Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
26
Dung lượng
1,04 MB
Nội dung
inh Nho Thng Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn I BIN I TNG NG CC V D & PHNG PHP GII A hay B A B A B B A B A B A B A B A B C A B 33 AB A B C A B 33 ABC C (chỳ ý õy ta ch thu c phng trỡnh h qu, nờn cn th nghim) Chỳ ý Khi bỡnh phng hai v ca phng trỡnh ta cn cú iu kin hai v khụng õm cú c phng trỡnh tng ng Baứi Gii cỏc phng trỡnh a) x2 3x 5x2 Gii a) b) x2 x x x 5x x 3x 5x 2 x x x x 2 Vy nghim ca phng trỡnh l: x x x x x2 x x h VN 2x 4x x x 4x 11 Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim b) Baứi Gii cỏc phng trỡnh a) x 2x (1) b) x x 2x (2) Gii x 2x iu kin: x Phng trỡnh (1) x 2x 3x 13 x 2x 25 x x x 2x 12 3x x x0 x 160x x 160 Vy nghim ca phng trỡnh l: x = b) iu kin x (2) x 2x x x x (1 x)(1 2x) x [Type text] Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn inh Nho Thng 1 1 x x (1 x)(1 2x) 2x x0 (1 x)(1 2x) (2x 1)2 x x Baứi Gii cỏc phng trỡnh a) 10 x 3x x x (HB-2008DB) (1) x3 x x2 x x x3 b) (2) Gii (1) 10 x x x x a) iu kin x 10 x x (10 x 1)(2 x 2) x x (9 x 4)(3 x 5) (10 x 1)(2 x 2) (9 x 4)(3x 5) (10 x 1)(2 x 2) (9 x 4)(3 x 5) x 15 x 18 x x Vy PT (1) cú nghim nht x = b) (2) (l ) x3 x x2 x x x3 x x3 x2 x x2 x x3 x Bỡnh phng v ta c: Th li : x 3, x l nghim Baứi Gii phng trỡnh Gii PT x x x x x x x x 1(*) x : (*) x x x x x (nhn) x 10 : (*) x x (ỳng) x 10 : (*) x x x x x 10 (loi) Vy nghim ca PT x 10 Baứi Gii cỏc phng trỡnh sau: a) Gii x 34 x a) x 34 x x 34 x 33 x 34 x b) x 3x x x 34 x x 30 x 34 x 12 x 34 x 123 x2 31x 1830 x 61 Th li: + Nu x = 30 phng trỡnh tha + Nu x = 61 phng trỡnh tha Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l: x 30 x 61 b) x 3x x x 3x x Trang inh Nho Thng Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn x 3x 33 x 3x x 3x x 33 x 3x x 31 x x 3x x x x 3x x x x x x 3x x x 4x x Kim li: + Vi x = thỡ phng trỡnh tha + Vi x = thỡ phng trỡnh vụ nghim Túm li: nghim ca phng trỡnh ó cho l: x = BI TP T LUYN Baứi Gii cỏc phng trỡnh a) x2 x 11 Baứi Gii cỏc phng trỡnh a) 2x x b) x b) x x x x x2 x2 Baứi Gii phng trỡnh sau : x 3x x x Baứi Vi nhng giỏ tr thc no ca x thỡ mi ng thc sau l ỳng? Baứi Gii phng trỡnh x a) x 2x x 2x b) x 2x x 2x c) x 2x x 2x (Vụ ch Toỏn Quc t ln 1, nm 1959) Baứi Gii cỏc phng trỡnh a) x 2x x 2x b) 2x 2x 2x 2x 2x 2x Baứi (H 2002Ddb2) Gii phng trỡnh: x x 2x 12 x2 16 S: x = t t x x 4, t Baứi (H 2005D) Gii phng trỡnh: x x x S: x = Baứi (H 2005Bdb1) Gii phng trỡnh: 3x x 2x S: x = 2; x = Baứi 10 (H 2006D) Gii phng trỡnh: S: x 1; x Baứi 11 (H 2006Bdb1) 2x x2 3x Gii 3x x 4x 3x2 5x S: x = t t 3x x [Type text] phng trỡnh: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn inh Nho Thng II NHN VI DNG LIấN HP CC V D & PHNG PHP GII Mt s phng trỡnh vụ t ta cú th nhm c nghim x0 nh vy phng trỡnh luụn a v c dng tớch x x0 A x ta cú th gii phng trỡnh A x hoc chng minh A x vụ nghim 10 x 3x x x (H 2008B-DB) Gii iu kin x PT 10 x x 3x x Baứi Gii cỏc phng trỡnh 1 ( x 3) x3 3x x 10 x x 1 0, x Do 10 x x 3x x Baứi Gii phng trỡnh: 3x x x 12 x 13 Gii iu kin: x Nhm c nghim x = ta dựng liờn hp: Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2( 3x 2) 3( x 3) x 12 x 6x 15 x hay: x( x 12) 3x 5x x 6x 15 x x( x 12) 15 x 12(*) 3x 5x 3x 5x Vi iu kin x ta cú: VT (*) VP(*) nờn (*) vụ nghim! Phng trỡnh ó cho cú nghim nht x = Baứi Gii phng trỡnh x x Gii KX: x x3 x x x x 1 ( x 3) ( x 2)2 x x x 1 (* ) x ( x 2)2 x Ta cú Trang ( x 2)2 x x3 x inh Nho Thng Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn ( x 2) x 1 0, x x x x2 Suy (*) vụ nghim Vy PT cú nghim nht x Chỳ ý Bi toỏn ny cú th gii bng phng phỏp t n ph hoc ỏnh giỏ x x x x x x x Baứi Gii phng trỡnh sau : Gii: Ta nhn thy : 3x x 3x 3x x v x x 3x x Ta cú th trc cn thc v : x 3x x x x 3x x x 3x D dng nhn thy x = l nghim nht ca phng trỡnh x 12 3x x ( ngh Olympic 30/4) Baứi Gii phng trỡnh sau Gii phng trỡnh cú nghim thỡ : x 12 x x x Ta nhn thy : x=2 l nghim ca phng trỡnh, nh vy phng trỡnh cú th phõn tớch v dng x A x , thc hin c iu ú ta phi nhúm , tỏch nh sau : x2 x2 x x 12 x2 x2 x x x 2 x2 x 12 x 12 3x x 2 D dng chng minh c : Baứi Gii phng trỡnh : x2 x 12 x2 x2 0, x x x x3 Gii: k x Nhn thy x=3 l nghim ca phng trỡnh , nn ta bin i phng trỡnh x x x3 x3 x x x x 3 x2 x3 x Ta chng minh : x3 x x x3 Vy pt cú nghim nht x=3 Baứi (TH&TT) Gii PT x x x Gii iu kin x [Type text] x 2 x 3x x3 Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn PT x6 x 1 x2 ( x 6) inh Nho Thng ( x 6) x ( x 1) ( x 2)( x 2) x 1 1 ( x 2) ( x 2) ( x 6)2 x x x 1 ( x 2) (1) ( x 6) x x 1 (1) ( x 6) x x (2) x 1 Do x nn VT (2) 1 (2) x 1 49 ( x 6) x VP(2) x VT (2) PT cú nghim nht x = Baứi (TH&TT) Gii PT x 22 3x x 22 Gii iu kin x Ta cú x x 22 3x x x2 22 3x x24 22 3x 16 ( x 2) A( x) x2 22 3x 4 Trong ú A( x) x x2 22 x 22 A(x) l hm s ng bin trờn 2; v A(-1) = nờn PT A(x) = cú nghim nht x = -1 Vy PT cho cú nghim x 2, x ( x 2)( x 2) x Baứi (TH&TT ) Gii PT x x Gii PT 3x x x x x2 x2 x 3x x x2 Nhn thy x x x x (3x 4x) x2 5x2 2 x x2 6(1 x ) Do ú PT cú nghim nht x = Chỳ ý Bi toỏn ny cú th gii bng phng phỏp BT 3x x 2 Trang x2 x2 x2 0, x x2 inh Nho Thng Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn BI TP T LUYN Baứi Gii cỏc phng trỡnh x3 a) x 3x b) x x 20 3x 10 S: x S: x c) x2 16 x 18 x2 x S: x d) x2 12 3x x2 S: x 2 x x 3x x x x x 5x 2x 2 x f) x2 Baứi Gii cỏc phng trỡnh 2x 2x x x a) e) S: x S: x 2; x x x 3x x x x x x c) x x b) 3x2 x x2 3x2 5x x2 3x 1 e) x3 x2 x x x x f) x3 3x x 40 x d) g) h) i) x3 x x x 6x x x2 x x x x 3x x x x x III T N PH CC V D & PHNG PHP GII VN 1: t n ph a v phng trỡnh bc hai Phng trỡnh dng ax bx c px qx r vi a b p q Cỏch gii t t px qx r (t 0) PT tr thnh t t T ú tỡm t ri tỡm x Tng quỏt a f ( x) b f ( x) c t t f ( x)(t 0) Baứi Gii PT 3x2 21x 18 x2 x S: x 1; x Baứi Gii PT x2 10 x x2 x 19 S: 2; ; Phng trỡnh dng P( x) Q( x) P( x).Q( x) ( 0) Cỏch gii P( x) Nu P(x) = thỡ Q(x) = v dn n gii h Q( x) [Type text] Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn Nu P ( x) , chia v ca PT cho P ( x ) ta cú PT t t inh Nho Thng Q( x) P( x) P( x) Q( x) P( x) (t 0) , PT tr thnh t t T ú tỡm t ri tỡm x Q( x) Baứi Gii PT 2( x 3x 2) x3 HD: PT 2( x x 4) 2( x 2) ( x 2)( x x 4) 2( x x 4) x2 2x (Do x khụng l nghim ca PT) x2 x2 x2 x (t 0) Kt qu 13 t t x2 Baứi ( ngh Olympic 30/4/2009) Gii phng trỡnh 2( x2 x 1) 7( x 1)2 13( x3 1) x x HD PT 13 x x x x x 1 t t Kq S ;2; x x Baứi ( ngh Olympic 30/4/2007) Gii phng trỡnh 2x2 5x x3 HD PT t t x x x x x x x Kq S x x Baứi Gii phng trỡnh 3x2 2x x3 3x2 4x 30 HD iu kin x3 3x2 4x ( x 1)( x2 2x 2) x PT x2 x x 30 x2 x x x2 x Kq S x 1 x x2 Baứi Gii phng trỡnh x2 3x HD ý x4 x2 ( x2 x 1)( x2 x 1) t t x2 x 1 PT 2 x x t t x2 x x2 x x2 x Kq S x2 x Baứi Gii PT S: x x 3x 2 x2 5x 16 VN 2: t n ph a v h phng trỡnh Trang inh Nho Thng Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn Baứi Gii phng trỡnh: x 25 x3 x 25 x3 30 HD t y 35 x3 x3 y3 35 Khi ú phng trỡnh chuyn v h phng trỡnh sau: xy ( x y ) 30 3 x y 35 c ( x; y) (2;3) (3;2) Tc nghim ca phng trỡnh l x {2;3} Baứi Gii phng trỡnh: x x HD iu kin: x x u t 0u x v , gii h ny ta tỡm 1,0 v 1 u v u v Ta a v h phng trỡnh sau: u v v v Gii phng trỡnh th 2: (v 1)2 v , t ú tỡm v ri thay vo tỡm nghim ca phng trỡnh Baứi Gii phng trỡnh sau: x x HD iu kin: x t a x 1, b x 1(a 0, b 0) thỡ ta a v h phng trỡnh sau: a b (a b)(a b 1) a b a b b a 11 17 Vy x x x x x Baứi Gii phng trỡnh: x x x x Gii iu kin: x t u x , v y u, v 10 (u v)2 10 2uv u v 10 Khi ú ta c h phng trỡnh: 4 2(u z ) (u v) u v uv Baứi Gii phng trỡnh sau: Gii iu kin: x [Type text] 1 x x 2 Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn inh Nho Thng a x a x a3 b2 t: b x b2 x 2 Phng trỡnh ó cho tr thnh h: a3 b2 a3 b2 a3 a a b b a a a3 a2 2a a 0; a 1; a a a 1 x x 2 1 + Vi a x x 2 17 + Vi a x x 2 + Vi a 17 Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l: x ; x 2 Baứi Gii phng trỡnh sau: x2 18 x2 Gii a3 x2 a x t: b3 a3 19 b 18 x b 18 x a b a b Phng trỡnh ó cho tr thnh h: 3 b a 19 b b 19 2b3 15b2 75b 144 b 2b2 9b 48 b y voõnghieọ m 2b 9b 48 phửụng trỡnh naứ + Vi b 18 x2 x Vy phng trỡnh ó cho cú nghim: x Baứi Gii phng trỡnh sau: x x Gii iu kin: x a x a4 x a4 b4 t: b x b x Phng trỡnh ó cho tr thnh h: a4 b4 a2 b2 2a2b2 2a2b2 8ab ab ab a b a b a b a b a x ab b + Vi x a b a b Trang 10 Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn inh Nho Thng 2 4x 4(2x 3x 1) 16x 8x 2x 3x x 4 28 Baứi ( ngh Olympic 30/4/2006) Gii phng trỡnh 8x2 4x x ( x 1) x2 2x x2 HD: t x2 2x , ta cú t ( x 1)t 2( x 1) Kq S 2;1 Baứi Gii phng trỡnh : x x x x t Gii t t x2 , ta cú : t x t 3x t x x2 x 27 x x x x (VN) x x 2 Baứi Gii phng trỡnh : x x x x 2 Gii: t : t x2 x 3, t Khi ú phng trỡnh tr thnh t t x t x t x x2 2x x2 x x x x x (VN ) x2 x x 11 3x x x2 9x Gii.iu kin 11 3x Baứi Gii phng trỡnh a x x (a, b 0) t b 11 3x Ta cú a xb x a x xb x x a (2 x xb) (1) Mt khỏc (2 x xb) ( x x) (4 x x 2b 12 x x 2b xb) ( x x) x (b 4b 3) 3x(1 2b) 10 x (b 1)(b 3) (11 b )(1 2b) 10 (do x 11 b ) x (b 1)(b 3) 2b3 b 22b 21 x (b 1)(b 3) 2b3 b 22b 21 x (b 1)(b 3) (b 1)b 3)(2b 7) (b 1)(b 3)( x 2b 7) (2) 10 x b Chỳ ý x 2b > b T (1) v (2) ta cú b x Trang 12 inh Nho Thng Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn Th li 19 a x2 9x 10 x 19 x xb a x2 9x x x xb 10 Vy PT ó cho cú hai nghim x , x 3 VN 4: Phng phỏp hng s bin thiờn Baứi Gii phng trỡnh x 11 x 11 Gii iu kin x PT 11 x 11 x (11 x) 11 x t a = 11, ta cú (a x) a x a (2 x 1)a x x (2 x 1) a x x a x x Do ú a x x 21 41 x 11 x x x x 10 Thay a = 11, ta cú (tha k) 23 a x x x x 11 x 21 41 23 ;x Vy PT cú nghim x 2 Baứi Gii phng trỡnh x x 12 x 36 Gii KX: x t a =12, phng trỡnh tr thnh: x x a x a a x 1.a x x a 2( x 1) x 1 x x3 12 2( x 1) x x x x 11x 24 12 2( x 1) x x x 13(VN ) Baứi Gii phng trỡnh: x x2 Gii [Type text] Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn inh Nho Thng x x x x2 x 2 x x 2 x x x (1) Xem phng trỡnh trờn l phng trỡnh bc hai theo n l Ta cú: x2 x x4 x2 x x x x hai nghim ca (1) l: x2 x 2 2x 2x x x (2) 2x 2x x x (3) Phng trỡnh x 17 x 21 Kim iu kin ta c nghim ca phng trỡnh ó cho l: 1 x 17 x 21 2 VN 5: t n ph a v h PT i xng loi hoc gn i xng Baứi Gii phng trỡnh: x x x Gii iu kin x t y x ta c h phng trỡnh sau: (2 x 3) y ( x y )( x y 1) (2 y 3) x Vi x y x x x Vi x y y x x Kt lun: Nghim ca phng trỡnh l {1 2; 3} Baứi Gii phng trỡnh x x 1000 8000 x 1000 x x 2000 y (*) HD: t 8000x = y , ta cú y y 2000 x T (*) suy ( x y )( x y 1999) v x y 1999 Suy x y , ta c nghim x 2001 , loại x ) Baứi Gii phng trỡnh x3 3x 3 3x 3x ( x 1)3 y 3x = y + 1, ta cú ( y 1) 3x Tr v theo v hai PT ta c ( x 1)3 ( y 1)3 3( x y ) ( x y ) ( x 1) ( x 1)( y 1) ( y 1) Gii t x y ( x 1) ( x 1)( y 1) ( y 1) T ú ta cú nghim x = 1; x = -2 Trang 14 inh Nho Thng Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn Baứi Gii phng trỡnh: x 13x x Gii iu kin: x , t 3 x (2 y 3), ( y ) (2 x 3) y x Ta cú h phng trỡnh sau: (2 y 3) x 15 97 Vi x y x 11 73 Vi x y x ( x y )(2 x y 5) 15 97 11 73 Kt lun: nghim ca phng trỡnh l: ; 8 BI TP T LUYN Baứi Gii cỏc PT sau bng cỏch t n ph a) x x b) x x2 x x2 1 c) x x x 2 d) x 1 x x x e) ( x 1)( x 3) 2( x 1) g) x3 x x x x 8x2 10 x 16 h) 8x2 18x 3 x2 x i) 3x x x x k) 3x 3x 3x 3x 3x x 2x x 2x 2 x x2 x x n) m) x x 3x 2 x2 5x 16 p) x x 10 x Baứi Gii PT x 12 x 3x o) x3 2001 Baứi Gii PT 4004 2001 2002 Baứi Gii PT 81x x x x [Type text] Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn inh Nho Thng IV A V DNG TCH CC V D & PHNG PHP GII Vi phng phỏp ny ta cn chỳ ý u v uv (u 1)(v 1) au bv ab uv (u b)(v a ) Baứi Gii phng trỡnh : Gii pt x x x 3x x x 1 x x Baứi Gii phng trỡnh : x x2 x x2 x Gii + x , khng phi l nghim ta x 0, + x x x x x x chia hai v cho x: x x x x x x x2 x Gii iu kin x Baứi Gii phng trỡnh: PT x 2x x x 1 x Baứi (H 2006Ddb2) Gii phng trỡnh: x x x x 8x S: x = 5, x = a v PT tớch x x x BI TP T LUYN Baứi Gii cỏc phng trỡnh a) x x x3 x b) x 2x x 2x x2 4x c) 3 x ( x 2) x 3 x( x 2) Baứi Gii cỏc phng trỡnh a) x 3x x x 2 x b) x x 3x x x x x V TNG BèNH PHNG CC V D & PHNG PHP GII Vi phng phỏp ny ta thng bin i phng trỡnh v dng A2 B2 Khi ú ta cú A B Trang 16 inh Nho Thng Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn hoc Ak B k 3x x 21x 22 Baứi Gii phng trỡnh Gii 81 x 18 x 4 3x x 2 3x x 3x x 3x x 2 x x 21x 22 (3 x 2) x 3x x 19 73 23 97 ỏp s S ; 8 Baứi ( ngh Olympic 30/4/2006) Gii phng trỡnh 2 x4 2006x3 1006009x2 x 2x 2007 1004 2x 2007 S 1003 HD: PT x2 ( x 1003)2 Baứi (TH&TT) 3x 4x2 21x 22 2 19 73 23 97 ;x HD PT 3x 2x x 8 Baứi Gii phng trỡnh x 12 HD iu kin x PT ó cho tng ng 5x x x x 5x 5x 5x x 5x x 5x x 5x x 5x x x Baứi Gii phng trỡnh : x3 Gii k: x 4x x x3 Chia c hai v cho Baứi Gii phng trỡnh 4x 4x 4x x : x x3 x3 x3 16 x 1996 10 ( x 1996 y 2008) y 2008 HD: Ta cú phng trỡnh ó cho tng ng 2 4 x 1996 y 2008 x 1996 y 2008 T ú ta cú nghim ca PT l ( x; y ) (2012; 2009) Baứi Gii phng trỡnh x y y x xy [Type text] Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn inh Nho Thng HD iu kin x 1; y Ta cú x y y x y ( x x 1) x( y y 1) xy 2 x( y 1) xy 2 x 1; y Khi ú PT ó cho tng ng vi 2 y ( x 1) x ( y 1) y ( x 1) T ú ta cú nghim ( x; y ) (2; 2) BI TP T LUYN Baứi Gii phng trỡnh x x x Baứi Gii cỏc phng trỡnh 3 x x x 3 3x x Baứi Gii cỏc phng trỡnh 3x x 3x VI PHNG PHP NH GI f ( x) M f ( x) M Gi s Khi ú f ( x) g ( x) g ( x) M max g ( x) M Cn s dng thnh tho cỏc BT Cauchy, B.C.S Baứi Gii PT x x x p dng BT Cauchy ta cú 2 x x 3 x (1 x ) x (1) x x x x 4 x12 x 3x x x (2) 2 Cng (1) v (2), bin i c x x x Du ng thc xy x = Baứi (TH&TH) Gii phng trỡnh x (1) x Gii iu kin x p dng BT Cauchy cho s dng v chỳ ý ( 1)3 VT (1) 7 4( x 1) 3 4( x 1) 3 3( 1) VP(1) 4( x 1) 4( x 1) 4( x 1) ng thc xy v ch 4( x 1) x (tha iu kin) 4( x 1) Baứi Gii PT 13 x2 x4 x2 x4 16 Gii iu kin x Trang 18 inh Nho Thng Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn BPT x 13 x2 x 256 (*) Ap dng BT BCS, ta cú 13 13 x2 3 x2 (13 27)(13 13 x2 x2 ) 40(16 10 x2 ) 16 Ap dng BT Cauchy 10 x (16 10 x ) 64 Vy VT(*) 256 Do ú x2 x2 x2 x (* ) 10 x x 20 x 16 10 x2 16 10 x2 Kt lun: x l cỏc nghim ca PT ng thc xy Baứi Gii phng trỡnh: 2 x1 : x1 x x (tha iu kin) x1 x x 2( x 3)2 2x (1) Gii iu kin: x p dng bt ng thc Bunhiakopxky, ta cú: x1 x3 x x x1 x x x Do ú du = xy x1 x3 x x x5 2 x x x x 10 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x = Baứi Gii bt phng trỡnh: x x x x 2 Gii x x x x iu kin: Theo BT Cauchy: x x Theo bt ng thc Bunhiakopxky x x2 x2 x2 x2 x2 2 x x x2 x4 x x2 x2 x2 x Do ú du ng thc xy x 2 x x x x [Type text] (1) Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn inh Nho Thng Vy nghim ca phng trỡnh l: x 2 x2 2 x2 Gii iu kin: x x Theo bt ng thc Bunhiakopxky ta cú: Baứi Gii phng trỡnh: x2 2 x2 x (1) x2 2 x2 x2 Suy ra: du = xy x2 2 x2 x2 2 x2 x2 x2 3x2 Phng trỡnh ny vụ nghim Do ú phng trỡnh ó cho vụ nghim Baứi Gii phng trỡnh x x Gii iu kin x x x x VT (1) VP(1) Nu x x x x x VT (1) VP(1) Nu x x Mt khỏc, th x vo PT ta thy ỳng nờn PT cú nghim nht x BI TP T LUYN Baứi Gii cỏc phng trỡnh x x x2 6x 11 a) b) b) 3x2 6x 5x2 10x 14 2x x2 VII PHNG PHP HM S CC V D & PHNG PHP GII i vi phng phỏp ny cn chn hm s thớch hp, ri s dng tớnh n iu ca hm s Cho hm s y f ( x) ng bin (hay nghch bin) trờn khong D Khi ú f (u) f (v) u v, u, v D Baứi Gii phng trỡnh Gii t x3 x x x x y x2 9x , x x x y y y x x x x y Trang 20 ta cú h : inh Nho Thng Xột hm Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn s f t t t , : l hm n iu tng T phng x f y f x y x x x x x 2 Baứi ( ngh Olympic 30/4/2006) Gii phng trỡnh 6x 8x3 4x HD: PT 6x 6x (2x)3 2x , xột f (t ) t t ng bin trờn Ă Kq S cos ; cos ; cos 9 8y3 6x 6x 2y 8x 4x 2y Baứi (HSG Tp HCM 2004-2005) Gii phng trỡnh Cỏch khỏc: t x3 4x2 5x 7x2 9x x3 4x2 5x y (1) HD: t y 7x2 9x , ta cú h (2) 7x x y Cng (1) v (2) v theo v ta cú x3 3x2 4x y3 y ( x 1)3 ( y 1) y3 y Xột hm s f (t ) t t ng bin trờn Ă Kq S 5; Baứi ( ngh Olympic 30/4/2009) Gii phng trỡnh x3 6x2 12x x3 9x2 19x 11 y3 x3 9x2 19x 11 (1) HD: t y x3 9x2 19x 11 , ta cú h (2) y x 6x 12x Nhõn v PT (2) vi v cng v theo v vi (1) ta cú y3 2y ( x 1)3 2( x 1) Xột hm s f (t ) t 2t Kq S 1; 2;3 Baứi Gii phng trỡnh 2x3 7x2 5x 2(3x 1) 3x 2x3 7x2 5x 2y3 (1) HD: t y 3x ( y 0) , ta cú h (2) 3x y Cng (1) v (2) v theo v ta cú 2( x 1)3 ( x 1)2 2y3 y2 Xột hm s f (t ) 2t t , t [0; ) Kq S 0;1 Baứi Gii phng trỡnh (2x 3) 4x2 12x 11 3x 9x2 5x HD: PT (2x 3) 4x2 12x 11 3x 9x2 [Type text] trỡnh Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn inh Nho Thng (2x 3) (2x 3)2 3x (3x)2 Xột hm s f (t ) t (1 t 2) x x Gii iu kin x Baứi Gii phng trỡnh f ( x) x x Ly x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ng bin trờn (1; ) v cú f (3) nờn PT cú nghim nht x BI TP T LUYN Baứi Gii cỏc phng trỡnh a) x x x 3x 25 b) x5 x3 3x c) Baứi Gii phng trỡnh : x x x2 x x2 x x 3x x VIII PHNG PHP LNG GIC Nu x a, a thỡ cú th t x a sin t , t ; hoc x a cost , t 0; 2 a , t ; \ {0} hoc x a cost , Nu x a, a thỡ cú th t x sin t 2 t 0; \ Nu x bt kỡ thỡ cú th t x tan t , t ; 2 1 x Baứi Gii phng trỡnh sau: iu kin: x t: x cost; t sin t Phng trỡnh (1) tr thnh: x x2 x (1) 3 Gii cos t 3 t t sin t sin t cos3 sin3 2 3 cos2 t cost cost t t t t t t sin t 2 cos sin cos sin sin cos 2 2 2 1 sin t cost cost x 6 Trang 22 inh Nho Thng Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn Vy phng trỡnh ó cho cú nghim nht: x Baứi ( ngh Olympic 30/4) Gii phng trỡnh HD: t x cost, t [0; ] Baứi Gii phng trỡnh 4x3 3x x2 4x3 12x2 9x 2x x2 HD: t x cost, t [0; ] Baứi Gii phng trỡnh x3 3x x HD: iu kin x Nu x x3 3x x x( x2 4) x 2x x x x x khụng tha 4 Vy ch cn xột x t x 2cost, t [0; ] Kq S 2;2cos ;2cos x Baứi Gii phng trỡnh x 4x x HD: iu kin t x cost , t [0; ] \ ; 3 x Kq S cos ; cos ; cos 8 Baứi Gii phng trỡnh x2 x 16x 12x2 x HD: iu kin 16 x 12 x t x cost, t [0; ]; 16cos4 t 12x cos2 t Vi chỳ ý cos5 16sin5 20sin3 5sin , ta cú PT sin5t cost Kq S cos ; cos ; cos 8 Baứi Gii PT 3x x3 3x x Gii PT 3x 3x ( x 1)3 x Xột f (t ) t t l hm s ng bin nờn ta cú 3x x ( x 1)3 3( x 1) Xột trng hp x Khi ú tn ti nht [0; ] cho x cos Suy ( x 1)3 3( x 1) 2(4cos3 3cos ) 2cos3 1; x cos T ú ta tỡm c cỏc nghim x cos 1; x cos 9 Baứi Gii phng trỡnh 1 x2 x x2 i , , a PT v 8sin3 6sin HD: t x sin , vụự 2 2 [Type text] Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn 2sin inh Nho Thng ? x 1, x 2 BI TP T LUYN Baứi Gii cỏc phng trỡnh a) c) 1 35 x x 12 b) x x2 x x2 2x 2x 2x 2x Baứi Gii cỏc phng trỡnh a) x 1 x2 x x2 35 12 d) x3 3x x2 e) x x c) x3 3x 3x e) x2 b) x 3x x2 d) x x 16x 12x2 Trang 24 x ( x 1)2 2x x(1 x ) inh Nho Thng Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn TI LIU THAM KHO Mt s phng phỏp gii PT v BPT (Nguyn Vn Mu) Cỏc chuyờn chuyờn Toỏn bi dng HSG THPT (K yu hi ngh khoa hc) Tp Toỏn hc & Tui tr Cỏc ti liu t internet [Type text] Mt s phng phỏp gii phng trỡnh cha cn inh Nho Thng MC LC Trang Phng phỏp bin i tng ng Nhõn vi dng liờn hp t n ph a v dng tớch 15 Tng bỡnh phng 16 Phng phỏp ỏnh giỏ 18 Phng phỏp hm s 20 Phng phỏp lng giỏc 22 Ti liu tham kho 24 Trang 26 [...]...Đinh Nho Thắng Một số phương pháp giải phương trình chứa căn ab 4 + Với a, b là nghiệm của phương trình: a b 2 x2 2x 4 0 (phương trình này vô nghiệm) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 2 x 6 x 2 x 1 3 Giải ĐKXĐ: x 1 3 Đặt a x 2 (b 0) , ta có hệ phương trình b x 1 Baøi 8 Giải phương trình 3 a b 3 b 3 a b ... 1 b) x 3 x 2 3x 3 2 x x 2 3 2 x 2 2 x V TỔNG BÌNH PHƯƠNG CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI Với phương pháp này ta thường biến đổi phương trình về dạng A2 B2 0 Khi đó ta có A B 0 Trang 16 Đinh Nho Thắng Một số phương pháp giải phương trình chứa căn hoặc Ak B k 3x 2 4 x 2 21x 22 Baøi 1 Giải phương trình Giải 1 81 4 x 2 18 x 4 4 1 9 3x 2 2 x 2 2 3x 2... 0 cost x 6 6 Trang 22 Đinh Nho Thắng Một số phương pháp giải phương trình chứa căn 1 6 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x Baøi 2 (Đề nghị Olympic 30/4) Giải phương trình HD: Đặt x cost, t [0; ] Baøi 3 Giải phương trình 4x3 3x 1 x2 4x3 12x2 9x 1 2x x2 HD: Đặt x 1 cost, t [0; ] Baøi 4 Giải phương trình x3 3x x 2 HD: Điều kiện x 2 Nếu x... Giải PT 9 x 2 12 x 2 3x 8 o) 3 8 x3 2001 Baøi 3 Giải PT 4004 2001 2002 4 3 2 Baøi 4 Giải PT 3 81x 8 x 2 x x 2 3 [Type text] Một số phương pháp giải phương trình chứa căn Đinh Nho Thắng IV ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI Với phương pháp này ta cần chú ý u v uv 1 (u 1)(v 1) 0 au bv ab uv (u b)(v a ) 0 Baøi 1 Giải phương trình. .. Các tài liệu từ internet [Type text] Một số phương pháp giải phương trình chứa căn Đinh Nho Thắng MỤC LỤC Trang 1 Phương pháp biến đổi tương đương 1 2 Nhân với dạng liên hợp 4 3 Đặt ẩn phụ 7 4 Đưa về dạng tích 15 5 Tổng bình phương 16 6 Phương pháp đánh giá 18 7 Phương pháp hàm số 20 8 Phương pháp lượng giác 22 9 Tài liệu... LUYỆN Baøi 1 Giải các phương trình x 2 4 x x2 6x 11 a) b) b) 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 VII PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI Đối với phương pháp này cần chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số Cho hàm số y f ( x) đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng D Khi đó f (u) f (v) u v, u, v D Baøi 1 Giải phương trình Giải Đặt x3... text] trình Một số phương pháp giải phương trình chứa căn Đinh Nho Thắng (2x 3) 1 (2x 3)2 2 3x (3x)2 2 Xét hàm số f (t ) t (1 t 2 2) x 2 x 1 3 Giải Điều kiện x 1 Baøi 7 Giải phương trình 3 f ( x) 3 x 2 x 1 Lấy 1 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f đồng biến trên (1; ) và có f (3) 3 nên PT có nghiệm duy nhất x 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Baøi 1 Giải các phương. .. b 3 x 2 3 Trang 12 Đinh Nho Thắng Một số phương pháp giải phương trình chứa căn Thử lại 19 a x2 9x 1 10 3 x 19 3 2 x 3 xb 3 7 a x2 9x 1 2 3 x 7 3 2 x 3 xb 3 10 2 Vậy PT đã cho có hai nghiệm x , x 3 3 VẤN ĐỀ 4: Phương pháp hằng số biến thiên Baøi 1 Giải phương trình x 11 x 11 Giải Điều kiện 0 x 8 PT 11 x 11 x... y 1) ( y 1) 2 3 0 Giải Đặt 3 x y do ( x 1) 2 ( x 1)( y 1) ( y 1) 2 3 0 Từ đó ta có nghiệm x = 1; x = -2 Trang 14 Đinh Nho Thắng Một số phương pháp giải phương trình chứa căn Baøi 4 Giải phương trình: 4 x 5 13x 3 x 1 0 2 1 3 Giải Điều kiện: x , Đặt 3 3 x 1 (2 y 3), ( y ) 2 (2 x 3) 2 2 y x 1 Ta có hệ phương trình sau: (2 y 3) 3 x... Baøi 8 Giải phương trình 1 1 x2 x 1 2 1 x2 i , , đưa PT về 8sin3 6sin 2 HD: Đặt x sin , vôù 2 2 2 2 [Type text] Một số phương pháp giải phương trình chứa căn 2sin Đinh Nho Thắng 1 3 2 ? x 1, x 2 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Baøi 1 Giải các phương trình a) c) 1 1 35 x 1 x 2 12 b) x 1 1 x2 x 1 2 1 x2 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x Baøi 2 Giải