng phong phỳ ca ng dng bt ng thc Vớ d 1: Gii h phng trỡnh: x +1 + y = x + y +1 = Li gii: iu kin ca bi toỏn x, y => x + 1, y + Vy: x +1 + y x + y +1 ng thc ch xy x = , y = Vy bi toỏn cú nghim nht x = y = Nhn xột: Qu tht bi toỏn trờn cú li gii bt ng v n gin, ch cn s dng iu kin ca bi nh mt nhn xột l tỡm c li gii bi toỏn ny 16 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình khụng khú, cú th gii theo cỏch khỏc nhng di v khụng p Vỡ vy trc gii h phng trỡnh vụ t nờn quan tõm n iu kin n s Vớ d 2: Gii h phng trỡnh: x 2006 + y 2006 = (1) x 2007 + y 2007 = (2) Li gii: T phng trỡnh (1) ta cú: | x| 1, | y| => - x 0,1 -y Ly phng trỡnh (1) tr i (2) v vi v, ta cú: x 2006 (1 x ) + y 2006 (1 y ) = M x 2006 (1 x ) + y 2006 (1 y ) ng thc ch xy x = 0, y = hoc x = 1, y = Vy bi toỏn cú hai nghim x = 0, y = v x = 1, y = Nhn xột: bi toỏn ny ó s dng tớnh cht ca ly tha a 1, m > n > =>am an chỳng ta cú th m rng v s n Dng bi ny cú dựng tớnh giỏ tr biu thc v l tỡm giỏ tr ca n, Cỏch thit k kiu bi ny khụng khú Vớ d 3: Gii phng trỡnh x2 x +1 + x2 x = Li gii: Cỏch 1: ỏp dng bt ng thc A + B A + B Du bng xy 2 2 A B > 0, Vy ta cú x x + + x x = x x + + x + x x2 x +1+ x2 + x = ng thc xy ( x x + 1).(2 x + x) M x2 -x + > =>2- x2 + x - x Cỏch 2: ỏp dng bt ng thc A A du bng xy A x2 -x + > => | x2 -x + 1| = x2 -x + 17 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình | x2 -x - 2| (-x2 - x - 2) | x2 -x + 1| + | x2 -x - 2| x2 -x + - (x2 -x - 2) = ng thc xy khi: x2 -x - - x Nhn xột: Thụng thng hc sinh dựng phng ỏn phỏ du giỏ tr tuyt i Nhng cỏch gii bi ny l s dng bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i ó cho li gii n gin v ngn gn Nu chỳng ta tng thờm cỏc biu thc cha du giỏ tr tuyt i thỡ c nhiu bi toỏn hay v khú 2.2 Kt qu thc hin Vn dng phng phỏp Gii phng trỡnh, h phng trỡnh bng phng phỏp dựng bt ng thc ó hỡnh thnh cho hc sinh mt s k nng v gii phng trỡnh, h phng trỡnh Giỳp cho hc sinh nhỡn nhn mt dng toỏn di lng kớnh nhiu mt vi nhiu mu sc khỏc quỏ trỡnh dng linh hot cỏc k thut gii - ễn tp, cng c v o sõu cỏc kin thc v s hc, i s cú liờn quan ng thi giỳp cho hc sinh hỡnh thnh thúi quen suy ngh nh hng tỡm tũi li gii trc mt bi toỏn T ú giỳp hc sinh cú thúi quen gii toỏn theo mt trỡnh t khoa hc - Xõy dng c mt h thng phng phỏp v k nng Giỳp cho hc sinh v giỏo viờn cú mt t liu tham kho cho hot ng dy hc toỏn hc vi vic bi dng hc sinh khỏ, gii nh trng ph thụng hin - Hỡnh thnh hc sinh thúi quen khai thỏc kin thc c bn chng trỡnh theo chiu sõu Giỳp cho cỏc em cú c t sõu sc linh hot, c lp sỏng to quỏ trỡnh gii toỏn - Giỳp cho hc sinh phõn loi c cỏc dng bi v phng phỏp, k nng gii cho tng loi to iu kin cho cỏc em nhỡn nhn mt toỏn hc (phng trỡnh v h phng trỡnh) di mt hon thin hn - Hỡnh thnh hc sinh thúi quen khỏm phỏ, khai thỏc tỡm tũi li gii cho mt bi toỏn phỏt huy c tớch cc suy ngh quỏ trỡnh gii toỏn - Gúp phn trau di cho hc sinh nhng phm cht nh tớnh c lp kiờn trỡ sỏng to tớch cc tỡm tũi v giỳp cỏc em hon thin dn cỏc phm cht o c, phm cht trớ tu quỏ trỡnh hc toỏn nh trng ph thụng - Phỏt huy c c tớnh t hc, t tỡm tũi nghiờn cu gúp phn tụ im cho vic i mi phng phỏp ging dy v hc ca giỏo viờn v hc sinh m ht nhõn l: " Ly lụgic hc ca hc sinh lm trung tõm " t ú nõng cao tng bc cht lng hc mụn Toỏn cho cỏc em 18 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình Vỡ vy cỏc nm hc va qua quỏ trỡnh dy bi dng Hc sinh gii nm hc no tụi cng cú hc sinh gii cp huyn v kỡ thi tuyn sinh vo lp 10 tụi cú hc sinh t im tuyt i mụn Toỏn c bit nm hc 2013 - 2014 hc sinh ca tụi tham d kỡ thi chn hc sinh gii cp huyn s em d thi( u t gii ba) v cú hc sinh t gii nhỡ thi Violympic trờn mng cp huyn C KT LUN 1.Kt lun - Khi cha c tip cn vi cỏc bi toỏn khụng chớnh tc, hu ht hc sinh u t lỳng tỳng, mt phng hng tỡm li gii Khi lm quen vi s phõn tớch sõu sc, hu ht cỏc em u thớch thỳ v say mờ bi s mi l, sỏng to, khụng mỏy múc.Vi kin thc nh vy cỏc em nm bi tt hn, liờn h cỏc kin thc vi mt thit hn, thc s bi b cỏc cht toỏn cho cỏc em tt hn cỏc mụn hc khỏc cng nh cuc sng Nhiu hc sinh ca tụi c hc, ó thnh cụng nhiu k thi hc sinh gii toỏn, thi vo cỏc lp cht lng cao ca trng THPT Phự C nhng nm gn õy Phng trỡnh, h phng trỡnh khụng chớnh tc l mt dng toỏn khú, a dng, thng c dựng cỏc k thi chn hc sinh gii cỏc cp, cng nh thi vo cỏc lp cht lng cao Cỏc bi toỏn nh vy luụn l nan gii i vi hu ht hc sinh núi chung, hc sinh khỏ gii núi riờng Trong mt s nm qua, bng s trn tr tỡm ý tng cho nhng bi toỏn hay v khú ny,tụi ó tỡm tũi, phõn dng ging dy nhm mc ớch truyn t hiu qu nht n vi hc sinh Tht bt ng, ging dy chuyờn ny, tụi thy hc sinh rt say mờ mi t mỡnh khỏm phỏ li gii Bc u ó lm cho hc sinh khỏm phỏ, t tỡm cỏc kin thc cú liờn quan gii Qua õy, tụi cng thy kin thc toỏn hc sinh c nõng nhiu phn khỏc S dng bt ng thc v tớnh cht ca nú vo gii phng trỡnh, h phng trỡnh l mt ng dng ln S phõn chia nh trờn ch l ý tng ca tụi 19 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình cũn nhiu phn cha nờu ht, ti ny hy vng giỳp chỳng ta phn no khú khn ging dy v hy vng cỏc bn ng nghip nờu tip nhng ng dng m bi vit ny cha nờu c Mc dự ó ginh nhiu thi gian, cụng sc, tỡm hiu, rỳt kinh nghim v c gng cho bn ti song nhiu lớ do, ú lớ cũn hn ch v kin thc cng nh phng phỏp nờn SKKN chc khụng th trỏnh thiu xút.Tụi mong c s úng gúp, b sung 2- Kin ngh: - Vi nh trng: Cn khuyn khớch ng viờn mi giỏo viờn thc hin v ỏp dng nhng sỏng kin hay y mnh phong tro chuyờn mụn nh trng - Vi Phũng, S giỏo dc: ngh quan tõm u t m nhiu chuyờn bi dng cỏc chuyờn cú liờn quan n mụn Toỏn c bit bi dng giỏo viờn ụn hc sinh gii nõng cao trỡnh , phng phỏp, nng lc s phm cho giỏo viờn dy hc Tụi xin cam oan õy l SKKN ca bn thõn tụi t t nn múng v cú s tham kho ca ng nghip T v ti liu trờn mng Khụng chộp ca ngi khỏc Ngy 20 thỏng nm 2013 NGI VIT TRN NG TIN 20 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình Mc lc Ni dung Trang - Phn lớ lch A M u t - Thc trng - í ngha v - Phm vi nghiờn cu Phng phỏp tin hnh - C s lý lun v thc tin - Cỏc bin phỏp tin hnh B Ni dung Mc tiờu Gii phỏp - Kt qu thc hin C Kt lun - Kt lun - xut, kin ngh * Mc lc * Ti liu tham kho 4 5 18 19 20 21 22 21 Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình Ti liu tham kho - SBT mụn Toỏn 8, - Mt s phỏt trin Toỏn 8, 1, ca V Hu Bỡnh - 12 chuyờn Toỏn S cp ca NXB Giỏo Dc - Tỡm hiu v PT i s ca V Hong Lõm v Nguyn - Toỏn nõng cao chuyờn i s 8, 22 .. .Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình XC NHN CA HI NG KHOA HC TRNG: THCS èNH CAO Tng im: Xp loi: TM... NHN CA HI NG KHOA HC PHềNG GD&T PH C Tng im: Xp loi: TM HI NG KHOA HC Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình PHN I: PHN L LCH - H v tờn: Trn ng Tin - Chc v: Giỏo viờn T trng... - Tờn sỏng kin kinh nghim Dựng bt ng thc gii phng trỡnh, h phng trỡnh Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình PHN 2: NI DUNG A M U t a, Thc trng ca : Giỳp hc sinh l mt nhng