Hướng dẫn học sinh sử dụng tư duy hàm số để giải phương trình và hệ phương trình

MỤC LỤC I MỞ ĐẦU: Trang 01 Lí chọn đề tài 01 Mục đích nghiên cứu 01 Đối tượng nghiên cứu 02 Phương pháp nghiên cứu 02 II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 03 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 03 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 03 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 05 3.1 Mục tiêu giải pháp 05 3.2 Nội dung cách thức thực giải pháp 05 GP1: Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình 1- Nội dung phương pháp hàm số giải phương trình 2- Các dấu hiệu nhận biết phương trình giải phương pháp hàm số GP2: Vận dụng thực hành giải hệ phương trình 12 1- Thao tác thực hành tư hàm số giải hệ 2- Xây dựng hệ thống tập chọn lọc cho học sinh - Hướng dẫn học sinh xây dựng dấu hiệu cho hệ phương trình giải tư hàm số GP3: Nêu số vấn đề liên quan đến tư hàm số VĐ1 : Tư hàm số giải bất phương trình VĐ2 : Tư hàm số toán chứa tham số VĐ3 : Tư hàm số chứng minh bất đẳng thức VĐ4 : Mối liên hệ phương pháp hàm số phương pháp giải toán khác Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, 15 15 đồng nghiệp nhà trường III KẾT LUẬN 17 Kết luận 17 Kiến nghị 18 I MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình, hệ phương trình vấn đề quan trọng toán học phổ thông, trải dài xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT Đây vấn đề hay khó, xuất nhiều dạng câu phân loại mức độ cao đề thi tuyển sinh Đại học Việc giải toán phương trình, hệ phương trình đa dạng phong phú, việc phân loại theo dạng toán đặc trưng phân loại theo phương pháp giải toán Do đa dạng dạng toán, phương pháp giải mật độ xuất dày đặc đề thi nên học sinh có khối lượng lớn kiến thức tập thực hành khổng lồ Vì vậy, chiến lược cách học phần kiến thức học sinh dễ sa vào việc lo giải toán mà định hướng tư chiến lược cho việc giải toán nội dung Tư hàm tư cao, hình thành phát triển trình học toán Việc vận dụng tư hàm giải toán phương trình, hệ phương trình giúp học sinh giải toán cách sáng tạo , nhẹ nhàng mà giúp học sinh phát triển hoàn thiện tư hàm Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh hệ thống phương pháp suy luận giải toán phương trình, hệ phương trình Với ý định đó, sáng kiến kinh nghiệm muốn nêu cách xây dựng định hướng “giải toán phương trình, hệ phương trình” cách xây dựng “tư hàm số” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giải tập Toán phần quan trọng, thiếu môn Toán học, làm tập giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng thời rèn luyện khả tư cho học sinh Bài tập giải phương trình, hệ phương trình toán quan trọng, xuất nhiều đề thi THPT Quốc Gia mức độ cao Tuy nhiên nội dung lí thuyết phần hệ thống SGK phổ thông trình bày đơn giản, rải rác từ lớp 10 đến lớp 12, không phân loại dạng toán phương pháp Điều gây khó khăn nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng toán phương pháp giải toán cho học sinh Trong sáng kiến kinh nghiệm nhiều nội dung phương pháp trang bị cho học sinh để giải toán phương trình, hệ phương trình Đó là: “Hướng dẫn học sinh dùng tư hàm số để giải phương trình, hệ phương trình” Nhiệm vụ đề tài: Khảo sát giải toán phương trình, hệ phương trình học sinh trường THPT Hoằng Hóa Thực trạng phân tích thực trạng Đánh giá, rút kinh nghiệm Đề giải pháp nhằm nâng cao hiệu giải toán phương trình, hệ phương trình học sinh ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các dấu hiệu nhận biết toán phương trình, hệ phương trình giải tư hàm số PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp dạy học theo hướng giải vấn đề Nghiên cứu tư liệu sản phẩm hoạt động sư phạm Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư giải toán học sinh Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh vấn đề liên quan đến nội dung đề tài Phương pháp thống kê, phân tích số liệu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến: - Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số f đồng biến K ⇔ ∀x1 x2 ∈ K , x1 < x ⇒ f ( x1 ) < f ( x ) Hàm số f nghịch biến K ⇔ ∀x1 x ∈ K , x1 < x ⇒ f ( x1 ) > f ( x ) - Tính chất: Cho f (x) xác định K Với ∀x1 x ∈ K ; f ( x1 ) = f ( x ) ⇔ x1 = x - Để chứng minh tính đơn điệu hàm số y = f (x) K ta dựa vào phương pháp sau: * Phương pháp 1: Dùng định nghĩa + Lấy x1 , x ∈ K , x1 ≠ x , lập tỉ số A = f ( x ) − f ( x1 ) x − x1 + Dựa vào dấu A để suy tính đơn điệu Nếu A > 0, ∀x1 , x2 ∈ K hàm số f đồng biến Nếu A < 0, ∀x1 , x2 ∈ K hàm số f nghịch biến biến (Nội dung trình bày SGK lớp 10) *Phương pháp 2: Dùng đạo hàm:  f ' ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ D + Tính chất 1:Hàm số f đồng biến D ⇔   f '( x) = hữu hạn điểm D  f ' ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ D + Tính chất 2: Hàm số f nghịch biến D ⇔   f '( x) = hữu hạn điểm D Chú ý: D = ( a; b ) thay D [ a; b] ; [ a; b ) ; ( a; b ] thêm tính chất hàm số phải lên tục D (Nội dung trình bày SGK lớp 12) Nếu học sinh học đạo hàm việc chứng minh tính đơn điệu hàm số đơn giản phương pháp Đối với học sinh chưa học đạo hàm phải sử dụng định nghĩa, dạng hàm số phức tạp việc dùng định nghĩa để chứng minh điều khó 1.2 Một số định lý: Định lí 1: Nếu hàm số y=f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm f(x) = k D không nhiều f(x)=f(y) x = y với x,y thuộc D Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức f(a)=k f đồng biến D nên * x > a suy f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm * x < a suy f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nghiệm Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm số y = g(x) nghịch biến (hoặc đồng biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f(x) = g(x) không nhiều Chứng minh: Giả sử x=a nghiệm phương trình f(x)=g(x), tức f(a)=g(a) Ta giả sử f đồng biến g nghịch biến *Nếu x>a suy f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm *Nếu x f ( v ( x ) ) ⇔ u ( x ) < v ( x ) , ∀u ( x ) , v ( x ) ∈ D THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Thuận lợi: Nội dung phương trình, hệ phương trình học sinh làm quen từ THCS lên đến THPT nên gần gũi với học sinh đa số học sinh biết số thao tác Phương trình, hệ phương trình xuất nhiều đề thi học sinh giỏi, tuyển sinh vào 10 kì thi THPT Quốc Gia nên học sinh làm quen với khối lượng lớn tập đặc sắc, phong phú, đa dạng nội dung dạng toán Khó khăn: Do nội dung khó, lại xuất đề thi với tư cách câu phân loại khó nên đa số toán để giải khó khăn Vì gây cho học sinh thói quen rằng: toán khó động lực để vượt qua Thậm chí phần lớn học sinh xác định bỏ phần này, không để ý rèn luyện Do đa dạng nội dung, phương pháp mức độ khó, khối lượng tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , phân biệt dạng tập không vận dụng phương pháp giải toán Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chưa thực trọng đến tư phương pháp Do hiệu học giải toán chưa cao Việc vận dụng tư hàm số vào giải phương trình, hệ phương trình mang nặng tính cảm tính, thử nghiệm, chưa có đường lối rõ ràng, dấu hiệu nhận biết không định hướng nên chưa tự tin vận dụng giải toán CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3.1.Mục tiêu giải pháp Đưa nội dung phương pháp hàm số dấu hiệu nhận biết phương trình , hệ phương trình giải tư hàm số 3.2 Nội dung cách thức thực giải pháp Giải pháp 1: Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình vô tỉ GP1-1: Nội dung phương pháp hàm số giải phương trình Dạng 1: “Khảo sát trực tiếp hàm số phương trình” Bài toán: Giải PT : “h(x) = g(x)” (1) Bước giải toán: Bước 1: Biến đổi PT(1) dạng f(x) = (2), với f(x) = h(x) – g(x) D Bước2: Khảo sát tính đơn điệu hàm số f ( x) D để suy số nghiệm tối đa pt(2) Bước 3: Chỉ đủ số nghiệm cần thiết kết luận cho pt(1) Dạng 2: “Khảo sát hàm đặc trưng phương trình” Bài toán: Giải PT : “h(x) = g(x)” (1) Bước giải toán: Bước 1: Biến đổi PT(1) dạng f u ( x )  = f v ( x )  Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng f (t ) đồng biến (hoặc nghịch biến) D Bước 3: Kết luận: (1) ⇔ u(x) = v(x) GP1-2: Xây dựng dấu hiệu nhận biết phương trình giải phương pháp hàm số Các dấu hiệu đặc trưng thông qua ví dụ cụ thể tiến hành với trình giải toán học sinh sau: Dấu hiệu 1: Hàm f ( x) = h( x) − g ( x) tăng (giảm) bất biến tập xác định Đây dấu hiệu quan trọng để định có khảo sát trực tiếp hàm số phương trình, sở để ta đánh giá hàm số đồng biến hay nghịch biến Ví dụ 1: Giải phương trình : x3 − + x − + x = (1) (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Hoằng Hóa năm 2015)   Tư duy: Hàm số f ( x) = x − + x − + x − D =  ; +∞ ÷ tăng dần   x tăng f (1) = nên ta giải toán theo dạng Lời giải   Xét hàm số : f ( x) = x − + x − + x − D =  ; +∞ ÷   15 x   + + > ∀x ∈  ; +∞ ÷ Ta có: f '( x) =   x − 3 (2 x − 1) Mà hàm số f ( x) liên tục D Khi đó: Hàm số f ( x) đồng biến D ⇒ pt : f ( x) = có tối đa nghiệm D Mặt khác : f (1) = Kết luận: pt(1) có nghiệm x = Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, học sinh làm theo cách liên hợp với số sau dùng MTCT dò nghiệm x = 1, đặt ẩn phụ bình phương Tuy nhiên, sau trình giải toán học sinh nhận thấy rằng, việc xử lí hàm số ngắn gọn dễ thực hành Điều phản ánh ưu điểm tư hàm số toán Ví dụ 2: Giải phương trình : x + 15 = x − + x + (2) (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Anh Sơn năm 2016) Tư duy: Hàm số f ( x) = 3x − + x + − x + 15 R tính tăng , giảm bất biến x tăng cách xây dựng điều kiện chặt cho ẩn x ta lại thấy hàm số có tính tăng bất biến x tăng Lời giải Ta có: x − = x + 15 − x + > 0, ∀x ∈ R ⇒ x − > ⇔ x > 3  Xét hàm số : f ( x) = 3x − + x + − x + 15 D =  ; +∞ ÷ 2    3  − > 0, ∀x ∈  ; +∞ ÷ Ta có: f '( x) = + x  ÷ 2  x + 15   x +8 Khi đó: Hàm số f ( x) đồng biến D ⇒ pt : f ( x) = có tối đa nghiệm D Mặt khác : f (1) = Kết luận: pt(2) có nghiệm x = Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, học sinh lúng túng tư hàm số, mà hàm f(x) tính tăng giảm bất biến Sau GV hướng dẫn cách đánh giá chặt cho ẩn x , học sinh nhận thấy rằng: Khi giải phương trình, việc xây dựng điều kiện xác định phương trình, cần ý xây dựng điều kiện chặt cho ẩn từ đánh giá hai vế phương trình cho Dấu hiệu 2: Trong phương trình xuất biểu thức tương tự Sự xuất biểu thức tương tự phương trình thường dẫn tới tính quy luật cho nhóm biểu thức Khi việc quy hàm đặc trưng để khảo sát khả thi Đây dấu hiệu dễ nhìn thấy mà học sinh tiến hành tư hàm số Ví dụ 3: Giải phương trình : x3 − x + x − 3x + = 3x + + x + (3) (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- Ch Đaị Học Vinh năm 2016) Tư duy: Trong phương trình có xuất hai biểu thức x − x + 1; x + nên đưa hàm đặc trưng cho hai biểu thức Lời giải Ta có: pt (3) ⇔ x − 3x + + x3 − x + = x + + x + ⇔ f ( ) ( x3 − 3x + = f ) x + với f ( t ) = t + t R Mà: f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t ) đồng biến R Vậy: pt (3) ⇔ x3 − 3x + = x + ⇔ x − x + = x +  1 ±  ⇔ x ∈ − ;     1 ±  Kết luận: pt(3) tập nghiệm: − ;    Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, học sinh làm theo cách liên hợp theo nhóm tạo nhân tử Tuy nhiên, giải toán học sinh nhận thấy rằng, việc xử lí hàm đặc trưng phương trình có sở suy luận mò mẫm Ví dụ 4: Giải phương trình : ) ( x + 1) ( + ) ( x2 + x + + 3x + x2 + = (4) (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Nghi Lộc năm 2016) Tư duy: Trong phương trình có xuất hai biểu thức nên đưa hàm đặc trưng cho hai biểu thức Lời giải ( Ta có: pt (4) ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( −3 x ) + ) ( −3x ) +3 ) ⇔ f ( x + 1) = f ( −3 x ) với f (t ) = t + t + R ( ) t2 Vì f '(t ) = + t + + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t ) đồng biến R t +3 Vậy: pt (4) ⇔ x + = −3 x ⇔ x = −0,2 Kết luận: pt(4) có nghiệm x = −0,2 Nhận xét Sau giải pt(3), học sinh nhanh chóng chuyển pt(4) dạng hàm đặc trưng Điều cho thấy tư hàm số có sở suy luận dễ tiếp nhận học sinh Dấu hiệu 3: Trong phương trình chứa hàm đa thức bậc cao Việc xuất đa thức bậc cao phương trình gây khó khăn việc biến đổi ẩn phụ để giải phương trình thao tác xử lí cồng kềnh Lúc tư hàm số giải nhanh gọn “né” khó khăn thực hành Ví dụ 5: Giải phương trình : x − 15 x + 78 x − 146 = 10 x − 29 (5) (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Tương Dương năm 2016) Tư duy: Vế trái pt(5) chứa hàm đa thức bậc ba , vế phải pt(5) chứa thức gây khó khăn cho thao tác xử lí Tư hàm đặc trưng giải toán trường hợp Lời giải Ta có: pt (5) ⇔ ( x − ) + 10 ( x − ) = ( x − 29 ) + 10 x − 29 ⇔ f ( x − 5) = f ( ) x − 29 với f ( t ) = t + 10t R Mà: f '(t ) = 3t + 10 > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t ) đồng biến R Vậy: pt (5) ⇔ x − = x − 29 ⇔ x − 15 x + 68 x − 96 = ⇔ x ∈ { 3;4;8} Kết luận: pt(3) tập nghiệm: { 3;4;8} Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, học sinh làm theo cách liên hợp theo nhóm tạo nhân tử Tuy nhiên, giải toán học sinh nhận thấy rằng, việc xử lí hàm đặc trưng phương trình đơn giản, dễ hiểu Một số học sinh tìm dạng hàm đặc trưng dựa vào việc xem thức ẩn y, thêm bớt để định dạng hàm đặc trưng Đây hướng giải cho phương trình dạng Ví dụ 6: Giải phương trình : x3 − 10 x + 17 x − + x x − x = (6) (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- Chuyên KHTN năm 2016) Tư duy: Pt(6) chứa hàm đa thức bậc ba , chứa thức gây khó khăn cho thao tác xử lí Tư hàm đặc trưng giải toán trường hợp Tuy nhiên để giảm độ phức tạp cho pt , ta thực phép đổi biến trước chuyển hàm đặc trưng Lời giải Ta có: TXĐ: R Ta thấy x = nghiệm phương trình Xét x ≠ (6) ⇔ − 10 17 + − + − = x x x x Đặt t = ; ( t ≠ ) x Phương trình trở thành : 8t − 17t + 10t − = 5t − ⇔ ( 2t − 1) + ( 2t − 1) = ( 5t − 1) + 5t − ⇔ f ( 2t − 1) = f ( ) 5t − với f ( t ) = t + 2t R Mà: f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t ) đồng biến R Vậy: f ( 2t − 1) = f ( ) 5t − ⇔ 2t − = 5t − Đến giải tìm t tìm x Bài toán giải xong Nhận xét Đây toán hay, học sinh thực hành lúng túng pt chứa biểu thức bậc cao Trong trường hợp ta đơn giản pt phép “đổi biến nghịch đảo”, học sinh nhận thấy tư hàm số phải kết hợp nhiều phương pháp giải toán 10 Dấu hiệu 4: Trong phương trình chứa dạng tích hai nhóm biểu thức Thông thường dạng phương trình thường sử dụng phương pháp liên hợp để “tách”hai nhóm biểu thức giải tiếp.Trong số trường hợp, tư hàm số giúp giải triệt để cách xét hàm trực tiếp Ví dụ 7: Giải pt : ( )( x − + x2 + − ) x + + x + − = 10 (7) (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Diễn Châu năm 2016) Tư duy: Vế trái pt(7) chứa tích hai nhóm biểu thức nên ta sử dụng hàm tích khảo sát trực tiếp hàm số Lời giải Tập xác định: D = [ 0,5; +∞ ) Xét hàm số: f ( x) = g ( x)h( x) D, với g ( x ) = x − + x + − 1, h ( x ) = x + + x + − 2x g ' x = + >0 ( ) Với ∀x > 0,5 , ta có: g ( x) > ; 2x − 3 x2 + 2 ( ) 1 + >0 h( x) > h ' ( x ) = x + 3 ( x + 3) suy ra: f '( x) = g '( x)h( x) + g ( x)h '( x) > 0, ∀x > 0,5 Mà: f ( x) hàm liên tục D nên hàm số f ( x) đồng biến D ⇒ pt : f ( x) = có tối đa nghiệm D Mặt khác : f (5) = 10 Kết luận: pt(7) có nghiệm x = Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, học sinh tư theo nhiều cách khác nữa, gặp khó khăn Điều thể toán có nhiều cách giải quyết, việc thiết lập thêm phương pháp giải toán bổ sung thêm tư triệt tiêu suy luận giải toán phương pháp khác Dấu hiệu 5: Xử lý phương trình trung gian Đây đặc trưng hay, thao tác phối kết hợp nhiều phương pháp cho việc giải toán Không có phương pháp vạn để giải toán, cần phải sáng tạo để vận dụng linh hoạt, hợp lí hệ thống phương pháp giải toán để giải toán ( Ví dụ 8: Giải phương trình : + + x )( ) x2 − 2x + + x − = x x (8) (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- Chuyên Hưng Yên năm 2016) 11 Tư duy: Pt(8) giải cách liên hợp tách nhóm xử lí tiếp Thao tác tư hàm số tìm cách tạo hàm đặc trưng sau phép “đổi biến nghịch đảo” Lời giải Ta có: TXĐ: D = [ 0; +∞ ) Ta thấy x = nghiệm phương trình Xét x > ,chia hai vế cho x x ta được:   1 + + ÷ − + + − ÷ =  x x x x  x  Đặt t = ; ( t > ) x Phương trình trở thành : ( t + t +1 )( ) − 2t + t + − t = ⇔ − 2t + t + − t = t + − t ⇔ (1 − t ) + + − t = ⇔ f (1− t) = f Mà: f ' ( y ) = ( t ) với y y2 + R Vậy: f ( − t ) = f ( t) +1 − t f ( y ) = y + − y R −1 = y − y2 + y2 + ( t ) ⇔ 1− t = < 0, ∀y ∈ R nên hàm số f ( y ) nghịch biến t Đến giải tìm t tìm x Bài toán giải xong Nhận xét Đây toán hay, học sinh thực hành tập dượt làm quen với việc giải toán kết hợp nhiều phương pháp Điều giúp tư giải toán học sinh linh hoạt sáng tạo x2 + 2x − = ( x + 1) x + − Ví dụ 9: Giải phương trình : (9) x − 2x + (Đề thi THPT Quốc Gia 2015) Tư duy: Dễ nhận thấy phương trình có nghiệm x = , vế trái pt có nhân tử x − nên học sinh nhanh chóng liên hợp để thu nghiệm x = Tuy nhiên khó khăn xuất giải phương trình lại không đơn giản, tư hàm số khéo léo giúp giải nhanh toán Lời giải Ta có: ( ) 12 x = ⇔ x+4  = x+2 −2  x − x + ( x − ) ( x + ) = ( x − ) ( x + 1) pt (9) ⇔ x2 − x + x +1 (9*) x+2+2 Vấn đề giải pt (9*) pt (9*) ⇔ ( x + ) x + + = ( x + 1) ( x − x + 3) ⇔  ( ⇔ f x+2 ( ) ( ) + 2  ( ) ) x + + = ( x − 1) +  ( x − 1) +    x + = f ( x − 1) với f ( t ) = ( t + ) ( t + ) R Mà: f '(t ) = 3t + 4t + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t ) đồng biến R Vậy: f ( ) x + = f ( x − 1) ⇔ x + = x − Đến giải tìm x Bài toán giải xong Nhận xét Đây toán phân loại khó hay, học sinh thực hành lúng túng xử lý pt trung gian Một số học sinh thực quy đồng nhân pt(9*), làm phức tạp rối toán Sau giải pt(9*), học sinh nhận thấy phải khai thác triệt để trạng thái ban đầu pt, không xử lí tiếp tục biến đổi để chuyển dạng pt Giải pháp 2: Vận dụng thực hành giải hệ phương trình GP2-1: Thao tác thực hành tư hàm số giải hệ phương trình Bước 1: a) Phát phương trình hệ có dạng hàm đặc trưng để tìm mối liên hệ đơn giản hai ẩn x y Chuyển pt lại hệ phương trình ẩn b) Sử dụng phương pháp giải toán nhằm chuyển việc giải hệ việc giải pt ẩn Bước2: Tư hàm số để giải phương trình lại (nếu được) giải phương pháp khác Bước 3: Kết luận nghiệm cho hệ phương trình GP2-2: Xây dựng hệ thống tập chọn lọc cho học sinh tự thực hành Việc vận dụng kiến thức vào giải toán kĩ quan trọng cần rèn luyện, thực hành Do sau dạy học sinh tư hàm số để giải phương trình, có cho học sinh hệ thống tập tự rèn luyện phương trình 13 Song song với trình tự luyện tập học sinh, có tổ chức (hay nhiều) buổi thực hành vận dụng giải hệ phương trình theo tư hàm số Một mặt để rèn kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh, mặt nắm bắt khả tiếp nhận, vận dụng kiến thức học sinh thực hành giải toán Từ có tác động sư phạm hợp lí để điều chỉnh hoàn thiện tư cho học sinh Sau số toán thực cho học sinh (Chỉ trình bày hướng tư duy, vận dụng giải toán, lời giải mang tính gợi ý) Bài tập 1: Giải hệ phương trình: x   x + x + = ( y + ) ( x + 1) ( y + 1) ( x, y ∈ ¡ )   3x − x − = ( x + 1) y +  (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 3- Chuyên Vĩnh Phúc năm 2015) Tư duy: Pt(1) có tính độc lập x y nên sử dụng hàm đặc trưng: x3 + x ( x + 1) x3 + x + x = ( y + ) ( x + 1) ( y + 1) ⇔ = ( y + 2) y + ( 1) ⇔ x +1 ( x + 1) x + ( )  x  x  x  ⇔ f ⇔ + = y + + y +  ÷ = f ( y + 1) ÷ x +   x +1  x +1  Xét hàm số f ( t ) = t + t ¡ có f ′ ( t ) = 3t + > 0∀t ∈ ¡ suy f(t) đồng = y +1 biến ¡ Nên f  ÷= f ( y + 1) ⇔ x +1  x +1  Thay vào (2) ta x − x − = x x + (Giải pt tương đối đơn giản)  x  x Bài tập 2: Giải hệ phương trình:  x3 + y + x + y + x + y + = ( 1)   − xy − x + 2015 = x + x + y + + 2016 x ( ) (Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- Chuyên ĐHSPHN năm 2016) Tư duy: Pt(1) có tính độc lập x y nên sử dụng hàm đặc trưng: ( 1) ⇔ y + y + y = − x3 − x − x − ⇔ y + y + y = − ( x + x + x + 1) + ( x + x + 1) − x − ⇔ y + y + y = ( − x − 1) + ( − x − 1) + ( − x − 1) ⇔ f ( y ) = f ( − x − 1) ⇔ y = − x − Thay y = − x − vào ( ) rút gọn phương trình x + + 2015 = x + + 2016 x ( *) 14 Ta có x + − x + = 2016 x − 2015 > ⇒ x > 2015 2016 2 Xét hàm số g ( x ) = x + − x + − 2016 x + 2015 , x > x g' ( x) = = x2 + x ( − x x2 + − 2016 x2 + − x2 + (x 2015 2016 + ) ( x + 3) ) − 2016 < ∀x > 2015 2016  2015  ; +∞ ÷ Suy g ( x ) nghịch biến   2016  Suy phương trình g ( x ) = (Phương trình (*)) có tối đa nghiệm Mặt khác g ( 1) = Từ ta x = nghiệm phương trình (*) Bài tập 3: Giải hệ phương trình:  x10 + x = y + x y ( x∈¡ , y∈¡ )   x + + y + = (Đề khảo sát THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Thạch Thành năm 2016) Tư duy: Pt(1) tạo nhóm độc lập x y nên sử dụng hàm đặc trưng:  y  y 5 Xét x ≠ , chia vế pt đầu cho x ≠ , ta x + x =  ÷ +  ÷ (1) x  x ' Xét hàm số f ( t ) = t + 2t , ∀t ∈ ¡ Ta có f ( t ) = 5t + > 0, ∀t ∈ ¡ y Vậy hàm số f ( t ) = t + 2t đồng biến ¡ Do (1) ⇔ x = ⇔ y = x x Thay vào pt thứ hệ ta được: y + + y + = (2) Xét hàm số g ( y ) = y + + y + 1, ∀y ≥ − 1 ' + > 0, ∀y > − Ta có g ( y ) = 2 y+5 2y +1   Vậy g(y) đồng biến khoảng  − ; +∞ ÷ Mà g(4)=6 nên (2) ⇔ y =   Bài tập 4: Giải hệ phương trình: 15 2 x + xy + x = y + x y + y (1)   y − x − y − 16  1 = y +  ÷ x + − (2)  x2 − y + 2   ( ) ( x∈¡ , y∈¡ ) (Đề khảo sát THPT Quốc Gia,lần 1- THPTCƯMGAR năm 2016) Tư duy: Xử lí pt(1) phương pháp khác: pt (1) ⇔ ( x − y ) + (2 x3 − x y ) + ( xy − y ) = ⇔ ( x − y )(1 + x + y ) = ⇔ x = y Thế vào (2) được: x 2( ) − x − x − 16 x − x − 32  x 1 =  + ÷ x +1 − ⇔ = ( x + 1) x + − x2 − 4x + x − 4x + 2 2 Việc giải pt thu áp dụng dấu hiệu GP1 ( ) ( ) GP2-3: Hướng dẫn học sinh xây dựng dấu hiệu cho hệ phương trình giải tư hàm số Hướng dẫn học sinh tự tìm kiếm hình thành phương pháp có ý nghĩa lớn việc đổi cách học học sinh, chuyển chủ động tìm tòi kiến thức sang học sinh Sau hướng dẫn học sinh xây dựng dấu hiệu tư hàm số để giải phương trình, trình hướng dẫn học sinh thực hành giải hệ phương trình yêu cầu học sinh tự xây dựng dấu hiệu tư hàm số để giải hệ phương trình Và học sinh xây dựng hệ thống phong phú dấu hiệu mà SKKN chưa có điều kiện để trình bày Giải pháp 3: Nêu số vấn đề liên quan đến tư hàm số Việc mở rộng vấn đề, kết nối vấn đề đến tổng thể phương pháp giải toán việc làm thường xuyên toán học Tư hàm số, việc giải phương trình, hệ phương trình tiếp cận đến số vấn đề sau: VĐ1 : Tư hàm số giải bất phương trình (Nội dung giải SKKN năm học 2014 – 2015, cách xét dấu giải pt tương ứng) VĐ2 : Tư hàm số toán chứa tham số pt, bpt, hệ pt (Nội dung giải theo chủ đề riêng toán tham số) 16 VĐ3 : Tư hàm số chứng minh bất đẳng thức, tìm gtln, gtnn biểu thức (Nội dung giải theo chủ đề riêng bđt, gtln, gtnn) VĐ4 : Mối liên hệ phương pháp hàm số phương pháp giải toán khác (Nội dung giải việc xây dưng kết nối phương pháp giải toán- Dự định SKKN 2016 -2017) …Và nhiều vấn đề khác Qua học sinh thấy tư hàm số phổ dụng, bao trùm nhiều vấn đề khó toán học THPT việc phát triển tư hàm số yêu cầu thiết thực, phù hợp thực tiễn thi cử HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Để biết hiệu trình tiến hành thực kiểm tra với đối tượng học sinh thuộc lớp khác mức độ học tập tương đương ( Lớp 12B2 12B3 trường THPT Hoằng Hóa 3) lớp (12B3) nghiên cứu phương pháp với lớp (12B2) chưa nghiên cứu Tôi thu kết sau: BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ KHI SO SÁNH Ở LỚP NHƯ SAU: - Bài khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia lần (Nghiên cứu câu phương trình, hệ phương trình đề thi mức độ học sinh tiếp cận được) Lớp 12B2 Lớp 12B3 Nội Dung Số HS % Số HS % Giải 100% toán Giải 70% toán Giải 50% toán 10 12 Không tiếp cận toán 30 20 - Bài khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia lần (Nghiên cứu câu phương trình, hệ phương trình đề thi mức độ học sinh tiếp cận được) Lớp 12B2 Lớp 12B3 Nội Dung Số HS % Số HS % Giải 100% toán 12 Giải 70% toán 10 Giải 50% toán 12 Không tiếp cận toán 28 11 Từ bảng số liệu lần 1, ta thấy số học sinh làm toán lớp 12B3 (được học tư hàm số) nhiều hẳn lớp 12B2 (lớp đối chứng, không chi tiết tư hàm số), điều thể hiệu nội dung dạy học tư 17 hàm số Vì nội dung khó nên hai lớp nhiều học sinh không tiếp cận toán Từ bảng số liệu lần 2, ta thấy số học sinh làm toán lớp 12B3 lớp 12B2 tăng lên sau thời gian thực hành giải toán Tuy nhiên mức độ tăng lớp 12B3 nhiều có độ bền vững lớp 12B2 Điều thể khắc sâu phương pháp kĩ thực hành lớp 12B3 tốt hẳn lớp 12B2 Tuy nhiên, bảng số liệu cho ta thấy số lượng học sinh không tiếp cận toán nhiều Điều hợp lí, vấn đề khó câu phân loại điểm / 10 đề thi nên phù hợp cho học sinh Do đó, trình dạy học cần có giải pháp để học sinh tiếp cận dần thao tác thực hành giải toán Nói chung hiệu sau hai ần thi thể lớp 12 B3 có chất lượng tiến vượt hẳn so với lớp 12B2, minh chứng thực tiễn thuyết phục để khẳng định ưu điểm dạy học sinh tư hàm số để giải pt, hệ pt III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Muốn thành công công tác giảng dạy trước hết đòi hỏi người giáo viên phải có tâm huyết với công việc, phải đam mê tìm tòi học hỏi, phải nắm vững kiến thức bản, phổ thông, tổng hợp kinh nghiệm áp dụng vào giảng Phải thường xuyên trau dồi, học tập nâng cao trình độ chuyên môn thân, phải biết phát huy tính tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức học sinh Trong trình giảng dạy phải coi trọng việc hướng dẫn học sinh đường tìm kiến thức mới, khơi dậy óc tò mò, tư sáng tạo học sinh, tạo hứng thú học tập, dẫn dắt học sinh từ chỗ chưa biết đến biết, từ dễ đến khó Thông việc tổng kết hiệu SKKN khẳng định điều: Việc triển khai buổi học mở rộng mang lại hiệu nhiều Và điều phù hợp chương trình SGK mới, thực tốt cho chuyên đề tự chọn học sinh Không giúp học sinh việc định hướng giải toán với nội dung cụ thể mà thông qua để học sinh thấy việc “ tư hàm số ” để giải phương trình, hệ phương trình tốt có kết Từ thúc học sinh tìm tòi sáng tạo để trang bị cho quy trình lượng kiến thức cần thiết Nhìn chung quy trình đưa đơn giản áp dụng cho phần nhiều cho toán Do đa số học sinh nắm vững quy trình có định hướng rõ rệt trình giải toán Tuy nhiên số học sinh trung bình trung bình khả vận dụng vào giải toán lúng túng, toán cần linh hoạt lựa chọn hàm số thích hợp hay gặp bế tắc giải toán học sinh thường không chuyển hướng cách suy nghĩ để giải toán ( thể sức “ỳ” tư lớn) Vì dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên cần tạo cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt sáng tạo vận dụng quy trình Đó nhược điểm 18 cách giải toán theo phương pháp này, điều đòi hỏi người giáo viên cần phải khéo léo truyền thụ quy trình cách giải toán linh hoạt toán KIẾN NGHỊ Qua thành công bước đầu việc áp dụng nội dung thiết nghĩ cần thiết phải có đổi cách dạy học Không nên dạy học sinh theo quy tắc máy móc cần cho học sinh quy trình mô mang tính chọn lựa để học sinh tự tư tìm đường giải toán Sáng kiến kinh nghiệm phần nhỏ kinh nghiệm thân thu qua trình dạy phạm vi học sinh nhỏ hẹp Vì phát ưu nhược điểm chưa đầy đủ sâu sắc Mong qua báo cáo kinh nghiệm đồng nghiệp cho thêm ý kiến phản hồi ưu nhược điểm cách dạy nội dung Cuối mong nội dung đồng nghiệp nghiên cứu áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút điều bổ ích Bài viết chắn nhiều thiếu sót mong đóng góp ý kiến, phê bình, phản hồi đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 11 tháng 05 năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Toán 10, 11,12 Chuẩn kiến thức kỹ môn Toán trung học phổ thông Sách tập Toán 11,12 Sách giáo viên Toán 11,12 Đề thi khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia trường THPT nước 20 ... học sinh để giải toán phương trình, hệ phương trình Đó là: Hướng dẫn học sinh dùng tư hàm số để giải phương trình, hệ phương trình Nhiệm vụ đề tài: Khảo sát giải toán phương trình, hệ phương trình. .. cách học học sinh, chuyển chủ động tìm tòi kiến thức sang học sinh Sau hướng dẫn học sinh xây dựng dấu hiệu tư hàm số để giải phương trình, trình hướng dẫn học sinh thực hành giải hệ phương trình. .. thực giải pháp Giải pháp 1: Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình vô tỉ GP1-1: Nội dung phương pháp hàm số giải phương trình Dạng 1: “Khảo sát trực tiếp hàm số phương trình Bài toán: Giải