SKKN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 9

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 9 I. ĐẶT VẤN ĐỀ: 1. Lý do chọn đề tài. Toán học là môn khoa học được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, một môn học không thể thiếu được với mỗi chúng ta, là môn học trừu tượng và khó cho người học cũng như người dạy. Với vai trò quan trọng của bộ môn có tính quyết định đến chất lượng học tập các bộ môn khác. Hơn nữa chương trình toán THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình học tập sau này. Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách. Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết ...” dành cho học sinh lớp 6, 7 đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đại số ở lớp 9. Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo. Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loại phương trình này. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua. Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân tôi lại được Nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dự kì thi các cấp Huyện và Tỉnh, tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm ra cách giải một cách tốt nhất? Với tất cả những lí do nêu trên. Tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình đại số 9” . 2. Mục đích nghiên cứu của SKKN. Để giúp các em học tốt môn toán có vốn kiến thức tự tin trong các kì thi học sinh giỏi, khảo sát của Sở giáo dục, vào THPT…Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện trong nhà trường, tôi chọn đề tài này là vì mong muốn tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một

Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạyhọc sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hìnhthành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các emtích cưc hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiệnnhân cách.

Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một trong

những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, băt đầu từ những bài toán

“Tìm x biết ” dành cho học sinh lớp 6, 7 đến việc cụ thể hóa vấn đề về phươngtrình ơ cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đạisố ơ lớp 9 Đây là một nội dung quan trọng băt buộc học sinh bậc THCS phải nămbăt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo

Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trơ ngạikhông nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngơ ngàng và bối rối khi giải các loạiphương trình này Thưc ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó Đặc biệt, vớinhững học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đêquan trọng mà băt buộc những học sinh này phải vượt qua.

Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân tôi lại được Nhàtrường trưc tiếp giao trách nhiệm bồi dương đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dưkì thi các cấp Huyện và Tỉnh, tôi cũng rất trăn trơ về vấn đề này Vấn đề đặt ra làlàm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Vàkhi gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm racách giải một cách tốt nhất?

Với tất cả những lí do nêu trên Tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình đại số 9”

2 Mục đích nghiên cứu của SKKN.

Để giúp các em học tốt môn toán có vốn kiến thức tư tin trong các kì thi họcsinh giỏi, khảo sát của Sơ giáo dục, vào THPT…Góp phần nâng cao chất lượnggiáo dục toàn diện trong nhà trường, tôi chọn đề tài này là vì mong muốn tìm đượcmột phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một

hệ thống chương trình qui định, nhằm lấp đầy các chỗ hổng kiến thức và từngbước nâng cao thêm về mặt kỹ năng trong việc giải toán cho học sinh Từ đó pháthuy, khơi dậy khả năng sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, đồng thờithu hút, lôi cuốn các em ham thích học môn toán, đáp ứng những yêu cầu về đổimới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy học hiện nay

3 Phương pháp nghiên cứu Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu.

3.1 Phương pháp:

Đề tài này được hoàn thành trên phương pháp thống kê tổng hợp, quan sát, phân

tích nguyên nhân và phương pháp thưc nghiệm sư phạm

3.2 Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:

Phạm vi: Học sinh lớp 9 trường THCS Nga An

Nội dung: Khảo sát chất lượng học sinh về môn toán nhằm xác định đối

Kế hoạch nghiên cứu: Thưc hiện từ tháng 9/2013 đến hết tháng 4/2014

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận:

Học sinh yếu kém về giải phương trình vô tỉ là những học sinh có kết quả vềmôn toán dưới mức trung bình và khá Do đó việc lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹnăng cần thiết đối với những học sinh này, tất yếu đòi hỏi tốn nhiều công sức vàthời gian hơn Vì thế người thầy phải năm vững những đặc điểm của học sinh , để

từ đó đề ra các giải pháp phù hợp về các phương pháp giúp học sinh học tập tốtmôn toán

Trên cơ sơ những kinh nghiệm giảng dạy và thưc tiễn học tập của học sinh,tìm ra những phương pháp giải phương trình vô tỉ một cách hiệu quả nhất

Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân tôi cũng rất trăn trơ

về vấn đề này Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạocác loại phương trình vô tỉ? Và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình

vô tỉ các em cũng có thể tìm ra cách giải một cách tốt nhất?

-Với tất cả những lí do nêu trên Tôi quyết định chọn đề tài

Là một giáo viên công tác lâu năm găn bó với nghề tôi rất hiểu và thông cảmtrước những khó khăn của các em Bơi vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn họchỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các em yêu thích

và học tốt môn toán Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy học môn toán trongnhà trường ngày một tốt hơn

Kết quả của thực trạng trên

Từ những nguyên nhân trên dẫn đến tình hình hình khăc phục học sinh yếukém môn toán còn chuyển biến chậm, số lượng học sinh yếu môn toán vẫn chiếm

tỷ lệ đáng kể trong các đợt khảo sát của nhà trường

- Học sinh rất sợ khi gặp phương trình vô tỉ

- Không biết loại phương trình vô tỉ thuộc dạng nào, cách giải ra sao

Cụ thể kết quả học sinh khối 9 giải được phương trình vô tỉ như sau

Lớp Phương pháp Giải được Có đường lối giải Không giải được

Từ thưc trạng như vậy, tôi đã dành nhiều nhiều thời gian để thử nghiệmphương pháp riêng của mình và bước đầu đã có những dấu hiệu khả quan.

3.Các biện pháp tiến hành.

3.1 Khảo sát chất lượng đầu năm để tìm đối tượng học sinh

Thông qua học bạ lớp dưới, thông qua bài kiểm tra khảo sát đầu năm, kiểm tranhững kiến thức cơ bản, trọng tâm mà các em đã được học Qua đó giúp tôi năm

được những đối tượng học sinh những“lỗ hổng” kiến thức của các em Trên cơ sơ

đó tôi phân lớp thành nhiều nhóm gọi là nhóm “Tương đồng về kiến thức” Rồi tìm

hiểu nguyên nhân và lập kế hoạch khăc phục

3.2 Tìm hiểu và phân loại các nguyên nhân

Qua thưc tế tìm hiểu tôi nhận thấy có các nguyên nhân chủ yếu sau dẫn đến họcsinh tiếp thu chậm về phương trình vô tỉ đó là:

* Nguyên nhân khách quan:

Trong quá trình giải toán học sinh còn rất lúng túng những vấn đề về phương trình,phương trình vô tỉ lại là một trơ ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ítngơ ngàng và bối rối khi giải các loại phương trình này Thưc ra, đây cũng là mộttrong những vấn đề khó, phương trình vô tỉ cũng là một dạng toán mới Đặc biệt,với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn

đề quan trọng mà băt buộc những học sinh này phải vượt qua

* Nguyên nhân chủ quan:

- Kiến thức bị hổng do học sinh lười học

- Do khả năng tiếp thu chậm

- Do thiếu phương pháp học tập phù hợp

3.3 Lập kế hoạch thực hiện:

Xây dưng thời gian nội dung chương trình thưc hiện trong suốt quá trình thưc hiện

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3

* Nhận xét - Khi giải phương trình dạng trên học sinh thường măc sai lầm là

không đặt điều kiện cho g(x)≥ 0

Chẳng hạn ơ ví dụ trên nếu không đặt điều kiện x-1≥ 0, khi dẫn đến phương trình

x2-3x = 0 học sinh sẽ trả lời phương trình có hai nghiệm x1= 0, x2=3 nhưng khi thay

x1= 0 vào phương trình ta thấy VT=-1, VP=1

Sơ dĩ có sai lầm trên vì học sinh chưa năm chăc của lũy thừa bậc hai

b) Dạng 2: f (x) + g(x) h(x) =

- Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa:

0 )

(

0 )

Ví dụ.Giải phương trình: x 3 5 + = − x 2 − (2)

Giải Với điều kiện x ≥ 2 Ta có:

Cách giải tương tư dạng 2

Ví dụ Giải phương trình: x 1 + − x 7 − = 12 x − (3)

Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12 Ta có:

5 ; x2 = 8

d) Dạng 4: f (x) + g(x) = h(x) + k(x)

Cách giải tương tư dạng 3

Ví dụ Giải phương trình: x − x 1 − − x 4 − + x 9 0 + = (4)

Giải: Với điều kiện x ≥ 4 Ta có:

1

0 3 2 2 1

2 2

1 2

1 3 1 3

2

3

3 3

− +

−

−

− +

x

x x

x

x x

x x

x x

Giải các phương trình sau bằng phép nâng lũy thừa

1 x2-4x=8 x− 1(x=4+2 2)

2 x

x

x x

3 3

Vậy phương trình (1) có nghiệm x= -1 hoặc x= -6

⇔ a = 1 hoặc b = c Thay ngược trơ lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất củaphương trình

V

í dụ 2 Giải phương trình : x = 2 x 3 x − − + 3 x 5 x − − + 2 x 5 x − −

Giải Đặt : u = 2 x − ; v = 3 x − ; t = 5 x − (u ; v ; t ≥ 0)

⇒ x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu

Từ đó ta có hệ:

(u v)(u t) 2 (1) (v u)(v t) 3 (2) (t u)(t v) 5 (3)

u t (6)

3 30

và tìm mối liên hệ giữa các biểu thức trong phương trình

- Cần phải có kỹ năng giải phương trình và hệ phương trình

MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

1 x2 + 2x− 9 = 6 + 4x+ 2x2

Giải các phương trình sau bằng phương pháp trị tuyệt đối hóa

1 x2 + 2x+ 1 + x2 − 2x+ 1 = 2 (x≥ 1 )

2 x+ 2 − 4x x− 2 + x+ 7 − 6 x− 2 = 1(6 ≤x≤ 11)

3 x+ x2 −1− x− x2 −1 = 2

3.4.4 Phương pháp sư dụng bất đăng thức

a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rơi nhau, khi đó phương trình vô nghiệm

Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1 − < 5x 1 − ⇒ vế trái luôn âm

Vế phải: 3x 2 − ≥ 1 ⇒ vế phải luôn dương

Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu F(x)≥k dấu bằng xảy ra khi x=a

G(x)≤k dấu bằng xảy ra khi x=b

(k,a,b là các hằng số)

- Nếu a=b thì (1) có nghiệm x=a

- Nếu a≠b thì (1) vô nghiệm.

Ta có: Vế trái ≥ 4 + 9 2 3 5 = + = Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1

Vế phải ≤ 5 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất)

* Ta chỉ ta một ngiệm cụ thể của phương trình và chứng minh được các trườnghợp khác của ẩn không là nghiệm của hệ

Ví dụ 1 Giải phương trình: x 7 2

x 1 + + = + − +

Giải: Điều kiện x ≥ 1

Giải: Điều kiện: x < 2 Bằng cách thử, ta thấy x = 3

2 là nghiệm của phương trình

Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất Thật vậy: Với x < 3

d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ơ bất đăng thức chăt

Ví dụ Giải phương trình x 4x 1 2

x 4x 1

4x 1

−

− Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 4x 1 − ⇔ x 2 − 4x 1 0 + =

4 3

3.4.5 Phương pháp đưa về phương trình tích.

− +

⇔

1

0 0

1 2 1

3

x

x x

Giải Điều kiện x≥ − 3

PT ( )2 ( )2

3 3

= + +

⇔

x x

x x

3 1 3

3 1 3

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đưa về phương trình tích

1 2x2 + 8x+ 6 + x2 − 1 = 2x+ 2(HD: dễ nhận thấy có nhân tử chung x+ 1)

+ (HD: chia cả hai vế phương trình cho x+3, KQ x=1)

4 3 x+ 1 + 3 x+ 2 = 3 x+ 3 x2 +x( KQ x=1)

5 3 −x =x 3 +x( KQ x=

3

1 10

6 ( x+ 5 − x+ 2) (1 + x2 + 7x+ 10)= 3 (KQ x=-1)

7 x4+ x2 + 2011 = 2011( HD đưa PT về

2 2

2 2

2

1 2011 2

* Một số phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x=x0 như vậy phương trìnhluôn đưa về dạng tích (x-x0)A(x)=0 Ta có thể giải phương trình A(x)=0 hoặc chứngminh A(x)=0 vô nghiệm Chú ý điều kiện của nghiệm PT để có thể đánh giá A(x)=0

5 3 5

4 2

3 4 12

4 3

5 )

6 3 ( 4

12

2

2 2

2 2

2

+ +

− +

−

= + +

−

⇔

− + +

x

x x

x x

2 0

3 3 5

1 4

12

2 )

+

− + +

x x

3 5

2 4

+

− + +

+

x

x x

4 1 2

1

3 1

−

+ +

−

⇔

x

x x x x

x

x x

9 3 2

3 1 1

3 1

4 1 2

1

3

3

2 2

+ +

<

<

+ +

−

+ +

= +

− +

−

+

x

x x x

x x

tỉ để giải cho thành thạo.

Kết quả đạt được trong năm học 2013-2014 như sau:

Lớp Phương pháp Giải được Có đường lối giải Không giải được

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

Trên đây chỉ là một kinh nghiệm nhỏ mà tôi đã thưc hiên và cho kết quả tốt Do giới hạn kiến thức THCS nên có nhiều phương pháp giải phương trình vô tỉhay tôi chưa đề cập tới Đồng thời trong quá trình nghiên cứu do chỉ độc lập nênchăc chăn không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế Tôi rất mong nhận được những góp

ý chân tình của quý đồng nghiệp để đề tài của tôi sớm đi vào thưc hiện Tôi xinchân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2014

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung của

người khác

Phùng Văn Đông

TÀI LIỆU THAM KHẢO

+ Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 9, tập 1 và tập 2 của NXBGD năm 2012+ Tạp chí toán học và tuổi trẻ

+ Tạp chí toán tuổi thơ 2

+ Tạp chí giáo dục

+ Tạp chí thế giới trong ta

+ Tạp chí dạy và học ngày nay