Đề tài: Dùng Bất đẳng thức để giải Phương trình-Hệ phương trình - Sáng kiến-Kinh nghiệm... - Trung tâm Thông tin - Thư viện điện tử

To¸n häc cao cÊp cã kiÕn thøc, cã c¸ch gi¶i nhanh vµ khoa häc víi bµi to¸n trªn song kh«ng vËn dông ®îc vµo cÊp häc phæ th«ng, hoÆc cha t×m ®îc ph¬ng ph¸p khoa häc ®Ó häc sinh tiÕp cËn c[r]

I phần mở đầu I.1 Lý chọn đề tài.

Giúp đỡ học sinh nhiệm vụ quan trọng mà ngời thầy thiết phải làm Nhiệm vụ khơng phải dễ địi hỏi phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lịng tận tâm ngun tắc đắn Ngời học sinh với nỗ lực thân phải thu đợc nhiều tốt kinh nghiệm độc lập công tác Nhng Học sinh đứng trớc tốn mà khơng có giúp đỡ nào, hay giúp đỡ khơng thể tiến đợc Mặt khác thầy giúp đỡ nhiều q học sinh chẳng cịn phải làm Thầy giáo phải giúp đỡ vừa phải khơng nhiều q, q nh để học sinh có cơng việc hợp lý

Trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh trung học sở thi vào lớp 10 thờng gặp toán giải phơng trình, hệ phơng trình khơng tắc, chúng thờng đợc thiết kế dới ý tởng bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức

Phơng trình, hệ phơng trình khơng tắc phối hợp nhiều luồng kiến thức, kĩ giải toán Bài toán địi hỏi ngời làm tốn phải hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt sử dụng Ngời làm tốn cần tìm tịi, củng cố hệ thống, liên hệ kiến thức, đồng thời tập cho làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp toán học

Là giáo viên dạy tốn nhiều năm tơi nhận thấy cần phải tập hợp lại thành chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ sử dụng dạng tốn cách xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác học tập học sinh nhằm giúp học sinh giải số toán nhanh, gọn tiết kiệm đợc thời gian

Căn vào thực tế trên, yêu cầu việc bồi dỡng học sinh giỏi đặc biệt việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh hoạt động học tập Với lý nêu tơi có ý tởng xây dựng đề tài: “Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình hệ phơng trình” I.2.Tính cần thiết đề tài.

Nhằm nâng cao chất lợng “Giải phơng trình, hệ phơng trình phơng pháp dùng bất đằng thức” Giúp cho thầy trò dạy học đạt đợc kết cao kỳ thi, kỳ thi học sinh giỏi Tốn, giải tốn máy tính bỏ túi khối THCS, học sinh có niềm tin kỹ vận dụng dạng tốn giải phơng trình hệ phơng trình Góp phần nâng cao chất l ợng dạy học tốn mơn khác ngày cao

I.2 Mục đích nghiên cứu.

Học sinh đạt đợc Giải phơng trình hệ phơng trình phng phỏp bt ng thc

I.3 Đối tợng, phạm vi, kế hoạch, thời gian nghiên cứu.

4.1 Đối tợng nghiên cứu:

- Cỏc dng toỏn giải phơng trình, hệ phơng trình v bất đẳngà thc chng trỡnh THCS

4.2 Phạm vi nghiên cøu:

Häc sinh c¸c líp khèi khèi trờng THCS Mạo Khê II -Đông Triều - Quảng Ninh

4.3.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2005- 2006; 2006- 2007;

2007- 2008; 2008- 2009; 2009 - 2010

I.4 Đóng góp mặt lý luận thực tiễn I.4.1 Cơ sở lí lụân

Nói đến dạy học cơng việc vừa mang tính khoa học vừa mang tính nghệ thuật Do địi hỏi ngời giáo viên cần có lực s phạm vững vàng, phơng pháp giảng dạy phù hợp theo hớng tích cực giúp học sinh chủ động việc chiếm lĩnh kiến thức Việc tạo cho học sinh niềm hứng thú học tập “Giải phơng trình hệ phơng trình phơng pháp dùng bất đằng thức” hồn tồn phụ thuộc vào lực s phạm giáo viên Ngồi việc lên lớp ngời giáo viên phải khơng ngừng học hỏi, tìm tịi tài liệu có liên quan để truyền thụ cho học sinh cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, phù hợp với khả tiếp thu đối tợng học sinh

dựng trờng học thân thiện, học sinh tích cực ” việc tạo hứng thú học tập cho học sinh tạo cho em có niềm tin học tập, khơi dậy em ý thức “mỗi ngày đến trờng niềm vui”

I.4.2 C¬ së thùc tiƠn

Bản thân giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn Tốn tơi có nhiều năm tham gia vào cơng tác bồi dỡng học sinh giỏi mơn Tốn, Tốn máy tính trờng THCS Mạo Khê II tơi thấy rằng:

- Đối với học sinh giải phơng trình, hệ phơng trình phơng pháp dùng “bất đẳng thức” em tích cực số điều nh kết nhanh, xác, làm đợc nhiều tập khoảng thời gian ngắn, tạo hứng thú cho học sinh học toán

- Đối với giáo viên đa số kiến thức khó lại rộng lớn bao trùm Do để thời gian vào nghiên cứu, tìm tịi để có kiến thức vững sâu khó, có lẽ ngời suy nghĩ -cố gắng hoàn thành nhiệm vụ đợc cịn nghiên cứu tìm tịi có nhà khoa học

- Ngun nhân góp phần khơng nhỏ cho việc nghiên cứu tìm lời giải cho tốn ngời phải có trí tuệ, phải bậc vĩ nhân Suy nghĩ phần “Ngọc khơng mài khơng sáng đợc”

- Do địi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết tinh thần học hỏi cao đáp ứng đợc chun mơn, cơng việc giảng dạy Tốn học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh khoa học với tốn song khơng vận dụng đợc vào cấp học phổ thơng, cha tìm đợc phơng pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chơng trình học, nội dung sách giáo khoa hnh

II phần nội dung II.1.1 Một số thành tùu

cđa c¸c em, gióp c¸c em phát triển kỹ nghiên cứu khoa học hứng thú việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ

II.1.2 Một số tồn nguyên nhân

Sáng kiến kinh nghiệm đợc áp dụng hai khối khối khả nhận thức học sinh không đồng đều, đa số học sinh cịn thiếu động học tập, lời học, khơng tích cực học tập cho chuyên đề khó khơng quan trọng, khơng thiết việc phát huy tính tích cực số học sinh hạn chế Hơn học sinh đợc quan tâm gia đình.Vì địi hỏi cố gắng tận tâm ngời thầy dần giúp em hòa nhập với khả nhận thức chung cuả môn học

II.13 Vấn đề đặt ra

Rèn luyện “Giải phơng trình hệ phơng trình phơng pháp dùng bất đằng thức” cách hình thành kiến thức, kỹ cho học sinh phơng pháp luyện tập thông qua tập quan trọng để nâng cao chất lợng dạy học môn Với học sinh họat động giải tập hoạt động tích cực có tác dụng sau:

- Rèn kỹ vận dụng kiến thức học, kiến thức tiếp thu đợc qua giảng thành kiến thức mình, kiến thức đợc nhớ lâu đợc vận dụng thờng xuyên

- Đào sâu mở rộng kiến thức học cách sinh động, phong phú, hấp dẫn

- Là phơng tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá cách tốt kiến thc ó hc

- Phát triển lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh II.2.áp dụng giảng dạy

II.2.1.các b ớc tiến hành

Để bồi dỡng học sinh giỏi Tốn nói chung giải tốn máy tính nói riêng có hiệu theo phải làm đợc công việc sau:

- Đầu năm phân loại đối tợng học sinh, chọn em học Toán trở lên chăm học vào đội tuyển HSG Tốn

- Chn bÞ tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán

- Soạn nội dung bồi dỡng học sinh giỏi, nội dung bồi dỡng học sinh giỏi phải hệ thống, phân loại đợc dạng Toán khối đợc phõn cụng bi dng

- Lên kế hoạch bồi dìng häc sinh giái theo tõng tn

KÕ ho¹ch båi dìng häc sinh giái : Dạy từ buổi tuần.

Ii.2.2 Quá trình thực hiện

I)-

á p dụng bất đẳng thức Cauchy

1 KiÕn thøc

Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc đối cới hầu hết học sinh Tuy nhiên, ngời ta xây dựng đợc nhiều tốn hay khó Bất đẳng thức cauchy đợc phát biểu:

Cho dãy số không âm a1,a2, an Ta có bất đẳng thức:

a1+a2+ an

n ≥

n

√a1a2 an

Vµ dÊu xảy a1=a2= =an

Bất đẳng thức đợc minh nhiều tài liệu, xin phép khơng trình bày chứng minh viết

2 Mét sè vÝ dô

Phơng trình, hệ phơng trình giải cách dùng bất đẳng thức cauchy phong phú đa dạng Thông qua ví dụ điển hình mong nhận dạng nhanh đặc điểm toán

Ví dụ 1: Giải phơng trình:

x+ y+ z+4=2.x − 2+4 √y − 3+6 √z − 5

(TuyÓn sinh 10, THPT Lª Hång Phong TP Hå ChÝ Minh - 1993 -1994) * Lêi gi¶i:

Điều kiện có nghĩa: x  ; y  ; z  áp dụng Bất đẳng thc Cauchy, ta có:

2√x −2 ≤ x − 2+1 (1)

4√y −3 ≤ y − 3+4 (2)

6√z −5 ≤ z−5+9 (3)

Céng (1), (2), (3), ta cã:

2√x −2+4√y −3+6 √z − 5≤ x + y +z+4

Đẳng thức xảy ra: x - =

Khi y - =

z - =

Nhận xét: Đây phơng trình vơ tỷ khơng tắc, tốn cịn có cách giải khác, nhiên với cách giải dùng bất đẳng thức Cauchy dụng ý ngời viết Đây toán bản, tạo nhiều tơng tự với chút bin i

Ví dụ 2: Giải phơng trình: 16 x4+5=63 4 x3+x Lời giải:

Điều kiện có nghĩa: Vì 16x4 + > nên 34 x3

+x >  x > áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho số dơng 4x; 4x2 +1 ; ta có:

6√34 x3+x=3√34 x (4 x3+1).2 ≤ x +(4 x2+1)+2=4 x2+4 x +3 => 16x3 +  4x2 + 4x +

 8x3 + 2x2 - 2x +   (2x-1)2 (2x2 + 2x + 1)  0

 (2x - 1)2  0, v× (2x - 1)2  0, nªn x = 1/2 tháa m·n

Nhận xét: Đây tốn phơng trình vơ tỷ khó, hiểu giải cách nâng lên lũy thừa tốn phức tạp khó giải đợc Bằng cách quan sát, sử dụng điều kiện hợp lý, bất đẳng thức Cauchy kết hợp với biến đổi tơng đông tìm lời giải Quan sát kỹ tạo lớp tốn cách biển đổi lên

VÝ dơ 3: Gi¶i hệ phơng trình 2 x2+

y4=3

2 y2+

x4=3

Lêi gi¶i:

2 x2+1

x2+2 y

+

y2=6

Cộng vế với vế ta có: (1) áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: x2

+x2+

x4≥ 3.

3

√x2x2.

x4=3 y2

+y2+

y4≥3

3

√y2y2.

y4=3

x2=

VËy dÊu b»ng x¶y ë (1) khi: y2=

y4  x = 

y = Vậy tập nghiệm hệ phơng trình là:

( x ; y) = {(1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1)

Nhận xét: Đứng góc độ đó, lệ phơng trình đối xứng loại 2, tốn giải theo phơng trình chung Vận dụng bất đẳng thức cauchy lời giải độc đáo sáng tạo Chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy phơng trình (1) dễ phát so với hệ phơng trình đầu cho áp dụng cách giải, ta tạo nhiều hay khó hn

Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình : 2 x2

1+x2=y 2 y2

1+ y2=z 2 z2 1+z2=x

Lêi gi¶i:

DƠ thÊy ( x; y; z) = (0; 0; 0) lµ mét nghiƯm cđa phơng trình Xét x # y # 0, z # vµ x, y, z >

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: 1+ x2  2x , 1+ y2  2y ,1 +z2 2z.

Nªn ta cã: 2 x2

1+x2≤ x ;

2 y2

1+ y2≤ y ;

2 z2

1+z2 z Vậy từ hệ phơng

trình ta cã:

y  x  z  y x = y = z Giải ta có: x = y = z =

II)- á p dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI.

1- KiÕn thøc:

Khi nhắc đến bất đẳng thức không nhắc đến Bất đẳng thức Binhiacôpski Đây bất đẳng thức quen thuộc với học sinh, đợc sử dụng nh công cụ, phần nghiên cứu dới dạng ứng dụng giải phơng trình, hệ phơng trình không mẫu mực Trớc hết ta phát biểu bất đửng thức Binhiacôpski

Giả sử: a1, a2,…, an b1, b2,…bn hai số tùy ý Ta có bất đẳng thức

(a1b1 + a2b2…+ anbn)  (a12+a22+ + an2).(b12+b22+ + bn2) .

Và dấu xảy khi: a1

b1

=a2

b2

= an

bn

Bất đẳng thức đợc chứng minh nhiều tài liệu, xin phép khơng trình bày cách chứng minh viết

2 Mét sè vÝ dô:

Kỹ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacơpski giải phơng trình, hệ phơng trình thờng phong phú đa dạng Khi giải dạng toán phơng pháp này, cần quan sát, có kỹ nhận biết cặp số Sau số ví dụ phân tích nhận biết này:

VÝ dơ 1: Giải phơng trình

x 1+x 3=2 x2 x +16

Lời giải:

Điều kiện có nghĩa x 

áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpki ta có:

x −3¿2

√x − 1¿2+¿ ¿

|√x −1+x −3|≤√12

+12.√¿  √x −1+x −3 2 x2 x +16

Đẳng thức xảy  √

x − 1

1 =

x −3

1

x −3 ≥ 0 

x − 3¿2 ¿ ¿

x −1=¿



 x = (loại x = < 3) Vậy phơng tr×nh cã nghiƯm nhÊt x =

Nhận xét: Nhận biết hai s √x −1 ; x − 3 1; để dùng bất đẳng thức Bunhia -côpski đánh giá vế trái kỹ thuật hay khó Bài tốn giải theo cách khác phức tạp gặp khó khăn, Chúng ta tạo tốn tơng tự

Ví dụ 2: Giải phơng trình

7 x+x 5=x212 x+38

(Thi häc sinh giái THCS TP Hå ChÝ Minh 2002 - 2003) Lời giải:

Điều kiện có nghÜa:  x 

áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cơpski ta có:

VÕ tr¸i: √7− x+√x −5 ≤√1+1 √(√7 − x)2+(√x −5)2=2 (1) VÕ ph¶i: x2 - 12x + 38 = (x-6)2 +  2 (2)

Vậy vế trái vế phải

√7 − x =√

x −5

1 Từ (1), (2) đẳng thức xảy khi: x − 6¿2=0

¿  x =

VËy phơng trình có nghiệm x =

Nhận xét: Đây toán học sinh Nhận biết hai bộ: √7− x ; √x −5 1; để sử dụng bất đẳng thức Buhnhia-côpski đánh giá vế trái kết hợp dùng đẳng thức để đánh giá vế phải Cách thiết lế toán nh kiểm tra đợc nhiều luồng kiến thức học sinh

VÝ dơ 3: Gi¶i hệ phơng trình (2+y2+z2)

x+3 y +4 z2=26x3+y3+z3=92

¿ ¿ Lêi gi¶i:

áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cơpski ta có:

x+3 y +4 z¿2≤(12+32+42)(x2+y2+x2)

¿

 x+3 y +4 z¿2≤ 26(x2+y2+x2)

Đẳng thức (1) xảy x1=y 3=

z

4 kết hợp với hệ phơng trình ta tìm đợc nghiệm nhấy (x, y, z) = (1 ; ; 4)

Nhận xét: Đây hệ phơng trình khơng mẫu mực Để phát cách vận dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta ý đến vế phải chơng trình thứ (chứa x2 + y2 + z2), Sau chọn số thích hợp 1; 3; x, y, z để đánh giá Phơng trình thứ hai chỉu dùng đánh giá xong phơng trình thứ Những kiểu dễ thiết kế, xong khó giải Ngời giải phải có kiến thức định bất đẳng thc

Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình

√1+x1++√1+x2+ .√1+x2006=2006.√20072006

√1− x1++√1 − x2+ .√1 − x2006=2006.√2005

2006 Lêi gi¶i:

Điều kiện có nghĩa; -1  xi  ; i = 1, …., 2006 áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:

20062.2007

2006=(√1+x1+√1+x2+ +√1+x2006)

(1+1+ +1)(1+x1+1+x2+ +1+ x2006)

2006 2007 ≤ 2006 (2006+x1+x2+ .+ x2006)

 x1+x2+ +x2006≥1 (1) 20062.2005

2006=(√1 − x1+√1 − x2+ +√1− x2006)

2006 2005 ≤ 2006 (2006 − x1− x2− − x2006)

 x1+x2+ +x2006≤1 (2)

Tơng đơng với:

1+x1=1+x2= =1+ x2006 1− x1=1− x2= =1 − x2006

x1+x2+ +x2006=1 => x1 = x2 = … x 2006 = 1/2006

Nhận xét: Đây tốn khó, biết phải sử dụng bất đẳng thức Cách đánh giá liên lục hai phơng trình so sánh với địi hỏi ngời giải phải có kỹ thuân thục, sáng tạo, nhậy bén vận dụng bất đẳng thức nói chung

Tỉng qu¸t ta có toán sau:

1+x1++1+x2+ .1+xn=n

n+k n

√1− x1++√1 − x2+ .√1 − xn=n √n − kn

III)- Giải ph ơng trình cách đánh giá ẩn

1- KiÕn thøc:

Nhiều tốn tởng chừng khơng giải đợc , thật bất ngờ chung ta cần đánh giá, so sánh ẩn phơng trình toán cho ta lời giải thú vị đến bất ngờ

Kỹ thuật phần thờng sử dụng quan sát ẩn, để đánh giá hai vế phơng trình hệ để tìm kiên hệ ẩn số, từ có đợc phơng trình , hệ phơng trình đơn giản 2 Một ví dụ:

Trong phần thơng qua ví dụ, quan sát cách đánh giá ẩn với số, từ xác định đợc nghiệm hệ

VÝ dơ 1: Gi¶i phơng trình 20 x2+10 x +3

3 x2+2 x+1 =y

+2(2 x −3) y +5 x2− 16 x+20

Lời giải: * Xét vế trái:

20 x2+10 x +3

3 x2+2 x+1 =

20 x2+10 x+3

3 x2+2 x +1 − 7+7 =

x − 2¿2 ¿ ¿

−¿

 Đẳng thức xảy hki x = (1)

Đẳng thc x¶y x = , y = (2)

Từ (1), (2) phơng trình có nghiệm nhÊt

Nhận xét: Đây toán phức tạp, không giải đợc trực tiếp Bằng quan sát đánh giá hai vế phơng trình với số 7, tốn có nghiệm Cách tạo đợc tốn khơng khó nhng giải đợc khơng dễ

VÝ dơ 2: Gi¶i hƯ phơng trình:

x+1998 y=1998

1998 x+y=1998

(Tuyển sinh 10, chuyên toán, ĐHSP Vinh 1998)

Lời giải:

Điều kiện bài: 1998 x, y 

- NÕu x > y th×: √x+√1998 − y >√y +√1998− x => V« lý - NÕu x > y th×: √x+√1998 − y >√y +√1998− x => V« lý - VËy x = y ta cã hệ phơng trình: x+1998 x=1998 Bình phơng hai vế: x+2√x (1998 − x)+1998 − x=1998

 x = , x = 1998

Vậy phơng trình có hai nghiệm (x ; y) = {(0 ; 0) , (1998 ; 1998)} Nhận xét: Bài tốn có vai trị bình đẳng Bằng đánh giá hai ẩn, ta tìm đợc x = y then chốt ý tởng đợc sử dụng rộng chứa ẩn có vai trị nh

IV)-Một số cách sử dụng khác bất đẳng thức.

1- KiÕn thøc

Đã nói bất đẳng thức rộng khó, việc sử dụng đa dạng phong phú, thiết mục kiểm tra qua nét chính, kiến thức kinh điển Trong mục xét thêm số kỹ thuật khác mà tởng chừng nh đơn giản song lại gặp khó khăn Một số ý là:

- Điều kiện toán

- Tính chất cđa lịy thõa,  a  1, m > n > => am  an  1  a; m < m => am  an.

|A| +|B|  |A + B|  |A| - |B| ; |A|  -A - Làm trội bất đẳng thức không chặt,…

2 Mét sè vÝ dơ

Sau thơng qua số ví dụ, thấy linh hoạt ý tởng sử dụng, sử dụng phong phú ứng dụng bất ng thc

Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình:

√x+1+√y=1

√x+√y +1=1

(Thi häc sinh giái Toán THCS Thành phố Hồ Chí Minh -2002 - 2003)

Lời giải:

Điều kiện toán  x, y => x +  1, y +  VËy:

√x+1+√y ≥1

x+y +1 1

Đẳng thức xảy x = , y =

VËy bµi to¸n cã nghiƯm nhÊt x = y =

Nhận xét: Quả thật tốn có lời giải bất ngờ đơn giản, chỉ cần sử dụng điều kiện nh nhận xét tìm đợc lời giải tốn khơng khó, giải theo cách khác nhng dài khơng đẹp Vì trớc giải hệ phơng trình vơ tỷ nên quan tâm đến điều kiện ẩn số

VÝ dô 2: Giải hệ phơng trình:

x2006

+y2006=1 (1)

x2007+y2007=1 (2)

Lời giải:

Từ phơng trình (1) ta cã: |x|  1, |y|  => - x  0,1 -y 

LÊy phơng trình (1) trừ (2) vế với vế, ta cã:

x2006(1 − x)+ y2006(1− y)=0

Đẳng thức xảy x = 0, y = hc x = 1, y = Vậy toán có hai nghiệm x = 0, y = vµ x = 1, y =

Nhận xét: tốn sử dụng tính chất lũy thừa  a  1, m > n > =>am  an 1 mở rộng số ẩn Dạng có dùng để tính giá trị biểu thức vấn đề tìm giá trị ẩn, Cách thiết kế kiểu bi ny khụng khú

Ví dụ 3: Giải phơng tr×nh

|x2− x +1|

+|x2− x −2|=3 Lêi gi¶i:

Cách 1: áp dụng bất đẳng thức |A|+|B|≥|A+B | Dấu xảy

khi

A B > 0, VËy ta cã |x2− x +1|+|x2− x −2|=|x2− x +1|+|2 − x2+x|  |x2− x +1+2 − x2+x|=3

Đẳng thức xảy x2 x +1

¿.(2 x2+x)>0 Mµ x2 -x + > => x  s -  x  2.

Cách 2: áp dụng bất đẳng thức |A|≥ − A dấu xảy A 

x2 -x + > => |x2 -x + 1| = x2 -x + 1. |x2 -x - 2|  (-x2 - x - 2).

|x2 -x + 1| + |x2 -x - 2|  x2 -x + - (x2 -x - 2) = 3 Đẳng thức xảy khi: x2 -x -  -  x  2.

Nhận xét: Thông thờng học sinh dùng phơng án phá dấu giá trị tuyệt đối Nhng cách giải sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cho lời giải đơn giản ngắn gọn Nếu chúng ta tăng thêm biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối đợc nhiều tốn hay v khú

II.3 Ph ơng pháp nghiên cứu- kết nghiên cứu

II.3.1.Phơng pháp.

1/ Nghiªn cøu lý luËn.

Để viết đợc kinh nghiệm thân sử dụng phơng phỏp sau:

*-Nghiên cứu tài liệu :

+SGK - Sách tham khảo ; tạp trÝ to¸n häc

dạy học

*- So sánh, tæng kÕt

*- Kết hợp với hội đồng s phạm nhà trờng nghiên cứu vận dụng kiến thức hợp lý không sức học sinh khn khổ chơng trình học

Tổng kết kinh nghiệm thực tế giảng dạy (đặc biệt bồi d-ỡng học sinh giỏi) thân đồng nghiệp

Tham gia c¸c líp båi dìng gi¸o viên Sở Giáo dục Đào tạo tổ chức

2/ Nghiªn cøu thùc tiƠn. - KiĨm tra häc sinh líp 8, II.3.1 KÕt qu¶

- Đã hình thành cho học sinh số kỹ “Giải phơng trình, hệ ph-ơng trình phph-ơng pháp dùng bất đẳng thức” Giúp cho học sinh nhìn nhận dạng tốn dới lăng kính nhiều mặt với nhiều màu sắc khác trình vận dụng linh hoạt kĩ thuật giải

- Ôn tập, củng cố đào sâu kiến thức số học, đại số có liên quan đồng thời giúp cho học sinh hình thành thói quen suy nghĩ định hớng tìm tịi lời giải trớc tốn Từ giúp học sinh có thói quen giải tốn theo trình tự khoa học

- Xây dựng đợc hệ thống phơng pháp kỹ Giúp cho học sinh giáo viên có t liệu tham khảo cho hoạt động dạy học toán học với việc bồi dỡng học sinh khá, giỏi nhà trờng phổ thông

- Hình thành học sinh thói quen khai thác kiến thức chơng trình theo chiều sâu Giúp cho em có đợc t sâu sắc linh hoạt, độc lập sáng tạo q trình giải tốn

- Giúp cho học sinh phân loại đợc dạng tập phơng pháp, kỹ giải cho loại tạo điều kiện cho em nhìn nhận vấn đề tốn học (phơng trình) dới mắt hồn thiện

- Hình thành học sinh thói quen khám phá, khai thác tìm tịi lời giải cho tốn …phát huy đợc tích cực suy nghĩ q trình giải tốn

- Góp phần trau dồi cho học sinh phẩm chất nh tính độc lập kiên trì sáng tạo tích cực tìm tịi giúp em hoàn thiện dần phẩm chất đạo đức, phẩm chất trí tuệ q trình học tốn nhà tr-ờng phổ thơng

- Phát huy đợc đức tính tự học, tự tìm tịi nghiên cứu góp phần tơ điểm cho việc đổi phơng pháp giảng dạy học tập giáo viên học sinh mà hạt nhân là: " Lấy lôgic học học sinh làm trung tâm " từ nâng cao bớc chất lợng học tập mơn tốn cho em

trờng THCS đạt học sinh giỏi cấp có cấp quốc gia kt qu c th nh sau:

- Năm học 2005 2006: Đạt em học sinh giỏi cÊp hun vµ em häc sinh giái cÊp tØnh

- Năm học 2006 2007: Đạt em häc sinh giái cÊp hun vµ em häc sinh giỏi cấp tỉnh

- Năm học 2007 2008: Đạt em học sinh giỏi cấp huyện em häc sinh giái cÊp tØnh

- Năm học 2008 – 2009: Đạt em học sinh giỏi cấp tỉnh, có em đạt giải nhì đợc thi tiếp Quốc gia vào ngày 13/3/2009 đạt giải khuyến khích cấp Quốc gia

- - Năm học 2008 – 2009: Đạt em học sinh giỏi cấp tỉnh, có em đạt giải đợc thi tiếp Quốc gia vào ngày 19/3/2010 đạt giải ba cấp Quốc gia

PhÇn III: PhÇn kÕt luËn – KiÕn nghÞ III.1.KÕt luËn

- Khi cha đợc tiếp cận với tốn khơng tắc, hầu hết học sinh tỏ lúng túng, phơng hớng tìm lời giải Khi làm quen với phân tích sâu sắc, hầu hết em thích thú say mê lạ, sáng tạo, khơng máy móc

- Víi kiÕn thøc nh em nắm tốt hơn, liên hệ kiÕn thøc víi mËt thiÕt h¬n, thùc sù båi bổ chất toán cho em tốt môn học khác nh sống

- Nhiều học sinh huyện đợc học, thành cơng nhiều kỳ thi học sinh giỏi tốn, thi vào trờng chất lợng cao những năm gần đây.

Phơng trình, hệ phơng trình khơng tắc dạng tốn khó, đa dạng, thờng đợc dùng kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, nh thi vào lớp chất lợng cao Các tốn nh ln vấn đề nan giải hầu hết học sinh nói chung, học sinh giỏi nói riêng

Trong số năm qua, trăn trở để tìm ý tởng cho tốn hay khó này,tơi tìm tịi, phân dạng để giảng dạy nhằm mục đích truyền đạt hiệu đến với học sinh

sinh khám phá, tự tìm kiến thức có liên quan để giải Qua đây, tơi thấy kiến thức toán học sinh đợc nâng nhiều phần khác

Sử dụng bất đẳng thức tính chất vào giải phơng trình, hệ phơng trình ứng dụng lớn Sự phân chia nh ý tởng tơi cịn nhiều phần cha nêu hết, Đề tài hy vọng giúp phần khó khăn giảng dạy hy vọng bạn đồng nghiệp nêu tiếp ứng dụng mà viết cha nêu đợc

III.2- KiÕn nghÞ:

- Với nhà trờng: Cần khuyến khích động viên giáo viên thực áp dụng sáng kiến hay để đẩy mạnh phong trào chuyên môn nhà trờng

- Với Phòng, Sở giáo dục: Đề nghị quan tâm đầu t mở nhiều chuyên đề bồi dỡng chuyên đề có liên quan đến mơn Tốn đặc biệt bồi d-ỡng giáo viên ôn học sinh giỏi để nâng cao trình độ, phơng pháp, lực s phạm cho giáo viờn dy hc

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Mạo Khê, ngày 20 tháng năm 2010

Ngêi viÕt

đánh giá hội đồng khoa học Trờng thcs mạo khê

II

phịng gd - đt huyện đơng triều