SKKN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 9

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 9 I. ĐẶT VẤN ĐỀ: 1. Lý do chọn đề tài. Toán học là môn khoa học được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, một môn học không thể thiếu được với mỗi chúng ta, là môn học trừu tượng và khó cho người học cũng như người dạy. Với vai trò quan trọng của bộ môn có tính quyết định đến chất lượng học tập các bộ môn khác. Hơn nữa chương trình toán THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình học tập sau này. Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách. Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết ...” dành cho học sinh lớp 6, 7 đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đại số ở lớp 9. Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo. Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loại phương trình này. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua. Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân tôi lại được Nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dự kì thi các cấp Huyện và Tỉnh, tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm ra cách giải một cách tốt nhất? Với tất cả những lí do nêu trên. Tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình đại số 9” . 2. Mục đích nghiên cứu của SKKN. Để giúp các em học tốt môn toán có vốn kiến thức tự tin trong các kì thi học sinh giỏi, khảo sát của Sở giáo dục, vào THPT…Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện trong nhà trường, tôi chọn đề tài này là vì mong muốn tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một

MỤC LỤC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I ĐẶT VẤN ĐỀ: Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học ứng dụng nhiều sống, môn học thiếu với chúng ta, mơn học trừu tượng khó cho người học người dạy Với vai trò quan trọng mơn có tính định đến chất lượng học tập môn khác Hơn chương trình tốn THCS viên gạch đặt móng cho trình học tập sau Dạy học sinh học Tốn khơng chỉ là cung cấp kiến thức bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cưc hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một chuyên đề xuyên suốt năm học của học sinh, băt đầu từ bài toán “Tìm x biết ” dành cho học sinh lớp 6, đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình ći năm học lớp hồn thiện bản các nội dung về phương trình đại số lớp Đây là một nội dung quan trọng băt buộc học sinh bậc THCS phải năm băt và có kĩ giải phương trình một cách thành thạo Trong vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trơ ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngơ ngàng và bối rối giải các loại phương trình này Thưc ra, cũng là một vấn đề khó Đặc biệt, với học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi là mợt vấn đê quan trọng mà băt buộc học sinh này phải vượt qua Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân lại Nhà trường trưc tiếp giao trách nhiệm bồi dương đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dư kì thi các cấp Huyện và Tỉnh, cũng rất trăn trơ về vấn đề này Vấn đề đặt là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Và gặp bất một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm cách giải một cách tốt nhất? Với tất cả lí nêu Tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ chương trình đại số 9” Mục đích nghiên cứu SKKN Để giúp em học tốt mơn tốn có vốn kiến thức tư tin kì thi học sinh giỏi, khảo sát Sơ giáo dục, vào THPT…Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện nhà trường, tơi chọn đề tài mong muốn tìm phương pháp tối ưu để quỹ thời gian cho phép hoàn thành hệ thống chương trình qui định, nhằm lấp đầy chỗ hổng kiến thức bước nâng cao thêm mặt kỹ việc giải toán cho học sinh Từ phát huy, khơi dậy khả sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, đồng thời thu hút, lơi em ham thích học mơn toán, đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp nâng cao chất lượng dạy học Phương pháp nghiên cứu Phạm vi kế hoạch nghiên cứu 3.1 Phương pháp: Đề tài hoàn thành phương pháp thống kê tổng hợp, quan sát, phân tích nguyên nhân phương pháp thưc nghiệm sư phạm 3.2 Phạm vi kế hoạch nghiên cứu: Phạm vi: Học sinh lớp trường THCS Nga An Nội dung: Khảo sát chất lượng học sinh mơn tốn nhằm xác định đối tượng học sinh Tìm hiểu nguyên nhân gây sư lúng túng lưa chọn cách giải phương trình vơ tỉ học sinh Phân loại đối tượng học sinh từ lưa chọn biện pháp phù hợp lập kế hoạch khăc phục trạng Kế hoạch nghiên cứu: Thưc từ tháng 9/2013 đến hết tháng 4/2014 II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận: Học sinh yếu giải phương trình vơ tỉ học sinh có kết mơn tốn mức trung bình Do việc lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ cần thiết học sinh này, tất yếu đòi hỏi tốn nhiều cơng sức thời gian Vì người thầy phải năm vững đặc điểm học sinh , để từ đề giải pháp phù hợp phương pháp giúp học sinh học tập tốt mơn tốn Trên sơ kinh nghiệm giảng dạy thưc tiễn học tập học sinh, tìm phương pháp giải phương trình vơ tỉ cách hiệu Là giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, thân trăn trơ vấn đề Vấn đề đặt làm giúp cho học sinh giải thành thạo loại phương trình vơ tỉ? Và gặp dạng tốn phương trình vơ tỉ em tìm cách giải cách tốt nhất? -Với tất lí nêu Tôi định chọn đề tài Là giáo viên cơng tác lâu năm găn bó với nghề tơi hiểu thơng cảm trước khó khăn em Bơi q trình giảng dạy tơi ln học hỏi đồng nghiệp tìm tòi phương pháp thích hợp để giúp em yêu thích học tốt mơn tốn Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nhà trường ngày tốt Thực trạng vấn đề nghiên cứu Một số học sinh bị kiến thức bản, tiếp thu dẫn đến lười học, chán học cộng thêm số học sinh hồn cảnh gia đình… dẫn đến học yếu mơn tốn, Một số học sinh chưa coi trọng môn học, chưa thấy tầm quan trọng mơn tốn với mơn học khác, chưa có sư say mê, u thích mơn học Kết thực trạng Từ nguyên nhân dẫn đến tình hình hình khăc phục học sinh yếu mơn tốn chuyển biến chậm, số lượng học sinh yếu mơn tốn chiếm tỷ lệ đáng kể đợt khảo sát nhà trường - Học sinh sợ gặp phương trình vơ tỉ - Khơng biết loại phương trình vơ tỉ thuộc dạng nào, cách giải Cụ thể kết học sinh khối giải phương trình vơ tỉ sau Lớp Phương pháp Giải Có đường lối giải Khơng giải 9A Khi chưa áp dụng 20% 40% 40% 9B Khi chưa áp dụng 10% 40% 50% 9C Khi chưa áp dụng 10% 30% 60% Qua kết việc giải phương trình vơ tỉ ta thấy số em giải phương trình vơ tỉ thấp, số học sinh có đường lối giải khơng giải nhiều Từ thưc trạng vậy, dành nhiều nhiều thời gian để thử nghiệm phương pháp riêng bước đầu có dấu hiệu khả quan 3.Các biện pháp tiến hành 3.1 Khảo sát chất lượng đầu năm để tìm đối tượng học sinh Thông qua học bạ lớp dưới, thông qua kiểm tra khảo sát đầu năm, kiểm tra kiến thức bản, trọng tâm mà em học Qua giúp tơi năm đối tượng học sinh những“lỗ hổng” kiến thức em Trên sơ tơi phân lớp thành nhiều nhóm gọi nhóm “Tương đồng kiến thức” Rồi tìm hiểu ngun nhân lập kế hoạch khăc phục 3.2 Tìm hiểu phân loại nguyên nhân Qua thưc tế tìm hiểu tơi nhận thấy có ngun nhân chủ yếu sau dẫn đến học sinh tiếp thu chậm phương trình vơ tỉ là: * Ngun nhân khách quan: Trong q trình giải tốn học sinh lúng túng vấn đề phương trình, phương trình vơ tỉ lại trơ ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh khơng ngơ ngàng bối rối giải loại phương trình Thưc ra, vấn đề khó, phương trình vơ tỉ dạng tốn Đặc biệt, với học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi vấn đề quan trọng mà băt buộc học sinh phải vượt qua * Nguyên nhân chủ quan: - Kiến thức bị hổng học sinh lười học - Do khả tiếp thu chậm - Do thiếu phương pháp học tập phù hợp 3.3 Lập kế hoạch thực hiện: Xây dưng thời gian nội dung chương trình thưc suốt trình thưc 3.4 Các giải pháp thực 3.4 Phương pháp nâng lên lũy thưa g(x) ≥ a) Dạng 1: f (x) = g(x) ⇔  f (x) = [g(x)] Ví dụ Giải phương trình: x + = x − (1)  x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ Giải: (1) ⇔   x + = x −  x − 3x = x = Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = * Nhận xét - Khi giải phương trình dạng học sinh thường măc sai lầm không đặt điều kiện cho g(x) ≥ Chẳng hạn ví dụ khơng đặt điều kiện x-1 ≥ , dẫn đến phương trình x2-3x = học sinh trả lời phương trình có hai nghiệm x 1= 0, x2=3 thay x1= vào phương trình ta thấy VT=-1, VP=1 Sơ dĩ có sai lầm học sinh chưa năm chăc lũy thừa bậc hai b) Dạng 2: f (x) + g(x) = h(x) - Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa:  f ( x) ≥   g ( x) ≥ h ( x ) ≥  - Biến đổi vế phương trình khơng âm (với phương trình chứa bậc hai) ta bình phương hai vế đế phương trình tương đương Sau đưa phươg trình dạng biết cách giải Ví dụ.Giải phương trình: x + = − x − (2) Giải Với điều kiện x ≥ Ta có: (2) ⇔ x+3+ x−2 =5 ⇔ 2x + + (x + 3)(x − 2) = 25 ⇔ (x + 3)(x − 2) = 12 − x 2 ≤ x ≤ 12 2 ≤ x ≤ 12 ⇔ ⇔x=6 25x = 150  x + x − = 144 + x − 24x ⇔ 2 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = c) Dạng 3: f (x) + g(x) = h(x) Cách giải tương tư dạng Ví dụ Giải phương trình: x + − x − = 12 − x (3) Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có: (3) ⇔ x + = 12 − x + x − ⇔ x + = + (12 − x)(x − 7) ⇔ 19x − x − 84 = x − ⇔ 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 ⇔ 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = ⇔ 5x2 – 84x + 352 = 84 352  42 1764 1764 352    5 x2 − x + − + ÷= x ì x + ữ 5  25 25    42  44    = 5 x − ÷ − × = ( x − )  x − ÷ = (x − 8) ( 5x − 44 )  25    44 ⇔ x1 = ; x2 = 44 Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = d) Dạng 4: f (x) + g(x) = h(x) + k(x) Cách giải tương tư dạng Ví dụ Giải phương trình: x − x − − x − + x + = (4) Giải: Với điều kiện x ≥ Ta có: (4) ⇔ x + + x = x − + x − ⇔ 2x + + x(x + 9) = 2x − + (x − 4)(x − 1) ⇔ + x(x + 9) = (x − 1)(x − 4) ⇔ 49 + x + 9x + 14 x(x + 9) = x − 5x + ⇔ 45 + 14x + 14 x(x + 9) = Với x ≥ ⇒ vế trái của phương trình là một số dương ⇒ phương trình vô nghiệm e)Dạng 5: Sử dụng lập phương hai vế Ví dụ 1: Giải phương trình x + 34 − x − = (1) Giải: Lập phương hai vế (1) ta ⇔ = ( x + 34) − 3 ( x + 34)( x − ( ) x + 34 − x − − ( x − 3) (1) ⇔ x + 31x − 102 = 12 ⇔ x + 31x − 1830 = ⇔ x = 30 ∨ x = −61 Ví dụ 2: Giải phương trình x − + x − = x − (2) Giải : Lập phương hai vế (2) ta ⇔ x − = ( x − 1) + 33 ( x − 1)( x − ) (2) ⇔ ( x − 1)( x − 2)( x − 3) = ⇔ x = 1∨ x = ∨ x = ( ) x − + x − + ( x − 2) Nhận xét: *Khi giải phương trình vơ tỉ có bậc hai ta cần ý - Miền xác đinh - Sau biến đổi vế phương trình khơng âm (với phương trình chứa bậc hai) ta bình phương vế để phương trình tương đương -Nếu bước khử vừa chưa khử hết thức bậc hai chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế đặt điều kiện để bình phương tiếp * Khi giải phương trình vơ tỉ có bậc ba khơng cần tìm điều kiện cho biểu thức bậc ba - Trước lập phương nên cô lập thức vế MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG Giải phương trình sau phép nâng lũy thừa x2-4x=8 x − (x=4+2 ) 7 + x − = x (x=2) x x x + − x + = x + − x + 10 (x=-1) x − + x − = x − (x=4;2) x + + x − = 5x x − 3 x − = x3 16 − x + (KQ x=0 ∨ x= ±1 ∨ x= ± + 3 ) 2 3.4.2 Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng ẩn phụ để đưa phương trình bậc hai Ví dụ1: Giải phương trình 3x2 + 21x + 18 + x + x + = (1) Lời giải: Đặt x + x + = y (y ≥ 0) PT(1) trơ thành 3y2 + 2y - = Từ tìm y= 1(thỏa mãn) y= - (loại) Suy x + x + = ⇔ x2 + 7x +6 = Phương trình có nghiệm x= -1 x= -6 Vậy phương trình (1) có nghiệm x= -1 x= -6 Ví dụ Giải phương trình: x + x + = (1) Giải Đặt x + = y (y ≥ 0) ⇒y2 = x + ⇔ x = y2 – ⇔ x2 = (y2 – 1)2 ⇒ (2) ⇔ (y2 – 1)2 + y – = ⇔ y(y − 1)(y2 + y −1) =   Từ suy tập nghiệm phương trình là: 0; − 1; Ví dụ Giải phương trình: ( )  −    x − + + x − = − x (1) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ Đặt x − + = y (1) ⇔ ( x − + 1) + ( x − + 1) − = ⇔ y3 + y2 – = ⇔ (y – 1)(y2 + 2y + 2) = ⇔ y = ⇔ x = b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x + (3) Giải Đặt u = x + , v = x − x + (ĐK: x ≥ −1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + ⇒ (3) ⇔ 2(u2 + v2) = 5uv ⇔ (2u − v)(u − 2v) =  + 37 − 37  ;    Giải ra, xác định x Kết là: x ∈  Ví dụ Giải phương trình: ( )( ) x + − x + + x + 7x + 10 = (1) Giải ĐK: x ≥ –2 (1) ⇔ ( x + − x + ) ( + (x + 5)(x + 2) ) = Đặt: x + = u, x + = v (u, v ≥ 0)⇒ u2 – v2 = (1) ⇔ (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 ⇔ (a – b)(1 – a + ab – b) = ⇔ (a – b)(1 – a)(1 – b) = Giải ra: x = –1 nghiệm Ví dụ Giải phương trình: x + − 3x = 2x − (1) Giải Điều kiện: x ≥ Đặt x + = u, 3x = v (u, v ≥ 0): (1) ⇔ b – a = a2 – b2 ⇔ (a – b)(a + b + 1) = Mà a + b + > ⇒ a = b ⇔ x = nghiệm phương trình + x − = x + 2x − (1) x x x Giải Đặt x − = u, 2x − = v (u, v ≥ 0) x x  5   (1) ⇔ x − −  2x − ÷−  x − ÷ − 2x − = ⇔ u – (v2 – u2) – v = x  x  x  x Ví dụ Giải phương trình: ⇔ (u – v)(1 + u + v) = Vì + u + b > nên: u = v Giải ta được: x = c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: x + 3x + + x + = x + + x + 2x − (1) Giải ĐK: x ≥ (1) ⇔ (x − 1)(x − 2) + x + = x + + (x − x)(x + 3) Đặt: x − = a, x − = b, x + = c (a, b, c ≥ 0): (1) ⇔ ab + c = b + ac ⇔ (a – 1)(b – c) = ⇔ a = b = c Thay ngược trơ lại ta x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x Giải Đặt : u = − x ; v = − x ; t = − x (u ; v ; t ≥ 0) ⇒ x = − u2 = − v2 = − t2 = uv + vt + tu (u + v)(u + t) = (1)  Từ ta có hệ: (v + u)(v + t) = (2) (t + u)(t + v) = (3)  Nhân vế (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ nên: (u + v)(v + t)(t + u) = 30 (4) Kết hợp (4) với (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:  v + t =   u + t =   u + v =  30 (5) 30 (6) 30 (7) Cộng vế (5) ; (6) ; (7) ta có: 2(u + v + t) = 31 30 31 30 ⇒ u +v+ t = (8) 30 60 Kết hợp (8) với (5) ; (6) ; (7) ta có:  30 u = 60   30  11 30 239  ⇒ x = −  = ÷ v = ÷ 60 120  60    19 30 t = 60  d) Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình x − + 2x − = Cách 1: Giải tương tư Ta x = u + v = Cách 2: Đặt x − = u ≥ 2x − = v Ta có hệ:   v − 2u = ⇔ x = 2 u =  u = −12 ⇔ Ví dụ Giải phương trình: + x + − x = Giải ĐK: ≤ x ≤ 25 Đặt + x = u , − x = v (u, v ≥ 0): u + v =  u = u=3 ⇔ v  Giải ta có x = nghiệm  v =  v=2  u + v = 13 ⇒ 2 10 Ví dụ Giải phương trình: 25 − x − − x = Giải ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt 25 − x = u, − x = v (u, v ≥ 0) u + v = ⇒  u + v = 16 2 u − v = u = ⇔ Thế ngược trơ lại: x = nghiệm u + v = v = ⇔  Ví dụ Giải phương trình: − x + + x = Giải ĐK: – ≤ x ≤ Đặt − x = u ; + x = v (u, v ≥ 0) u + v = ⇒ u + v = 2 x =  x = −3 ⇒ Ví dụ Giải phương trình: − x + + x + − x = Giải ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt − x = u, (u + v) − 2uv = + x = v (u, v ≥ 0) ⇒  (u + v) + uv = Giải ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)} Từ ngược trơ lại: x = ±2 Ví dụ Giải phương trình: 97 − x + x = (1) Giải Đặt 97 − x = u, x = v (u, v ≥ 0) u + v = u = u =  x = 81 ⇔ ∨  ⇔ v = v =  x = 16  u + v = 97 ⇒ (1) ⇔  4 Ví dụ Giải phương trình: x + 2x − = 12(x − 1) Giải Đặt x = u, 2x − = v (1) ⇔ u + v = 4(u + v3 ) ⇔ u + v3 + 3uv(u + v) = 4(u + v ) u = −v ⇔ 3.(u + v).(u − 2uv + v ) = ⇔ 3.(u + v).(u − v) = ⇔  ⇒ kết u = v * Nhận xét - Giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải nhiều tập khó Tuy nhiên để đặt làm ẩn phụ có ẩn phụ phải biết nhận xét tìm mối liên hệ biểu thức phương trình - Cần phải có kỹ giải phương trình hệ phương trình MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG Giải phương trình sau cách đặt ẩn phụ x + x − = + x + x 11 x − x + 13 = x − x + (x= x+ x + + x + 1 = ( Đặt 5± ) x+ 1 = y , x=2- ) − 1− x + =2 (Đặt − x = y , x=1, x= ) − x2 x3 + = x − x + (Đặt x − = a, x − x + = b ) − x + x − = (Đặt − x = a, x − = b , x=2;10) x3 + = 33 3x − (Đặt 3x − = y , x=1;-2) 3.4.3 Phương pháp trị tụt đới hóa Ví dụ Giải phương trình: x − 4x + + x = (1) Giải: (1) ⇔ (x − 2) = − x Với điều kiện x ≤ Ta có: (1) ⇔ |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) ⇒ – x = – x (vô nghiệm) – Nếu ≤ x ≤ 8: (1) ⇒ x – = – x ⇔ x = Đáp số: x = Ví dụ Giải PT x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (2) Giải: (2) ⇔ x + + x + + + x + − 2.3 x + + = x + − x + + ⇔ x + + 1+ | x + − |= 2.| x + − 1| Đặt y = x + (y ≥ 0) ⇒ phương trình đã cho trơ thành: y + 1+ | y − |= | y − 1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – ⇔ y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = ⇔ x + = ⇔ x = Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = * Chú ý - Phương pháp thường áp dụng biểu thức bậc hai viết dạng bình phương biểu thức - Có phương trình phải biến đổi dạng MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG 12 Giải phương trình sau phương pháp trị tuyệt đối hóa x + x + + x − x + = 2( x ≥ 1) x + − x x − + x + − x − = ( ≤ x ≤ 11 ) x + x − − x − x − = 3.4.4 Phương pháp sư dụng bất đăng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rơi nhau, đó phương trình vô nghiệm * Phương trình f(x)=g(x) Nếu tập giá trị f(x), g(x) S1, S2 mà S1  S2 = ∅ phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình x − − 5x − = 3x − Cách Điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái: x − < 5x − ⇒ vế trái âm Vế phải: 3x − ≥ ⇒ vế phải dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x − = 5x − + 3x − ⇔ x − = 8x − + (5x − 1)(3x − 2) ⇔ − 7x = (5x − 1)(3x − 2) Vế trái là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ ⇒ phương trình vô nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch hai vế * Phương trình F(x)=G(x) (1) Nếu F(x) ≥ k dấu xảy x=a G(x) ≤ k dấu xảy x=b (k,a,b số) - Nếu a=b (1) có nghiệm x=a - Nếu a ≠ b (1) vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x (1) Giải: Ta có (1) ⇔  x + 2x + + ÷ +  x + 2x + + ÷ = −(x + 2x + 1) + 5    ⇔ 3(x + 1) + + 5(x + 1) + = − (x + 1) 2  13 Ta có: Vế trái ≥ + = + = Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là nhất) * Ta ta ngiệm cụ thể phương trình chứng minh trường hợp khác ẩn không nghiệm hệ Ví dụ Giải phương trình: Giải: Điều kiện x ≥ x+7 + = 2x + 2x − x +1 Dễ thấy x = là một nghiệm của phương trình – Nếu ≤ x < : VT = – Nếu x > 2: VP = 2x2 + + < + Mà: VP > + x +1 2x − > 2.22 + = + VT < + 1+ x > ⇒ x +1 > +1 6 1+ < 1+ =3 x +1 +1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm nhất là x = Ví dụ Giải phương trình: 3x − 7x + − x − = 3x − 5x + − x − 3x − Giải: Thử với x = Ta có: 3.4 − 7.2 + − 22 − = 3.2 − 5.2 + − 22 − 3.2 − ⇔ 1− = − (1) ⇔ (3x − 5x − 1) − 2(x − 2) + (x − 2) − 3(x − 2) = 3x − 5x − − x − Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP Vậy: x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: + =6 3− x 2−x 14 nghiệm phương trình < Ta cần chứng minh nghiệm Thật vậy: Với x < : 3− x Giải: Điều kiện: x < Bằng cách thử, ta thấy x = 8 6 Tương tư với < x < 2: 3− x 2−x Ví dụ Giải phương trình: 3x(2 + 9x + 3) + (4x + 2)(1 + + x + x ) = (1) ( ⇔ 3x ( + ) ( + ) = −(2x + 1) ( + ) 2 Giải: (1) ⇔ 3x + (3x) + + (2x + 1) + (2x + 1) + = (3x) Nếu 3x = –(2x + 1) ⇔ x = − (2x + 1) + ) biểu thức hai vế nghiệm phương trình Hơn nghiệm (1) nằm   khoảng  − ; ÷ Ta chứng minh nghiệm   1 Với − < x < − : 3x < –2x – < Vậy x = − ⇒ (3x)2 > (2x + 1)2 ⇒ + (3x) + > + (2x + 1) + ) ( ( ) 2 Suy ra: 3x + (3x) + + (2x + 1) + (2x + 1) + > ⇒ (1) khơng có nghiệm khoảng Chứng minh tương tư, ta đến kết luận (1) khơng có nghiệm − 1 b a x 4x − + ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = 4x − ⇔ x − 4x + = x 4x − Với điều kiện x > ⇒ x 4x − > Nên: 15 ⇔ x − 4x + − = ⇔ (x − 2) = ⇔ x − = ± ⇔ x = ± MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG Giải phương trình vơ tỉ sau phương pháp sử dụng BĐT x − + − x = x − 10 x + 27 (KQ x=5) x − − x − = x − (KQ Vô nghiệm) 3 x − + x + = (KQ x=3) x + = x − x − (KQ Vô nghiệm) 16 + x −3 + y −1 1225 = 82 − x − − y − − z − 665 (KQ x=19; y=5; z − 665 z=1980) 6 − x + x + = x − x + 13 (KQ x=3) x − + x + + ( x − 1) ( x − 3x + 5) = − x x − + x + = x + x − + − x = 3x − 12 x + 14 (KQ x=2) 10 x − + x − 3x − = x + x + + x − x + ( HD Xét TH x>-2, x