SKKN Kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Chương 3, Đại số 10CBSKKN Kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Chương 3, Đại số 10CBSKKN Kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Chương 3, Đại số 10CBSKKN Kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Chương 3, Đại số 10CBSKKN Kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Chương 3, Đại số 10CBSKKN Kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Chương 3, Đại số 10CBSKKN Kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Chương 3, Đại số 10CBSKKN Kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Chương 3, Đại số 10CBSKKN Kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Chương 3, Đại số 10CBSKKN Kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Chương 3, Đại số 10CB
MỤC LỤC - PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU PHẠM VI NGHIÊN CỨU NHIỆM VỤ YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Trang1 Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trang Chương Chương Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI MỘT SỐ GIẢI PHÁP Giải pháp Giải pháp Giải pháp PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang Trang Trang Trang Trang 11 Trang12 Trang 16 Trang 17 Trang 17 Trang 17 PHẦN I: MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Năm học 2016-2017, phân công trực tiếp giảng dạy lớp 10CB Đa số học sinh năm kiến thức Tốn học chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TỐN Trang - Trong chương trình tốn THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu tiếp cận với vài cách giải thông thường toán đơn giản Tuy nhiên thực tế tốn giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, em gặp lớp toán phương trình mà có số em biết phương pháp giải trình bày lủng củng chưa gọn gàng, chí mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Tại lại vậy? - Lý là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hành trình bày phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) hạn hẹp có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải rườm rà khó hiểu dễ mắc sai lầm, phần tập đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên đưa đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi tốn học nhanh nhẹn thục II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10CB trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tơi tổng hợp, khai thác hệ thống hố lại kiến thức thành chuyên đề: “ Kỹ giải phương trình chứa chứa ẩn dấu căn: Chương 3, Đại số 10CB’’ - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ phát đâu điều kiện cần đủ Học sinh thông hiểu trình bày tốn trình tự, logic, không mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải lớp tốn giải phương trình chứa chứa ẩn dấu III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Phương trình chứa ẩn dấu GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang IV/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU : - Nội dung phần phương trình chứa ẩn dấu số toán bản, nâng cao nằm chương trình đại số 10 - Một số giải phương trình chứa ẩn dấu đề thi Đại học, Cao đẳng - TCCN V/ NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI: - Xuất phát từ lý chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp tốn giải phương trình vô tỉ từ phức tạp đưa dạng đơn giản, giải cách dễ dàng Muốn người giáo viên phải hướng cho học sinh biết dạng toán phân biệt điều kiện điều kiện cần đủ phương trình, ta có phép biến đổi tương đương, ta có phép biến đổi hệ lưu ý đến việc loại bỏ nghiệm ngoại lai phương trình - Yêu cầu sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng khơng rườm rà lơgíc phù hợp với trường THPT vùng cao, có sáng tạo đổi Giới thiệu dạng phương trình bản, đưa giải pháp số ví dụ minh hoạ - Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh khối 10 hệ THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy giảng dạy mơn Tốn -Trong đề tài đưa giải số dạng toán thường gặp tương ứng tập tự luyện Sau toán tác giả có nhận xét bình luận khắc phục sai lầm giúp bạn đọc chọn cho phương pháp giải tối ưu nhất, để có lời giải gọn gàng logic VI/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 10 năm học trước năm học 2015-2016 VII/ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy khối lớp 10 trường THPT Lê Thế Hiếu từ năm học trước năm học 2015-2016 PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI CHƯƠNG 1: CỞ SỞ LÝ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt mơn tốn học cần thiết khơng thể thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f ( x ) = g(x) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f(x) ≥ Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu căn, có nhiều tốn đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN tơi hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường gặp số toán vận dụng biến đổi số dạng tốn khơng mẫu mực (dạng không tường minh) nâng cao * Dạng 1: phương trình Phương trình điều kiện (1) f ( x ) = g(x) (1) g ( x ) ≥ ⇔ f ( x ) = g ( x ) gx) ≥ điều kiện cần đủ phương trình (1) sau giải phương trình f(x) = g2(x) cần so sánh nghiệm vừa nhận với điều kiện gx) ≥ để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm * Dạng 2: phương trình Phương trình (2) f( x) = g( x ) (2) f ( x ) ≥ ⇔ f ( x ) = g ( x ) Điều kiện f(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình (2) Chú ý không thiết phải đặt điều kiện đồng thời f(x) g(x) khơng âm f(x) = g(x) *Dạng tốn khơng mẫu mực: Loại thực qua ví dụ cụ thể CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Học sinh trường THPT Lê Thế Hiếu ban đa số nhận thức chậm, chưa hệ thống kiến thức toán học Khi gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi,trong phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số 10 khơng nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua khơng giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần Khi giảng dạy cho học sinh nhận thấy: Khi gặp tốn: Giải phương trình 2x − = x - (1) Sách giáo khoa đại số 10 giải sau điều kiện pt(1) x ≥ (*) (1) ⇒ 2x - = x2 - 4x + ⇒ x2 - 6x + = Phương trình cuối có nghiệm x = + x = - Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x = - bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) x = + Mặt khác, số học sinh có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x ≥ x = - (*) để lấy nghiệm nghiệm phương trình x = + Theo cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x ≥ điều kiện cần đủ 2 Khi gặp toán: Giải phương trình 5x2 + x − = GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN x+3 Trang 5 x + x − ≥ Học sinh thường đặt điều kiện x + ≥ sau bình phương hai vế để giải phương trình Điều ý học sinh tìm cách để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x + ≥ điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Khi gặp tốn: Giải phương trình (x + 4) x − = Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: x + = x = −4 ⇔ x = x-2 =0 (x + 4) x − = Nhận xét: Đây toán đơn giản giải mắc sai lầm mà khơng đáng có Rõ ràng x = - khơng phải nghiệm phương trình B ≥ Chú ý rằng: A B = ⇔ A = B = bị bỏ qua điều kiện là: B ≥ (x ≥ 2) Khi gặp toán: Giải phương trình x − 12 x + 11 = 4x2 - 12x + 15 Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thơng Khi gặp tốn: Giải phương trình ( x + 5) x−2 = x+2 x+5 Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: ( x + 5) x−2 = x+2 ⇔ x+5 ( x + 5) ( x − 2) = x + x + ≥ x ≥ −2 ⇔ ⇔ 2 x + 3x − 10 = x + x + ( x + 5)( x − 2) = ( x + 2) GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang x ≥ −2 x ≥ −2 ⇔ ⇔ 3 x − x = + 10 x = −14 Vậy phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét: Rõ ràng x = -14 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vơ nghiệm Cần ý rằng: B A AB A ≥ 0; B > = B − AB A < 0; B < Lời giải xét thiếu trường hợp A < 0; B < Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải tốn phương trình vơ tỉ CHƯƠNG III: MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh với giải pháp: Đưa số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi giải phương trình chứa ẩn dấu 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x ) = g(x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương hai vế phải không âm pt g ( x ) ≥ f ( x ) = g(x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) Điều kiện gx) ≥ điều kiện cần đủ f(x) = g2(x) ≥ Khơng cần đặt thêm điều kiện fx) ≥ b, Các ví dụ: GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang + Ví dụ 1: Giải phương trình 3x − = x - (1) Điều kiện x ≥ (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 3x - ≥ 0) Khi pt(1) ⇔ 3x - = (x - 3)2 ⇔ x2 - 6x + = 3x - ⇔ x2 - 9x + 13 = + 29 x = ⇔ − 29 x = đối chiếu với điều kiện (*) ta thu nghiệm phương trình (1) x = + 29 Lưu ý: không cần phải thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x ≥ (*) để lấy nghiệm + Ví dụ 2: Giải phương trình 3x − x − = 3x = (2) Nhận xét : Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 3x - 2x -1 ≥ thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Ta giải sau: Điều kiện: x ≥ - (**) Khi pt(2) ⇔ 3x2 - 2x - = (3x + 1)2 ⇔ 3x2 - 2x - = 9x2 + 6x + x = −1 ⇔ 3x + 4x + = ⇔ x = − đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm pt(2) x = GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TỐN Trang + Ví dụ 3: Giải phương trình x − 12 x + 11 = 4x2 - 12x + 15 (3) Nhận xét: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, ta bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó giải Ta giải tốn sau: Chưa vội đặt điều kiện bước giả này.ta biến đổi pt(3) ⇔ 4x2 - 12x + 11 - x − 12 x + 11 + = Đặt x − 12 x + 11 = t ; đk t ≥ , (***) Phương trình trở thành: t2 - 5t + = t = ⇔ t = (thoả mãn điều kiện (***) ) Với t = ⇔ x − 12 x + 11 = ⇔ 4x2 - 12x + 10 = phương trình vô nghiệm Với t = ⇔ x − 12 x + 11 = ⇔ 4x2 - 12x - = + 56 x = ⇔ − 56 x = Vậy nghiệm phương trình là: x = + 56 V x= − 56 *Như gặp toán thuộc dạng nêu học sinh chủ động cách đặt vấn đề giải : điều kiện phương trình gì? đặt ? biến đổi biến đổi tương đương ? biến đổi biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối dựa vào điều kiện nào? 2/ Giải pháp * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f( x ) = g( x ) (2) a Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 10 chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi,trong phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua khơng giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần Khi giảng dạy cho học sinh nhận thấy: Khi gặp tốn: Giải phương trình 2x − = x - (1) Sách giáo khoa đại số 10 giải sau điều kiện pt(1) x ≥ (*) (1) ⇒ 2x - = x2 - 4x + ⇒ x2 - 6x + = Phương trình cuối có nghiệm x = + x = - Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x = - bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) x = + Mặt khác, số học sinh có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x ≥ x = - (*) để lấy nghiệm nghiệm phương trình x = + Theo cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x ≥ điều kiện cần đủ 2 Khi gặp tốn: Giải phương trình 5x2 + x − = GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN x+3 Trang 25 5 x + x − ≥ Học sinh thường đặt điều kiện x + ≥ sau bình phương hai vế để giải phương trình Điều ý học sinh tìm cách để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x + ≥ điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Khi gặp toán: Giải phương trình (x + 4) x − = Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: x + = x = −4 ⇔ x = x-2 =0 (x + 4) x − = Nhận xét: Đây toán đơn giản giải mắc sai lầm mà khơng đáng có Rõ ràng x = - khơng phải nghiệm phương trình B ≥ Chú ý rằng: A B = ⇔ A = B = bị bỏ qua điều kiện là: B ≥ (x ≥ 2) Khi gặp tốn: Giải phương trình x − 12 x + 11 = 4x2 - 12x + 15 Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thông Khi gặp tốn: Giải phương trình ( x + 5) x−2 = x+2 x+5 Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: ( x + 5) x−2 = x+2 ⇔ x+5 ( x + 5) ( x − 2) = x + x + ≥ x ≥ −2 ⇔ ⇔ 2 x + 3x − 10 = x + x + ( x + 5)( x − 2) = ( x + 2) GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 26 x ≥ −2 x ≥ −2 ⇔ ⇔ 3 x − x = + 10 x = −14 Vậy phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét: Rõ ràng x = -14 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vô nghiệm Cần ý rằng: B A AB A ≥ 0; B > = B − AB A < 0; B < Lời giải xét thiếu trường hợp A < 0; B < Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải toán phương trình vơ tỉ CHƯƠNG III: MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh với giải pháp: Đưa số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi giải phương trình chứa ẩn dấu 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x ) = g(x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương hai vế phải khơng âm pt g ( x ) ≥ f ( x ) = g(x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) Điều kiện gx) ≥ điều kiện cần đủ f(x) = g2(x) ≥ Không cần đặt thêm điều kiện fx) ≥ b, Các ví dụ: GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TỐN Trang 27 + Ví dụ 1: Giải phương trình 3x − = x - (1) Điều kiện x ≥ (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 3x - ≥ 0) Khi pt(1) ⇔ 3x - = (x - 3)2 ⇔ x2 - 6x + = 3x - ⇔ x2 - 9x + 13 = + 29 x = ⇔ − 29 x = đối chiếu với điều kiện (*) ta thu nghiệm phương trình (1) x = + 29 Lưu ý: không cần phải thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x ≥ (*) để lấy nghiệm + Ví dụ 2: Giải phương trình 3x − x − = 3x = (2) Nhận xét : Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 3x - 2x -1 ≥ thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Ta giải sau: Điều kiện: x ≥ - (**) Khi pt(2) ⇔ 3x2 - 2x - = (3x + 1)2 ⇔ 3x2 - 2x - = 9x2 + 6x + x = −1 ⇔ 3x + 4x + = ⇔ x = − đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm pt(2) x = GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 28 + Ví dụ 3: Giải phương trình x − 12 x + 11 = 4x2 - 12x + 15 (3) Nhận xét: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, ta bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó giải Ta giải tốn sau: Chưa vội đặt điều kiện bước giả này.ta biến đổi pt(3) ⇔ 4x2 - 12x + 11 - x − 12 x + 11 + = Đặt x − 12 x + 11 = t ; đk t ≥ , (***) Phương trình trở thành: t2 - 5t + = t = ⇔ t = (thoả mãn điều kiện (***) ) Với t = ⇔ x − 12 x + 11 = ⇔ 4x2 - 12x + 10 = phương trình vơ nghiệm Với t = ⇔ x − 12 x + 11 = ⇔ 4x2 - 12x - = + 56 x = ⇔ − 56 x = Vậy nghiệm phương trình là: x = + 56 V x= − 56 *Như gặp toán thuộc dạng nêu học sinh chủ động cách đặt vấn đề giải : điều kiện phương trình gì? đặt ? biến đổi biến đổi tương đương ? biến đổi biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối dựa vào điều kiện nào? 2/ Giải pháp * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f( x ) = g( x ) (2) a Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 29 f ( x ) ≥ 0( g ( x ) ≥ 0) pt(2) ⇔ f ( x ) = g ( x ) Chú ý: Không cần đặt đồng thời g(x) ≥ f(x) ≥ f(x) = g(x) b Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình −3 x + = Điều kiện x ≥ − 2x +1 , (1) , (*) pt(1) ⇔ -3x + = 2x + ⇔ 5x = ⇔ x = (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm phương trình x = Lưu ý: Điều kiện x ≥ − , (*) điều kiện cần đủ phương trình (1) nên ta cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối phương trình + Ví dụ 2: Giải phương trình x + 3x − = x + , (2) Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm ĐK: x ≥ - , (*) pt(2) ⇔ 2x2 + 3x - = 7x +2 x = −1 ⇔ 2x2 - 4x - = ⇔ x = Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm phương trình x = + Ví dụ 3: Giải phương trình x + = x − (*) Tóm tắt giải (*) ⇔ 2x + = x − ≥ x−2 ⇔ 2 x + = x − x ≥ ⇔ x = −7 GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TỐN Trang 30 Vậy phương trình cho vơ nghiệm 3/ Giải pháp : Hướng dẫn học sinh giải số phương trình khơng mẫu mực (Phương trình khơng tường minh) + Ví dụ 1: Giải phương trình x + + x + - x + = (1) Điều kiện phương trình x ≥ -1 , (*) Nhận xét: Biểu thức dấu x + + x + có dạng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi sau pt(1) ⇔ ( x + + 1) - x + = ⇔ x + +2 ⇔ x +1 = x + = ⇔ x + = ⇔ x = (thoả mãn điều kiện (*) ) Vậy, nghiệm phương trình x = + Ví dụ2: Giải phương trình 3x + - x +1 = 3 x + ≥ Điều kiện x +1 ≥ (2) x ≥ − ⇔ ⇔ x ≥ −1 (**) x ≥ −1 Chuyển vế bình phương hai vế ta pt(2) ⇔ 3x + = + x +1 với điều kiện (**) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta ⇔ 3x + = x + + x + ⇔ x +1 = x + tiếp tục bình phương hai vế ⇔ 4x + = x2 + 2x + ⇔ x2 -2x - = x = −1 ⇔ x = (thoả mãn điều kiện (**)) Vậy nghiệm phương trình x = -1 V x = + Ví dụ 3: GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 31 Giải phương trình x − + x − = x − + x − 16 Lời giải : Ta có Pt ⇔ x − + x − = x − + x − x − ≥ ⇔ x − = x − x − ≥ ⇔ x −1 ≥ x −1= x − x ≥ ⇔ x = Vậy phương trình cho vơ nghiệm Lưu ý: Học sinh đưa lời giải sai sau Ta có : x − + x − = x − + x − 16 ⇔ x − + x − = x − + 4( x − 4) ⇔ x − ≥ x ≥ x − = 2x − ⇔ ⇔ x − = 2x − x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét: Ta nhận x = khơng phải nghiệm phương trình cho Chú ý rằng: A ≥ A+ C ⇔ B= C A+ B = + Ví dụ 4: Giải phương trình − x2 + x x + = − 2x − x 7 − x + x x + ≥ Hướng dẫn : Đk 3 − x − x ≥ x + ≥ (3) (***) Lưu ý: Hệ điều kiện (***) phức tạp nên ta không cần giải cụ thể Từ ĐK (***) nên hai vế khơng âm ,bình phương hai vế ta pt(3) ⇔ - x2 + x x + = - 2x - x2 ⇔ x x + = - 2x - x(2 x + 4) ≤ ⇔ 2 x ( x + 5) = x + 16 x + 16 −2 ≤ x ≤ ⇔ x + x − 16 x − 16 = GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 32 −2 ≤ x ≤ ⇔ ( x + 1)( x − 16) = −2 ≤ x ≤ ⇔ x = −1 ⇔ x = -1 x = ±4 Thay giá trị x = -1 vào hệ ĐK (***) , thoả mãn Vậy nghiệm phương trình x = -1 + Ví dụ 5: Giải phương trình 2x + + x + = 3x + 2 x + x + - 16 , (4) 2 x + ≥ x ≥ − ⇔ HD: Điều kiện x +1 ≥ x ≥ −1 ⇔ x ≥ -1 (****) NX: Đây phương trình phức tạp bình phương hai vế phương trình ta khơng thu kết thuận lợi giải nên ta cớ thể giải sau Đặt 2x + + x + = t , (ĐK: t ≥ 0) ⇔ 3x + 2 x + x + = t2 - pt(4) ⇔ t2 - t - 20 = ⇔ t = (nhận) V t = - (loại) Với t = ⇔ 2 x + x + =21 - 3x ( phương trình thuộc dạng 1) 21 − 3x ≥ ⇔ 2 4(2 x + x + 3) = 441 − 216 x + x x ≤ ⇔ x − 236 x + 429 = ⇔ x = 118 - 1345 (thoả mãn ĐK) Vậy nghiệm phương trình x = 118 - 1345 + Ví dụ 6: Giải phương trình x2 – 7x + 12 = ( x − 3) ( x − x − 6) Lời giải sai: Ta có x2 – 7x + 12 = ( x − 3) ( x − x − 6) ⇔ (x-3)(x-4) = ( x − 3)( x − 3)( x − 2) ( x − 3) x + = ( x − 3)( x − 4) ⇔ −( x − 3) x + = ( x − 3)( x − 4) Giải (1) ⇔ ( x − 3) x + = (x-3)(x-4) GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN ⇔ (x-3)(x-4) = ( x − 3) ( x − 2) (1) ( 2) ⇔ ( x − 3) ( ) x+2−x+4 =0 Trang 33 x = ⇔ x+2 = x−4 x = ⇔ x = Giải (2) ⇔ − ( x − 3) x + = (x-3)(x-4) x = ⇔ x + = 4− x ⇔ − ( x − 3) ( ) x+2 + x−4 =0 x = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm : x = v x = v x = Nhân xét: Bài tốn HS giải mắc sai lầm sau: Lời giải sai: Ta có: x2 – 7x + 12 = ( x − 3) ( x − x − 6) ⇔ (x-3)(x-4) = ( x − 3)( x − 3)( x − 2) ⇔ ( x − 3) x + = (x-3)(x-4) x = ⇔ x+2 = x−4 Giải ( ∗) ta có ⇔ (x-3)(x-4) = ⇔ ( x − 3) ( ( x − 3) ( x − 2) ) x+2−x+4 =0 ( ∗) x − ≥ x+2 = x−4 ⇔ x + = ( x − 4) x ≥ ⇔ ⇔ x=7 x − x + 14 = Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = HS kết luận với x =3 x = hai nghiệm thoả mãn phương trình Mà khơng ngờ phương trình cho có nghiệm x = thoả mãn Chú ý rằng: 0 A = A B = A B = A B A > − A B A < Lời giải bỏ sót trường hợp A ≤ * Sau tập giải phương trình chứa ẩn dấu hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng tập tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình chứa ẩn dấu Bài tập GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 34 Giải phương trình a 3x − = - 2x b − 2x = x − c 3x − x + + x - = HD: Biến đổi theo dạng dạng 2 Giải phương trình: x2 - 3x + x − 3x + = HD: Đặt t = x − 3x + (t ≥ ) ĐS: x = -1 v x = Giải phương trình: x − + 3x − = x − HD: Đặt đk sau bình phương hai vế ĐS: x = Giải phương trình: HD : A = B x + x +1 = x −1 x −1 AB A ≥ 0; B > AB B = B − AB A < 0; B < B ĐS : Nghiệm phương trình : x = -3 x−2 = x+2 Giải phương trình: ( x + 5) x+5 HD: B A AB A ≥ 0; B > = B − AB A < 0; B < ĐS: Nghiệm phương trình là: x = 14 Giải phương trình: x + + x + 10 = x + + x + Giải phương trình: x +1 + Giải phương trình: x + x+ x −1 = 1 + x+ = 2 Giải phương trình: x2 + 3x + = (x + 3) x + 10 Giải phương trình: (4x - 1) x3 + = 2x3 + 2x +1 11 Giải phương trình: x2 - = 2x x − x 12 Giải phương trình: x2 + 4x = (x + 2) x − x + GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 35 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1/ Kết luận: Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Lê Thế Hiếu Phương trình vơ tỉ nội dung quan trọng chương trình mơn tốn lớp 10 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình chứa ẩn dấu Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Cụ thể lớp khối 10CB sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng tốn nói , kết qua kiểm tra sau : Năm học Lớp Tổng số 20152016 10B2 10B3 35 36 Điểm trở lên Số Tỷ lệ lượng 18 % 14 % Điểm từ đến Số Tỷ lệ lượng 19 53 % 17 47 % Điểm Số Tỷ lệ lượng 10 29 % 14 39 % Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn có nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị đề xuất: - Nhà trường cần tăng cường phụ đạo học sinh khối 10 mơn tốn - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Sách hướng dẫn giảng dạy đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Tài liệu tập huấn sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất Giáo dục + Các giảng luyện thi mơn tốn - Nhà xuất giáo dục (TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất) + Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải + Các đề thi đại học năm trước * ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN: Xếp loại: * ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC- GIÁO DỤC NHÀ TRƯỜNG: GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 37 Xếp loại: GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 38 GIÁO VIÊN Nguyễn Quản Trị - TỔ TOÁN Trang 39 ... PHẠM VI NGHIÊN CỨU : - Nội dung phần phương trình chứa ẩn dấu số toán bản, nâng cao nằm chương trình đại số 10 - Một số giải phương trình chứa ẩn dấu đề thi Đại học, Cao đẳng - TCCN V/ NHIỆM VỤ-... PHẠM VI NGHIÊN CỨU : - Nội dung phần phương trình chứa ẩn dấu số tốn bản, nâng cao nằm chương trình đại số 10 - Một số giải phương trình chứa ẩn dấu đề thi Đại học, Cao đẳng - TCCN V/ NHIỆM VỤ-... Nghiệm phương trình là: x = 14 Giải phương trình: x + + x + 10 = x + + x + Giải phương trình: x +1 + Giải phương trình: x + x+ x −1 = 1 + x+ = 2 Giải phương trình: x2 + 3x + = (x + 3) x + 10 Giải phương