Sáng kiến kinh nghiệm ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất đẳng thức (BĐT) là kiến thức không thể thiếu trong các kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. BĐT áp dụng rất nhiều trong trong cuộc sống nói chung và toán học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, các bài toán cực trị . . . Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình có lời giải hay, ngắn gọn và mạnh có thể giải quyết bài toán ở mức độ tổng quát hơn, trong nhiều bài toán thì ứng dụng BĐT không cần huy động tới kiến thức đạo hàm của lớp 12, đôi khi là phương pháp duy nhất. Hơn hết là rất phù hợp với HS lớp 10. Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là hệ thống phương pháp rất sâu và rộng. Nhưng với vai trò giáo viên dạy Toán khối 10 và trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này chúng tôi chỉ tập trung vào các dạng phổ biến HS hay gặp phải trong các đề thi CĐ, Đại học, tuyển sinh 10 chuyên, các đề thi học sinh giỏi tỉnh …Cụ thể hơn sẽ được thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm (SKKN). II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Qua thực tế dạy học chúng tôi nhận thấy trong chương trình lớp 10 phần ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là không có. Nhưng trong các đề thi học sinh giỏi, tuyển sinh 10, đại học. . . lại có. Do đó, tôi làm SKKN này với mong muốn là một tài liệu giúp HS đỡ khó khăn hơn khi gặp các bài có dạng trên. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Chúng tôi cố gắng biên soạn kĩ thuật giải , hệ thống bài tập dựa trên cơ sở lý thuyết bám sát chương trình, mục đích cho HS dễ hiểu nhất có thể. Cơ sở lý thuyết là các phần kiến thức sau đã được đề cập trong chương trình hiện hành: STT Kiến thức Trang Sách Ghi chú 1 Các tính chất của giá trị tuyệt đối 78 Đại số 10 ban cơ bản 2 Tính chất bình phương, tổng bình phương Đã học ở cấp 2 3 Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) 2 số 76 Đại số 10 ban cơ bản (nâng cao) Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) 3 số 108 Đại số 10 ban nâng cao 4 Bất đẳng thức Bunnhiacốpski (Cauchy Schwarz) 111 Đại số 10 ban nâng cao Trong phần đọc thêm 5 Bất đẳng thức được chứng minh từ tích vô hướng 2 vecto, tổng độ dài 2 vecto Hình học 10 Ban cơ bản Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ phân tích cụ thể từng phần theo thứ tự lý thuyết trước bài tập ứng dụng sau. Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền

Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm:

 Mô hình  Đĩa CD(DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2014-2015

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

8 Nhiệm vụ được giao:

+Giáo viên Toán lớp 10A2,10A6 và 11A6

+Giáo viên chủ nhiệm lớp 10A2

+Tham gia bồi dưỡng đội tuyển Toán lớp 10

+Ủy viên ban thanh tra nhân dân

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán

- Năm nhận bằng: 2010

- Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán

- Số năm có kinh nghiệm: 5 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 5

Năm học 2010-2011: Ứng dụng tích vô hướng 2 véctơ để giải một số bài toán hình

học không gian qua các kì thi đại học.

Năm học 2011-2012: Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

- Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình có lời giải hay, ngắn gọn vàmạnh có thể giải quyết bài toán ở mức độ tổng quát hơn, trong nhiều bài toán thì ứngdụng BĐT không cần huy động tới kiến thức đạo hàm của lớp 12, đôi khi là phươngpháp duy nhất Hơn hết là rất phù hợp với HS lớp 10

- Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là hệ thống phương pháp rấtsâu và rộng Nhưng với vai trò giáo viên dạy Toán khối 10 và trong phạm vi sáng kiếnkinh nghiệm này chúng tôi chỉ tập trung vào các dạng phổ biến HS hay gặp phải trongcác đề thi CĐ, Đại học, tuyển sinh 10 chuyên, các đề thi học sinh giỏi tỉnh …Cụ thể hơn

sẽ được thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm (SKKN)

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Qua thực tế dạy học chúng tôi nhận thấy trong chương trình lớp 10 phần ứng dụngBĐT để giải phương trình và hệ phương trình là không có Nhưng trong các đề thi họcsinh giỏi, tuyển sinh 10, đại học lại có Do đó, tôi làm SKKN này với mong muốn làmột tài liệu giúp HS đỡ khó khăn hơn khi gặp các bài có dạng trên

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Chúng tôi cố gắng biên soạn kĩ thuật giải , hệ thống bài tập dựa trên cơ sở lý thuyếtbám sát chương trình, mục đích cho HS dễ hiểu nhất có thể Cơ sở lý thuyết là các phần kiến thức sau đã được đề cập trong chương trình hiện hành:

ST

1 Các tính chất của giá trị tuyệt đối 78 Đại số 10 ban cơ bản

2 Tính chất bình phương, tổng bình phương Đã học ở cấp 2

3

Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) 2 số 76 Đại số 10 ban cơ bản (nâng cao)

Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) 3 số 108 Đại số 10 ban

nâng cao

4 Bất đẳng thức Bunnhiacốpski (Cauchy- Schwarz) 111 Đại số 10 ban nâng cao Trong phần đọc thêm

5 Bất đẳng thức được chứng minh từ tích vô hướng 2 vecto, tổng độ dài 2 vecto Hình học 10 Ban cơ bản

Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ phân tích cụ thể từng phần theo thứ tự lý thuyết trước bài tập ứng dụng sau.

Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình

Cho f x x( , , , ) 1 2 x n là hàm n biến thực trên D n: :f D  Tương tự với

n

g x x( , , , )1 2 x , h x x( , , , )1 2 x n

Gỉai phương trình f x x( , , , )1 2 x n g x x( , , , )1 2 x n (1)

Bước 1:Nhìn vào dấu hiệu và lưu ý(sẽ được chia cụ thể từng dạng khác nhau)của

phương trình (1) từ đó sẽ suy ra hướng giải

Khi giải lưu ý: Dấu”=” của các BĐT cùng xảy ra tại cùng giá trị của biến và đồng thời

là nghiệm của phương trình Nghiệm của phương trình cũng là giá trị của biến để dấu

“=” xảy ra tại mỗi lần áp dụng BĐT nên:

+Nếu nhẩm được nghiệm của phương trình thì ta có thể suy luận được là nên ứng dụng BĐT nào(Cô-si, Bunnhiacốpski, …)? Ứng dụng thế nào để BĐT có dấu”=”

xảy ra tại các BĐT được sử dụng.

+Nếu định hướng dùng BĐT cụ thể ta có dấu”=” của BĐT xảy ra từ đó suy ra

nghiệm của phương trình.

+Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” của BĐT và nghiệm của phương trình từ

đó cho lời giải nhanh và chính xác nhất Nếu chúng không đồng thời xảy ra thì phương trình vô nghiệm hoặc phải đổi BĐT hoặc hướng khác.

Các giải pháp cụ thể được trình bày theo từng phần theo thứ tự lý thuyết trước, bài tập sau:

1 Ứng dụng tính chất của giá trị tuyệt đối

Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau:

 Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình.

 Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình.

 Phương trình có chứa tổng các giá trị tuyệt đối.

 Phương trình có chứa tổng nhiều căn bậc hai và các biểu thức trong căn bậc hai là

bình phương hoặc tổng bình phương các biểu thức khác.

thì thử ứng dụng các tính chất của giá trị tuyệt đối để giải.

Tính chất của giá trị tuyệt đối:

+ x   0, x R Dấu = xảy ra  x0

+ x x x R  , Dấu = xảy ra  x0.

+ x  x x R,  Dấu = xảy ra  x0.

Ví dụ 1 Gỉai phương trình x2 4x 4 x2 8x16 x2 12x36 4

Lời giải 1 (không dùng BĐT):

Phương trình đã cho tương đương với

Kĩ thuật Lời giải 2 cho phép ta mở rộng và giải quyết bài toán mạnh hơn sau:

Mở rộng Ví dụ 1: Giải phương trình

x  x  x   x n n n n N

Khi n càng lớn thì Lời giải 1 càng gặp khó khăn , ngược lại Lời giải 2 vẫn thuận lợi.

Bảng so sánh các ưu, nhược điểm của Lời giải 1 và Lời giải 2 đối với HS lớp 10:

Lời giải 1

(Không dùng

BĐT)

-Lời giải dài dòng, khó hiểu HS hay

sai phần hợp và giao khi kết luận.

-Khó khăn khi phương trình có chứa

tổng nhiều tuyệt đối.

Lời giải 2

(Dùng BĐT)

-Lời giải ngắn gọn, dễ hiểu.

-Giải quyết được bài toán tổng quát

khi phương trình có chứa tổng nhiều tuyệt đối.

-Tính chất BĐT chứa giá trị tuyệt

Vậy phương trình có tập nghiệm là S    4; 2

Ví dụ 3 Giải phương trình 2 2

Bài tập tương tự (Áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối):

Bài 1 Giải phương trình x  1 x 2  x 3  2

Bài 5 Giải phương trình x2  x  1 x2  x 2  3 ĐS: S   1; 2

2 Ứng dụng tính chất bình phương, tổng các bình phương:

Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau:

 Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình.

 Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình.

 Phương trình có chứa tổng nhiều căn bậc hai và các biểu thức trong căn bậc hai là

tổng bình phương biểu thức khác.

thì thử ứng dụng các tính chất bình phương, tổng các bình phương để giải.

Tính chất bình phương, tổng các bình phương:

+x2    0, x R Dấu = xảy ra  x = 0.

+x2 y2   0, x y R,  Dấu = xảy ra  x=y= 0

Từ 2 tính chất trên ta suy ra:

 Vế trái có căn bậc hai, vế phải là bậc nhất thấy ngay là đưa về hàng đẳng thức đáng nhớ a b 2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y;z)=(3;4;6)

Nhận xét: Bài toán trên có thể vận dụng BĐT Cô-si 2 số để giải, tuy nhiên chúng ta

đang nói đến BĐT cơ bản Sẽ dùng BĐT Cô si vào phần sau.

Ví dụ 5 Giải phương trình x2  4x  5 x4  8x2  17 2 

4 0

2

x x

x x

Ví dụ 7 Giải hệ phương trình: 1 1 4(1)

- Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng loại 1 nên có thể dùng cách đặt ẩn

phụ Nhưng cách đăt ẩn phụ dài dòng

-Dùng BĐT cho lời giải ngắn gọn và đẹp hơn.

Bài tập tương tự (Áp dụng đưa về bình phương, tổng các bình phương):

Bài 1 Giải phương trình x2  4x  5 2 2x 3 ĐS: x=-1

Bài 2 Giải phương trình: 1 2 1 3

2

xy

Bài 3 Giải phương trình:  x2  4x 2   2x2  8x 5  2  3 ĐS : x=2

Bài 4 Giải hệ phương trình:

3 Ứng dụng Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy)

Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau:

 Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình.

 Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình.

 Các ẩn trong phương trình đều dương hoặc không âm

 Phương trình có chứa căn bậc hai, căn bậc ba.(biểu thức trong căn không âm do giả

thiết cho hoặc từ điều kiện)

Khi áp dụng BĐT Cô-si 2 số a,b không âm (để dễ lập luận chúng tôi dùng 2 số)

Khi giải lưu ý: Dấu”=” của các BĐT cùng xảy ra tại cùng giá trị của biến và đồng thời

là nghiệm của phương trình, hệ phương trình Nghiệm của phương trình, hệ phương trình cũng là giá trị của biến để dấu “=” xảy ra tại mỗi lần áp dụng BĐT Cô-si hoặc

các BĐT khác nên:

+Nếu nhẩm được nghiệm của phương trình, hệ phương trình thì ta có thể suy

luận được là nên ứng dụng BĐT Cô-si hay không? Ứng dụng thế nào để BĐT Cô-si có

dấu”=” xảy ra tại các BĐT được sử dụng.

+Nếu định hướng dùng BĐT Cô-si thì ta có dấu”=” của BĐT xảy ra từ đó suy ra

nghiệm của phương trình, hệ phương trình.

+Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” của BĐT và nghiệm của phương trình, hệ

phương trình từ đó cho lời giải nhanh nhất Nếu chúng không đồng thời xảy ra thì phương trình vô nghiệm hoặc phải đổi BĐT hoặc hướng khác

 Bất đẳng thức Cô-si 2 số không âm

này giúp ta nhận định nhanh bài toán có nên dùng BĐT Cô-si hay không.

 Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng Nó giúp kiểm tra tính đúng

đắn của chứng minh, định hướng cách giải Đặc biệt, khi áp dụng nhiều lần bất đẳng

thức thì các dấu “=” phải đồng thời xảy ra với cùng một điều kiện của biến.

Ví dụ 8 Giải phương trình: 2

7  x x 5 x  12x 38

Phân tích:

 Đầu tiên thử bình phương 2 vế không âm ta được

 Phương trình có chứa đầy đủ các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Cô-si.

Lời giải (Sử dụng BĐT Cô-si):

áp dụng BĐT Cô-si hoặc Bunnhiacốpski Do đó, đối với một số phương trình thì ứng

dụng BĐT là phương pháp duy nhất có thể tiếp cận và phù hợp với HS lớp 10.

 Bằng kĩ thuật tương tự có thể giải mở rộng Ví dụ 8 như sau:

Mở rộng 8a : Giải phương trình: x a  a 2 x 2với a là hằng số cho trước

Mở rộng 8b : Giải phương trình: x a  a 2 x f x( )với a là hằng số cho trước ,

 Chỉ có 1 phương trình mà có tới 3 ẩn, mà từ điều kiện các biểu thức trong căn phải

không âm đây là “dấu hiệu” dùng BĐT Cô si

x y z

Bằng kĩ thuật giải tương tự ta có thể giải được các bài toán mở rộng của Ví dụ 9 sau:

1

, 2

với i,i là các hằng số cho trước và i  0

Ví dụ 10 Giải phương trình 2 2 2

x  x   x   x x  x

Phân tích:

 Nếu bình phương 2 vế sẽ xuất hiện phương trình bậc 4, bậc 8 gây khó khăn.

 Phương trình có chứa đầy đủ các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Cô-si

 Theo BĐT Cô-si dấu “=” xảy ra khi x=1, đồng thời x=1 cũng là nghiệm của

phương trình.

Lời giải:

Ta có ĐK:

2 2

Nhận xét: Cũng với cách giải trên ta có bài toán tổng quát hơn

Mở rộng 10a : Giải phương trình:

Với điều kiện là các biểu thức trong căn bậc hai là không âm

Ví dụ 11 Giải hệ phương trình:

 Chỉ có 2 phương trình mà có tới 3 ẩn dương đây là “dấu hiệu” dùng BĐT Cô-si

 Nhận thấy x=y=z=1/2 là nghiệm của hệ nên khi áp dụng BĐT Cô-si dấu”=” phải

xảy ra do đó phải kết hợp 2 pt thoả 2 yếu tố trên để phân tích

Ví dụ 12 Giải hệ phương trình:

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

x

y x

y

z y

z

x z

2 1

2 1

thế vào hệ thu được x  y z 1

Vậy hệ phương trình trên có 2 cặp nghiệm (x;y;z)={(0;0;0),(1;1;1)}

Nhận xét: Hpt trên là hệ hoán vị vòng quanh, có thể dùng phương pháp hàm số để

giải, tuy nhiên điều này gây khó khăn cho HS lớp 10.

Bằng kĩ thuật tương tự giải được các bài toán tổng quát sau :

Mở rộng 12a : Giải hệ phương trình:

,1

21

k k k k k k

x

y x

y

y z

x z

Bài tập tương tự (Áp dụng BĐT Cô-si):

Bài 1 Giải phương trình x 2  4  x  2

Bài 4 Giải phương trình: 1 3 5 7 1 12

2

x  y  z  t  x y z t   

HD:Áp dụng BĐT Cô-si , x = 2, y=4, z=6, t=8

Bài 5 Giải phương trình: 1 3 3 5 5 7 7 1 68

2

x  y  z  t  x y z t   

HD:Áp dụng BĐT Cô-si , x = 2, y=12, z=30, t=56

Bài 6 Giải phương trình: 2 1 3 5 1 11

HD:Áp dụng BĐT Cô-si , x = 2 hoặc x=-4

Bài 8 Giải phương trình: 3x3 2x2   2 3x3 x2 2x 1 2 x2 2x2

(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội) HD:Áp dụng BĐT Cô-si cho VT, ĐS: x=-1

Bài 9 Giải phương trình: 13 x2  x4 9 x2x4 16

HD:Áp dụng BĐT Cô-si cho VT, ĐS: x=2 5

HD:Áp dụng BĐT Cô-si , ĐS: x=0 hoặc x=3

Bài 11 Giải phương trình: 16x4 5 6 43 x3x

HD:Áp dụng BĐT Cô-si x = y=z=1

Bài 13 Giải hệ phương trình:

6 10 6 10 6 10

2 1 2 1 2 1

x

y x

y

z y

z

x z

Bài 15 Giải hệ phương trình:

Bài 16 Giải hệ phương trình

1

2 3 1

2 3

x y y x

HD:Áp dụng BĐT Cô-si 3 số, ĐS: (x;y)={(1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1)}

Bài 17 Giải hệ phương trình

3

2

2 9 2

2 9

xy

x x xy

y y

ĐS: (x;y)={(1;1),(0;0)}

4 Ứng dụng Bất đẳng thức Bunnhiacốpski

Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau:

 Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình.

 Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình.

 Phương trình,hệ phương trình có chứa các căn bậc hai.

Khi áp dụng BĐT Bunnhiacốpski với 2 cặp số a a1 2,  và b b1 2,  (hoặc 3 cặp số) để

Khi giải “lưu ý”: Nghiệm của phương trình, hệ phương trình cũng là giá trị của biến

để dấu “=” xảy ra tại mỗi lần áp dụng BĐT Bunnhiacốpski hoặc các BĐT khác nên:

+Nếu nhẩm được nghiệm của phương trình, hệ phương trình thì ta có thể suy

luận được là nên ứng dụng BĐT Bunnhiacốpski hay không? Ứng dụng thế nào để BĐT

Bunnhiacốpski có dấu”=” xảy ra tại các BĐT được sử dụng.

+Ngược lại nếu định hướng dùng BĐT Bunnhiacốpski thì ta có dấu”=” của BĐT xảy ra để suy ra nghiệm.

+Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” của BĐT và nghiệm của phương trình, hệ

phương trình từ đó cho lời giải nhanh nhất Nếu chúng không đồng thời xảy ra thì phương trình vô nghiệm hoặc phải đổi BĐT hoặc hướng khác

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki (Cauchy- Schwarz)với 2 cặp số thực

 Phương trình có bậc 8 nên HS rất khó vận dụng được 7 hàng đẳng thức đáng nhớ.

Phương pháp giải đối với HS lớp 10 nếu không dùng BĐT thì “bó tay”.

 Phương pháp dùng BĐT Bunnhiacốpski rất mới lạ và hay.

 Có thể dùng phương pháp hàm số nhưng đây là kiến thức của HS12, HS lớp 10 chưa học tới.

Lời giải 1 (không dùng BĐT):

Nhận xét: Bằng cách áp dụng BĐT Bunnhiacốpski có thể xử lí bài toán mạnh hơn :

Mở rộng Ví dụ 13 : Giải phương trình:  2  2 , *

2

x a  x b   k N với a, b là các hằng số cho trước

Bảng so sánh các ưu, nhược điểm của Lời giải 1 và Lời giải 2 đối với HS lớp 10:

-Lời giải ngắn gọn, dễ hiểu.

-Giải quyết được bài toán tổng quát

khi phương trình có bậc lớn.

-Ứng dụng BĐT Bunnhiacốpski phù

hợp với HS lớp 10.

Qua bảng so sánh trên ta thấy rằng đối với bài toán trên:

+ Áp dụng LG1 phải dùng tới các kiến thức lớp 12 (Ứng dụng đạo hàm) Do đó HS lớp

10 không hiểu.

+ Áp dụng LG2 chỉ dùng Bunnhiacốpski trong chương trình, lời giải ngắn gọn Do

đó, rất dễ hiểu đối với HS lớp 10.

Ví dụ 14 Giải phương trình: 2x 3  5 2  x  3x2  12x 14

Phân tích:

 Bình phương 2 vế phương trình trở thành bậc 4, bậc 8 gây khó khăn.

 Phương trình có các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Bunnhiacốpski

Lại có 3x  22 2  2 dấu”=” xẩy ra  x = 2

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2

Nhận xét:

 Có thể áp dụng BĐT Cô-si để giải.

 Bằng kĩ thuật giải trên có thể mở rộng bài toán hơn (đã đề cập ở phần BĐT Cô-si)

Ví dụ 15 Giải phương trình : x 1 x 3 2x 322x 2 (1)

Phân tích:

 Bình phương 2 vế phương trình trở thành bậc cao.

 Phương trình có các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Bunnhiacốpxki

 Bình phương 2 vế phương trình trở thành bậc cao.

 Phương trình có các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Bunnhiacốpski