skkn hướng dẫn học sinh sử dụng bảng biến thiên trong việc giải phương trình, bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị : Trường THPT Xuân Thọ Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: ĐỖ THỊ HƯNG Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: TOÁN  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm: Các sản phẩm không thề in SKKN  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2012 - 2103 BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: ĐỖ THỊ HƯNG Ngày tháng năm sinh: 31 / 10 / 1984 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: Ấp Thọ Hòa , Xuân Thọ, Xuân Lộc, Đồng Nai Điện thoại: 0613 731 769 Fax: (CQ)/ ĐTDĐ: 01667388856 E-mail: dothihung31@gmail.com Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Thọ II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học - Năm nhận bằng: 2006 - Chuyên ngành đào tạo: sư phạm Toán III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy chủ nhiệm Số năm có kinh nghiệm: 06 - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: BM03-TMSKKN Tên SKKN: HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH PHẦN 1: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Giải phương trình, bất phương trình toán thường xuyên gặp kì thi, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Đây dạng toán gây nhiều khó khăn cho học sinh, đặc biệt phương trình, bất phương trình có chứa tham số Với chương trình cải cách giảm tải số phần định lý đảo dấu tam thức bậc hai, việc giải phương trình, bất phương trình lại làm học sinh vất vả Nhằm giúp em lớp 12 tìm cách giải tối ưu đơn giản, tập trung khai thác chuyên đề hướng dẫn học sinh vận dụng bảng biến thiên giải phương trình, bất phương trình việc ứng dụng tính đơn điệu GTLN – GTNN hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, toán phương trình, bất phương trình giải cách nhanh chóng, ngắn gọn đơn giản Đó lí để chọn đề tài : “ Hướng dẫn học sinh sử dụng bảng biến thiên việc giải phương trình, bất phương trình” PHẦN II: TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I CƠ SỞ LÝ LUẬN: Việc giải phương trình, bất phương trình phép biến đổi tương đương thông thường học sinh giải nhiều lớp 10 lớp 11, giải ứng dụng tính đơn điệu giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dựa vào bảng biến thiên đến lớp 12 học nên làm cần phải kết hợp hai việc với học sinh lại lúng túng lời giải, dẫn đến sai kết Hơn nữa, từ thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình dạng toán phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai vận dụng định lí giảm tải, gặp toán phương trình, bất phương trình có điều kiện liên quan đến việc áp dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai học sinh hoang mang phải giải Xuất phát từ mối liên hệ số nghiệm phương trình ẩn với số giao điểm hai đồ thị hàm số hai vế phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số Nhưng thay phải vẽ toàn hai đồ thị hai hàm số tốn nhiều thời gian, chưa kể đến việc nhiều đồ thị em cách vẽ, phương pháp lập bảng biến thiên, sau vận dụng kết bảng biến thiên để giải phương trình, bất phương trình có điều kiện cho trước dễ dàng nhiểu, nội dung đề tài Đề tài viết bao gồm nội dung sau: Giải phương trình ẩn Vận dụng bảng biến thiên giải phương trình ẩn chứa tham số Giải bất phương trình ẩn Vận dụng bảng biến thiên giải bất phương trình ẩn chứa tham số II NỘI DUNG: 1/ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN: (2 x  1) Bài toán 1: Giải phương trình: x    x  (1) Nhận xét: Đối với toán này, ta bình phương hai vế phương trình theo cách thông thường phải bình phương hai lần hết căn, mà dẫn tới phương trình bậc cao học sinh đến chỗ bế tắc Hoặc dùng bất đẳng thức đánh giá hai vế, đại đa số học sinh sợ cụm từ “bất đẳng thức” Vì vận dụng tính đơn điệu hàm số sau: Giải: Điều kiện :   x  2 Ta có : VT  x    x  VT   (2 x  1).(3  x)  x  D  VT  x  D x2  x  1 VP   x2  x  2 Xét hàm số y  x  x  y '  x  2; y '   x  Bảng biến thiên: x - y’ y  3   ;  + 2  VP  x  D   x    x    2x    2x   2 x     Từ (1)    x  12 2    x    x    2 x   2   x  (N )  3 1  Vậy phương trình có tập nghiệm : S   ;   2 2 x   (N )  Bài toán : Giải phương trình: x   x   Nhận xét: Tương tự toán trên, bước đầu đa số em nghĩ tới việc bình phương hai vế để giải, nhiên bình phương dẫn tới phương trình bậc cao gây nhiều khó khăn cho học sinh Phương pháp: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy phương trình có nghiệm Giải: 1 ĐK: x  Đặt f  x   x   x  Miền xác định: x  , 2 x f '  x    4x  x2  Bảng biến thiên: x - + f’(x) + f(x) 1 Suy hàm số đồng biến với x  , nên phương trình có nghiệm nghiệm Ta thấy x  thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x  Bài tập tự luyện: Giải phương trình a) x5  x3   3x   b) x3   x   x  Bài toán 3: 1) CĐ - 2012: Giải phương trình x  x  ( x  1) x   x   x3  x  2) Giải phương trình Phương pháp : Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu ta có: u = v Giải: 1) Điều kiện x   Phương trình cho tương đương: x  x  (2 x   1) x    (2 x)  x    2x 1  2x 1 Xét hàm số f (t )  t  t R Ta có f '(t )  3t   0t  R Suy f (t ) đồng biến R Do f (2 x) = f ( x  1)  x  x  x     x   ( N ) x     4 x  x       x   ( L)   Vậy phương trình có nghiệm x  1 x   x3  x  2) Giải phương trình Nhận xét: Có thể giải toán theo hướng sau: x   x3  x   x    x3  x   x  1    x  1  x  x    x  5  x    x  1    x2  x    x  5  x    Vấn đề đặt giải phương trình lại phức tạp Do dó ta giải phương trình theo cách sau: Giải: Ta có x   x3  5x   x   x   x3  x (*) Xét hàm số f  t   t  t ¡ Ta có f   t   3t   0, t  ¡ Suy f  t   t  t đồng biến ¡ Từ (*)  f   6x   f  x   6x   x  x3  x     x  1  x  x     x  1    21 x    21 Bài tập tự luyện : Giải phương trình x   8x3  x  Vậy phương trình có nghiệm x  1; x  VẬN DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN CHỨA THAM SỐ: Trong phương trình chứa tham số, thường toán tìm m (hoặc biện luận theo m) để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước, phương pháp hàm số việc vận dụng bảng biến thiên hữu hiệu Để vận dụng phương pháp trước hết học sinh cần phải hiểu vận dụng tốt số kiến thức có liên quan sau đây: Cho hàm số y  f ( x) xác định D, có đồ thị (C) Đường thẳng y = g(m) có đồ thị (d) Xuất phát từ toán liên quan đến khảo sát hàm số dựa vào đồ thị (C) (d) biện luận số nghiệm phương trình f ( x)  g (m) Ta có số nghiệm phương trình f ( x)  g (m) số giao điểm (C) (d) Do ta biến đổi phương trình dạng : f ( x)  g (m) Khi đó: + Phương trình f ( x)  g (m) có nghiệm  f ( x)  g (m)  max f ( x) D D + Phương trình f ( x)  g (m) có n nghiệm  d cắt (C) n giao điểm Cụ thể ta xét số ví dụ cụ thể sau: Bài toán CĐ - 2003 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : x   x  m  (1) Giải : Điều kiện 2  x  Đặt t   x  g ( x); (2  x  2) x Ta tìm điều kiện t theo cách sau : g '( x)  0 x 0  x2 Bảng biến thiên : - x -2 g’(x) + - g(x) 0 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 2  x    t  (1)   t  t  m   m  t  t  Xét hàm số f (t )  t  t  [0 ; 2] Ta có f '(t )  2t    t  Bảng biến thiên : t -  2 1 + -2 f’(t) f(t) Dựa vào bảng biến thiên, để (1) có nghiệm  f (t )  m  max f (t )  4  m  [0;2] -4 [0;2] Nhận xét : Việc hướng dẫn học sinh cách tìm điều kiện ẩn t trên, sau gặp toán mà đặt ẩn phụ biểu thức cồng kềnh, phức tạp em dễ dàng tìm điều kiện ẩn theo ẩn cũ Bài toán 2: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x  mx   x  1, (1) Giải: Cách : Ở chương trình cũ, học sinh học định lý đảo dấu tam thức bậc hai nên em thường làm sau :  2 x   x   pt    x  mx   (2 x  1)  3x   m   x   0,    để (1) có hai nghiệm thực phân biệt (2) có hai nghiệm thực phân biệt lớn      m    12   m4   1 hay 3 f     3.(  )0m 2   2 S m     2 Tuy nhiên chương trình phổ thông nay, định lý đảo dấu tam thức bậc hai giảm tải việc giải dạng toán gây cho em nhiều khó khăn, em đặt ẩn phụ sau : đặt t  x  , để (1) có hai nghiệm lớn  2  1  1  t     m    t     có hai nghiệm thực lớn  2  2 Dùng phương pháp hàm số , vận dụng vào bảng biến thiên toán giải cách nhanh chóng Cách 2: Điều kiện : x   Với điều kiện 3x  x  2 pt  x  mx   (2 x  1)   m   (Vì x = x nghiệm)  3x  x    , x    ;0    0;   (C )  f ( x)  Gọi  Số nghiệm phương x    g ( m)  m ( d )  trình (1) số giao điểm (C) (d) Để phương trình (1) có nghiệm thực phân biệt (d) cắt (C) điểm phân biệt 3x    Ta có f '( x)   0, x   ;0    0;   x   lim f ( x)   ; lim f ( x)   ; lim f ( x)   x0 x x0 Bảng biến thiên: x -  + f’(x) + f(x) + - thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán 3: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x   m x  (*) x3 m Giải: Phương trình viết lại dạng: x2  x3 Số nghiệm phương trình số giao điểm (C): y  x2  đường thẳng: y = m (d) 6 x  x3 Xét hàm số y  Ta có y '  0 x  x2  ( x  1) x  Dựa vào bảng biến thiên ta có m  lim x  x3 x2   1; Lập BBT : x - lim x  x3 x2   1 y’ y 10 + -1 Nhận xét: Trong toán không thực việc xác định giới hạn hàm số, học sinh ngộ nhận tập giá trị hàm số ¡ dẫn đến việc kết luận sai nghiệm phương trình Do việc tìm giới hạn hàm số cần thiết để tìm tập giá trị Dựa vào bảng biến thiên ta có: m Số giao điểm (C) (d) Nghiệm (*) Vô nghiệm m  1 m  10 Nghiệm 1  m  m  10 Hai nghiệm phân biệt  m  10 Bài toán 4: ĐH – B - 2008: Chứng minh m  , phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2  x   m( x  2) Giải: Do m  nên x  2 (1)  ( x  2)( x  4)  m( x  2)  ( x  2)( x  4)  m( x  2) x   ( x  2) ( x  2)( x  4)  m      x  x  32  m  0(*) Yêu cầu toán quy chứng minh phương trình (*) có nghiệm (2; ) Biến đổi (*)  m  x3  x  32 Xét hàm số f ( x)  x3  x  32 với x  Ta có f ' ( x)  3x  12 x  0, x  lim f ( x)   x Bảng biến thiên: x -  f ' ( x) +  f ( x) Từ bảng biến thiên suy m  phương trình (*) có nghiệm x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt m  Bài toán : ĐH – A – 2002: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 1;3    log32 x  log32 x   2m   (1) Giải: Điều kiện: x  Đặt t  log32 x    log 32 x  t  Ta có :  x  3   log3 x    log 32 x     t  Khi đó, phương trình (1) trở thành t  t   2m Xét hàm số f  t   t  t  1;2 10 Ta có f   t   2t    t   Bảng biến thiên: t  - + -2 f’(t) f(t) Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (1) có nghiệm f  t   2m  max f  t  1;2 1;2  f 1  m  f     2m    m  Bài toán : (ĐH B - 2004) Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm: m(  x   x  2)   x   x   x Giải: Điều kiện : 1  x  Đặt t   x   x  g ( x) với 1  x  Ta tìm điều kiện t sau: g '( x)  x(  x   x )  x2  x2 0 x 0 Bảng biến thiên: - x -1 g’(x) g(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy t  x  0; Vậy x   1;1  t  0;  t    x2   x2   1 x t  x  1   t2 Khi phương trình cho trở thành: t  t  2 m(t  2)  t  t   m  , với t  0;  t2 11 Phương trình cho có nghiệm 1  x  phương trình t  t  có nghiệm t  0;  m t2 t  t  4t t  t    Xét hàm số f (t )  với t  0;  ; f ' (t )  t  4 t2 t  2  Bảng biến thiên: t - -4 + f’(t) f(t) ) 1 Dựa vào bảng biến thiên phương trình cho có nghiệm4 f  t   m  max f  t   f ( 2)  m  f (0)    m  0;    0;    Bài toán 7: Cho hàm số y  f ( x)  x3  x2  18mx  2m (Cm ) Tìm m để (Cm ) cắt Ox ba điểm phân biệt thỏa mãn x1   x2  x3 Nhận xét: Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm (Cm ) Ox phương trình bậc không nhẩm nghiệm, nên học sinh khó khăn muốn phân tích thành nhị thức bậc tam thức bậc hai Trường hợp dùng phương pháp hàm số, sau sử dụng bảng biến thiên hiệu Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm x3  x2  18mx  2m  (1)  x3  x  2m(9 x  1)   x  x   2m ( x  nghiệm) 9x   x3  x 2 x(3x  1)  g '( x)    x  0; x  ; Đặt g ( x)  9x  (9 x  1) Bảng biến thiên: x - g’(x) ) 0 - g(x) - + - - 12 Số nghiệm (1) số giao điểm (Cm ) với trục Ox, hoành độ giao điểm đường thẳng y = 2m với đồ thị (C): y = g(x) Nhìn vào bảng biến thiên suy f (x) = có nghiệm thỏa mãn x1   x2  x3  2m   m  Qua cách giải toán mở đường cho dạng toán câu hỏi phụ khảo sát hàm số mà học sinh thường gặp kì thi cao đẳng, đại học sau: Bài toán 8: Tìm m để hàm số y  x   m   x   5m   x  m  có cực trị hai điểm x1,x2 thoả mãn x1 < -1 < x2 Giải: Ta có y '  x   m   x   5m   Để hàm số có cực trị hai điểm x1,x2 thoả mãn x1 < -1 < x2  x   m   x   5m    (*) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1 < -1 < x2 x2  x  (*)   m (Vì x   nghiệm (*)) 2 x   x  7 2 x  10 x  28 x2  x    Đặt f ( x)  Ta có f '( x)  x  (2 x  5) 2 x   Bảng biến thiên: x -7 -1 + - y’ y + + -3 - - Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy (*) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1 < -1 < x2 m < -3 Bài tập tự luyện: 1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) x  x   x  x   m b) x   x  m 2) Tìm m để phương trình: m sin x  2(3m  2)sin x  4m   có nghiệm 3) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x  x   x   x  m  K A  2008 4) Tìm m để phương trình x   m  3 x   m  3  có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn – < x1 < x2 13 mx  x  5) Tìm m để hàm số y  nghịch biến [1; ) x2 6) Tìm m để hàm số điểm cực trị lớn y  x   m  3 x   m  3 x  m  m có III/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN: Bài toán 1: Giải bất phương trình: x   x   Nhận xét : Khi giải dạng bất phương trình này, thuông thường học sinh sử dụng phương pháp đặt điều kiện, bình phương hai vế Ở xin trình bày hai cách giải để học sinh lựa chọn so sánh tối ưu hai cách giải Giải :Cách 1: Điều kiện x   Bình phương hai vế ta : 3 x  73  ( x  5)(2 x  3)  3 x  73   4( x  5)(2 x  3)  x  438 x  5329 73  x 73   x      x  11 x  11   x  490 x  5269     x  479 3 Kết hợp điều kiện x   ta tập nghiệm bất phương trình là: S  [ ;11] 2 Ở cách giải ta phải bình phương vế tới hai lần, chưa kể lần bình phương thứ học sinh thường quên đặt điều kiện dẫn tới việc xác định sai tập nghiệm Giờ giải theo cách sử dụng tính đơn điệu hàm số, toán ngắn nhiều Cách 2: Điều kiện x   Gọi y  f ( x)  x   x  1 3 f '( x)    0, x   Suy f(x) đồng biến x   2 x5 2x  Ta thấy f(11) =  x = 11 nghiệm bất phương trình x  11  f ( x)  f (11)   x < 11 nghiệm bất phương trình x  11  f ( x)  f (11)   x > 11 nghiệm bất phương trình Vậy kết hợp điều kiện x   ta tập nghiệm bất phương trình là: S  [ ;11] 14 Bài toán 2: Giải bất phương trình sau: 15  x   x  (*) Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình để giải, giải trực tiếp khó khăn Vì ta vận dụng tính đơn điệu hàm số toán đơn giản nhiều Giải: Điều kiện: 15  x  Xét hàm số f  x   15  x   x liên tục  15;2 1 Ta có f   x     0, x   15;2  3 4 15  x    x  Suy hàm số f  x   15  x   x đồng biến  15;2 Mà f 1  nên bất phương trình 15  x   x   f  x   f 1  x  Kết hợp với điều kiện 15  x  ta nghiệm (*)  x  Bài tập tự luyện: Giải bất phương trình sau: 1) x3  x  x  16   x  2) x   x   3) log x   x IV/ SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN CHỨA THAM SỐ: Để vận dụng phương pháp trước hết học sinh cần phải hiểu vận dụng tốt số kiến thức có liên quan sau đây: Giả sử ta biến đổi bất phương trình dạng f ( x)  g (m) f ( x)  g (m) ) Khi đó: + Bất phương trình f ( x)  g (m) có nghiệm x  D  max f ( x)  g (m) D + Bất phương trình f ( x)  g (m) có nghiệm x  D  f ( x)  g (m) D + Bất phương trình f ( x)  g (m) có nghiệm x  D  f ( x)  g (m) D + Bất phương trình f ( x)  g (m) có nghiệm x  D  max f ( x)  g (m) D + Để chứng minh f ( x)  g ( x), x  D Ta chứng minh max f ( x)  g ( x) D D Nếu bất phương trình có dạng "  " "  " bỏ dấu "  " điều kiện Sau số ví dụ cụ thể: Bài toán 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 1) x  m  x  (1) 2) x   m(  x  1) (2) 3) m( x  x   1)  x   x   , (3) có nghiệm x  0;1   Giải: 1) Điều kiện x  2 Đặt t  x  (t  0)  x  t  Bất phương trình tương đương t   m  2t  t  2t   m 15 Xét hàm số f (t )  t  2t  với t  Ta có f '(t )  2t    t  Bảng biến thiên: t - f’(t) + + -2 f(t) -3 Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình có nghiệm  m  f (t )  3 t 0 Vậy với m  3 bất phương trình (1) có nghiệm 2) Điều kiện x  Đặt t   x (t  0)  x   t Bất phương trình tương đương  2t   m(t  1)  2t   m(t  1) 2t    m (t   1t  0) t 1 2t  4t  2t  Xét hàm số f (t )  với t   f '(t )  t 1 (t  1) Bảng biến thiên: t - + f’(t) f(t) - Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình (2) có nghiệm  max f (t )  m  m  t 0 Vậy với m  bất phương trình có nghiệm 3) Tìm m để bất phương trình: m( x  x   1)  x   x   , (3) có nghiệm x  0;1   Giải: Đặt t  g ( x)  x  x   x  x  t  Ta tìm điều kiện ẩn t sau: x 1 g '( x)    x  x2  x  Bảng biến thiên: 16 x - g’(x) 1+ + g(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x  0;1    t [1;2] t2  2 BPT (3) trở thành: m  t  1   t    m , với  t  (4) t 1 t2  t  2t  Đặt f  t    f '(t )   t [1;2] t 1 (t  1)2 Bảng biến thiên : t - f’(t) f(t) Để bất phương trình (3) có nghiệm x  0;1   bất phương trình (4) có nghiệm t  [1;2]  max f (t )  m Dựa vào bảng biến thiên ta tìm m  [1;2] Bài tập tự luyện: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 1) mx   x  2) x  m   x 3) mx  x   m  Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình: 1) (m  1) x  x  m   (*) nghiệm với x 2) (3m  1)12x  (2  m)6x  3x  (**) thỏa mãn với x > - 3)  x   x  (3  x)(6  x)  m nghiệm với x [3;6] Giải: 1) (m  1) x2  x  m    m( x  1)   x  x   x2  4x    m ( x   0x  R ) x 1 17  x  4 x  x  Ta có: f '( x)  0  2  ( x  1)  x  2 1   2 x  4x  x x  1 lim f ( x )  lim  xlim x  x   x 1 1 x Bảng biến thiên: x + -2 -  x2  4x  Xét hàm số f ( x)  x2  f’(x) f(x) 0 -1 -1 -2 Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình (*) nghiệm với x  max f ( x)  m  m  R 2) Chia hai vế bất phương trình cho 3x ta được: (3m  1)4x  (2  m)2x   Đặt t  2x Vì x   2x   t  Bất phương trình trở thành (3m  1)t  (2  m)t    (3t  t )m  (t  2t  1) (t  2t  1)   m (vì t   3t  t  ) 3t  t t  1 (t  2t  1) 7t  6t  1) Xét hàm số f (t )  với t > f '(t )  0 t  3t  t (3t  t   t  2t   lim f (t )  lim     x  x   3t  t  Bảng biến thiên: 1 t -1 + - f’(t) 0 - f(t) -2 18 Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình (**) thỏa mãn với x >  f (t )  m  m  2 t 1 Nhận xét: Khi lập bảng biến thiên cần nhấn mạnh học sinh ý tìm giới hạn hàm số, để tránh hiểu lầm dẫn đến sai kết toán 3) Tìm m để  x   x  (3  x)(6  x)  m nghiệm với x [3;6] Nhận xét: Với ta tìm hiểu cách giải đặt ẩn phụ trước sau giải hàm số theo ẩn phụ Giải : Điều kiện : 3  x  t2  Đặt t   x   x  t   x   x  (3  x)(6  x)  Để tìm điều kiện t ta làm sau: Xét hàm số t  f ( x)   x   x với x   3;6 1 Ta có f ' ( x)   ; 3 x 6 x f ' ( x)    x   x  x  f ' ( x) không xác định điểm x  3, x  ; f ' ( x)   x  Bảng biến thiên:  x -  -3 f’(x) + f(x) 3 Dựa vào bảng biến thiên: x   3;6  t  3;3  Khi đó, bất phương trình cho trở thành: t2  9 t  m   t  t   m , (*) với t  3;3    2 Bất phương trình cho có nghiệm với x   3;6 bất phương trình (*) có nghiệm với t  3;3  Xét hàm số g (t )   t  t  3;3  Ta có g ' (t )  t    t  2 Bảng biến thiên: 19 t - g’(t) 3 + g(t) ) Dựa vào bảng biến thiên, để bất phương trình (*) có nghiệm với t  3;3   g (t )  m  m   [3;3 ] Vậy bất phương trình cho có nghiệm với x [3;6] m3  Nhận xét: Nếu đề yêu cầu giải phương trình với m số cụ thể việc tìm điều kiện t không cần thiết, ta cần suy điều kiện hiển nhiên sau tìm ẩn phụ t ta phải thay vào bước đặt để tìm ẩn x Nếu toán có tham số việc tìm điều kiện t bỏ qua không làm sai Việc tìm điều kiện t thực chất việc tìm tập giá trị hàm số f ( x) tập xác định phương trình cho Bài tập tự luyện: Tìm m để bất phương trình : 1) m9x  (m  1)3x2  m   nghiệm với x (ĐHSP II – HN - 2011) 2) Tìm m để bất phương trình mx2  2mx  3m   nghiệm với x  3) Tìm m để bất phương trình m x   x  m có nghiệm với x Bài toán 3: Tìm m để hàm số y   x3   m  1 x   m  3 x  đồng biến (0;3) Giải: Ta có : y   x   m  1 x   m  3 Hàm số cho đồng biến (0;3) y   x   m  1 x   m  3  0x  (0;3) Do y’(x) liên tục x = x = nên y  x  (0;3)  y  x  [0;3] 2 x2  x   m(2 x  1)  x  x  x  [0;3]  g ( x)   m x  [0;3] 2x   max g ( x)  m [0;3] x2  x  Ta có g '( x)   x [0;3] (2 x  1)2 20 Bảng biến thiên: x - + g’(x) 12 g(x) -3 Dựa vào bảng biến thiên suy max g  x    [0;3] 12 Do giá trị cần tìm là: 12 Bài tập tự luyện: m 1 1) Tìm m để hàm số y  mx3   m  1 x   m   x  đồng biến  2;  3 mx  x  2) Tìm m để hàm số y  nghịch biến 1;  x2 Bài toán 4: Tìm m để bất phương trình  log5  x2  1  log5  mx  x  m  (1) nghiệm với x Giải : Ta có :  log5  x2  1  log5  mx  x  m   log 5  x  1   log  mx  x  m  4 x  m  x  (2) mx  x  m    2 x   mx  x  m   m    x (3)   x2  Để bất phương trình (1) nghiệm với x bất phương trình (2), (3) nghiệm với x   4 x  m  m¡ax  x  1     m    4 x   x  1 ¡   x  1  x  1 4 x Xét hàm số f  x   ¡ Ta có f   x   2 0  x 1 x 1  x  1  4 x  Ta có xlim 0    x 1 21 Bảng biến thiên:  x f  x  + f  x -1 -  + 0 -2 Dựa vào bảng biến thiên ta có  f  x    2; max  f  x    ¡ ¡ m   2m3 m   2 Vậy giá trị cần tìm là:  m  Nhận xét: 1) Trong toán lần ý việc xác định giới hạn hàm số cho học sinh thể bảng biến thiên, để tránh ngộ nhận tập giá trị hàm số 2) Bài toán cho ta thấy phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số, dựa bảng biến thiên không vận dụng cho giải phương trình, bất phương trình, mà vận dụng tốt toán giải hệ phương trình, hệ bất phương trình Tuy nhiên phạm vi nghiên cứu có hạn nên không trình bày đề tài Bài tập tự luyện 1) Tìm m để với x   0;2 thoả mãn: log x  x  m  log  x  x  m   2) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm với x : log  x   log5  x  ax+6   3) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x  1;2 :  m   log  x  1  2m log  x  1   2 III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : Trong năm học 2011 – 2012, phân công bồi dưỡng học sinh giỏi khối 12 với chuyên đề giải phương trình, bất phương trình vô tỉ Với việc hướng dẫn cho học sinh sử dụng thành thạo bảng biến thiên việc giải phương trình, bất phương trình, em hứng thú tiếp cận dạng toán Và năm học 2012 – 2013 này, với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 số tự chọn ôn thi, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm ẩn phụ, sử dụng thành thạo bảng biến thiên để tìm tham số toán phương trình, bất phương trình giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ số nghiệm phương trình với số giao điểm đồ thị hai hàm số hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm 22 nhiều toán tìm tham số, làm có lập luận chặt chẽ tình giải phương trình, bất phương trình IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Hiện sách giáo khoa hành giảm tải nhiều nội dung, đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều khó phát triển từ tập sách giáo khoa, nên để giải toán cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số Đề tài tài liệu nhỏ phần giúp cho em học sinh trường THPT Xuân Thọ rèn luyện kĩ giải số phương trình, bất phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số, để em tự tin chuẩn bị tham dự kì thi cao đẳng, đại học tới Mặc dù tham khảo số lượng lớn tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, song khả có hạn nên tài liệu chắn nhiều thiếu sót, mong đóng góp quý thầy cô trước, bạn đồng nghiệp độc giả để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Giúp em học sinh có phương pháp - kỹ giải toán liên quan đến hàm số kỳ thi cuối cấp V TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa 10, 11, 12 – Nhà xuất giáo dục - 2008 Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn Toán – Trần Phương – Nhà xuất Hà Nội – 2002 Bài tập tự luận Phương trình , hệ phương trình, bất phương trình đại số điển hình – Trần Thị Vân Anh – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội - 2009 Một số đề - đáp án thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Bộ giáo dục đào tạo Một số tài liệu Internet NGƯỜI THỰC HIỆN Đỗ Thị Hưng 23 BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị : THPT Xuân Thọ CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Xuân Thọ, ngày tháng năm 2013 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2012 - 2013 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Họ tên tác giả: ĐỖ THỊ HƯNG Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Tổ Toán – Tin trường THPT Xuân Thọ Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  -Phương pháp dạy học môn: …………. - Phương pháp giáo dục  -Lĩnh vực khác: …………………………  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Có giải pháp hoàn toàn  - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có  Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Hoàn toàn triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu  Khả áp dụng (Đánh dấu X vào ô dòng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  24 XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) 25 [...]... thạo bảng biến thiên trong việc giải phương trình, bất phương trình, các em đã rất hứng thú khi tiếp cận dạng toán này Và trong năm học 2012 – 2013 này, với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn ôn thi, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ, sử dụng thành thạo bảng biến thiên để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương. .. về tập giá trị của hàm số 2) Bài toán trên còn cho ta thấy phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, dựa trên bảng biến thiên không chỉ được vận dụng cho giải phương trình, bất phương trình, mà còn có thể vận dụng tốt trong các bài toán giải hệ phương trình, hệ bất phương trình Tuy nhiên do phạm vi nghiên cứu có hạn nên tôi không trình bày trong đề tài này Bài tập tự luyện 1) Tìm m để với x  ... để bất phương trình sau có nghiệm với x : log 3  x 2  5  1 log5  x 2  ax+6   1 3) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x  1;2 :  m  2  log  x  1  2m log  x  1  1  0 2 1 2 1 2 III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : Trong năm học 2011 – 2012, tôi được phân công bồi dưỡng học sinh giỏi khối 12 với chuyên đề giải phương trình, bất phương trình vô tỉ Với việc hướng dẫn cho học sinh sử dụng. .. nhưng trong các đề thi tuyển sinh vào đại học vẫn có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách giáo khoa, nên để giải quyết các bài toán đó cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số Đề tài này là một tài liệu nhỏ phần nào giúp cho các em học sinh trường THPT Xuân Thọ rèn luyện kĩ năng giải một số phương trình, bất phương trình, đặc biệt là phương trình, bất phương trình. .. phương trình, bất phương trình đã giúp cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm của một phương trình với số giao điểm của các đồ thị của hai hàm số ở hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm trong 22 nhiều bài toán tìm tham số, làm bài có những lập luận chặt chẽ hơn trong những tình huống giải phương trình, bất phương trình IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Hiện nay sách giáo... x = 11 là nghiệm của bất phương trình x  11  f ( x)  f (11)  9  x < 11 là nghiệm của bất phương trình x  11  f ( x)  f (11)  9  x > 11 không phải là nghiệm của bất phương trình 3 Vậy kết hợp điều kiện x   ta được tập nghiệm của bất phương trình là: 2 3 S  [ ;11] 2 14 4 Bài toán 2: Giải bất phương trình sau: 15  x  4 2  x  1 (*) Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta chỉ có thể... hiểu và vận dụng tốt một số kiến thức có liên quan sau đây: Giả sử ta biến đổi được bất phương trình về dạng f ( x)  g (m) hoặc f ( x)  g (m) ) Khi đó: + Bất phương trình f ( x)  g (m) có nghiệm x  D  max f ( x)  g (m) D + Bất phương trình f ( x)  g (m) có nghiệm x  D  min f ( x)  g (m) D + Bất phương trình f ( x)  g (m) có nghiệm đúng x  D  min f ( x)  g (m) D + Bất phương trình f ( x)... nên bất phương trình 4 15  x  4 2  x  1  f  x   f 1  x  1 Kết hợp với điều kiện 15  x  2 ta được nghiệm của (*) là 1  x  2 Bài tập tự luyện: Giải các bất phương trình sau: 1) 2 x3  3 x 2  6 x  16  4  x  2 3 2) x  9  2 x  4  5 3) log 2 x  3  x IV/ SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN CHỨA THAM SỐ: Để vận dụng được phương pháp này trước hết học sinh cần phải... THỰC HIỆN Đỗ Thị Hưng 23 BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị : THPT Xuân Thọ CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Xuân Thọ, ngày tháng năm 2013 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2012 - 2013 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Họ và tên tác giả: ĐỖ THỊ HƯNG... Bài toán 1: Giải bất phương trình: x  5  2 x  3  9 Nhận xét : Khi giải dạng bất phương trình này, thuông thường học sinh sẽ sử dụng phương pháp đặt điều kiện, bình phương hai vế Ở đây tôi xin trình bày cả hai cách giải để học sinh lựa chọn và so sánh sự tối ưu của hai cách giải 3 Giải :Cách 1: Điều kiện x   2 Bình phương hai vế ta được : 3 x  73  0 2 ( x  5)(2 x  3)  3 x  73   2 4(