SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: ĐẶNG THANH HÃN 2. Ngày tháng năm sinh: 01 – 08 – 1976 3. Nam, nữ: NAM 4. Địa chỉ: KP 9, phường Tân Biên, TP Biên Hòa, Tỉnh Đồng Nai 5. Điện thoại: (CQ) (NR); ĐTDĐ: 0919302101 6. Fax: Email: 7. Chức vụ: Giáo viên 8. Nhiệm vụ được giao (quản lý, đoàn thể, công việc hành chính, công việc chuyên môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Giảng môn Toán lớp 10A2, 10A6, 12A4; Chủ nhiệm lớp 10A2. 9. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học Năm nhận bằng: 2000 Chuyên ngành đào tạo: Toán học III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán Số năm có kinh nghiệm: 15 năm Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: Tên SKKN : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BM03TMSKKN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Trong chương trình Toán học phổ thông, phương trình và bất phương trình là một nội dung quan trọng xuyên suốt cấp học. Trong đó, phương trình có chứa căn (còn gọi là phương trình vô tỉ) là một nội dung phong phú và đem lại nhiều thú vị. Có thể nói, giải phương trình vô tỉ là đỉnh cao của kĩ năng giải phương trình, vì để giải quyết tốt các phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức và phép biến đổi cơ bản của căn thức , phải có tư duy ở mức độ cao và biết cách nhận xét mối quan hệ của các biểu thức xuất hiện trong phương trình để từ đó đề xuất cách giải phù hợp. Tuy vậy, trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh được tiếp cận với phương trình vô tỉ ở một vài cách giải thông thường với những bài toán cơ bản đơn giản. Nhưng trong thực tế, các bài toán giải phương trình vô tỉ xuất hiện rất nhiều trong các kì thi Tuyển sinh Đại học Cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi . Sự phong phú về các dạng toán và cách giải đã gây không ít khó khăn cho các em học sinh, trong khi đó chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy?
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
Mã số:
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃNLĩnh vực nghiên cứu:
Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
Mô hình Đĩa CD (DVD) Phim ảnh Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)
Trang 2SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
8 Nhiệm vụ được giao (quản lý, đoàn thể, công việc hành chính, công việc
chuyên môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Giảng môn Toán lớp
10A2, 10A6, 12A4; Chủ nhiệm lớp 10A2
9 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học
- Năm nhận bằng: 2000
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học
III KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán
- Số năm có kinh nghiệm: 15 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
BM02-LLKHSKKN
Trang 3Có thể nói, giải phương trình vô tỉ là đỉnh cao của kĩ năng giải phương trình, vì để
giải quyết tốt các phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức và phép biến đổi cơ bản của căn thức , phải có tư duy ở mức độ cao và biết cách nhận xét mối quan hệ của các biểu thức xuất hiện trong phương trình để từ
đó đề xuất cách giải phù hợp
- Tuy vậy, trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các
em học sinh được tiếp cận với phương trình vô tỉ ở một vài cách giải thông thường với những bài toán cơ bản đơn giản Nhưng trong thực tế, các bài toán giải phương trình vô tỉ xuất hiện rất nhiều trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi Sự phong phú về các dạng toán và cách giải đã gây không ít khó khăn cho các em học sinh, trong khi đó chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày Tại sao lại như vậy?
- Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành, phương trình vô tỉ được trình bày ở phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) rất là ít
và hạn chế Chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa ra cách giải thích vắn tắt và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế Hơn nữa, do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều
bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh mặc dù cách giải
nào cũng có chung một mục đích là làm mất căn thức và đơn giản hình thức bài toán
Trang 4- Trong những năm học qua, khi được phân công giảng dạy lớp 10 Qua nhận xét
và đánh giá, tôi thấy đa số học sinh nhận thức còn chậm Từ đó, giáo viên cần có
phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn.
- Tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích tổng hợp một số phương pháp giải
phương trình vô tỉ thường gặp trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng
trong những năm gần đây với bài tập được phân dạng tương ứng, nhằm giúp các
em học sinh lớp 10 có thể tự học để nâng cao kiến thức và các em học sinh lớp 12
tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học - Cao đẳng
- Tôi hy vọng chuyên đề này bổ túc cho các em học sinh một lượng kiến thức nhất định Rất mong được sự động viên và những ý kiến đóng góp của quý Thầy
Cô và các em học sinh
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Trang 51 Cơ sở lý luận:
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của giáo viên và
hoạt động học của học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, giúp học sinh củng cố những kiến thức
phổ thông Trong đó, bộ môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này
- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài
tập Điều đó thể hiện ở việc “học đi đôi với hành”, đòi hỏi học sinh phải có tư
duy logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải
- Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
- Trong giới hạn của SKKN tôi giới thiệu 4 phương pháp giải phương trình chứa
ẩn dưới dấu căn thường hay sử dụng:
• Phương pháp biến đổi tương đương
• Phương pháp nhân lượng liên hợp
• Phương pháp đặt ẩn phụ
• Phương pháp hàm số
2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
- Đưa ra một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn, có ví dụ
Trang 6- Đây là nội dung thường gặp trong các kỳ thi Tuyển sinh Cao đẳng và Đại học.
Với phương châm “ Từ dễ đến khó” , học sinh cần phải rèn luyện nhiều thì mới
đạt kết quả tốt
A BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:
1 Biến đổi theo công thức:
(Ở đây ta chỉ thu được phương trình hệ quả, nên cần thử nghiệm)
Chú ý Khi bình phương hai vế của phương trình ta cần có điều kiện hai vế
không âm để có được phương trình tương đương
Bài 1 Giải các phương trình:
x
Trang 7x x
So điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 0
Chú ý: Ta chuyển vế trong bước biến đổi 1 để hai vế không âm
Trang 8f x − h x = k x − g x sau đó bình phương , giải phương trình hệ quả.
Bài 2 Giải các phương trình:
+ Nếu x = 30 phương trình thỏa mãn.
+ Nếu x = − 61 phương trình thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 30 hay x = – 61
=
⇔ − + + − = ⇔ = ⇔ =Thử lại:
+ Với x = 1 thì phương trình thỏa mãn.
+ Với x = 0 thì phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1.
Bài tập tự luyện
Bài 3 Giải các phương trình:
1/ 2− +x2 3x = 5x2−1 ĐS: x = 1, x = –12
2/ 3x2− −2x 1 = 3x + 1 ĐS: x =−13
Trang 93/ 2x2+ − =3x 4 7x+2 ĐS: x = 3
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1
b) x + 3 + 2x x +1 = 2x + x + 4x +32 (1)
Điều kiện: x ≥ – 1
(1) ⇔ x +3 + 2x x +1 2x− − (x +1)(x +3) = 0
Trang 10x 825x 56 0
Trang 114/ 3 x+ +3 2 x+ − =7 6 x2+ +10 21 ĐS: x = 1, x = 2 5/ 4x 2 + 3x + 3 = 4x x+ +3 2 2x−1 ĐS: x = 1
Chú ý: Học sinh cần ôn tập lại các hằng đẳng thức
Bài 1 Giải các phương trình:
Trang 12B NHÂN VỚI DẠNG LIÊN HỢP :
Tổng quát: Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích (x x− 0) ( ).f x = 0 , trong đó ta có thể giải phương trình f x( ) = 0 hoặc chứng minh f x( ) = 0 vô nghiệm.
Chú ý: Điều kiện của phương trình để ta có thể đánh gía f x( ) = 0 vô nghiệm.
Bài 1 Giải các phương trình:
Trang 132x – 1 = (x2 + 2x – 2)2 , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta nhẩm nghiệm của phương trình là 1 và từ đó biến đổi phương trình làm xuất hiện nhân tử (x –1)
b) 3x+1– 6 x− + 3x2 – 14x – 8 = 0 (2)
Điều kiện: 1
3
− ≤ x ≤ 6Phân tích: ta tìm một số x ( 1
3
− ≤ x ≤ 6) để 3x + 1 và 6 – x là một số chính phương thỏa phương trình (2) Dễ thấy x = 5 thỏa (2), do đó ta đưa phương trình về dạng (x – 5).f(x) = 0 Vì thế ta làm xuất hiện nhân tử chung x – 5 bằng phương pháp liên thông qua việc chọn hai số a, b > 0 để hệ phương trình sau có nghiệm x = 5
a b
Chú ý: Khi phương trình có dạng α x a− + β x b− + mx2 + nx + p = 0 ta có thể
giải theo cách trên.
c) 5x− +1 39−x = 2x2 + 3x – 1 (3)
Điều kiện: x ≥ 15
Dễ thấy x = 1 là nghiệm, ngoài cách thực hiện như trên ta thấy khi thay x = 1 vào
5x−1 và 39 x− có cùng kết quả là 2 nên thực hiện phân tích như sau:
Trang 14Dễ thấy phương trình có nghiệm x = 1, x = 2 Do đó phương trình sẽ có nhân tử là
x2 – 3x + 2 Tuy nhiên ta không thể nhân và chia lượng liên hợp với hai căn này.Vậy làm sao để phân tích được nhân tử x2 – 3x + 2, ta thực hiện như sau:
Trang 15Bài tập tự luyện
Bài 2 Giải các phương trình:
1/ (ĐH 2008B – db) 10x+ +1 3x− =5 9x+ +4 2x−2 ĐS: x = 3
Trang 161 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
- Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t = f(x) và chú
ý điều kiện của t Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t, quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “ hoàn toàn ” Nói chung, những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn
t = f(x) thường là những phương trình đơn giản
Dạng 1: F(nf(x),f(x) = 0) Đặt t = f(x) , ta có phương trình G(t) = 0.n
Dạng thường gặp: af(x) + b f(x) + c = 0
Chú ý điều kiện của ẩn phụ.
Bài 1 Giải các phương trình:
2Với t 2= ⇔ + − = ⇔ =x 3x 4 02 x 1,x= −4.
Trang 19b) 3 2 x 6 2 x 4 4 x 10 3x (2)+ − − + − = −2
So điều kiện, phương trình có nghiệm x = 1
Dạng 3: F( f(x), g(x)) 0n n = , trong đó F(a,b) là một biểu thức đẳng cấp bậc k
Với dạng này ta xét hai trường hợp:
• TH1: g(x) = 0 thay vào phương trình ta kiểm tra,
• TH2: g(x) ≠ 0 chia hai vế phương trình cho n g (x)k và đặt t=n f(x)
g(x) ta được phương trình G(t) = 0 là phương trình đa thức bậc k
Ta thường gặp dạng: a.f(x) b.g(x) c f(x)g(x) 0 + + =
Trang 20• x = 0 không là nghiệm của phương trình (1).
• x > 0, chia hai vế phương trình (1) cho x ta được x + 1 + x + − =1x 4 3
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2)
Với x ≠ 0, chia hai vế phương trình (2) cho x ta được: x− +1 3 x− − =1 2 0
Đặt t=3 −1
x x , phương trình (*) ⇔ t t 2 03+ − = ⇔ −(t 1)(t t 2) 02+ + = ⇔ =t 1Với t 1= ⇔3 x− = ⇔ − − = ⇔ =1 1 x x 1 02 x 1± 5
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1± 5
2 .c) 2 x2 + 5 x − = 1 7 x3 − 1 (3)
Trang 21Điều kiện: x ≥ 1
-Phân tích Ta viết α(x− +1) β(x2+ + =x 1) 7 (x−1) (x2+ +x 1)
Đồng nhất thức ta được (3) ⇔ 3(x− +1) 2( x2+ + =x 1) 7 (x−1) (x2+ +x 1) (*)
Ta thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình (*)
Với x > 1, chia hai vế phương trình (*) cho x – 1 ta được phương trình:
Dạng 4: a.f(x) g(x) f(x) h(x) 0 + + = Với phương trình dạng này ta có thể đặt
=
t f(x) , khi đó ta được phương trình theo ẩn t: at g(x)t h(x) 0, ta giải 2+ + =
phương trình này theo t, xem x là tham số.
Bài 1 Giải các phương trình:
a) (4x−1) x2+ =1 2x2 +2x+1 b) 3(x2 – 1) + 4x = 4x 4x 3−
Trang 22Với t = 3x thì 4x 3 = 3x ⇔ 9x− 2 = 4x – 3 (vô nghiệm)
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 , x = 3
x x
d) ( x+1) x2 −2x+ = +3 x2 1 (4)
Đặt : t = x2 − 2 x + 3, (t≥ 2)
(4) ⇔ (x + 1)t = x2 + 1 ⇔ x2 + 1 – (x + 1)t = 0
Trang 23Bây giờ ta thêm bớt, để được phương trình bậc 2 theo t có ∆ở dạng bình phương :
x x
t t
4/ 3x+2 3− +x 4x x− − =2 3 4 x− +1 5 ĐS: x = 2, x = 51
Trang 24HD: Đặt t = 1 y− với y = x – 2 ⇒ 3y = – t 2 + 2(y + 1) – 1
3 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình:
3.1 Đặt ẩn phụ chuyển phương trình về hệ phương trình với 2 ẩn phụ:
Trang 25d) 4 x+417 x 3− =
-Điều kiện : 0 x 17 ≤ ≤
Đặt a = 4 x; b = 4 17 x; a,b 0 − ≥ Ta có hệ :
+ = + =
n n
t b ay
y b at
Ta thường gặp dạng: ax b c(dx e)+ = + 2+α +β x Với d = ac +α và e = bc + βĐặt dy e + = ax b + ≥ 0 , ta có hệ phương trình :
- Các hệ thu được thông thường là các hệ đối xứng.
- Đối với dạng này, ta cần chú ý đến các đẳng thức trong quá trình biến đổi
Trang 263 3
x 1 2y
y 1 2x Trừ hai phương trình của hệ:
Trang 27-D PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ :
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) =k (k là hằng số)
Bước 2: Xét hàm số y= f x( )
Bước 3: Nhận xét:
• Với x x= 0 ⇔ f x( ) = f x( ) 0 =k do đó x0 là nghiệm
• Với x x> 0 ⇔ f x( ) > f x( ) 0 =k do đó phương trình vô nghiệm
• Với x x< 0 ⇔ f x( ) < f x( ) 0 =k do đó phương trình vô nghiệm
• Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 2: thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) = g x( )
Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f x( )và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định x0 sao cho f x( ) 0 =g x( ) 0
Bước 3: Vậy x0là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 3: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f u( ) = f v( )
Bước 2: Xét hàm số y= f x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
Bước 3: Khi đó f u( ) = f v( ) ⇔ =u v.
Nhận xét: Vấn đề quan trọng nhất trong phương pháp này là chúng ta nhận ra
được hàm f(x) luôn đơn điệu và nhẩm được nghiệm của phương trình
1) Để nhận ra hàm luôn đơn điệu chúng ta cần nắm được một số tính chất của hàm đơn điệu:
i) Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) thì:
* Hàmy=n f(x) (với điều kiện n f(x) tồn tại) cũng đồng biến(nghịch biến)
2) Khi nhẩm nghiệm của phương trình thì ta thường ưu tiên cho những giá trị của
x mà biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là một số lũy thừa mũ n (với căn bậc n)
Bài 1 Giải các phương trình:
a) 2x 1 3 x 3 6 + + − =
b) 3 2x 2 x 2 5 0− − 3 + − =
Trang 292/ 3x 2+ +3x 1+ = 32x2 + +1 32x2 ĐS: x = 1, 1
2
x= −HD: Đặt u = 3 x+1 và v = 32x2
Để kết thúc cho chuyên đề , chúng ta tồng kết lại các phương pháp đã học thông qua một ví dụ sau:
Giải phương trình 4x 2−7x 3 (x 1) 2x+ = + 2 +4x 3−
Để giải phương trình này ta tìm cách loại bỏ căn thức Điều đầu tiên mà ta nghĩ tới đó là bình phương hai vế để loại bỏ căn, hơn nữa sau khi bình phương ta thu được phương trình bậc 4
Kết hợp với (1) ta có x 2 = + 2 là nghiệm của phương trình đã cho
Ở cách giải trên, ta thấy sau khi khử căn ta đưa về một phương trình tích Điều này gợi ý cho chúng ta biến đổi phương trình ban đầu về phương trình tích
Do x = – 1 không là nghiệm của phương trình nên ta có:
Trang 30Tuy nhiên để có được (**) ta cần có thêm điều kiện 2x2 + 4x 3 2x 1 0 − + − ≠
Như vậy ta có cách giải thứ 2 như sau:
2 2x 4x 3 0
2 10 x
2
Ta thấy x = – 1 không là nghiệm của phương trình nên ta có
x 4x 2 0
2x 4x 3 3x 2x 4x 3 2x 1 x 1
Kết hợp với điều kiện, ta có x 2 = + 2 là nghiệm của phương trình đã cho
Vì trong phương trình xuất hiện căn thức nên điều tự nhiên ta nghĩ đến việc đặt
Trang 31=(8a2 − 16a 1 x + ) 2 + 2 8a( 2 + 14a 1 x 12a + ) − 2 − 12a 1 + .
Ta chọn a sao cho: (8a2 + 14a 1 + ) (2 + 12a2 + 12a 1 8a − )( 2 − 16a 1 0 + =)
Phương trình này có nghiệm a = – 1 Vậy ta có cách giải thứ 3 như sau:
Cách 3 Phương trình tương đương với:
Vì vế trái xuất hiện tích của x + 1 và 2x 4x 32+ − nên ta nghĩ đến việc đưa hai vế
x 1 5x 1 2x 4x 3
Giải các phương trình này ta được x 2 = + 2
Vì vế trái là tam thức bậc hai và vế phải chứa căn bậc hai, tức là hai vế chứa hai phép toán ngược nhau nên ta nghĩ đến cách chuyển về hệ đối xứng
Trang 32Đây là hệ đối xứng loại 1 Ta có cách giải thứ 5 như sau:
Giải các phương trình trên ta được x 2 = + 2
Qua 5 lời giải trên, chúng ta thấy được nếu có sự nhận xét tinh tế về mối quan
hệ giữa các biểu thức xuất hiện trong phương trình và có những suy luận hợp lí sẽ cho chúng ta nhiều lối đi khác nhau để đến mục đích
IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
- Tài liệu phù hợp với mọi đối tượng học sinh, do đó học sinh tích cực, tự giác học tập
- Củng cố được nhiều kỹ năng như Phân tích, Tư duy Tổng hợp Giúp các
em học sinh tự tin hơn trong việc học môn Toán
VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Trần Phương (2002) Tuyển tập các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán
Đại Số Sơ cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
2 Phan Huy Khải (2011) Bài tập cơ bản và nâng cao theo chuyên đề toán
THPT– Tập 3: Phương trình – Bất phương trình – Bất đẳng thức, Nhà xuất
bản giáo dục ,Việt Nam
3 Nguyễn Tất Thu (2013) Cẩm nang luyện thi Đại học Đại Số Sơ cấp, Nhà
xuất bản Tổng hợp, Thành Phố Hồ Chí Minh