Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Việc dạy cho học sinh hiểu và nắm được các phương pháp để giải được các bài tập là một trong những thành công, nhưng thành công hơn cả là việc định hướng được cho học sinh biết phán đoán về phương pháp giải bài tập. Từ đó khẳng định phương pháp đã dự đoán là hoàn toàn đúng đắn và biết tự sáng tạo ra các bài tập khác nhờ khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá, biến lạ thành quen… được các giáo viên áp dụng và được bộ khuyến khích. Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào đó trong trường phổ thông. Trong những năm gần đây các bài toán dùng phương pháp tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi đại học, kì thi học sinh giỏi. Sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán không còn mới mẻ. Tuy nhiên đa số học sinh còn lúng túng và vụng về trong việc sử dụng phương pháp để giải toán. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN a.Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành chùm bài toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh còn rất hạn chế. Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em còn rất ít, khả năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh còn lúng túng, bỡ ngỡ. b. Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận dụng những phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học sinh trong việc hình thành chùm bài toán từ bài toán cơ bản đến nâng cao. Tuy nhiên việc vận dụng nó một cách có hiệu quả thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn. Trong đề thi học kì Học sinh giỏi, Đại học , Cao đẳng của các năm bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và nó còn cần sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp giải từ cơ bản đến phức tạp. Trong thực tế đa số học sinh giải toán một cách hết sức máy móc và rất thụ động. vì thế trong quá trình giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức rất khó khăn. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhìn thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “sử dụng vec tơ và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức”. Nhằm giúp học sinh bổ sung thêm kiến thức và khắc phục được những yếu điểm để từ đó rút được kết quả cao khi giải bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.

 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC  !"#$%&'()*'+',-'. / 0 12345&67)73'83)9" ":1 Đơn vị '',-'. ;<=>!????????????????????????????????  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH "+@!"#$%&'( AB@CD#! EF#GHI  E-IJ$KL!?'I?????????????????   EAB@MI!???????????????????????????????????????????????????????  Có đính kèm:  !"#$%&'"( ;L )B&4N464O -K ,PMI  #)")!"#$#*+ "QK!RS/TERS/U?  1? THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN /? ,C!"#$%&'( R? "$IQK=!/VESVE/WXS V? "KY!"K T? )*Z!'[T\/]<.A')^" U? )J!S_/VUVV/SSN&FO`N"aOb)'4)!SWVWSXX_UX _? cd! eEKG!&=WSfKG?K g? &D! IC X? "Kh!",  )/#0123)0045)0046! W? )*LI!'+',-'. 11? TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO E ,*!&i! E "QKPj!RSSU E &#$CJ!'I 111? KINH NGHIỆM KHOA HỌC E AB@#$CKLkMK!'I >QKkMK!W E &I=IMlMK<kUQKmi$! E 789:# #;<=>;?!@!A*BAC!7 E D7E,FG=:='H=&"!@? 7 E 5789:# #GG#I?!@!A*9JK#BAC! !"#$%&'()*'+',-'. R  'Cnn" SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1? LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 6J$=#(KhIIhI PGKYLLG*oh =lIIpIP?'qkMr* I<@IGs(l@=IJIPMI+MI t#IIuI@IlGJt#vhIICI hM#$lMw?6lm#lIICp#IJ$ K#$CppKKMlDk+[L? 'YQKmi$IIxI h=<uGIM JM=y?IIMLzKo K{?'#$C=>=zGssp= II?'qYGwCLp!|S dng phương php vctơ v ta đ đ gii mt s! bi ton v$ phương tr&nh, hệ phương tr&nh v b)t phương tr&nh| II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN a.Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh F#+LIJ+LP$jxK ILt#K$K=>I}=zJl? ,m#l@=IIM=IKM}IKzwM Q@$[p#M}IIIKo}=z Gss~~? b. Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng F#+K#[m#lIIC+<P YIKow@I#$ww@}= !"#$%&'()*'+',-'. V  xKIqIli?'#$CPkK Ik#t#•zup#MkMQ? 'pM,=y)J&r}IQKI rDm#ML l#>o=',-'I rDGKYIMkkzm=@I GJ}*BIwIIqlD J?'@l=>=IKIl=DKI$Kk? lt#Ir DMkMQ? F#@lJ$p#QKL$€$l#K$}= P$LKJJpd#=IMl!“s dng vec tơ v ta đ đ gii phương tr&nh, hệ phương tr&nh, b)t phương tr&nh v b)t đẳng thức”?"jKs=[=# CKMlDM(hY$l#KqkshMlt#M IrDk CJMlt#t#IPk#? III.TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP I E'x$qKsdi$@MlJJMI#xh o#}^+K=#PMlD KIJ?&QD@J}=QD@l }+QD#}*LJ$KL ICRM#GCGo?;GGCGoKlGH#$l,GGCGo KlP? ?)>oGH#$l! !"#$%&'()*'+',-'. T  )=(KhIMlD}PMlDPi$ GKt#IMkMQzy+J$+p#>([G@? )#GH#$lh•K=DsIC m@Io=#? .o/!'[D=t#=Il# .oR! ICIKG#PkK .oV!n(=#MlD ?)>oP? )>olGKPIC[Dp#M=PMlD <PM(=#MlD$hK>t#YGH#$l P?)^+t#lP‚G#$=MZQI %JpILt#LY}iƒKw I}=?)GKhP$s@Io=#? .o/!'Jppd#I '[DKJ>GH#$l}„? &ZYMZQ=…miMlDP? .oR!'@ E)p#p}p? E'[D=GPPC=†#$>M# l}=? ICt#=I€s~IKMuMkMQ$ =[DP=MIIP*o<#ƒ* @Io? !"#$%&'()*'+',-'. U  A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Kiến thức cơ bản: a.Tính chất vectơ &‡ / R / R  ˆ N b O  ˆ N b O r r N% ∈ aO / / R R / / R R  ‰  ˆ N ‰  b ‰  O  E  ˆ N E  b E  O M ˆ NMbMO r r r r r r r b.Tích vô hướng của hai vec tơ! &‡ / R / R  ˆ N b O  ˆ N b O r r  / / R R ? ˆ    + r r c.Độ dài vec tơ: &‡ ( ) / R  ˆ  b r Mk  r G!  R R / R  ˆ  ‰  r d. Mối liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vec tơ: 6oK : : . . :Nd b$ O.Nd b$ O  . : . : :. ˆ Nd E d b$ E $ O uuur  R R . : . : :. ˆ Nd E d O ‰ N$ E $ O uuur e. Bất đẳng thức vec tơ: !"#$%&'()*'+',-'. _  ŠTính chất 1! R R  ˆ  S≥ r r 4#rD‹d$ŒMZM  ˆ S r r • Tính chất 2!R  r   r k!   ‰   ‰ ≥ r r r r   E   E ≥ r r r r )rDd$MZM  r   r xp# • Tính chất 3!R  r   r k!   ?  ?≥ r r r r )rDd$MZM  r   r x   ?  ?≥ r r r r )rDd$MZM  r   r xo B.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 : Giải phương trình: R R R d E Rd‰ R ‰ d E/Sd‰ VT ˆ Ed ‰ TdE T ‰ T R (1) Giải : N/O ( ) ( ) R R R / / U W T T T RL L L L⇔ − + + − + = − + − + !"#$%&'()*'+',-'. g  ]‡KurJML.u  ˆ NdE/b/O b  ˆ NUE dbVO b  ‰  ˆ NTbTO r r r r Theo BĐT vec tơ  ‰   ‰ ≥ r r r r ta có: ( ) ( ) R R R R dE/ ‰/ ‰ UE d ‰ W T ‰ T ˆ T R ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto  r r cùng hướng M ! ˆ M⇔ ∃ r r , k>0 / dE/ˆ MNU E dO M ˆ V /ˆ VM d ˆ R    ⇔ ⇔      ;uMI! ( ) R R Ed ‰ TdE T ‰ T R ˆ E dE R ‰ T R T R≤ 4#rD•d$ŽMZM!dˆR 6P$dˆRGK} Bài 2: Giải phương trình! d‰ _ dE/ ‰ RT E dE R dE/ ‰/ ˆ U N/O ! )p#M! d / ≥  N/O R R N dE/ ‰VO ‰/_ E N dE/ E/O ‰/ ˆ U⇔ ]‡KurJML.u)u  ˆ N dE/ ‰ VbTO   ˆ N dE/ E/b/O  E  ˆ NTbVO r r r r !"#$%&'()*'+',-'. X  'rDk!  E   E ≤ r r r r R R N dE/ ‰ VO ‰/_ E N dE/ E/O ‰/ U⇔ ≤ 4#jd$MZM  r r xo M ! ˆ M? M S ⇔ ∃ > r r dE/ ‰V ˆ MN dE/ E/O N dE/ ‰ VO ˆ TN dE/ E/O T ˆ M   ⇔ ⇔    UX V dE/ ˆ g d ˆ W ⇔ ⇔  6P$K}!dˆ UX W Bài 3: Giải phương trình: R R d ‰ Rd‰ U ‰ d E_d‰/V ˆ T R (1) Giải: (1) R R Nd‰/O ‰ T ‰ NVE dO ‰ T ˆ T R ⇔ ]‡KurJML.u  ˆ Nd‰/bRO b  ˆ NVE dbRO b  ‰  ˆ NTbTO r r r r R R  ˆ Nd‰/O ‰ T b  ˆ NVE dO ‰ T  ‰  ˆ T R⇒ ⇒ r r r r Theo BĐT vectơ ta có :  ‰   ‰  ˆ T R≥ r r r r !"#$%&'()*'+',-'. W  R R Nd‰/O ‰ T ‰ NVE dO ‰ T T R⇔ ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto  r r cùng hướng M ! ˆ M ⇔ ∃ r r , k>0 d‰/ˆ MNVE dO M ˆ/ R ˆ RM d ˆ/   ⇔ ⇔     Vậy phương trình có nghiệm là x=1 Bài 4: Giải phương trình: R R d E Td‰U ‰ d E Td‰/V ˆ T (1) Giải: (1) R R NdE RO ‰/ ‰ NR E dO ‰ W ˆ T⇔ ]‡KurJML.Đặt  ˆ NdE Rb/O b  ˆ NR E dbVO r r R R  ˆ NdE RO ‰/ b  ˆ NR E dO ‰ W  ‰  ˆ R⇒ ⇒ r r r r và  ‰  ˆ NSbTO r r Theo BĐT vectơ ta có :  ‰   ‰  ˆ T≥ r r r r R R NdE RO ‰/ ‰ NR E dO ‰ W T ⇔ ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto  r r cùng hướng M ! ˆ M ⇔ ∃ r r , k>0 !"#$%&'()*'+',-'. /S [...]... THPT Bỡnh Sn 28 S dng vecto v ta gii phng trỡnh, h phng trỡnh v bt phng trỡnh Gv : Nguyn Cnh Thng n v Trng THPT Bỡnh Sn 29 S dng vecto v ta gii phng trỡnh, h phng trỡnh v bt phng trỡnh S GD&T NG NAI CNG HO X HI CH NGHA VIT NAM n v Trng THPT Bỡnh c lp - T do - Hnh phỳc Sn Long Thnh., ngy 20 thỏng 5 nm 2015 PHIU NHN XẫT, NH GI SNG KIN KINH NGHIM Nm hc: 2014-2015 Tờn sỏng kin kinh nghim: S DNG VEC... QU CA TI 1 .Kinh nghim thc tin - Trong quỏ trỡnh hc toỏn v dy toỏn, tụi ó phõn loi cỏc dng toỏn thng gp v tng hp cỏc phng phỏp gii thớch hp Thc t ging dy, bn thõn tụi ó ỳc kt v rỳt c mt s kinh nghim trong cụng tỏc dy hc, S dng phng phỏp vộct v ta gii mt s bi toỏn v phng trỡnh, H phng trỡnh v bt phng trỡnh va cng c, hon thin kin thc cho hc sinh Trong khuụn kh ti ny, tụi xin a ra mt vi kinh nghim... Sn 30 S dng vecto v ta gii phng trỡnh, h phng trỡnh v bt phng trỡnh - ó c ỏp dng trong thc t t hiu qu hoc cú kh nng ỏp dng t hiu qu trong phm vi rng: Trong T/Phong/Ban Trong c quan, n v, c s GD&T Trong ngnh Xp loi chung: Xut sc Khỏ t Khụng xp loi Cỏ nhõn vit sỏng kin kinh nghim cam kt v chu trỏch nhim khụng sao chộp ti liu ca ngi khỏc hoc sao chộp li nguyờn vn ni dung sỏng kin kinh nghim c... v xỏc nhn ó kim tra v ghi nhn sỏng kin kinh nghim ny ó c t chc thc hin ti n v, c Hi ng chuyờn mụn trng xem xột, ỏnh giỏ; tỏc gi khụng sao chộp ti liu ca ngi khỏc hoc sao chộp li nguyờn vn ni dung sỏng kin kinh nghim c ca chớnh tỏc gi Phiu ny c ỏnh du X y cỏc ụ tng ng, co ký tờn xỏc nhn ca tỏc gi v ngi co thm quyn, ong du ca n v v ong kốm vo cui mi bn sỏng kin kinh nghim NGI THC HIN SKKN (Ký tờn v ghi... = ( 3y+1; 12) , a + b = ( 3x+1 + 3y+1;2 12) t r r r r a + b a+b Theo BT vec t ta cú : 3x+1 +12 + 3y+1 +12 ( ) ng thc xy ra khi v ch khi 2 vecto r r k : a = k b , k>0 Gv : Nguyn Cnh Thng 2 3x+1 + 3 y+1 + 48 = 8 r r a,b cựng hng n v Trng THPT Bỡnh Sn 15 S dng vecto v ta gii phng trỡnh, h phng trỡnh v bt phng trỡnh 3x+1 = k 3y+1 x = y k = 1 12 = k 12 (1) 3x+1 = 2 x = 1 y = 1 Vy h phng trỡnh... gúp mt phn nh vo kinh nghim dy hc toỏn, cụng tỏc dy hc ngy cng phỏt trin hn ỏp ng nhu cu hc tp ca hc sinh v thc hin tt mc tiờu giỏo dc - Trong phm vi ti, vi kh nng cú hn, chc chn ti con nhiu hn ch v thiu sút Rt mong c s gúp ý chõn thnh ca cỏc ng nghip ti c hon thin v cú tỏc dng hn 2 Kt qu thc nghim - Qua bi kim tra trờn i tng lp10a5 (33hc sinh) l : trc khi khụng ỏp dng sỏng kin kinh nghim thỡ cỏc... tip thu tng i ch ng; tớch cc v hng thỳ hc tp, a s hc sinh hiu v vn dng tt trong quỏ trỡnh gii cỏc bi tp Gv : Nguyn Cnh Thng n v Trng THPT Bỡnh Sn 24 S dng vecto v ta gii phng trỡnh, h phng trỡnh v bt phng trỡnh Trong quỏ trỡnh ỏp dng sỏng kin kinh nghim, tụi thy ti ny cú phm vi ỏp dng trong thc t ging dy toỏn t hiu qu ti n v trng THPT Bỡnh Sn Vn dng sỏng kin ny giỳp hc sinh t duy tt, nõng cao kh... phng trỡnh cú cp nghim: (2;2) Bi 4:Gii h phng trỡnh: x 8 - y 2 + y 8 - x 2 = 16 (1) 2 3 2 (2) x +12 = y + 2 y Gii: iu kin: 2 2 x 2 2; 2 2 y 2 2 Gv : Nguyn Cnh Thng n v Trng THPT Bỡnh Sn 17 S dng vecto v ta gii phng trỡnh, h phng trỡnh v bt phng trỡnh r r r2 r2 a = x; 8 - x 2 ,b = 8 - y 2 ; y a = b =8 ta cú: t : ) ( ( ) r2 r2 rr r r a + b = 2a.b a = b x = 8 - y 2 (1) (2) 3 2 y +3y -20=0 ... b x = 12 - y (1) (2) x 3 -8x-3=2 10-x 2 -2 (x- 3)(x 2 + 3x+1) = 2(3 - x)(3 + x) 10 - x 2 +1 x = 3 2 2 (x + 3x+1)( 10 - x +1) - 2(3 + x) = 0 (*) Gv : Nguyn Cnh Thng n v Trng THPT Bỡnh Sn 18 S dng vecto v ta gii phng trỡnh, h phng trỡnh v bt phng trỡnh Vi x=3 =>y=3 f(x) = (x 2 + 3x+1)( 10 - x 2 +1) - 2(3 + x) t f(x) 0 => phng trỡnh (*) vụ nghim Vy nghim h phng trỡnh : (3;3) D BT PHNG TRèNH,... Bi 2: Gii bt phng trỡnh: Gii : iu kin : x 1 + 2 3 x 10 1 x 3 Trong mt phng ta Oxy t: r r a = 2, b = 5 Ta cú: Gv : Nguyn Cnh Thng r a= ( r x-1; 3 - x ,b = ( 1;2 ) ) n v Trng THPT Bỡnh Sn 19 S dng vecto v ta gii phng trỡnh, h phng trỡnh v bt phng trỡnh rr r r a.b 10 = a b Theo bi ta cú: rr r r a.b a b Theo BT vec t ta cú: rr r r r r a.b = a b a b khi v ch khi v cựng hng 7 2 x-1 = 3 - x x