skkn kinh nghiệm giải phương trình,hệ phương trình nghiêm nguyên

KINH NGHIỆM KHOA HỌC: - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán - Số năm có kinh nghiệm: 33 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 6 năm gần đây: 4 DUYỆT CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ..

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

- Họ và tên: Đinh Quang Minh

- Ngày tháng năm sinh: 02/01/1961

- Đơn vị công tác: Trường THPT Đoàn Kết - Huyện Tân Phú – Đồng Nai

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:

- Học vị ( hoặc chuyên môn trình độ cao nhất): Cử nhân khoa học

- Năm nhận bằng: 1990

- Chuyên môn đào tạo: Sư phạm Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC:

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán

- Số năm có kinh nghiệm: 33 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 6 năm gần đây: 4

DUYỆT CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Đề tài này tôi đã thực hiện ở năm học 2013 – 2014 , năm học 2014 – 2015

tôi tiếp tục nghiên cứu và bổ sung

Trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường, tôi nhận thấy rằng

mảng kiến thức về phương trình , hệ phương trình nghiêm nguyên, nguyên

dương thật rất đa dạng và không có một phương pháp giải chung nào cho loại toán này và như thế học sinh cũng như người dạy gặp nhiều khó khăn

Nhằm giúp học sinh trong các đội tuyển toán của trường cũng như học sinh yêu thích môn toán của trường giải quyết phần nào khó khăn trên, tôi đã viết chuyên đề “ Kinh nghiệm giải phương trình,hệ phương trình nghiêm

nguyên”

B TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I Cơ sở lý luận

- Toán học là môn khoa học cơ bản , học toán đòi hỏi người học ngoài việc phải

nắm vững các khái niệm, định lý, tính chất còn đòi hỏi phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đó vào các bài toán cụ thể để giải , không thể chỉ đơn thuần

là thuộc

- Trong quá trình học toán và giải toán lại không có phương pháp chung nào để

có thể giải được các bài toán, mỗi bài khác nhau thì có thể vận dụng các phương pháp giải khác nhau

- Phân loại các dạng toán cơ bản , phân tích tìm phương pháp giải để từ đó rút

ra kinh nghiệm giải đồng thời có thể vận dụng các kinh nghiệm , kiến thức đó

để giải các bài toán khác

II Nội dung biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

- Điều kiện học tập chưa tốt, cơ sở vật chất còn hạn chế

- Là một trường ở miền núi nên mặt bằng kiến thức chưa đồng đều giữa các học sinh với nhau, còn nhiều học sinh có hoàn cảnh gia đình khó khăn , các em phải phụ giúp gia đình kiếm từng bữa ăn nên thời gian cho học tập quá ít dẫn đến

học yếu là tất nhiên

2.3 Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện:

- Đối tượng nghiên cứu: Một số bài về phương trình,hệ phương trình nghiệm nguyên, nguyên dương

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán cơ bản

- Thực hiện đề tài trong các giờ chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10,11

1 Phương trình vô định: ax  by   c 0 (1) với a,b,c nguyên

a Định lý: Phương trình (1) có nghiệm nguyên  (a, b) c

b Hệ quả: Nếu (a, b)  1Thì phương trình (1) luôn có nghiệm nguyên

 Ta có thể coi phương trình (1) là phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm một nghiêm riêng nguyên (x ; y )o o Khi đó phương trình (1) có nghiệm nguyên tổng quát o

 Nếu không ta có thể dùng thuật toán Euclide để tìm

Trước tiên tìm nghiệm riêng của phương trình ax  by  1 với (a, b)  1

Viết thuật toán Euclide cho hai số a và b

1

3 Các tính chất chia hết, số nguyên tố, đồng dư;

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CƠ BẢN:

i

i b c x x

a

2 2

m a cx

) 2

bc a a cx

( Giải hệ và tìm nghiệm thích hợp *

b x

x x

a x

x x

a x

x x

a

n n

n n

)

3 (

2 1 1 2 1 3

1 3

2

Do x1 x2   x n  1 Nên

1 1

1 1 1

2   , ,    ,  n

n n n

n n n

n

b x x

b x

a x

x

a x

a x x

a

1 1

) (

.

) (

IN m c

b na x

b na

b na c x

c

b na c c x

b

n n

n n

Tiếp tục các bước như trên để tìm được xn-1 , …, x1

+ Cần chú ý: - Nếu tìm được xn = p thì chỉ cần giả sử x1 x2   x n1  p

- Nếu có bộ nghiệm phân biệt p1 , p2 , …., pn

Thì số nghiệm của PT là n! được hoán vị từ bộ nghiệm trên

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y + z = xyz (1)

Giải: Do x,y,z bình đẳng Ta giả sử x yz 1

( 1 )  1  1  1  1  32 z2  3

z xy

xz

IN

z nên z = 1 + VớI z = 1 thì        

2 1

y

x y

10 2

5 2

5 2

5 2

5 )

2

(        3 t3  t  t  t

t xyzt

xyz xyt

xzt yzt

+ Với t = 1 Ta có 5(x+y+z) + 15 = 2xyz (3)

2

30 1 2

15 2

5 2

5 2

5 )

3

(       2 z2   z  z z z

z xyz

xy xz yz

35 5

5 2

13 5 2 1

5 2

65 5 2

y

x y

x y

x y

x

Vậy có 2 bộ nghiệm ( 13 ; 5 ; 1 ; 1) và ( 9 ; 5 ; 1 ;1 )

Nghiệm của phương trình là các hoán vị của 2 bộ

+ Với z = 2 , 3 Phương trình vô nghiệm

+ Với t =2 Ta có 5( x+ y + t) + 20 = 4xyz ( 4)

4

35 4

35 1 4

20 4

5 4

5 4

5 )

4

(       2 z2   z2 

z xyz

xy xz yz

Do x yt  2 Nên z = 2 Ta có 5( x+y) + 30 = 8xy

53 5 265 ) 5 8 )(

5

8

(    

Vì x yt  2 nên 8x 5  8y 5  11 Vậy PT (5) vô nghiệm

+ Kết luận: có 2 bộ nghiệm ( 13 ; 5 ; 1 ; 1) và ( 9 ; 5 ; 1 ;1 ) Nghiệm là các hoán vị của 2 bộ

Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương lẻ phân biệt của phương trình

315

563 1 1 1 1 1

t z y

z y x

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh

+ Các bước tương tự tìm được z = 5 , y = 7 , x = 9

+ Vậy có bộ nghiệm ( 9 ; 7 ; 5 ; 3 ; 1) Nghiệm là các hoán vị của bộ nghiệm

Ví dụ 4: Một tam giác có số đo của đường cao là những số nguyên và bán kính

đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1 chứng minh tam giác đó là tam giác đều

Khi đó a = b = c Vậy tam giác ABC đều

Ví dụ 5: Tìm hai số nguyên dương x,y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia

hết cho số kia

Ví dụ 6: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương x,y,z sao cho tích của hai trong

ba số thêm 1 thì chia hết cho số thứ 3

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh

Không mất tính tổng quát ta giả sử z  y x 1

(b) thỏa với mọi yz nguyên dương

8 mà m nguyên dương nên m = 1

2

( 2) 53,7

y z yz

y z yz z y

z z

(3 3) 4 (*)

z y

z y

z z

Mà z3 nên (*) khơng xảy ra

Kiểm tra thì thì (x,y,z)=(2,3,7) và hốn vị thỏa đề bài

 Kết luận: Các bộ số (1,1,1),(1,1, 2),(1, 2,3),(2,3,7)và hốn vị của chúng

2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHỜ TÍNH CHẤT CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN

TỐ

Ví dụ 1: Giải phương trình với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 (1)

Hướng dẫn:

Giả sử x, y là các số nguyên thỗ mãn phương trình (1)

Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17y 3; Do đĩ y  3

Vậy phương trình khơng cĩ nghiệm nguyên

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2

– 2y 2 = 5 (2)

Hướng dẫn:

Từ phương trình (2) ta suy ra x phải là số lẻ

Thay x = 2k + 1 (k Z) vào (2), ta được:

– y và z3 – z cũng chia hết cho 3

Từ đĩ ta cĩ : x3

+ y3 + z3 – x – y – z chia hết cho 3

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh

Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x3

+ y3 + z3 – x – y – z 2000 với mọi số nguyên x, y, z; tức là phương trình (3) không có nghiệm nguyên

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy + x – 2y = 3 (4)

Kiểm tra thấy đúng vậy phương trình có nghiệm (x, y) là (1; -2) và (3; 0)

Lưu ý: Bài này có thể dùng phương pháp đưa về tích để đưa về dạng:

(x – 2)(y + 1) = 1

Ví dụ 5: Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên Biết rằng f(1).f(2) = 35 Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên

Hướng dẫn:

Giả sử f(x) có nghiệm nguyên a

Thế thì: f(x) = (x – a).g(x); trong đó g(x) là đa thức có các hệ số nguyên

Suy ra f(1) = (1 – a) g(1) và f(2) = (2 – a).g(2); trong đó g(1), g(2) là các số nguyên

Do đó: f(1).f(2) = (1 – a)(2 – a) g(1).g(2)

Suy ra 35 = (1 – a)(2 – a) g(1).g(2) (*)

Ta thấy (1 – a)(2 – a) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên là số chẵn nên vế phải

là số chẵn, trong khi đó vế trái là số lẻ nên không xảy ra đẳng thức (*)

Tức là đa thức f(x) không có nghiệm nguyên

Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 3

Tìm các nguyên x,y thoả: 3x25y2 255 (*)

Giải : với k,m là các số nguyên

(**) thành 15k29m2 515k23m2 17 (***)

(***) 5 2 17 2 17 1

5

Suy ra các nghiệm (x ;y) là (5 ;6),(5-6),(-5 ;6),(-5 ;-6)

Ví dụ 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2

19x 28y 729(1) Hướng dẫn :

Ta biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tích của các đa thức chứa

ẩn, vế phải là tích của các số nguyên

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy – x – y = 2 (1)

Kiểm tra thấy đúng.Vậy nghiệm nguyên của pt là (4; 2), (0; -2); (2; 4), (-2;0)

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 3

– x 3 = 91 (2)

Hướng dẫn:

(2)(y – x)(y2 + xy + x2) = 91 (*)

Vì y2 + xy + x2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y – x > 0

Mặt khác: 91 = 1.91 = 7.13 và y – x, y2 + xy + x2 đều nguyên dương nên ta có 4 khả năng sau:

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh

Biến đổi pt về dạng: (x + 1)(y + 1) = 10

Khi đó nghiệm ( x;y) l (1, 4); (4, 1); (-3, -6); (-6, -3), (9, 0); (0, 9); (-2; -11); (-11, -2)

Kiểm tra và kết luận

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy = p(x + y) với p là số nguyên tố cho trước

2 = 3 –

2

3y 4

2  0  3 –

2

3y

4  0  -2  y  2 Lần lượt thay y = 2; y = 1; 0 vào phương trình để tính x

Ta có nghiệm nguyên của phương trình là: (-1; -2), (1; 2); (-2; -1); (2; 1),



y nên y > 3 (1) Mặt khác do: x  y  1 nên 1 1

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh

í

ïïî

Giải hệ v kiểm tra

Phương trình đã cho có nghiệm (x;y)là: (2; 3), (3; 2), (-1; -2), (-2; -1)

Ví dụ 2:

Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 2

+ 2y 2 + z 2 – 2xy – 2y + 2z + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ví dụ 3: Giải phương trình trên tập số nguyên Z: x 2 – 6xy + 13y 2 = 100

Thay vào ta tìm được các giá trị của x

6 PHƯƠNG PHÁP XUỐNG THANG:

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2

= 0  5x1

2

– y0 2

= 0  y0  5 Đặt y0 = 5y1 (y1  Z)

çè ø với k nguyên dương bất kỳ, cũng là

nghiệm nguyên của (1): hay x0; y0 đều chia hết cho 5k với mọi k là số nguyên dương tuỳ ý Điều này chỉ xảy ra khi x0 = y0 = 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : x = y = 0

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 3

= 2y 3 + 4z 3

Hướng dẫn:

Từ phương trình đã cho ta suy ra x chẵn, hay x = 2x1 (x1  Z)

Thay vào ta được 4x13

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh

7 Sử dụng liên phân

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1 10

x y z

23

x y z

xyzt xy xt zt yzt y t

xyzt xy xt zt

yzt y t zt

x

yzt y t

t y

- Dựa vào các phép biến đổi tương tương và kết hợp các phương pháp giải

hệ phương trình quen thuộc đã biết

- Kết hợp các phương pháp đã biết về giải phương trình nghiệm nguyên

Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của hệ 3x2y1 (1)

gian Oxyz

Tìm 1 nghiệm riêng nguyên chẳng hạn x1,y 1,z7

Viết về dạng phương trình đường thẳng

Ví dụ 3 : Trên trục hoành hãy tìm tất cả các điểm có toạ độ nguyên mà tại đó ta

dựng được đường thẳng vuông góc với trục Ox và cắt các đường thẳng

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh

Nghiệm tổng quát của 8t111t23 là 1

199

813

81199

Bài tập 3 : Tìm số nguyên tố P để 4p 1 là số chính phương

Bài tập 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh Bài tập 5 :

Chứng minh phương trình x

y + y

z +z

x = b không có nghiệm nguyên dương khi

b = 1 hoặc b = 2 , nhưng có nghiệm nguyên dương khi b =3

Bài tập 6 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Bài tập 8 : Chứng minh rằng nếu P(x) là một đa thức với hệ số nguyên, thêm

vào đó P(0) và P(1) là các số lẻ thì đa thức P(x) không thể có nghiệm nguyên

Đề tài này là một phần trong chuyên đề số học mà tôi đã áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10,11,12 tại trường

Kết quả đạt được là đa số học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi của trường dự thi cấp Tỉnh giải được những bài toán về số học trong đề thi

Qua việc áp dụng đề tài này phần nào giúp các em học tập một cách say

mê hứng thú, chất lượng học tập của học sinh tăng nên rõ rệt Góp phần không nhỏ vào luyện trí thông minh, khả năng tư duy sáng tạo của học sinh

D.KẾT LUẬN:

Các bài tập về phương trình, hệ phương trình nghiệm nguyên, nguyên dương

thường là tương đối khó đối với học sinh bởi vì nó không có phương pháp cụ thể nào cho từng loại mà nó đòi hỏi phải biết phân tích, tổng hợp từ đó mới định ra được hướng giải Nhưng khi giảng dạy xong đề tài thì học sinh phần nào đã định ra được phương pháp giải cho một bài quen thuộc và có hướng giải cho các bài không mẫu mực khác

Để đạt được kết quả tốt thì nhất thiết học sinh phải nắm được một số kiến thức cơ bản của số học như: Số nguyên tố, hợp số, số chính phương, đồng dư, một số định lý về chia hết…cho nên giáo viên có thể kết hợp dạy với chuyên đề

số học

Nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế tôi sẽ từng bước hoàn thiện hơn

Thông qua đề tài này tôi mong hội đồng khoa học và các đồng nghiệp kiểm định và góp ý để đề tài ngày một hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi

Xin chân thành cảm ơn!

Thực hiện đề tài

Đinh Quang Minh

Phương trình, hệ nghiệm nguyên Gv: Đinh Quang Minh

Tài liệu tham khảo:

1 Báo Toán học – Tuổi trẻ : Các năm 2010,2011,2012,2013,2014

2 Phương trình- hệ phương trình không mẫu mực của Nguyễn Đức Tấn và Phan Ngọc Thảo

3 Chuyên đề bồi dưỡng chuyên toán số học của Nguyễn Vũ Thanh

4 Tài liệu bồi dưỡng số học của trường ĐH Quy Nhơn

NAM

Đơn v : THPT Đoàn Kết Độc lập - tự do - hạnh phúc

Tân Phú, ngày 18 tháng 05 năm 2014

PHIẾU NHẬN XÉT,ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cải tiến,đổi mới từ giải pháp đã có

2.Hiệu quả

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao:

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao

-Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

-Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao