SKKN Hướng dẫn học sinh sử dụng công thức tính diện tích tam giác

Phần I -đặt vấn đề -Công thức tính diện tích của tam giác đợc học sinh làm quen từ bậc tiểu học , tới bậc THCS các em đợc hiểu rõ hơn về cách xây dựng công thức tính diện tích tam giác v

Phần I -đặt vấn đề -Công thức tính diện tích của tam giác đợc học sinh làm quen từ bậc tiểu học , tới bậc THCS các em đợc hiểu rõ hơn về cách xây dựng công thức tính diện tích tam giác và việc sử dụng công thức tính diện tích tam giác để giải các bài tập có liên quan vốn rất đa dạng và phong phú ở các lớp 8và lớp 9

-Sử dụng công thức tính diện tích tam giác giúp học sinh xây dựng đợc công thức tính diện tích của : Hình thang , tứ giác có hai đờng chéo vuông góc, hình bình hành, hình thoi Đặc biệt để tính diện tích các đa giác ta thờng quy về việc tính diện tích tam giác bằng cách chia các đa giác thành các tam giác hoặc tạo ra một tam giác

có chứa đa giác (Trong thực tế việc phân chia đa giác nh trên tỏ ra rất tiện lợi)

-Nh vậy công thức tính diện tích tam giác có thể coi là một công cụ của toán học , nó giúp chúng ta sử dụng để giải quyết đợc nhiều vấn đề trong giải bài tập toán , trong việc xây dựng công thức , chứng minh các định lý,

-Với nhận thức về tầm quan trọng của công thức tính diện tích tam giác , tôi đã

đi sâu tìm hiểu về” Hớng dẫn học sinh sử dụng công thức tính diện tích tam giác”

trong việc giải một số dạng toán trong chơng trình Hình học lớp 8,9

-Trong phạm vi của bài viết này tôi muốn trình bầy kinh nghiệm hớng dẫn học sinh sử dụng công thức tính diện tích tam giác để thiết lập về quan hệ độ dài giữa các

đoạn thẳng và tìm cực trị trong hình học lớp 8,9.Các dạng toán trên đã có nhiều cách giải, với các phơng pháp khác nhau nhng tôi nhận thấy nếu dùng phơng pháp của kinh nghiệm này học sinh sẽ thuận lợi hơn trong việc tìm ra những lời giải hay , dễ hiểu và

độc đáo

-Trong thực tế giảng dậy tôi nhận thấy học sinh thờng lúng túng trong việc nhận dạng , phân loại bài tập và vận dụng kiến thức nh thế nào cho hợp lý dể giải một bài toán cụ thể Đặc biệt là những bài toán về thiết lập quan hệ giữa các độ dài đoạn thẳng

và tìm cực trị hình học trong đó có liên quan tới việc sử dụng công thức tính diện tích của tam giác

-Nhận thức đợc tầm quan trọng của vấn đề , tôi đã cố gắng tìm ra những biện pháp giúp học sinh chủ động , sáng tạo khi sử dụng công thức tính diện tích tam giác trong việc giải các dạng toán thờng gặp trong chơng trình Hình học 8,9.Trong bài viết này tôi muốn trao đổi cùng với đồng nghiệp một số kinh nghiệm nhỏ mong phần nào giải toả đợc những băn khoăn , góp phần nâng cao hiệu quả học tập của học sinh

Phần II-Giải quyết vấn đề.

- Để thiết lập về quan hệ độ dài các đoạn thẳng hoặc tìm cực trị hình học , học sinh ít chú ý tới phơng pháp sử dụng công thức tính diện tích của một tam giác

- Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy : Học sinh tuy có nắm vững kiến thức , kỹ năng cơ bản nhng việc sử dụng nó thế nào cho thích hợp thì còn hạn chế

-Vậy làm thế nào để học sinh nhận dạng đợc bài toán để từ đó sử dụng vốn kiến thức đã có cho hợp lý và hiệu quả nhất

-Trong phạm vi của bài viết nhỏ này tôi muốn đi sâu tìm hiểu phơng pháp

sử dụng công thức tính diện tích tam giác trong việc giải hai dạng toán sau:

Dạng 1: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để thiết lập quan hệ về

độ dài đoạn thẳng

Dạng 2: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tìm cực trị hình học.

I-các kiến thức trọng tâm

Để dậy tốt phơng pháp này chúng ta cần hớng dẫn học sinh nắm đợc cơ sở của nội dung và phơng pháp đó là công thức tính diện tích tam giác:

SABC : Diện tích của ABC

BH: Chiều cao

AC: Cạnh đáy

H -Với trình độ của học sinh khá, giỏi các em cần nắm vững việc xây dựng công thức từ công thức tính diện tích của hình chữ nhật và biết áp dụng công thức trong việc giải các bài toán có liên quan Để học sinh sử dụng tốt công thức trong từng bài toán

cụ thể yêu cầu học sinh cần nắm đợc các kiến thức sau:

1-Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau

ABC =A, B , C ,  SABC = S A,B,C, (Điều ngợc lại cha chắc đã đúng).

2-Nếu một đa giác (Tam giác ) đợc chia thành những đa giác (Tam giác ) không

có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác (tam giác ) đó

3-Hai tam giác có chung cạnh đáy và đờng cao tơng ứng với đáy bằng nhau thì diện tích của hai tam giác đó bằng nhau

ABC, DBC,

 SABC =S DBC

A

4-Hai tam giác có độ dài hai đáy bằng nhau và có chung đờng cao thì chúng

có diện tích bằng nhau

B

ABC , BCF

 SABC = S B C F

BEAC; BE CF; AC=CF

A

E C F

5 -Hai tam giác có độ dài cạnh đáy bằng nhau thì tỷ số diện tích bằng tỷ số hai đ-ờng cao tơng ứng

A

D ABC, DBC

AO BC 

ABC

DBC

S

S

=

AO DE

DE BC

-Hai tam giác có độ dài đờng cao bằng nhau thì tỷ số diện tích bằng tỷ số hai cạnh tơng ứng

ABC, MNP

AK = NQ , 

MNP

ABC

S

S

=

MP BC

AK BC,NQ MP

6-Chú ý: Một số bài toán liên quan tới miền của tam giác thì khi sử dụng công

thức tính diện tích tam giác ta có thể sẽ nhanh tìm ra cách giải

II-Hệ thống bài tập

Để phát huy đợc sự sáng tạo của học sinh và rèn luyện kỹ năng giải bài tập , giúp học sinh từng bớc nhận dạng , phân loaị đợc bài tập , ở phần này tôi mạnh dạn phân chia thành 2 dạng chính để đi sâu nghiên cứu , tất nhiên trong thực tế còn một số dạng khác có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tìm ra lời giải

Chúng ta cùng nghiên cứu dạng thứ nhất:

Dạng 1: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để thiết lập quan hệ về

độ dài của các đoạn thẳng.

Các công thức diện tích cho ta quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng , chúng rất

có ích để giải nhiều bài toán , chúng ta cùng nghiên cứu một số bài toán sau:

Bài 1-Cho tam giác đều ABC , chứng minh rằng điểm M thuộc miền trong của

tam giác ABC thì tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác bằng chiều cao của tam giác

1-H ớng dẫn tìm lời giải.

Điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC nên ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác và mối quan hệ giữa SAMB, SAMC, SBMC với SABC để chứng minh

2-Cách giải :

Gọi a,h là cạnh và chiều cao của tam giác ABC

MA, ,MB, ,MC, là các khoảng cách từ M đến BC,AC,AB

M thuộc miền trong của ABC thì :

SABC = SAMB + SAMC + SBMC

Hay

2

1

BC MA, +

2

1

AC.MB, +

2

1

AB.MC, =

2

1

BC.AH hay

2

a

.( MA, +MB, +MC,) =

2

a

h

Suy ra: MA, +MB, +MC, =h

3-Khai thác bài toán :

1-Nếu M thuộc miền ngoài tam giác ABC và thuộc miền trong góc A thì :

SABC = SAMB + SAMC - SBMC



2

a

.(MB, +MC,) -

2

a

MA, =

2

a

h

 MB, +MC, -MA, =h

2- Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc A thì :

MA, -MB, -MC, =h

3- Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc B thì :

MB, - MA, - MC, =h

4-Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh góc C thì:

MC, -MA, - MB, =h

Bài 2- Cho tam giác ABC với ba đờng cao A A,, BB,, CC, Gọi H là trực tâm

ABC chứng minh rằng:

,

,

AA

HA

,

BB

HB

,



CC

HC

.

1-H ớng dẫn tìm lời giải.

Điểm H thuộc miền trong của ABC, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác và tỷ số của SHBA , SHAC , SBHC với SABC để tìm cách giải

2-Cách giải:

Điểm H là trực tâm tam giác ABC nên A A,,BB,,CC, đồng quy tại H.Ta có :

SABC =

2

1

A A,.BC =

2

1

BB, AC =

2

1

SBHC =

2

1

HA,.BC ,

SHBA=

2

1

HC,.AB, SHAC =

2 1

VËy : ABC

BHC

S

S

= (2

1

HA,.BC):( 2

1

A A,.BC ) = ,

,

AA

HA

ABC

BHA

S

S

= (2

1

HC,.AB ):( 2

1

CC,.AB) = ,

,

CC

HC

(2) B A, C

ABC

AHC

S

S

= (2

1

HB,.AC):( 2

1

BB, AC) = ,

,

BB

HB

(3)

-Tõ (1), (2), (3) ta cã : ,

,

AA

HA

,

BB

HB

,

CC

HC

BHC

S

S

+ ABC

BHA

S

S

+ ABC

AHC

S

S

= ABC

ABC

S

S

= 1

VËy: ,

,

AA

HA

,

BB

HB

,

CC

HC

= 1

Bµi 3-Cho h×nh b×nh hµnh ABCD C¸c ®iÓm E,F lÇn lît n¾m trªn c¸c c¹nh

AB,BC, sao cho A F = CE , A F c¾t CE t¹i I

Chøng minh : ID lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AIC

1-H íng dÉn c¸ch t×m lêi gi¶i:

-VÏ DH IA ,DKIC t×m quan hÖ gi÷a DH vµ DK, chøng tá S A F D = SCDE.

2-C¸ch gi¶i.

-Tõ D kÎ DHAI , DKIC ta cã : S A F D=

2

1

DH.AF

SCDE =

2

1

DK.CE

S A F D= SABCD-( S AB F + SCDE)

= BC.h - (

2

1

h.BF+

2

1

h.CF)

=BC.h -

2

1

h.BC

=

2

1

=

2

1

SABCD

-T¬ng tù ta cã: SCDE= S ABCD

2

1

VËy SADF = SCDE, A F=CE (gt)

Suy ra DH=DK suy ra D thuéc ID lµ ph©n gi¸c cña gãc AIC

Bài 4-Cho điểm O thuộc miền trong của ABC các tia AO,BO,CO cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở A,,B,,C,.

1, ,

,

AA

OA

+ ,

,

BB

OB

+ ,

,

CC

OC

= 1 C, B,

O

2, AA,

OA

+ BB,

OB

+CC,

OC

-Gọi SABC , S OBC , SOAC , SBOA lần lợt là: S , S1, S2 , S3 tìm cách biểu diễn các

Tỷ số: ,

,

AA

OA

,

BB

OB

, ,

,

CC

OC

, AA,

OA

, BB,

OB

, CC,

OC

qua S , S1, S2 , S3

2-Cách giải

Gọi S là diện tích tam giác ABC

Gọi S1là diện tích tam giác OBC

Gọi S2 là diện tích tam giác OAC

Gọi S3 là diện tích tam giác OBA

Ta có :

1

3 2 3 2

S S S

S S

S OA

OA

OAB OAC







S

S S

S

S S

S

S S

S AA

OA

AAB AAC

B OA C OA B AA

B OA AC A

C

,

,

, ,

, , ,

,











Từ (1) và (2) suy ra:

S

S S

AA

,



S

S BB

,  ,

S

S CC

OC 3

,

,

 ,

S

S S BB

OB 1 3

,



S

S S CC

OC 1 2

,





1-Vậy : ,

,

AA

OA

+ ,

,

BB

OB

+ ,

,

CC

OC

= S

S S

S S

S1 2 3





=1

, ,

S

S S S

S S S

S S CC

OC BB

OB AA

OA

3-Khai thác bài toán:

Với bài toán này ta có thể xây dựng đợc bài toán về cực trị ( Ta xét ở phần sau).

Chứng minh :

M = ,  ,  ,  6

OC

OC OB

OB OA

OA

Bài 5- Cho tam giác nhọn ABC có ba đờng cao A A,, BB,,CC, cắt nhau tại H

A1,B1,C1là các điểm đối xứng của H qua BC,AC và AB.Chứng minh rằng tổng:

1 ,

1 ,

1

CC

CC BB

BB AA

AA



 không đổi

1-H ớng dẫn cách tìm lời giải.

-Biểu diễn 1,

AA

AA

qua biểu thức của HA, và A A, rồi biểu diễn ,

,

AA

HA qua

ABC

HBC

S

S

làm tơng tự ta xây dựng đợc quan hệ

của 1,

BB

BB

với

ABC

HAC

S

S

: 1,

CC

CC

với

ABC

HAB

S

S

từ đó tìm đợc cách chứng minh

2-Cách giải:

, ,

1 , ,

1 , , ,

AA

HA AA

A A AA

A A AA AA

AA













(A,A1=HA,Vì A1đối xứng với H qua BC)

-Ta lại có :

,

,

AA

HA =

ABC

HBC

S

S AA BC

HA BC

 ,

,

2

1

2

1

-Vậy :

ABC

HBC

S

S AA

AA



 1 , 1

(1)

-Tơng tự ta có:

ABC

HAC

S

S BB

BB



 1 , 1

(2)

ABC

HAB

S

S CC

CC



 1

,

1

(3) Cộng từng vế 3 đẳng thức (1),(2),(3) ta lại có:

,

1 ,

1 ,

1

CC

CC BB

BB AA

AA



ABC

HAB HAC

HBC

S

S S

=3+  3  1  4

ABC

ABC

S

S

Bài 6- Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh a,b,c các chiều cao tơng ứng là

ha,hb,hc Biết rằng : a+ ha=b+ hb=c+ hc.

Chứng minh: Tam giác ABC đều

1-H ớng dẫn cách tìm lời giải.

-Xét các đẳng thức: a+ ha=b+ hb ,

a+ ha= c+ hc

b+ hb=c+ hc

-Biểu diễn ha,hb,hc qua SABC là S

từ đó xét mối quan hệ giữa a,b,c ta có điều cần chứng minh

2-Cách giải:

-Gọi S là diện tích của tam giác ABC

+Xét a+ ha=b+ hb ta lại có: a-b = hb- ha=2b S  2a S =2S (b1 a1)=2S a  ab b Suy ra:

(a-b).(1-ba

S

2 ) = 0 Suy ra tam giác cân ở C hay vuông ở C (1) +Xét a+ ha= c+ hc Ta có:a-c = hc-ha  a-c= 2c S  2a S .

Tơng tự ta có : (a-c)

.(1-ac

S

2

) = 0 Suy ra tam giác cân ở B hay vuông ở B (2).

+Xét b+ hb=c+ hc Tơng tự ta có : (c-b).(1- 2bc S ) = 0

Suy ra tam giác cân ở A hay vuông ở A (3)

Xảy ra cả (1),(2),(3) khi và chỉ khi tam giác ABC đều

3-Nhận xét:

Tam giác ABC (Hình 1)

AB = c,BC= a, AC=b, ha  a, hb b , hc c

Dạng 2- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tìm cực trị hình học.

Trong phần này ngoài các kiến thức trọng tâm của hình học đã nêu trên chúng

ta cần cho học sinh nắm đợc một số bất đẳng thức đại số , đặc biệt chú ý trờng hợp có dấu “=” xảy ra của các bất dẳng thức để tìm Cực trị của bài toán

1, x2 o Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=0

- x2 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=0

2,Bất dẳng thức Cô si:

-Cho a,b không âm ta có ab ab

2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b

- Cho a,b,c không âm ta có 3

c b a







Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

-Hệ quả: Cho avà b không âm ,nếu (a+b) không đổi thì ab lớn nhất khi và chỉ khi a=b -Nếu ab không đổi thì (a+b) nhỏ nhất khi và chỉ khi a=b

Sau đây chúng ta xét một số bài toán dạng này

Bài 7-Cho tam giác ABC và điểm M thuộc miền trong của tam giác

Kẻ MA, vuông góc với BC , MB, vuông góc với Acvà MC, vuônggóc với AB

Đặt BC=a,CA=b,AB=c Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:

, ,

c MB

b MA

a





1-H ớng dẫn tìm lời giải.

Đặt MA, = a,;MB,=b,;MC,=c,.

Biểu diễn aa, qua SMBC; bb, qua SMCA; cc, qua SMAB

-Tìm sự liên hệ của: aa,+bb,+ cc, với SABC.

-Xét tích của (aa,+bb,+ cc,).( , , ,

c

c b

b a

a



áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ( ,

, ,

,

a

b b

a

, ,

,

b

c c

b

 ); ( ,

, ,

,

c

a a

c

 ) Suy ra : , , ,

c

c b

b a

a



S

c b a

2

2





Xét dấu bằng xảy ra ta có điều cần tìm

2-Cách giải:

Đặt MA, = a,;

MB,=b,;MC,=c,

Ta có : aa,=2.SMBC

bb, =2.SMCA

cc,=2.SMAB

Suy ra: aa,+bb,+ cc,=2S

(S là diện tích tam giác ABC)

Ta có : (aa,+bb,+ cc,).( , , ,

c

c b

b a

a



= a2+ b2+ c2+ab( ,

, ,

,

a

b b

a

, ,

,

b

c c

b

 )+ca ( ,

, ,

,

c

a a

c

 ) M với M= a2+ b2+ c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2

Suy ra , , ,

c

c b

b a

a



S

c b a

2

2





Do đó : , , ,

c

c b

b a

a



 đạt giá trị nhỏ nhất bằng  

S

c b a

2

2



 khi a, =b, =c, tức là M là giao điểm các đờng phân giác trong của tam giác ABC

Bài 8-Cho điểm O thuộc miền trong tam giác ABC Các tia AO,BO,CO cắt các

cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở A, , B,, C,

a- Chứng minh :M= , , ,

OC

OC OB

OB OA

OA



Tìm vị trí của O để tổng M có giá trị nhỏ nhất

b, N= , , ,

OC

OC OB

OB OA

OA

8 Tìm vị trí của O để N có giá trị nhỏ nhất

1-H ớng dẫn cách tìm lời giải:

-Gọi SABC;SOBC;SAOC;SAOB lần lợt là : S,S1, S2, S3

-Tìm cách biểu diễn các tỷ số qua : S, S1, S2, S3 , áp dụng bất đẳng thức Côsi thích hợp , xét trờng hợp dấu “=” xảy ra từ đó xác định đợc vị trí của O

-Gọi SABC;SOBC;SAOC;SAOB lần lợt là : S,S1, S2, S3

-Ta có :

1

3 2 3 2

,

,

S S S

S S

S OA

OA

OBA OCA







 (1)

-Tơng tự ta có :

2

3 1 , S

S S OB

OB 

3

2 1 , S

S S OC

OC 

OC

OC OB

OB OA

OA



1

3 2

S

S

S 

+ 2

3 1

S

S

S 

+ 3

1 2

S

S

S 

=(

1

2 2

1

S

S S

S

 )+(

2

3 3

2

S

S S

S

 )+(

3

1 1

3

S

S S

S

 ) 2+2+2=6

- Ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dơng : (

1

2 2

1 ;

S

S S

S

);(

2

3 3

2 ;

S

S S

S

);(

3

1 1

3 ;

S

S S

S

)

1

2 2

1

S

S

S

S

2 1

2 1

S S

S S

=2

2

3 3

2

S

S S

S

 2

2 3

2 3

S S

S S

=2,

1

3 3

1

S

S S

S

3 1

3 1

S S

S S

=2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi O là trọng tâm của tam giác ABC

b, N= , , ,

OC

OC OB

OB OA

OA

= 1

3 2

S

S

S 

2

3 1

S

S

S 

3

1 2

S

S

S 

Suy ra

N2= (

1

3 2

S

S

S 

2

3 1

S

S

S 

3

1 2

S

S

S 

)2

3 2 1

2 1 3 1 3 2

) (

4 4 4

S S S

S S S S S S

=64 Suy ra N  8

-Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi O là trọng tâm tam giác ABC

3-Khai thác bài toán.

-áp dụng bất đẳng thức Cô si ta còn chứng minh đợc :

, , ,







OC

CC OB

BB OA

A A

F= ,  ,  ,  1 , 5

OC

OC OB

OB OA

O A

- Thật vậy: E3=( ,  ,  , ) 3  33.

OC

CC OB

BB OA

A

OC

CC OB

BB OA

A

A, , ,

.

, ,

CC

OC BB

OB AA

OA

, ,

OC BB

OB AA OA

Nhân từng vế 2 BĐT trên và chú ý: P = 2 (Theo câu b, bài 4-Dạng 1)

-Ta có : 23.E3 93 suy ra E3 (9/2)3 suy ra E4,5

-Viết E 4,5 dới dạng :

OA

OA

OA , +

OB

OB

OB , +

OC

OC

OC ,

4,5 suy ra 3+ ,  ,  ,  4 , 5

OC

OC OB

OB OA

O A

 F1,5 -Dấu bằng xảy ra trong các bất đẳng thức E4,5 và F1,5 khi và chỉ khi O là trọng tâm của tam giác ABC

Bài 9-Trong một tam giác , gọi ha là đờng cao ứng với cạnh a,hb là đờng cao ứng với cạnh b Chứng minh rằng : nếu a>b thì a+ ha b+ hb

Dấu bằng xảy ra khi nào?

1-H ớng dẫn cách tìm lời giải:

-Ta biểu diễn ha qua a và S: Diện tích tam giác ,biểu diễn hbqua b và S Xét

a+ ha-(b+hb) để tìm ra lời giải

A

2-Cách giải: