Sáng kiến kinh nghiệm ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất đẳng thức (BĐT) là kiến thức không thể thiếu trong các kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. BĐT áp dụng rất nhiều trong trong cuộc sống nói chung và toán học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, các bài toán cực trị . . . Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình có lời giải hay, ngắn gọn và mạnh có thể giải quyết bài toán ở mức độ tổng quát hơn, trong nhiều bài toán thì ứng dụng BĐT không cần huy động tới kiến thức đạo hàm của lớp 12, đôi khi là phương pháp duy nhất. Hơn hết là rất phù hợp với HS lớp 10. Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là hệ thống phương pháp rất sâu và rộng. Nhưng với vai trò giáo viên dạy Toán khối 10 và trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này chúng tôi chỉ tập trung vào các dạng phổ biến HS hay gặp phải trong các đề thi CĐ, Đại học, tuyển sinh 10 chuyên, các đề thi học sinh giỏi tỉnh …Cụ thể hơn sẽ được thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm (SKKN). II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Qua thực tế dạy học chúng tôi nhận thấy trong chương trình lớp 10 phần ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là không có. Nhưng trong các đề thi học sinh giỏi, tuyển sinh 10, đại học. . . lại có. Do đó, tôi làm SKKN này với mong muốn là một tài liệu giúp HS đỡ khó khăn hơn khi gặp các bài có dạng trên. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Chúng tôi cố gắng biên soạn kĩ thuật giải , hệ thống bài tập dựa trên cơ sở lý thuyết bám sát chương trình, mục đích cho HS dễ hiểu nhất có thể. Cơ sở lý thuyết là các phần kiến thức sau đã được đề cập trong chương trình hiện hành: STT Kiến thức Trang Sách Ghi chú 1 Các tính chất của giá trị tuyệt đối 78 Đại số 10 ban cơ bản 2 Tính chất bình phương, tổng bình phương Đã học ở cấp 2 3 Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) 2 số 76 Đại số 10 ban cơ bản (nâng cao) Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) 3 số 108 Đại số 10 ban nâng cao 4 Bất đẳng thức Bunnhiacốpski (Cauchy Schwarz) 111 Đại số 10 ban nâng cao Trong phần đọc thêm 5 Bất đẳng thức được chứng minh từ tích vô hướng 2 vecto, tổng độ dài 2 vecto Hình học 10 Ban cơ bản Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ phân tích cụ thể từng phần theo thứ tự lý thuyết trước bài tập ứng dụng sau. Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương

- 1 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG. Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN  Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mô hình  Đĩa CD(DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2014-2015 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: ĐỖ TẤT THẮNG 2. Ngày tháng năm sinh: 06/09/1981 3. Nam, nữ: Nam 4. Địa chỉ: 149/7 Hưng Đạo Vương, Khu phố 2 phường Trung Dũng, BH-Đồng Nai. 5. Điện thoại: 0918.306.113 6. E-mail: dtthangnq@gmail.com 7. Chức vụ : Không 8. Nhiệm vụ được giao: +Giáo viên Toán lớp 10A2,10A6 và 11A6. +Giáo viên chủ nhiệm lớp 10A2. +Tham gia bồi dưỡng đội tuyển Toán lớp 10. +Ủy viên ban thanh tra nhân dân 9. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán - Năm nhận bằng: 2010 - Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán. III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán - Số năm có kinh nghiệm: 5 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 5 Năm học 2010-2011: Ứng dụng tích vô hướng 2 véctơ để giải một số bài toán hình học không gian qua các kì thi đại học. Năm học 2011-2012: Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức. Năm học 2012-2013: Dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức. Năm học 2013-2014: Đổi biến để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức. Năm học 2014-2015: Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình . - 2 - ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Bất đẳng thức (BĐT) là kiến thức không thể thiếu trong các kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. BĐT áp dụng rất nhiều trong trong cuộc sống nói chung và toán học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, các bài toán cực trị . . . - Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình có lời giải hay, ngắn gọn và mạnh có thể giải quyết bài toán ở mức độ tổng quát hơn, trong nhiều bài toán thì ứng dụng BĐT không cần huy động tới kiến thức đạo hàm của lớp 12, đôi khi là phương pháp duy nhất. Hơn hết là rất phù hợp với HS lớp 10. - Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là hệ thống phương pháp rất sâu và rộng. Nhưng với vai trò giáo viên dạy Toán khối 10 và trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này chúng tôi chỉ tập trung vào các dạng phổ biến HS hay gặp phải trong các đề thi CĐ, Đại học, tuyển sinh 10 chuyên, các đề thi học sinh giỏi tỉnh …Cụ thể hơn sẽ được thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm (SKKN). II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Qua thực tế dạy học chúng tôi nhận thấy trong chương trình lớp 10 phần ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là không có. Nhưng trong các đề thi học sinh giỏi, tuyển sinh 10, đại học. . . lại có. Do đó, tôi làm SKKN này với mong muốn là một tài liệu giúp HS đỡ khó khăn hơn khi gặp các bài có dạng trên. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Chúng tôi cố gắng biên soạn kĩ thuật giải , hệ thống bài tập dựa trên cơ sở lý thuyết bám sát chương trình, mục đích cho HS dễ hiểu nhất có thể. Cơ sở lý thuyết là các phần kiến thức sau đã được đề cập trong chương trình hiện hành: ST T Kiến thức Trang Sách Ghi chú 1 Các tính chất của giá trị tuyệt đối 78 Đại số 10 ban cơ bản 2 Tính chất bình phương, tổng bình phương Đã học ở cấp 2 3 Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) 2 số 76 Đại số 10 ban cơ bản (nâng cao) Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) 3 số 108 Đại số 10 ban nâng cao 4 Bất đẳng thức Bunnhiacốpski (Cauchy- Schwarz) 111 Đại số 10 ban nâng cao Trong phần đọc thêm 5 Bất đẳng thức được chứng minh từ tích vô hướng 2 vecto, tổng độ dài 2 vecto Hình học 10 Ban cơ bản - 3 - Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ phân tích cụ thể từng phần theo thứ tự lý thuyết trước bài tập ứng dụng sau. Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình Cho 1 2 ( , , , ) n f x x x là hàm n biến thực trên n D f D⊂ →¡ ¡: : . Tương tự với n g x x x 1 2 ( , , , ) , n h x x x 1 2 ( , , , ) . Gỉai phương trình n n f x x x g x x x= 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) (1) Bước 1:Nhìn vào dấu hiệu và lưu ý(sẽ được chia cụ thể từng dạng khác nhau)của phương trình (1) từ đó sẽ suy ra hướng giải. Bước 2 : Đánh giá 2 vế phương trình bằng cách áp dụng BĐT cô-si, bunhiacốpski, các tính chất. . . ta được: n n n n n f x x x h x x x x x x D g x x x h x x x  ≤  ∀ ∈  ≥   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) (2) Bước 3 : Kết hợp (1) và (2) thu được : n n n n n f x x x h x x x x x x D g x x x h x x x  =  ∀ ∈  =   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) (3) Bước 4 : Áp dụng dấu “=” xảy ra khi dùng BĐT. Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình (1). Khi giải lưu ý: Dấu”=” của các BĐT cùng xảy ra tại cùng giá trị của biến và đồng thời là nghiệm của phương trình. Nghiệm của phương trình cũng là giá trị của biến để dấu “=” xảy ra tại mỗi lần áp dụng BĐT nên: +Nếu nhẩm được nghiệm của phương trình thì ta có thể suy luận được là nên ứng dụng BĐT nào(Cô-si, Bunnhiacốpski, …)? Ứng dụng thế nào để BĐT có dấu”=” xảy ra tại các BĐT được sử dụng. +Nếu định hướng dùng BĐT cụ thể ta có dấu”=” của BĐT xảy ra từ đó suy ra nghiệm của phương trình. +Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” của BĐT và nghiệm của phương trình từ đó cho lời giải nhanh và chính xác nhất. Nếu chúng không đồng thời xảy ra thì phương trình vô nghiệm hoặc phải đổi BĐT hoặc hướng khác. Các giải pháp cụ thể được trình bày theo từng phần theo thứ tự lý thuyết trước, bài tập sau: 1. Ứng dụng tính chất của giá trị tuyệt đối Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau:  Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình.  Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình.  Phương trình có chứa tổng các giá trị tuyệt đối.  Phương trình có chứa tổng nhiều căn bậc hai và các biểu thức trong căn bậc hai là bình phương hoặc tổng bình phương các biểu thức khác. thì thử ứng dụng các tính chất của giá trị tuyệt đối để giải. - 4 - Tính chất của giá trị tuyệt đối: + ≥ ∀ ∈ 0,x x R . Dấu = xảy ra ⇔ = 0x . + ≥ ∀ ∈ ,x x x R . Dấu = xảy ra ⇔ ≥ 0x . + ≥ − ∀ ∈ ,x x x R . Dấu = xảy ra ⇔ ≤ 0x . Ví dụ 1. Gỉai phương trình 2 2 2 4 4 8 16 12 36 4x x x x x x + + + + + + + + = Lời giải 1 (không dùng BĐT): Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 6 4x x x + + + + + = 2 4 6 4x x x ⇔ + + + + + = (*) x −∞ -6 -4 -2 +∞ 2x + 2x− − 2x− − 2x− − 0 2x + 4x + 4x − − 4x − − 0 4x + 4x + 6x + 6x− − 0 6x + 6x + 6x + VT(*) 3x− x− 8x + 3 12x + Trường hợp 1: 6x ≤ − (*) ⇔ 4 3 4 3 x x− = ⇔ = − (loại)  Trường hợp 2: 2 4x − < ≤ − (*) ⇔ 4 4x x − = ⇔ = − (nhận)  Trường hợp 3: 4 2x − < ≤ − (*) ⇔ 8 4 4x x + = ⇔ = − (loại)  Trường hợp 4: 2x > − (*) ⇔ 8 3 12 4 3 x x+ = ⇔ = − (loại) Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất 4x = − Lời giải 2 (Dùng BĐT): Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 6 4x x x + + + + + = 2 4 6 4x x x ⇔ + + + + + = Ta có 2 4 6 2 0 6 4x x x x x + + + + + ≥ − − + + + = - 5 - Dấu “=” xảy ra ⇔ 2 0 4 0 4 6 0 x x x x + ≤   + = ⇔ = −   + ≥  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=-4 Kĩ thuật Lời giải 2 cho phép ta mở rộng và giải quyết bài toán mạnh hơn sau: Mở rộng Ví dụ 1: Giải phương trình ( ) ( ) * 1 2 3 2 1 1 ,x x x x n n n n N + + + + + + + + + = + ∈ Khi n càng lớn thì Lời giải 1 càng gặp khó khăn , ngược lại Lời giải 2 vẫn thuận lợi. Bảng so sánh các ưu, nhược điểm của Lời giải 1 và Lời giải 2 đối với HS lớp 10: Ưu điểm Nhược điểm Lời giải 1 (Không dùng BĐT) -Lời giải dài dòng, khó hiểu. HS hay sai phần hợp và giao khi kết luận. -Khó khăn khi phương trình có chứa tổng nhiều tuyệt đối. Lời giải 2 (Dùng BĐT) -Lời giải ngắn gọn, dễ hiểu. -Giải quyết được bài toán tổng quát khi phương trình có chứa tổng nhiều tuyệt đối. -Tính chất BĐT chứa giá trị tuyệt đối phù hợp lớp 10. Ví dụ 2. Giải phương trình 2 4 2x x + + + = Lời giải: Ta có 2 2 2 4 2 4 4 x x x x x x  + ≥ − −  ⇒ + + + ≥  + ≥ +   Dấu “=” xảy ra 2 0 2 4 0 4 x x x x + ≤ ≤ −   ⇔ ⇔   + ≥ ≥ −   Vậy phương trình có tập nghiệm là [ ] 4; 2S = − − Ví dụ 3. Giải phương trình 2 2 2 10 13 26 24 8 4 1x x x x x− + + − + = +  Phân tích: Lời giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 13 26 24 8 4 1 4 4 6 9 4 4 25 20 4 4 1 2 3 2 5 2 4 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + + − + = + ⇔ − + + − + + − + + − + = + ⇔ − + − + − + − = + - 6 - Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 2 5 2 5 2 5 2 5 2 3 4 1 x x x x x x x x VT x x x − + − ≥ − ≥ − − + − ≥ − ≥ − ⇒ ≥ − + − = + Dấu “=” xảy ra 3 0 5 0 2 2 0 x x x x − ≥   ⇔ − ≥ ⇔ =   − =  Vậy phương trình có tập nghiệm S = { } 2  Bài tập tương tự (Áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối): Bài 1. Giải phương trình 1 2 3 2x x x+ + + + + = ĐS: x=-2 Bài 2. Giải phương trình 1 2 3 4 5 6x x x x x+ + + + + + + + + = ĐS: x=-3 Bài 3. Giải phương trình 2 2 2 2 1 4 4 6 9 2x x x x x x+ + + + + + + + = ĐS: x=-2 Bài 4. Giải phương trình 2 2 2 2 2 2 1 4 4 6 9 8 16 8 16 6x x x x x x x x x x+ + + + + + + + + + + + + + = ĐS: x=-3 Bài 5. Giải phương trình 2 2 1 2 3x x x x− + + − − = . ĐS: [ ] 1;2S = − 2. Ứng dụng tính chất bình phương, tổng các bình phương: Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau:  Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình.  Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình.  Phương trình có chứa tổng nhiều căn bậc hai và các biểu thức trong căn bậc hai là tổng bình phương biểu thức khác. thì thử ứng dụng các tính chất bình phương, tổng các bình phương để giải.  Tính chất bình phương, tổng các bình phương: + 2 0,x x R≥ ∀ ∈ . Dấu = xảy ra ⇔ x = 0. + 2 2 0, ,x y x y R+ ≥ ∀ ∈ . Dấu = xảy ra ⇔ x=y= 0. Từ 2 tính chất trên ta suy ra:  2 ,x m m x R+ ≥ ∀ ∈ . Dấu “=” xảy ra ⇔ x=0  2 ,x M M x R− + ≤ ∀ ∈ . Dấu “=” xảy ra ⇔ x=0 Ví dụ 4. Giải phương trình: ( ) 1 2 3 5 7 2 x y z x y z− + − + − = + + − (*)  Phân tích: − Chỉ có 1 phương trình mà có tới 3 ẩn đây là “dấu hiệu” dùng BĐT. − Vế trái có căn bậc hai, vế phải là bậc nhất thấy ngay là đưa về hàng đẳng thức đáng nhớ ( ) 2 a b ± . - 7 - Lời giải: Điều kiện: 2 0 2 3 0 3 5 0 5 x x y y z z − ≥ ≥     − ≥ ⇔ ≥     − ≥ ≥   (*) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 7 2 2 2 1 3 2 3 1 5 2 2 1 0 2 1 3 1 5 1 0 2 1 0 3 3 1 0 4 6 5 1 0 x y z x y z x x y y z x x y z x x y y z z − + − + − = + + −       ⇔ − − − + + − − − + + − − − + =             ⇔ − − + − − + − − =  − − = =     ⇔ − − = ⇔ =     =  − − =   Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y;z)=(3;4;6).  Nhận xét: Bài toán trên có thể vận dụng BĐT Cô-si 2 số để giải, tuy nhiên chúng ta đang nói đến BĐT cơ bản. Sẽ dùng BĐT Cô si vào phần sau. Ví dụ 5. Giải phương trình 2 4 2 4 5 8 17 2x x x x− + + − + =  Phân tích: − Nhìn vào các biểu thức trong căn ta thấy 2 4x x − và 4 2 8x x − điều này liên tưởng đến hàng đẳng thức đáng nhớ nên ( ) 2 2 4 5 2 1x x x− + = − + , ( ) 2 4 2 2 8 17 4 1x x x− + = − + . − Do đó 2VT ≥ mặt khác VP=2 nên ta thu được lời giải sau. Lời giải: Ta có ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 5 2 1 1 4 5 8 17 2 8 17 4 1 1 x x x x x x x x x x  − + = − + ≥  ⇒ − + + − + ≥  − + = − + ≥   Kết hợp với phương trình ta được 2 2 2 0 2 2 4 0 2 x x x x x x =  − =   ⇔ ⇔ = =    − =    = −   Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2 Ví dụ 6. Giải phương trình: 2 2 2 3 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + + + = − − Lời giải: Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 6 12 3 1 9 9 3 6 12 3 5 5 10 9 5 1 4 4 5 10 9 2 x x x x x VT x x x x x   + + = + + ≥ + + ≥   ⇒ ⇒ ≥   + + = + + ≥ + + ≥     Lại có ( ) 2 5 2 1 5VP x= − + ≤ Do đó 2 2 2 1 0 3 6 12 5 10 9 3 4 2 1 0 1 1 0 x x x x x x x x x x + =   + + + + + = − − ⇔ + = ⇔ = −   + =  - 8 - Vậy phương trình có nghiệm là x=-1 Ví dụ 7. Giải hệ phương trình: 1 1 4(1) 3 (2) x y x y xy  + + + =   + − =   Lời giải: ĐK: 0 1 0, 1 0 xy x y ≥   + ≥ + ≥  mà 0 3 0 0 x x y xy y >  + = + > ⇒  >  Lấy 2(2)-4(1) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 10 1 4 1 4 1 4 1 4 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 3 1 2 0 3 0 x y xy x y x x y y x xy y x y x y x x y y x y + − − + + + = −       ⇔ + − + + + + − + + + − + =           ⇔ + − + + − + − =  + − =  =   ⇔ + − = ⇔   =   − =    Nhận xét: - Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng loại 1 nên có thể dùng cách đặt ẩn phụ. Nhưng cách đăt ẩn phụ dài dòng. -Dùng BĐT cho lời giải ngắn gọn và đẹp hơn.  Bài tập tương tự (Áp dụng đưa về bình phương, tổng các bình phương): Bài 1. Giải phương trình 2 4 5 2 2 3x x x+ + = + . ĐS: x=-1 Bài 2. Giải phương trình: 3 1 2 1 2 xy x y y x− + − = . ĐS: x=y=2 Bài 3. Giải phương trình: 2 2 4 2 2 8 5 2 3x x x x− + − + − + − = + . ĐS : x=2 Bài 4. Giải hệ phương trình: 2 1 1 1 2 2 1 4 x y z xy z  + + =     − =   ĐS: x=y=1/2,z=-1/2 3. Ứng dụng Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau:  Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình.  Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình.  Các ẩn trong phương trình đều dương hoặc không âm.  Phương trình có chứa căn bậc hai, căn bậc ba.(biểu thức trong căn không âm do giả thiết cho hoặc từ điều kiện) Khi áp dụng BĐT Cô-si 2 số a,b không âm (để dễ lập luận chúng tôi dùng 2 số) - 9 -  Biểu thức 2 a b+ là hằng số hoặc biểu thức bé hơn hoặc bằng vế còn lại của phương trình.  Biểu thức ab là hằng số hoặc biểu thức lớn hoặc bằng vế còn lại của phương trình. thì thử ứng dụng BĐT Cô-si để giải. Khi giải lưu ý: Dấu”=” của các BĐT cùng xảy ra tại cùng giá trị của biến và đồng thời là nghiệm của phương trình, hệ phương trình. Nghiệm của phương trình, hệ phương trình cũng là giá trị của biến để dấu “=” xảy ra tại mỗi lần áp dụng BĐT Cô-si hoặc các BĐT khác nên: +Nếu nhẩm được nghiệm của phương trình, hệ phương trình thì ta có thể suy luận được là nên ứng dụng BĐT Cô-si hay không? Ứng dụng thế nào để BĐT Cô-si có dấu”=” xảy ra tại các BĐT được sử dụng. +Nếu định hướng dùng BĐT Cô-si thì ta có dấu”=” của BĐT xảy ra từ đó suy ra nghiệm của phương trình, hệ phương trình. +Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” của BĐT và nghiệm của phương trình, hệ phương trình từ đó cho lời giải nhanh nhất. Nếu chúng không đồng thời xảy ra thì phương trình vô nghiệm hoặc phải đổi BĐT hoặc hướng khác  Bất đẳng thức Cô-si 2 số không âm Cho a, b ≥ 0, ta có: a b ab 2 + ≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b.  Bất đẳng thức Cô-si 3 số không âm Cho a, b, c ≥ 0, ta có: a b c abc 3 3 + + ≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c.  Nhận xét: − Dấu hiệu để dùng BĐT Cô-si các biến trong BĐT luôn không âm hoặc dương. Điều này giúp ta nhận định nhanh bài toán có nên dùng BĐT Cô-si hay không. − Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cách giải. Đặc biệt, khi áp dụng nhiều lần bất đẳng thức thì các dấu “=” phải đồng thời xảy ra với cùng một điều kiện của biến. Ví dụ 8. Giải phương trình: 2 7 5 12 38x x x x− + − = − +  Phân tích: − Đầu tiên thử bình phương 2 vế không âm ta được 4 2 3 2 4 3 2 7 5 2 7 5 144 1444 24 76 912 24 220 912 1442 2 7 5 x x x x x x x x x x x x x x x − + − + − − = + + − + − ⇔ − + − + = − − Tới đây thấy ngay là nếu tiếp tục bình phương hai vế sẽ xuất hiện phương trình bậc 8 nên cách này không khả quan. Do đó không thể sử dụng cách biến đổi thông thường. - 10 - [...]... góp ý để tôi hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này NGƯỜI THỰC HIỆN ĐỖ TẤT THẮNG - 26 - SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Biên Hòa., ngày 20 tháng 05 năm 2015 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2014-2015 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng Bất đẳng thức để giải Phương trình và Hệ phương trình. .. của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình  Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình  Phương trình, hệ phương trình có chứa các căn bậc hai Khi áp dụng BĐT Bunnhiacốpski với 2 cặp số ( a1 , a2 ) và ( b1 , b2 ) (hoặc 3 cặp số) để dễ phân tích chúng tôi dùng 2 cặp 2 2 2 2  Biểu thức (a1 + a2 )(b1 + b2 ) là hằng số hoặc là biểu thức bé hơn hoặc bằng vế còn lại của phương. .. dạng và phương pháp tôi lựa chọn chưa hẳn tối ưu và đầy đủ, chắc chắn còn phải bổ sung thêm cho việc giảng dạy tốt hơn Rất mong có sự đóng góp của quí đồng nghiệp - 25 - VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Phan Đình Lương, Áp dụng Bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình, THCS Bắc Hồng 2 Đỗ Tất Thắng, Dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức Cô si để tìm GTLN, GTNN và chứng minh bất đẳng thức, ... lại của phương trình 2  Biểu thức ( a1b1 + a2 b2 ) là hằng số hoặc là biểu thức lớn hơn hoặc bằng vế còn lại của phương trình “thì thử” ứng dụng BĐT Bunnhiacốpski để giải Khi giải “lưu ý”: Nghiệm của phương trình, hệ phương trình cũng là giá trị của biến để dấu “=” xảy ra tại mỗi lần áp dụng BĐT Bunnhiacốpski hoặc các BĐT khác nên: +Nếu nhẩm được nghiệm của phương trình, hệ phương trình thì ta có... là nên ứng dụng BĐT Bunnhiacốpski hay không? Ứng dụng thế nào để BĐT Bunnhiacốpski có dấu”=” xảy ra tại các BĐT được sử dụng +Ngược lại nếu định hướng dùng BĐT Bunnhiacốpski thì ta có dấu”=” của BĐT xảy ra để suy ra nghiệm +Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” của BĐT và nghiệm của phương trình, hệ phương trình từ đó cho lời giải nhanh nhất Nếu chúng không đồng thời xảy ra thì phương trình vô nghiệm hoặc... − Có thể giải bằng BĐT Bunnhiacốpski (sẽ trình bày ở phần sau) hoặc phương pháp hàm số của HS lớp 12 để đánh giá 2 vế của phương trình) − Đối với dạng bài tập tương tự Ví dụ 8 trong phạm vi kiến thức lớp 10 không thể dùng phương pháp biến đổi tương đương, bình phương 2 vế để giải quyết Chỉ có thể áp dụng BĐT Cô-si hoặc Bunnhiacốpski Do đó, đối với một số phương trình thì ứng dụng BĐT là phương pháp... nhiều trường hợp áp dụng BĐT Bunnhiacốpski để giải phương trình đem lại hiệu quả cao, lời giải ngắn gọn, xúc tích, phù hợp với học sinh lớp 10 và THCS Sau đây là minh hoạ Ví dụ 13 .Giải phương trình: ( x − 1) + ( x − 3) = 2  Phân tích: − Phương trình có bậc 8 nên HS rất khó vận dụng được 7 hàng đẳng thức đáng nhớ Phương pháp giải đối với HS lớp 10 nếu không dùng BĐT thì “bó tay” − Phương pháp dùng BĐT... bất đẳng thức, SKKN 2012-2013 3 Đỗ Tất Thắng, Đổi biến để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức, SKKN 2013-2014 4 Trần Văn Hạo, Hình Học 10 ban cơ bản, năm 2007, Nhà xuất giáo dục 5 Trần Văn Hạo, Đại Số 10 ban cơ bản, năm 2007, Nhà xuất giáo dục 6 Trần Thị Hạnh, Dùng Bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình, THCS Mạo Khê II 7 Đoàn Quỳnh, Đại số 10 ban nâng... Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2  Nhận xét: − Có thể áp dụng BĐT Cô-si để giải − Bằng kĩ thuật giải trên có thể mở rộng bài toán hơn (đã đề cập ở phần BĐT Cô-si) Ví dụ 15 .Giải phương trình : x − 1 + x − 3 = 2 ( x − 3) + 2 x − 2 2 (1)  Phân tích: − Bình phương 2 vế phương trình trở thành bậc cao − Phương trình có các “dấu hiệu” và “lưu ý” của BĐT Bunnhiacốpxki Lời giải: *ĐK: x ≥ 1 Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki... ĐS: x = 2 - 21 - Bài 2 Giải phương trình: ( x − 1) + ( x − 3) = 2 ĐS: x = 2 16 16 Bài 3 Giải phương trình : 2 x − 1 + 3 5 − x = 2 13 ĐS: x = 29 13 Bài 4 Giải phương trình : 7 − x + x − 5 = x 2 − 12 x + 38 ĐS x=6 Bài 5 Giải phương trình x − 1 + x − 3 = 2 x 2 − 10 x + 16 ĐS x=5 Bài 6 Giải phương trình : x 4 + 4 = 2 x 4 + 4 + 2 x 4 − 4 ĐS:Ptvô nghiệm  2 2 Bài 7 Giải phương trình : − x + 4 x + 5 . - 1 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ. gia bồi dưỡng đội tuyển Toán lớp 10. +Ủy viên ban thanh tra nhân dân 9. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc. + + − + + − = + + 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 2x x x x x x x - 15 - (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội) HD:Áp dụng BĐT Cô-si cho VT, ĐS: x=-1 Bài 9. Giải phương trình: − +