Đang tải... (xem toàn văn)
Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn; Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
MỤC LỤC Trang A MỞ ĐẦU: 03 I ĐẶT VẤN ĐỀ: Thực trạng vấn đề: .03 Ý nghĩa tác dụng giải pháp mới: .03 Phạm vi nghiên cứu đề tài: 04 II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: Cơ sở lý luận thực tiễn: 04 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo giải pháp: 05 B NỘI DUNG: 05 I MỤC TIÊU: Tên đề tài: “RÈN KỸ NĂNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN” .05 Nhiệm vụ đề tài 05 II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: Thuyết minh tính mới: 06 Khả áp dụng: .32 Lợi ích kinh tế - xã hội: 33 C KẾT LUẬN: .34 Tài liệu tham khảo 35 Trang Trang A MỞ ĐẦU: I ĐẶT VẤN ĐỀ: Thực trạng vấn đề địi hỏi phải có giải pháp để giải quyết: Toán học mơn khoa học mang tính trừu tượng, mơ hình ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học lí thuyết khoa học ứng dụng Tốn học mơn khoa học giữ vai trị quan trọng suốt bậc trung học phổ thơng Tuy nhiên mơn học khó, khơ khan địi hỏi học sinh phải có nỗ lục lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính giáo viên dạy tốn, việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, kĩ thuật dạy học Để từ tìm biện pháp dạy học hiệu việc truyền thụ kiến thức Toán học cho học sinh công việc phải làm thường xuyên Dạy học sinh học tốn khơng cung cấp kiến thức bản, dạy học sinh giải tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải dạng tốn, từ giúp em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hồn thiện nhân cách Giải tốn vấn đề trung tâm phương pháp giảng dạy, bỡi việc giải tốn việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt học sinh bậc THCS giải tốn hình thức chủ yếu học tốn Trong chương trình tốn bậc THCS, vấn đề phương trình vấn đề xuyên suốt năm học học sinh bắc đầu từ tốn “Tìm x biết” dành cho học sinh lớp 6, đến cụ thể hố vấn đề phương trình học kì lớp hồn thiện nội dung phương trình đại số lớp Đây nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt có kĩ giải phương trình cách thành thạo để từ em học tốt tốn học cấp Trong vấn đề phương trình phương trình chứa thức bậc hai (phương trình vơ tỷ) trở ngại không nhỏ khiến cho học sinh khơng ngỡ ngàng bối rối giải loại phương trình loại này, thực vấn đề khó,đặc biệt học sinh tham gia thi tuyển vào 10, tham gia thi học sinh giỏi cấp vấn đề quan trọng bắt buộc học sinh phải vượt qua Ý nghĩa tác dụng giải pháp Là giáo viên giảng dạy tốn bậc THCS, thân tơi nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm dạy học sinh lớp 9, dạy bồi dường học sinh giỏi trăn trở vấn đề Vấn đề đặc làm để giúp học sinh giải thành thạo dạng phương trình chứa ẩn dấu hay cịn gọi phương trình vơ tỷ ? Khi gặp dạng toán phương trình vơ tỷ em tìm cách giải hợp lý Trang Với tất lý nêu Tôi định chọn đề tài “Rèn kỹ năng, phương pháp giải dạng phương trình chứa ẩn dấu căn” Phạm vi nghiên cứu đề tài Đề tài thực nghiên cứu đơn vị công tác Trường THCS cụ thể đối tượng học sinh lớp 9, học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi toán trường cấp huyện, cấp tỉnh Nội dung phần phương trình chứa ẩn dấu (cịn gọi phương trình vơ tỷ ) số tốn bản, nâng cao nằm chương trình đại số mở rộng chương trình đại số 10 Một số giải phương trình chứa ẩn dấu sách tham khảo II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: Cơ sở lí luận thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu tìm giải pháp đề tài 1.1 Cơ sở lí luận: - Nhiệm vụ trung tâm trường học THCS hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người Môn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học mơn - Muốn học tốt mơn Tốn, em phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào toán cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học nghiên cứu mơn Tốn cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào tập, biết phân dạng tập giải tập với nhiều cách khác 1.2 Cơ sở thực tiễn: - Học sinh lớp trường THCS đa số nhận thức chậm, chưa hệ thống kiến thức Khi gặp tốn phương trình chứa ẩn dấu chưa phân loại định hình cách giải, cịn lúng túng đặt điều kiện biến đổi, phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số khơng nêu cách giải tổng qt cho dạng, thời lượng dành cho phần - Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đích giúp cho học sinh THCS vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo giải pháp: Trang 2.1 Các biện pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Phân tích tổng hợp, khái quát hoá so sánh , đúc kết rút kinh nghiệm - Quan sát, kiểm tra 2.2 Thời gian tạo giải pháp Để thực đề tài thực nghiên cứu suốt thời gian trực tiếp giảng dạy khối lớp dạy bồi dưỡng HSG trường THCS từ tháng năm 2013 đến nay: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc kết rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Dựa sở kiến thức học trường cao đẳng, đại học số kiến thức tìm kiếm sách tham khảo, chương trình THPT… B NỘI DUNG: I MỤC TIÊU: Tên đề tài: “RÈN KỸ NĂNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN” Nhiệm vụ đề tài Giúp cho giáo viên thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu từ phức tạp đưa dạng đơn giản, giải cách dễ dàng Thông qua đề tài SKKN nhằm hướng dẫn học sinh nắm phương pháp giải hai dạng phương trình thường gặp số tốn vận dụng biến đổi số dạng tốn khơng mẫu mực (dạng khơng tường minh) nâng cao Trong sách giáo khoa Đại số nêu phương trình dạng : * Dạng 1: phương trình f ( x ) = g(x) (1) � �g ( x ) �0 Phương trình (1) � � �f ( x ) g ( x) điều kiện gx) � điều kiện cần đủ phương trình (1) sau giải phương trình f(x) = g2(x) cần so sánh nghiệm vừa nhận với điều kiện gx) � để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử lại lấy nghiệm * Dạng 2: phương trình f( x) = g( x ) (2) Trang � �f ( x ) �0 Phương trình (2) � � �f ( x ) g ( x ) Điều kiện f(x) �0 điều kiện cần đủ phương trình (2) Chú ý khơng thiết phải đặt điều kiện đồng thời f(x) g(x) không âm f(x) = g(x) Tuy nhiên gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu căn, có nhiều tốn địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: Thuyết minh tính mới: Khi giảng dạy cho học sinh ôn thi tuyển vào lớp 10 học sinh giỏi cấp nhận thấy: * Khi gặp toán: x = x - (1) Giải phương trình Một số học sinh giải sau : điều kiện pt(1) x � (*) � x2 - 6x + = (1) � 2x - = x2 - 4x + Phương trình cuối có nghiệm x = + x = - Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x = - bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) x = + Mặt khác, số học sinh cịn có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x � (*) để chọn nghiệm và nghiệm phương trình là x = + và x = - Theo cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm số học sinh chọn nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x � là điều kiện cần và đủ * Khi gặp toán: Giải phương trình 5x2 x = x � x x �0 Học sinh thường đặt điều kiện � sau bình phương hai vế �x �0 để giải phương trình Điều ý học sinh tìm cách để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x + �0 điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Cho nên học sinh nhiều thời gian cho việc tìm điều kiện Trang * Khi gặp tốn: Giải phương trình (x + 4) x = Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: x 0 x x 2 x-2 =0 (x + 4) x = Nhận xét: Đây toán đơn giản giải mắc sai lầm mà khơng đáng có Rõ ràng x = - nghiệm phương trình B 0 Chú ý rằng: A B 0 A 0 B 0 Ở bị bỏ qua điều kiện là: B ≥ (x ≥ 2) * Khi gặp tốn: Giải phương trình x 12 x 11 = 4x2 - 12x + 15 Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc THCS * Khi gặp tốn: Giải phương trình x 5 x x x 5 Một số HS có lời giải sai sau: x2 x � ( x 5) ( x 2) x x5 x 0 x 2 x 3x 10 x x x 5 x x 2 x x x x 10 x 14 Ta có: ( x 5) Vậy phương trình cho vô nghiệm Nhận xét: Rõ ràng x = -14 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vơ nghiệm Cần ý rằng: B A AB A 0; B B AB A 0; B Lời giải xét thiếu trường hợp A < 0; B < Còn nhiều tốn khác có nhiều tranh cãi với Cho nên, lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải tốn phương trình chứa ẩn dấu Trang Qua nghiên cứu trao đổi đúc kết, rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp Tôi mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề học sinh với giải pháp nhằm giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi giải phương trình chứa ẩn dấu Để làm điều đó, giáo viên cần hệ thống hoá kiến thức liên quan bổ sung số kiến thức mở rộng cho học sinh sau: Các tính chất luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng qt hố tính chất luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đẳng thức Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc ẩn, cách giải hệ phương trình Bổ sung kiến thức để giải phương trình đơn giản: A 0 * A = B B 0 A B A 0 * A B A B * A B 0 A B 0 Sau số giải pháp có tính sáng tạo: 1.1 Giải pháp 1.1.1 Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 1: f ( x ) = g(x) (1) a Phương pháp: Giáo viên: cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương hai vế phải khơng âm � �g ( x ) �0 f � Phương trình ( x ) = g(x) � �f ( x ) g ( x ) Điều kiện gx) �0 điều kiện cần đủ f(x) = g2(x) �0 Khơng cần đặt thêm điều kiện fx) �0 b Các ví dụ: 3x = x - (1) + Ví dụ 1: Giải phương trình Điều kiện x �3 (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 3x - �0) Khi pt(1) � 3x - = (x - 3)2 � x2 - 6x + = 3x - Trang � x2 - 9x + 13 = � 29 x � � � � 29 x � � Đối chiếu với điều kiện (*) ta chọn nghiệm phương trình (1) x= 29 * Lưu ý: không cần phải thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x �3 (*) để chọn nghiệm + Ví dụ 2: Giải phương trình 3x x = 3x + (2) Nhận xét: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 3x2 - 2x -1 � thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để chọn nghiệm Ta giải sau: Điều kiện: x �- (**) Khi phương trình (2) � 3x2 - 2x - = (3x + 1)2 � 3x2 - 2x - = 9x2 + 6x + x 1 � � � 3x + 4x + = � � x � Đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm phương trình (2) x = - + Ví dụ 3: Giải phương trình x 12 x 11 = 4x2 - 12x + 15 (3) Nhận xét: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, ta bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó giải Ta giải toán sau: Chưa vội đặt điều kiện bước giải này ta nên biến đổi Phương trình (3) � 4x2 - 12x + 11 - x 12 x 11 + = Đặt x 12 x 11 = t ; đk t �0 , (***) Phương trình trở thành: t2 - 5t + = t 1 � � � t4 � (thoả mãn điều kiện (***) ) Với t = � x 12 x 11 = � 4x2 - 12x + 10 = phương trình vơ nghiệm Với t = � x 12 x 11 = � 4x2 - 12x - = Trang 10 � 56 x � � � � 56 x � � Vậy nghiệm phương trình là: x = 56 x= 56 *Như gặp bài toán thuộc dạng nêu học sinh chủ động cách đặt vấn đề bài giải : điều kiện phương trình là gì? đặt ? biến đổi nào là biến đổi tương đương ? biến đổi nào là biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối dựa vào điều kiện nào? 1.1.2 Giải pháp * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f ( x ) g( x ) (2) a Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi �f ( x ) �0( g( x ) �0) � Phương trình (2) � � �f ( x ) g ( x ) Chú ý: Không cần đặt đồng thời g(x) �0 f(x) �0 f(x) = g(x) b Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình 3 x = x , (1) Điều kiện x � , (*) pt(1) � -3x + = 2x + 1 (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm phương trình x = * Lưu ý: Điều kiện x � , (*) điều kiện cần đủ phương trình (1) � 5x = � x = nên ta cần đối chiếu với điều kiện (*) để chọn nghiệm cuối phương trình + Ví dụ 2: Giải phương trình x 3x = x , (2) Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm ĐK: x> 2 (*) pt(2) � 2x2 + 3x - = 7x +2 x 1 � � 2x2 - 4x - = � � x3 � Trang 11 + Ở phương trình (2) ngồi việc lập phương hai vế cần sử dụng đẳng thức cách linh hoạt để đưa phương trình dạng đơn giản a.b = giải Chú ý: Do từ (I) suy (II) ta thực phép biến đổi khơng tương đương, tương đương x thoả mãn : x x 2 Vì việc thay lại nghiệm (II) vào phương trình cho cần thiết Nếu khơng thử lại có nghiệm ngoại lai Bài tập tương tự : Giải phương trình : a) x x 3 x b) x 3 x 4 c) x x 3 10 x 1.4 PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuỵêt đối Phương pháp là: Khi gặp phương trình mà biểu thức viết dưới dạng bình phương biểu thức sử dụng đẳng thức A A để làm dấu đưa phương trình đơn giản Ví dụ: Giải phương trình : (3) x 2 x x 13 x 5 Nhận xét: + Ở phương trình (3) học sinh nhận xét vế trái có bậc hai nên bình phương hai vế Nhưng phương trình sau bình phương (lần 1) còn chứa nên phức tạp + Biểu thức viết dạng bình phương biểu thức Giải: ĐK: x 0 x ; x 2 x x 13 x 5 (2 x 3) 2 x (2 x 3) 2 x 3.4 16 5 2x 1 2x 1 2x 5 x 5; (* * *) Cách 1: Đến để giải (***) ta phá dấu giá trị tuyệt đối, trước phá dấu A cần xét dấu A Nhận xét: x xét dấu x x 16 19 x Nếu x 0 x Thì x x 5 2 x 8 Giải x (Không thoả mãn điều kiện) 2 x 4 Trang 22 + Nếu x Thì 2x 1 19 x 2 x 5 x 0 vô số nghiệm x thoả mãn 19 x 2 19 x 2 Kết luận: Cách 2: (Để giải (***) sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối A B A B dấu “=” xảy A.B 0) Giải: (***) x x 5 2x 1 x 5 Ta có: 2x 1 2x 2x 1 Vậy: 2x 1 x 5 Khi x 0 x Giải ra: x 5 2x 1 x 0 19 x 2 Bài tập tương tự: Giải phương trình a) x x x x 1 b) x x x x (Nhân vế với xuất đẳng thức) 1.5 PHƯƠNG PHÁP 5: Đặt hay nhiều ẩn phụ: Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hay mà tơi tâm đắc, phương pháp này dùng để giải nhiều phương trình Ở phương pháp dùng cách đặt ẩn phụ để đưa dạng phương trình vơ tỷ đơn giản Cách đặt ẩn phụ: + Đặt ẩn phụ + Đặt ẩn phụ + Đặt nhiều ẩn phụ a) Cách đặt ẩn phụ : Cách 1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình phương trình có ẩn là ẩn phụ đã đặt Giải phương trình tìm ẩn phụ, từ tìm ẩn Ví dụ 1:Giải phương trình: x +6x+12+ x 3x =9 (4) - Nhận xét: + phương trình bình phương vế đưa phương trình bậc mà việc tìm nghiệm khó + Biểu thức ngồi có mối liên quan : Trang 23 2x2 + 6x + 12 = 2(x2 +3x + 2) + Hướng giải: + Đặt ẩn phụ y = x 3x + Chú ý: Đối với ĐK: x2 + 3x + 0 giải với tốn mà biểu thức phức tạp tìm giá trị x thử lại xem có thoả mãn ĐK hay khơng x 2 ĐK: x2 + 3x + 0 ( x+1) (x+2) 0 x Giải: Đặt : x 3x = y 0 PT (4) 2y2 + y + = 2y2 + y – = Giải ra: y1 = 1/2 ( Thoả mãn ĐK); y2 = -1( Loại) Thay vào: x 3x = 1/2 x2 + 3x + = 1/4 3 3 ; x2 = 2 3 Đối chiếu với ĐK: x = thoả mãn nghiệm PT (4) Giải ra: x1 = Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x 12 x 0 ( Đề thi học sinh giỏi tham khảo) ĐK: x 12 x 0; x Hướng dẫn: Ta biến đổi để thấy mối quan hệ biểu thứctrong phương trình: x x 6( x x ) Đặt : x x a 6a a (I) Ta có phương trình: Giải (I) tìm a từ tìm x b) Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn: ẩn ẩn phụ, tìm mối quan hệ giưã ẩn ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x x (5) Nhận xét: - Nếu bình phương hai vế đưa phương trình bậc khó nhẩm nghiệm vơ tỷ Vì ta đặt ẩn phụ chưa đưa phương trình chứa ẩn Hãy tìm cách đưa hệ phương trình có ẩn ẩn ẩn phụ Tìm mối quan hệ giữa ẩn ẩn phụ từ đưa phương trình đơn giản Giải: x 0 ĐK: x 0 x y Đặt: y x x 2 y ; Ta có hệ: y x Trang 24 Đây hệ phương trình đối xứng ( y x)( y x 1) 0 x y 1 x y + Nếu x = y ta có phương trình: x x giải x 1 (TMĐK) 1 + Nếu 1- x = y ta có phương trình: x 1 x giải ra: x 1 Vậy phương trình (5) có nghiệm x1 1; x (TMĐK) Trang 25 Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 2006 2006 Cách 1: Đặt x 2006 y ta có hệ phương trình x 2006 y giải x y 2006 x 2006 x x y x y x 2006 x từ sử dụng phương pháp để giải tiếp Chú ý: Cách thường sử dụng quan hệ ẩn ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng Cách 2: Đưa vế bậc: x2 x x 2006 x 2006 1 1 x x 2006 2 2 1 x x 2006 x x 2006 2 Đến tiếp tục giải theo phương pháp Bài tập tương tự : Giải phương trình a) x 2 x ; 3 x 2 y HD: Đặt ẩn phụ y x ta có hệ : y 2 x b) x x x ; HD : Đặt ẩn phụ y x x c) Đặt ẩn phụ: Ở dạng ta đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị ẩn phụ, từ mối quan hệ ẩn ẩn phụ đặt lúc đầu đưa phương trình đơn giản Ví dụ 1: Giải phương trình: x x 1 (6) Nhận xét: Ở vế trái có bậc bậc nên việc nâng luỹ thừa vế để làm dấu khó + Hai biểu thức có mối quan hệ: x x 1 (hằng số) + Đặt ẩn phụ: Sẽ đưa hệ phương trình khơng chứa giải Giải: ĐK: x 1 Đặt: x u; x v Trang 26 Ta có hệ phương trình: u v 1 3 u v 1 giải u1 0; u 1; u Từ đó: x1 1; x 2; x3 10 ( thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (7) có nghiệm: x1 1; x 2; x3 10 Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 3 a b 3 Hướng dẫn: Đặt x a; x b ; Ta có hệ: a b Giải ra: a = 1; b = ; từ giải tìm x = Tởng qt: Đối với phương trình có dạng: n a f ( x ) m b f ( x ) c Ta thường đặt: u n a f ( x) ; v m b f ( x) Khi ta hệ phương trình: u v c n m u v a b u v c n m u v a b Giải hệ này tìm u, v sau dó tìm x Ví dụ 3: Giải phương trình: (8) Nhận xét: Nếu lập phương hai vế phức tạp khơng đưa dạng a.b = phương trình (2) x (3x 1)(3 x 1) Nên đặt ẩn phụ Giải: Đặt u 3 3x v 3 3x 3x 1 u v uv 1 (8) trở thành: 3 u v 2 3x 1 x 0 u 1 v Giải ra: ta có: 3x 1 x 0 Vậy (9) có nghiệm x = 3 3x 1 Bài tập tương tự: Giải phương trình : a) 1 x x 1 2 x a x b 1 b) Ngồi cách có số đặt ẩn phụ không đưa hệ PT ta tìm quan hệ ẩn phụ, thay vào hệ thức đặt lúc đầu để đưa phương trình đơn giản Như VD sau: Trang 27 Ví dụ 4: Giải phương trình: (9) Nhận xét: Nếu bình phương hai vế phương trình đưa phương trình bậc khó giải: Hướng dẫn: + Nhận xét biểu thức x3 + ? có dạng HĐT: x3 + 1=(x + 1)(x2 - x + 1) + Tìm mối quan hệ x2 + x3 + x2 + = (x2 – x + 1)+(x + 1) + Từ ta đặt ẩn phụ: a x 1; b x x tìm mối quan hệ a, b từ tìm x Giải: ĐK : x 2( x 2) 5 x 2( x 1) 5 ( x 1)( x x 1) Đặt a x 1; b x x Ta có: a2 = x + ; b2 = x2 - x+1 ; x2 + = a2 + b2 Phương trình cho trở thành: 2(a b ) 5ab a 2b (2a b)(a 2b) 0 b a + Với a = 2b, ta có: x 2 x x x x 0 37 x1 ( Thoả mãn điều kiện) 37 x2 + Với b = 2a, ta có: x x 2 x Từ giải tìm x ( Ở dạng việc tìm mối quan hệ giữa biểu thức hai vế quan trọng Vì trước giải phải quan sát nhận xét để tìm phương pháp giải phù hợp) Ví dụ 5: Giải phương trình: 2(3 x 5) x 3 x x 30 Hướng dẫn : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ biểu thức: 3 x 3 1 x 3( x 9) x Đặt: x a; x b ; Trang 28 Ta có PT: (3a 1)b a 3b (3b 1)(b a) 0 b a x 9 Giải ra: ; Giải ra: x = b x x Ví dụ 6: Giải phương trình: x 16 2( x 8); Hướng dẫn: Biến đổi 2( x 2)( x x 4) 2( x 8) Mối liên hệ: x ( x x 4) (2 x 4) ; Đặt: 2( x 2) a; x x b Ta có phương trình: 5ab 2(a b ) (2a b)( a 2b) 0 Từ tìm a, b, tìm x BT Tương tự: Giải phương trình a) 2( x 3x 2) 3 x b) x x 3x x x 16 Hướng dẫn: Nhận xét: (2 x 3)( x 1) 2 x x Đặt : u x 0; v x 0 u v 3 x x u v Nên ta có phương trình: u v u v 20 2uv (u v) (u v) 20 0 Đặt: u + v = t Ta có phương trình: t2 - t – 20 = t 5 Giải ra: Do đó: t 4(loai ) x x 5 Đến dùng phương pháp để giải: x = d) Đặt nhiều ẩn phụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x x 3x x x x x Nhận xét: + Phương trình nhìn phức tạp, nghĩ đến phương pháp bình phương vế đưa phương trình phức tạp + Việc đặt điều kiện để thức có nghĩa phức tạp, nên ta giải phương trình tìm x thử lại + Quan sát nhận xét biểu thức : (2 x 1) ( x 3x 2) (2 x x 3) ( x x 2) Nên nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ : Giải: Đặt x u; x 3x v; x x z; x x t u v z t Ta có hệ : 2 2 u v z t Từ suy ra: u t x x x Giải : x = - Thay vào thoả mãn phương trình cho, Vậy phương trình có nghiệm x = - Trang 29 ( Phương pháp thấy hay độc đáo, từ GV đặt nhiều đề tốn đẹp) Bài tập tương tự: Giải phương trình 2006 x 2005 2005 x x 2004 2006 x x 2003 2005 x x 2002 1.6 PHƯƠNG PHÁP 6: Đưa dạng : A2 + B2 = hoặc A.B = Ở phương pháp ta sử dụng A2 + B2 = A = B = 0; A.B = Khi A= hoặc B = Ví dụ 1: Giải phương trình: x x 2 x Nhận xét: + Sử dụng phương pháp 3, 4, khó giải + Biến đổi đưa dạng A2 + B2 = x x 2 x 33 0 Giải:Điều kiện: x ( x x 1) (22x 2 x 1) 0 ( x 1) ( x 1) 0 Giải x = - 0 phương trình: Ví dụ x2: 1Giải 2 x0 x x 23x 1 Nhận xét: + Ở phương trình ta đặt ẩn phụ y = x + x từ đưa hệ phương trình đối xứng: y x x x y y x y Từ suy ra: giải tìm x x y + Ta nhân vế phương trình với đưa dạng: x ( x 1) 0 giải x = (cách giải đơn giản hơn) Bài tập tương tự: Giải phương trình a) x x 26 6 x b) x y z 2 x y z Ví dụ 3: Giải phương trình: x x x ( Đề thi học sinh giỏi) HD: Tìm mối quan hệ biểu thức: x 4( x 1) (1 x) ; PT trở thành: (2 x 1) ( x ) x x 0 (2 x 1) x 0 ( x 1) (5 x 1) 0 Giải ra: x= -24/25 ( TMĐK) Ngồi ta đặt: x a; x b ; ta có hê: a b 2 ; Từ giải tìm a; b tìm x 2 2a b 4a b 0 x3 Bài tập tương tự : Giải phương trình x 3x HD: Nhận xét x ( x 1) ( 3x ) Từ biến đổi đưa dạng : A.B = Trang 30 1.7 PHƯƠNG PHÁP 7: Dùng bất đẳng thức Sử dụng điều kiện xảy dấu “ = ” bất đẳng thức không chặt 4x 2 x 4x 1 a b Giải: ĐK: x ;Sử dụng bất đẳng thức: 2 b a x 4x 2 a = b Ta có: x 4x VD1: Giải phương trình: x (`11) với a, b > dấu “=” xảy Do (11) x x Giải ra: x1,2 � thoả mãn điều kiện Vậy (11) có hai nghiệm x1,2 � VD2: Giải phương trình: (12) 3x x x 10 x 14 4 x x Nhận xét: + Ở phương trình ta khơng nên bình phương hai vế + Xét biểu thức 3x + 6x+7 = 3(x + 1)2 +4; 5x2 + 10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; - 2x - x2 = - (x+1)2 + từ có lời giải: Giải: VT: 3x x x 10 x 14 4 x x 5 VP: x x 5 ( x 1) 5 Vậy vế 5, x 0 x Kết luận pt (12) có nghiệm x = -1 BT tương tự: Giải phương trình a) 3x x x 10 x 14 4 x x x x 15 x x 18 b) x x 11 VD3: Giải phương trình: x x x 10 x 27 Nhận xét: Nếu bình phương vế đưa phơng trình bậc 4, khó giải Hướng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh vế Giải: ĐK: x 6 Ta thấy: x 10 x 27 ( x 5) 2 Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có 1 x x 1 2 12 x x 2.2 4 x x 2 Vậy ta suy ra: x - 10x + 27 = x x 2 (1) (2) Trang 31 Giải (1) ta x = thay vào (2) ta thấy vế Vậy phương trình có nghiệm x = BT tương tự : Giải phương trình a) b) (HD: áp dụng BĐT cô si) x x x 3 x2 4 x2 Đưa dạng: 1 x x 1 x x 4 áp dụng BĐT Bunhiacopxki x x Tổng quát cách giải: + Biến đổi pt dạng f(x)=g(x) mà f ( x) a; g ( x) a với a là số Nghiệm pt là giá trị x thoả mãn đồng thời f(x)=a và g(x) = a + Biến đổi pt dạng h(x) =m ( m là số) mà ta ln có h(x) m và h(x) m nghiệm pt là giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy + Áp dụng BĐT Cơsi và Bunhiacơpxki 1.8 PHƯƠNG PHÁP 8: Đốn nghiệm, chứng minh nghiệm Ví dụ: Giải pt: x 3x 1 Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp khó giải nên suy nghĩ để tìm cách giải khác Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm pt + Chứng minh nghiệm Giải: Nhận thấy x 1 nghiiệm pt x + Xét x x x x x6 3x nên pt vô nghiệm x x + xét ta có: x x6 3 x nên pt vơ nghiệm Vậy pt có nghiệm x = - x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x Giải: Nhận thấy x = nghiệm phương trình +Nếu x < x 1; x 2; x Vậy VP < 1; VT > nên phương trình vơ nghiệm + Nếu x > VP < 1; VT > nên phươnhg trình vơ nghiệm Vậy x = nghiệm phương trình Trang 32 BT tương tự: Giải phương trình x 28 23 x 23 x x Hướng dẫn: TXĐ: x 1 Nhận thấy x = nghiệm Chứng tỏ: x < phương trình vơ nghiệm x > phương trình vơ nghiệm (Ở phương trình phức tạp mà việc sử dụng phương pháp đến phương pháp khơng giải ta nghĩ đến phương pháp 8) Ngồi cịn số phương pháp khác dùng công thức lượng giác… Khả áp dụng Đề tài thân áp dụng thử nghiệm trường THCS chương trình ơn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 dạy bồi dưỡng HSG toán thi cấp huyện lớp từ năm học 2013 - 2014; 2014- 2015 thấy sau: Trước áp dụng: qua kiểm tra tiết chương I đại số học kì I năm 20132014 thân có đưa vào giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai : Giải phương trình: 2x 2x cho kết sau : Sĩ số lớp 30 học sinh 05 học sinh giải 07 học sinh giải sai điều kiện Cịn lại giải sai hồn tồn - Sau áp dụng đề tài thời gian dạy ôn tập thi tuyển phần lớn học sinh năm rõ dạng đặt điều kiện xác giải em cảm thấy thích giải phương trình loại - Đề tài có khả sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vào thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, trường chuyên làm tài liệu tham khảo cho thầy giảng dạy mơn Tốn đơn vị trường chúng tơi, có khả áp cho trường huyện Đồng thời sở vững chắt để em học tốt phần phương trình vơ tỷ chương trình đại số lớp 10 THPT Q thầy học sinh sử dụng tốn đề tài làm toán gốc để đặt giải tập cụ thể Lợi ích kinh tế - xã hội Phương trình chứa ẩn dấu mảng kiến thức tương đối khó học sinh lớp nói riêng bậc THPT nói chung lại thường gặp đề thi tuyển sinh vào 10, HSG, Cao đẳng, Đại học … Vì vậy, phần nhiều thầy giáo quan tâm Trong q trình dạy học sinh lớp ôn tập cho Trang 33 em thi vào lớp 10 Phần này, thường rõ cho học sinh toán cho thuộc dạng nêu cách giải tương ứng cho dạng, sau tốn tơi thường rút vài nhận xét nêu sai lầm thường gặp để em có thêm kinh nghiệm biết vận dụng để giải tập tương tự Từ em cảm thấy tự tin ham học thích thú tìm hiểu giải dạng phương trình chứa ẩn dấu với mức độ nâng cao, em cảm thấy nhẹ nhàng tiếp xúc chương trình tốn cấp III gặp lại dạng phương trình đề thi cao đẳng, đại học Cho nên em cần phải học tốt phương trình loại từ lớp Với cách làm vậy, đa số học sinh lớp có kĩ giải mảng tập phần tốt hơn, biết nhận dạng biết cách đưa phương trình chứa ẩn dấu phức tập dạng quen thuộc biết cách giải Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp năm qua bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng nghiệp đơn vị, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình chứa ẩn dấu Các em hứng thú học tập tốt hơn, lớp hướng dẫn chậm em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng tốn nói , kết qua kiểm tra cụ thể sau : Điểm trở lên Điểm từ đến Điểm Năm học Lớp Số Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 9A1 30 07 23,3 % 17 56,7 % 06 20 % 2013-2014 9A2 32 06 18,7 % 22 68,8 % 04 12,5 % 30 09 30 % 17 56,7 % 04 13,3 % 2014-2015 9A1 9A2 31 10 32,3 % 18 58,1 % 03 9,6 % Tôi hy vọng qua SKKN áp dụng dạy nhà trường giáo dục em học sinh u thích mơn Tốn nói chung nghiên khoa học nói riêng, góp phần giúp cho học sinh có kĩ học tập tốt lớp trên, em thi đỗ vào trường cao đẳng, đại học…Các em có việc làm ổn định giảm bớt gánh nặng cho xã hội, tăng thêm thu nhập làm giàu cho Đất nước Tổng số Trang 34 C KẾT LUẬN Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THCS Phương trình chứa ẩn dấu hay cịn gọi phương trình vô tỉ nội dung quan trọng chương trình mơn tốn lớp nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Như thấy phương pháp có hiệu tương đối Theo tơi dạy phần tốn giải phương trình vơ tỉ giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn đề tài cịn thiếu sót hạn chế Tơi mong địng góp, ý kiến q thầy cô bạn bè đồng nghiệp để đề tài hồn thiện tốt Tơi xin chân thành cảm ơn * Kiến nghị đề xuất: Nhằm giúp học sinh học tốt phần phương trình chứa ẩn dấu , thân tơi có kiến nghị: - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập - Trong phân phối chương trình mơn Tốn lớp 9, cấp có thẩm quyền nên tăng cường thêm số tiết cho nội dung có dạy cụ thể dạng phương trình loại khơng nên lơng ghép chương I đại số - Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề , ngày tháng năm Người viết đề tài: Trang 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa đại số + Sách tập - Nhà xuất giáo dục + Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất giáo dục + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Toán nâng cao đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Báo Toán học tuổi thơ, Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục + Tham khảo thư viện Violet Trang 36 ... nhiều ẩn phụ a) Cách đặt ẩn phụ : Cách 1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình phương trình có ẩn là ẩn phụ đã đặt Giải phương trình tìm ẩn phụ, từ tìm ẩn Ví dụ 1 :Giải phương trình: ... là phương pháp hay mà tâm đắc, phương pháp này dùng để giải nhiều phương trình Ở phương pháp dùng cách đặt ẩn phụ để đưa dạng phương trình vơ tỷ đơn giản Cách đặt ẩn phụ: + Đặt ẩn phụ + Đặt ẩn. .. trình chứa ẩn dấu hướng dẫn học sinh giải Giáo viên cần dạng tập tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình chứa ẩn dấu Bài tập áp dụng: Giải