skkn ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỉ BẰNG máy TÍNH bỏ túi

Nếu học tốt môn toán thì những tri thức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.. Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thôn

Trang 1

ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan trọng

Là môn học cơ bản, môn học công cụ Nếu học tốt môn toán thì những tri thức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh

hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, phương trình vô tỉ

là bài toán mà học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn khi làm, nhiều em mặc định

là bỏ qua trong thi kì thi Quốc Gia

Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác các chức năng của máy tính bỏ túi (Trong phần trình bày của sang kiến

kinh nghiệm này tôi sử dụng máy tính Casio fx570vn, các máy tinh tương đương

có thể làm tương tự) Với hướng sử dụng công cụ là máy tính bỏ túi khá quen thuộc với học sinh, các em sẽ có thể thấy được điểm xuất phát của bài toán từ đó

có thể định hướng giải phương trình vô tỉ Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “ Định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy tính bỏ túi”

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận của vấn đề:

Như ta đã biết nếu phương trình ( ) 0 có các nghiệm x x x1 , , , 2 3 thì f x( )sẽ được phân tích theo các nhân tử: (x x x x 1 )(  2 )(x x 3 )

Do đó dựa vào chức năng qr(Shift solve) ta có thể tìm được một vài nghiệm của phương trình từ đó ta dự đoán được nhân tử của phương trình

2 Cơ sở thực tiễn của vấn đề:

Xuất phát từ thực tế khi giảng dạy học sinh thường rất khó hình dung ra phải

làm những gì đối với bài toán phương trình vô tỉ trong các đề thi Quốc Gia do đó đại đa số các em đều bị động trước dạng bài toán phương trình vô tỉ

Vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học

sinh có cách nhìn ra hướng đi của phương trình vô tỉ trong các đề thi Quốc Gia Từ

đó giúp các em chủ động lĩnh hội đơn vị kiến thức này

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

1 Các kĩ thuật sử dụng máy tính có liên quan

1.1 Nhớ giá trị vào biền nhớ

Ví dụ: Ta cần nhớ số 2 vào biến A

Trang 2

Ta thực hiện như sau:s2qJz

Màn hình xuất hiện 2  A

1.2 Tìm một nghiệm của phương trình

Ví dụ: Tìm một nghiệm của phương trình x5  3x2  2x 3

Để thuận tiện cho việc tính toán ta nên đưa về hết một vế

Khi đó phương trình tương đương với x5  3x2  2x 3 0 

Ta thực hiện như sau:

B1 Nhập và nhớ biểu thức:

Q)^5$+3Q)dp2Q)p3=

B2 Tìm nghiệm và nhớ nghiệm:

qr10=qJz

(Với điểm xuất phát x 10 ta được nghiệm 1,0965… được nhớ vào A)

Eqrp10=qJx

(Gọi lại biểu thức và giải với x 10 ta được nghiệm -1,4314…được nhớ vào B)

1.3 Kỹ thuật quét nghiệm của phương trình

Thông thường ta gán các giá trị x khác nhau ta sẽ được một vài nghiệm Vấn đề đặt ra là phương trình đã hết nghiệm chưa?

Ta có thể giải quyết vấn đề này như sau:

E!)a(J)pJz)(J)pJx)Eor1=== (Chèn và nhớ biểu thức

x A x B

qr===qJc

(Ta được nghiệm nữa là -0,7601… và nhớ vào biến C

E!!(J)pJc)r1====

(Gọi lại biểu thức, chèn và nhớ biểu thức

x A x B x C

qr==== (Tiếp tục giải và máy báo Can’t Solve)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm Kiểm tra lại bằng phần mềm vẽ đồ thị thấy phương trình có đúng 3 nghiệm

1.4 Chú ý

- Khi sử dụng máy tính lạ ta nên đư máy về trạng thái mặc định (q93==) để tránh lỗi

- Máy báo chưa tìm ra nghiệm

Ví dụ:Khi giải phương trình x5  3x 2 x 3 0  với x 5máy báo

Trang 3

Điều này có nghĩa là máy chưa tìm ra nghiệm của phương trình với giá trị ban đầu x 5và máy hỏi có tiếp tục để máy tính tiếp không Kinh nghiệm nên thay bằng giá trị ban đầu khác

(Khi máy tính đến một thời gian mà không ra nghiệm thì máy báo

“Continue” – có tiếp tục tính thì ấn dấu = Ở đây L – R có nghĩa là vế trái trừ vế phải tại giá trị xđang hiển thị)

2 Các bài toán minh họa

2.1 Phương trình vô tỉ chỉ có nghiệm hữu tỉ

Phương pháp chung: Tìm nhân tử và tách căn theo nhân tử để nhân liên hợp

Ví dụ 1: Giải phương trình 2

3x  1 6  x 3x  14x 8 0  (trích đề khối B2010)

a Tính toán trên máy tính để tìm nghiệm

Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện 1 6

3 x

   s3Q)+1$ps6pQ)$+3Q)dp14Q)p8= (Nhập và nhớ biểu thức)

qr0= (Giải phương trình với x 0máy báo không có nghiệm)

$qr6= (Giải phương trình với x 6 máy báo không có nghiệm)

$qr3= (Giải phương trình với x 3 phương trình có nghiệm x 5

(Lưu ý: Khi phương trình có điều kiện nằm trong khoảng (đoạn) thì không nên cho

điểm xuất phát gần hai đầu mút )

!)aQ)p5Eoqr3= (quét nghiệm phương trình ta được phương trình hết nghiệm)

b Tìm nhân tử

Phương trình có nghiệm x 5 nên ta có nhân tử x  5

Do đó ta có

3( 5) 3 1 16 ( 3 1) 4







Như vậy phương trình được viết lại

    2

3x  1 4  6  x 1  3x  14x 5 0 

(Ở đây việc nhóm số hạng với hai biểu thức căn khá dễ)

Nhân lượng lên hợp ta được

( 5)(3 1) 0

c Lời giải chi tiết

3 x

  

Trang 4

 3 1 4  6 1 3 2 14 5 0

( 5)(3 1) 0

5 0

(3 1) 0

x

 









* x 5 0   x 5 ( )n

*

(3 1) 0 ( )

3x  1 4 6  x 1 x  VN

3 x

3x  1 4 6  x 1 x 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 5

Ví dụ2: Giải phương trình 2x2  x  3 21x 17 x2  x 0

Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện 17

21

x 

s2Q)dpJ)+3$ps21J)p17$+J)dpJ) (Nhập biểu thức)

qr2= (Giải phương trình với x 2ta được nghiệm x 2)

qr10= ( Giải phương trình với x 10ta được nghiệm x 2)

!)aQ)p2Eoqr10= (quét nghiệm phương trình ta được nghiệm x 1)

!Rr3=!!!!!($$$)(Q)p1)qr10= (tiếp tục quét nghiệm phương trình ta được phương trình hết nghiệm)

Phương trình có nghiệm x 1,x 2 nên ta có nhân tử (x 1)(x 2) x2  3x 2

2









 2x2 x 3 (x1) (3x1) 21x17(x2 3x2) 0

(Ở đây việc nhóm số hạng với 21x 17 tương đối phức tạp nên ta dùng phần bù )

2 2

(3 1) 21 17

   

Trang 5

2 2

(3 1) 21 17

   

21

x 

2 2

(3 1) 21 17

2

1 0 (3 1) 21 17





* 2

1 ( )

2 ( )





     



1 0 ( ) (3 1) 21 17

2x  x 3 (x1) x  x   VN

Vì với 17

21

x  ta có 2

1 0 (3 1) 21 17

2x  x 3 (x1) x  x  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1;x 2

Nhận xét: Khi giải phương trình vô tỉ có biểu thức trong căn là bậc một thì chỉ cần

tìm một nghiệm là có thể phân tích được còn phương trình vô tỉ có biểu thức trong căn là bậc hai thì tìm ra nhân tử bậc hai sẽ giúp ta phân tích nhân tử dễ dàng hơn

Mở rộng cho bất phương trình vô tỉ

Ví dụ 3: Giải bất phương trình 4 2

32x  16x  9x 9 2x 1 2 0  

(Trích đề thi thử số 1 năm 2016 báo THTT số 459 tháng 9/2015)

2

x 

32Q)^4$p16Q)dp9Q)p9s2Q)p1$+2= (Nhập và nhớ biểu thức)

Qr10=(Giải phương trình với x 10 phương trình có nghiệm x 1

!)aQ)p1Eoqr10=qr2=qr0.

5= (quét nghiệm phương trình máy báo không tìm được nghiệm)

w732Q)^4$p16Q)dp9Q)p9s2Q)p1$+2==0.5=10==$RRRRRRRRRR

(Kiểm tra bằng chức năng table thấy hết nghiệm)

Trang 6

Ta nhẩm được nghiệm nghiệm x 1 nên ta có nhân tử x 1

2(x 1) 2  x  1 1  2x 1  1

Như vậy bất phương trình được viết lại

  4 2

9 2x 1 1 32x 16x 9x 7 0

Nhân lượng lên hợp và phân tích nhân tử ta được

2 1 1

18

2 1 1

x



 

2

x 

2 1 1

18 ( 1) 32 32 16 7 0 (*)

2 1 1

x



 

2 1 1

x

  trên 1;

2







2

2 2( 2 1 1)

       

1

x x

Vậy bất phương trình có nghiệm x 1

2.2 Phương trình vô tỉ có nghiệm vô tỉ

Nhận xét: Do chương trình phổ thông chỉ có phương pháp giải phương trình bậc

hai nên các nghiệm vô tỉ đều là nghiệm của phương trình bậc hai Từ đó ta có thể dẫn tới hướng giải quyết là đi tìm nhân tử bậc hai của nghiệm vô tỉ

Chú ý: Theo định lí đảo của định lí Vi-et ta có:

Nếu hai số u v, thỏa mãn u v S uv P 



 thì u v, là nghiệm của phương trình

x  Sx P 

Phương pháp chung: Tìm nhân tử và tách căn theo nhân tử để nhân liên hợp

Trang 7

($$$o=)

Ví dụ 1: Giải phương trình 5x2  5x  3 7x 2 4  x2  6x  1 0

7

x 

s5Q)dp5Q)+3$ps7Q)p2$+4Q)dp6Q)+1r1= (Nhập và nhớ biểu thức)

qr=qJz (Giải phương trình với x 1được nghiệm x 1,39 và nhớ vào A)

Eqr10=(Giải phương trình với x 10vẫn được nghiệm A)

!)a(J)pJz)Eor1==qr==qJx (quét nghiệm phương trình ta được nghiệm

0,35

x  và nhớ vào B)

!!(J)pJx)r1===qr===

(Tiếp tục quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm)

Phương trình có nghiệm A, B và dễ thấy

7 4 1 2

A B AB









nên ta có nhân tử 4x2  7x 2

Do đó ta có







 5x2  5x  3 (x 1)2x 7x 2 4x2  7x  2 0

Nhân lượng liên hợp ta được

2 2

7

x 

Trang 8

 2    2

2 2

2

1 0





7 17

( ) 8

7 17

( ) 8











1 0 ( )

5x  5x 3 (x1) x x   VN

Vì với 2

7

x  ta có 2

1 0

5x  5x 3 (x1) x x  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 7 17

8

x 

Ví dụ 2: Giải phương trình x2  2 15  x2 x  15 3 15  x x 3  4 x

(Trích đề thi thử năm 2015 của trường THPT Cao Bá Quát - QN)

Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện 0  x 15

Q)dp2(s15pJ)d$+J))p15+3s15J)pJ)qd$+4sQ)r1= (Nhập và nhớ biểu thức)

qr=qJz (Giải phương trình với x 1được nghiệm x 2,35 và nhớ vào A)

E!)aJ)pJzEor1==qr==

(quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm)

Trong trường hợp này máy chỉ cho ta một nghiệm vô tỉ còn nghiêm liên hợp

đã bị loại do vi phạm điều kiện Mặt khác phương trình có nhiều căn nên việc mở rộng diều kiện của phương trình tương đối khó

Ở đây ta có thể khác phục bằng chức năng Table (w7) như sau

w7Jzd+JzJ)=p14=14==

(Nhập biểu thức f x( ) A2 AX với A là nghiệm vừa tìm được ở trên và tính với

 14;14

$RRRRRRRRRRRRRRRRRR

Trang 9

(Dò giá trị f x( )tìm giá trị hữu tỉ)

Ta thấy với f(4) 15  hay ta có A2  4A 15  A2  4A 15 0 

Suy ra ta có nhân tử x2  4x 15

Do đó ta có







 2 15  x2  2 x 3 15 x x 3  2xx2  4x 15 0 

2

x

ĐK: 0  x 15

2

x

2

4 15 0

2 3

1 0

x



 





* 2

2 19 ( )

4 15 0

2 19 ( )

  

 



x



Vì với 0  x 15 ta có 0  x 4  x  2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  2 19

Nhận xét: Như vậy nếu phương trình bất phương trình cho ta đủ hai nghiệm lên

hợp thì việc tìm nhân tử theo định lí Vi – ét là khá dễ dàng Tuy nhiên nếu phương trình chỉ cho ta một nghiệm vô tỉ ta vẫn có thể tìm ra nhân tử nhờ chức năng Table

Trang 10

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 19 1 1

6 1

x    x  

(Trích đề thi thử năm 2015 của trường THPT Hồng Quang - HD)

6

x 

Ta biến đổi bất phương trình thành 2

4x  38x 1 2 6  x 1  x  1 0 s4Q)d+38Q)p1$p2s6Q)p1$pQ)p1r1= (Nhập và nhớ biểu thức)

qr=qJz(Giải phương trình vớix 1được nghiệmx 0,58 và nhớ vào A)

qr=qJzEqr10=qJx

(Giải phương trình với x 10được nghiệm x 3, 41 và nhớ vào B)

E!)a(J)pJz)(J)pJx)Eor1===qr=== (quét nghiệm máy không tìm được nghiệm và giá trị x  do đó phương trình hết nghiệm)

Phương trình có nghiệm A, B và dễ thấy 4

2

A B AB









nên ta có nhân tử x2  4x 2

4(x  4x 2) 4  x  38x  1 (54x 9) ( 4  x  38x 1)  (3 6x 1)

 2 

4x  38x 1 3 6  x 1  6x 1 (  x 1) 0 

2

0

6 1 ( 1)

  

6 1 ( 1)

  

6

x 

2

0

6 1 ( 1)

  

Trang 11

Do 1

6

4(x 1)  (4x  38x 1) 12  x  6x 17 0   4(x 1)  4x  38x 1

6 1 ( 1)

4x 38x1 3 6 x1 x  x 

2 2

0

6

x

  

 



Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là

1

6  x x 

2.3 Chú ý

Ngoài cách tìm nhân tử và tách căn theo nhân tử để nhân liên hợp dạng

phương trình, vô tỉ còn có thể làm theo cách tách thành phương trình tích (Phương

pháp ép tích)

Ví dụ 1: Giải phương trình (x 1) 3x 1 2  x2  4x 1

(Trích đề số 8 – hướng dẫn ôn tập kì thi THPTQG năm 2014 – 2015)

3

x 

(J)p1)s3J)p1$p2Q)d+4Q)p1 r1= (Nhập và nhớ biểu thức)

qr=qJz(Giải phương trình vớix 1được nghiệmx 0.38 và nhớ vào A)

Eqr10=qJx

(Giải phương trình với x 10được nghiệm x 2,61 và nhớ vào B)

EE!)a!R(J)pJz)J(J)pJx)$or10===qr===qJc

(quét nghiệm phương trình ta được nghiệmx 0.35 và nhớ vào C )

E!!(J)pJc)r10====qr====

(Tiếp tục quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm)

Ta thấy A B  3,AB 1như vậy A và B là hai nghiệm liên hợp sẽ cho ta một nhân tử

Ở đây ta dung chức năng Table (w7) để tìm nhân tử như sau

w7s3Jzp1$+JzJ)=p5===

(Nhập biểu thức 3A 1 AX với A là nghiệm vừa tìm được ở trên và tính với

 5;5

x   )

Trang 12

$RRRR (Dò giá trị f x( )tìm giá trị hữu tỉ)

Ta thấy với f ( 1) 0  hay ta có 3x 1  xlà nhân tử

Tương tự với nghiệm C

C$$$oJc$$$$$oJc====

$RRRRRRR

Ta thấy với f(2) 1  hay ta có 3x 1 2  x 1là nhân tử

Do đó phương trình có tích  3x 1  x  3x 1 2  x 1

3

x 

(2 1 ) 3 1 (2 1) (3 1)

3 1

3 1 1 2

 

  



2

x  x x x  x  x   x  (do 1

3

x  )

*

1

7 17 2

8

7 17

8

x







Vậy phương trình đã cho có nghiệm 3 2, 7 17

x  x 

Ví dụ 2: Giải phương trình (5x 7) x2  1 4  x2  5x 1

Tìm nghiệm của phương trình chú ý điều kiện x 1;x 1

(5J)+7)sJ)dp1$p4J)dp5J)p1r1= (Nhập và nhớ biểu thức)

qr=qJz(Giải phương trình vớix 1được nghiệm 5

3

x  và nhớ vào A)

Eqr10=(Giải phương trình với x 10được nghiệm A)

qrp10=qJx

(Giải phương trình vớix 10được nghiệmx 1,18 và nhớ vào B)

qrp1=(Giải phương trình vớix 1được nghiệmx 1)

EE!)a(J)pJz)(J)pJx)9(J)p1)Eoqr==p10=

Trang 13

(Quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm)

Ta thấy phương trình có cả nghiêm hữu tỉ và vô tỉ và theo kinh nghiệm ta nên phân tích theo nghiệm vô tỉ

w7sJxdp1$+JxJ)=p5===

(Nhập biểu thức B2  1 BX với B là nghiệm vừa tìm được ở trên và tính với

 5;5

x   )

$RRR (Dò giá trị f x( )tìm giá trị hữu tỉ)

Ta thấy với f ( 2) 3  hay ta có x2  1 2  x 3là nhân tử

Theo ví dụ 1 thì ta sẽ tách5x 7theo 2x 3

ĐK: x 1;x 1

2







3

2

3

x





 

1

3 3

x















Vậy phương trình đã cho có nghiệm 6 6; 1; 5

x  x x

Ví dụ 3: Giải bất phương trình 2

2x  3(x 1) 2x  1 0

2

x 

2Q)dp3(J)+1)s2J)+1r0=

(Nhập và nhớ biểu thức)

qr=qJz(Giải phương trình vớix 0được nghiệmx 6.46 và nhớ vào A)

Trang 14

Eqr10=(Giải phương trình với x 10được nghiệm A)

!)a(J)pJz)Eor1==qr==qJx

(Quét nghiệm phương trình được nghiệmx 0.46 và nhớ vào B)

E!!(J)pJx)r1===qr===

(tiếp tục quét nghiệm may báo hét nghiệm)

Ta thấy AB 3và A B  6 nên A, B cho ta 1 nhân tử

Với nghiệm A ta có

w7s2Jzp1$po+JzJ)=0===

(Nhập biểu thức 2A 1 AX với A là nghiệm vừa tìm được ở trên và tính với

0;5

$RRRRR (Dò giá trị f x( )tìm giá trị hữu tỉ)

Ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Cp====$RRRRR (Sửa biểu thức thành  2A 1 AX và tính với x 0;5 ) cũng không thỏa mãn

C$2====$RRRRR (Sửa biểu thức thành  2 2A 1 AX và tính với x 0;5

) lần này ta được f(1)  1

Vậy nhân tử sẽ là: x  1 2x 1

2

x 

2

1) 4( 1) 2 1 2( 1) (4 2) 0

2

1

2 2 1 1 Do 2 2 2 1 2 1 2 1 1 0

2 1

8 4 2 1 Do

2

3 2 3 3 2 3 ( )

Vậy nghiệm của bất phương trình là 3 2 3    x 3 2 3

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

- Với việc áp dụng phương pháp này vào giảng dạy tôi thấy hứng thú học của học sinh khi làm bài tạp dạng này được nâng cao hơn nhiều Các em học sinh

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	605 KB