skkn chuyên đề giải phương trình vô tỉ

Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An LI NểI U Phng trỡnh vụ t l mt ti ly thỳ v ca i s, ó lụi cun nhiu ngi nghiờn cu say mờ v t sỏng to tỡm li gii hay, y tng phong phỳ v ti u Tuy ó c nghiờn cu t rt lõu nhng phng trỡnh vụ t mói mói cũn l i tng m nhng ngi am mờ Toỏn hc luụn tỡm tũi hc hi v phỏt trin t Mi loi bi toỏn phng trỡnh vụ t cú nhng cỏch gii riờng phự hp iu ny cú tỏc dng rốn luyn t toỏn hc mm do, linh hot v sỏng to Bờn cỏnh ú, cỏc bi toỏn gii phng trỡnh vụ t thng cú mt cỏc k thi hc sinh gii Toỏn cỏc cp THCS Chuyờn '' Gii phng trỡnh vụ t'' c vit theo chng trỡnh SGK hin hnh nhm dy hc sinh i tr trờn lp cng nh ụn thi hc sinh gii Chuyờn ó gii thiu mt s phng phỏp hay dựng gii phng trỡnh vụ t: ễn thi hc sinh i tr: Phng phỏp 1: NNG LU THA Phng phỏp 2: A V PHNG TRèNH TR TUYT I ễn thi hc sinh gii , lp chn: Phng phỏp 3: T N PH Phng phỏp 4: PHNG PHP NH GI Phng phỏp 5: PHNG PHP HM S Phng phỏp 6: S DNG BIU THC LIấN HP - TRC CN THC Trong chuyờn mi mt phng phỏp cú dnh nhiu bi cho hc sinh t luyn Chỳng tụi hy vng chuyờn ny s mang li cho bn c nhiu iu b ớch v giỳp cỏc bn cm nhn thờm v p ca Toỏn hc qua cỏc phng trỡnh vụ t Mc dự ó c gng rt nhiu, nhng chuyờn khụng trỏnh nhng sai sút Chỳng tụi mong nhn c nhng y kiờn úng gúp quy bỏu t cỏc thy cụ v cỏc em hc sinh chuyờn ngy cng hon thin hn! Mi úng gúp xin gi v : khaiquyet@gmail.com Chỳng tụi xin cm n! Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An PHềNG GIO DC V O TO LC NGN TRNG THCS M AN - LC NGN - BC GIANG Nm: 2010 - 2011 CHUYấN : PHNG TRèNH Vễ T I - Tỏc gi: T toỏn trng THCS M An - Lc Ngn - Bc giang II - Mc Lc: Phng phỏp 1: NNG LU THA Phng phỏp 2: A V PHNG TRèNH TR TUYT I Phng phỏp 3: T N PH Phng phỏp 4: PHNG PHP NH GI Phng phỏp 5: PHNG PHP HM S Phng phỏp 6: S DNG BIU THC LIấN HP - TRC CN THC Bi tng hp: Trang 3-6 6-7 - 17 17 - 21 21 - 22 22 - 24 24 - 27 III - Ti liu tham kho: Cỏc thy cụ v cỏc em hc sinh cú th tham kho : Nõng cao v phỏt trin toỏn - Tp - V Hu Bỡnh Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An CHUYấN PHNG TRèNH Vễ T PHNG PHP 1: NNG LU THA I-KIN THC: f ( x) f ( x) = g ( x ) g ( x ) f ( x) = g ( x) 1/ g ( x) f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x ) f ( x) 3/ f ( x) + g ( x) = h( x) g ( x) f ( x ) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x) f ( x) (n N * ) 4/ n f ( x) = n g ( x) g ( x) f ( x) = g ( x ) 2/ g ( x) f ( x) = g ( x ) (n N * ) 2n f ( x) = g ( x) 6/ n +1 f ( x) = n +1 g ( x) f ( x) = g ( x) (n N * ) 5/ 2n 7/ n +1 f ( x) = g ( x) f ( x) = g n +1 ( x) (n N * ) II-BI TP Bi 1: Gii phng trỡnh: x + = x (1) x x x x=3 x = x + = (x 1) x 3x = Bi 2: Gii phng trỡnh: x x + = HD:Ta cú: x x + = x + = x x 2 x + = x x x 2x = x x = x = x = HD: (1) Bi 3: Gii phng trỡnh: x + x = x HD: Ta cú: x + x = x x + = x + x x x x + = x + x + (1 x)(1 x) Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An x x x + x + = x 3x + (2 x + 1) = x x + x x x=0 x=0 x + 7x = x = Bi 4: Gii phng trỡnh: x x = x x (1) x x ( x 2)( x + 2) = x x + = HD:K: PT ( ) x2 =0 x + = ( ) x = x = 17 (2) Kờt hp (1) v (2) ta c:x = Bi Gii phng trỡnh : 3x = x 3+x HD:k: x ú pt ó cho tng ng: x + 3x + x = 3 10 10 x+ = x = ữ 3 3 Bi Gii phng trỡnh sau : x + = x x HD:k: x phng trỡnh tng ng : x = x + + = 3x 2 + + x = 9x x = 97 x + + = x 18 ( ) Bi Gii phng trỡnh sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) HD: pt ( x + 3x ) = x =1 Bi Gii v bin lun phng trỡnh: x = x m x m x m HD: Ta cú: x = x m 2 2 x = x 4xm + m 2mx (m + 4) = Nờu m = 0: phng trỡnh vụ nghim m2 + m2 + iu kin cú nghim: x m m 2m 2m + Nờu m > 0: m2 + 2m2 m2 < m Nờu m 0: x = Túm li: + Nờu m < 0: m2 + 2m2 m2 m Nờu m hoc < m 2: phng trỡnh cú mt nghim x = m2 + 2m Nờu < m hoc m > 2: phng trỡnh vụ nghim Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An Bi Gii v bin lun phng trỡnh vi m l tham s: x = x m (ờ thi hoc sinh gioi cõp tinh nm hoc 1999 2000) x m x m x = x + m 2mx 2mx (m + 3) = HD: Ta cú: x = x m 2 Nờu m = 0: phng trỡnh vụ nghim m2 + m2 + m iu kin cú nghim: x m 2m 2m + Nờu m > 0: m2 + 2m2 m2 m + Nờu m < 0: m2 + 2m2 m2 m Nờu m 0: x = Túm li: Nờu m hoc m Phng trỡnh cú mt nghim: x = m2 + 2m Nờu < m hoc m > : phng trỡnh vụ nghim Bi 10 Gii v bin lun theo tham s m phng trỡnh: x x = m m HD: iu kin: x Nờu m < 0: phng trỡnh vụ nghim Nờu m = 0: phng trỡnh tr thnh x ( x 1) = cú hai nghim: x1 = 0, x2 = Nờu m > 0: phng trỡnh ó cho tng ng vi ( x m)( x + m 1) = x m =0 x = m + Nờu < m 1: phng trỡnh cú hai nghim: x1 = m; x2 = (1 m) + Nờu m > 1: phng trỡnh cú mt nghim: x = m III-Bi ỏp dng: Bi 1:Gii cỏc phng trỡnh sau: 1/ x + x = 13 2/ x + 34 x = 3/ x + 3x = 5/ x + = x 6/ x + x = 12 x 4/ + x x + = x + 7/ x x x + x + = 10/ 5x + =0 8/ x2 = 11/ x + = 9/ = 6x x 19 13/ 16 x + 17 = x 23 14/ 3x + + x = Bi 2: Gii phng trỡnh: b) x x + = a) x = x d) + x + x = e) 3x + x = g) x + = x + h) 3x + x + = x + Bi 3: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim: x + 3x = Bi 4: Cho phng trỡnh: x x = m a) Gii phng trỡnh m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 5: Cho phng trỡnh: x + mx = x m a) Gii phng trỡnh m=3 b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú nghim Thỏng nm 2011 12/ x = 15/ 20 x = x c) x + x + = f) + x x = i) x x = 2m + x x Lc Ngn - Bc Giang Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An Bi 6: Gii cỏc phng trỡnh sau: a/ x x = d/ x x + x = 17 b/ 2x = e/ c/ 3x x + = g/ x = x x x h/ x + x = x3 x 27 + x 12 = i/ x + x + 12 = f) ( x + 3) 10 x = x x 12 PHNG PHP 2: A V PHNG TRèNH TR TUYT I I-KIN THC: f ( x ) = g ( x) ( f ( x ) 0) f ( x ) = g ( x ) ( f ( x) < 0) S dng hng ng thc sau: f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) II-BI TP: Bi 1: Gii phng trỡnh: x 4x + + x = (1) HD: (1) (x 2) = x |x 2| = x Nờu x < 2: (1) x = x (vụ nghim) Nờu x : (1) x = x x = (tho món) Vy: x = Bi 2: Gii phng trỡnh: x + + x + + x + 10 x + = x + x + (2) x + HD: (2) x + + x + + + x + 2.3 x + + = x + x + + x (*) x + + 1+ | x + |= 2.| x + | t y = x + (y 0) phng trỡnh(*) ó cho tr thnh: y + 1+ | y |= | y 1| Nờu y < 1: y + + y = 2y y = (loi) Nờu y 3: y + + y = 2y y = Nờu y > 3: y + + y = 2y (vụ nghim) Vi y = x + = x = (tho món) Vy: x = Bi 3:Gii phng trỡnh: x + x + x + + x = HD:K: x PT x + 2 x + + x + x + = 14 2x + + x + = 14 2x = x = 15 (Tho món) Vy:x = 15 Bi 4:Gii phng trỡnh: x + x + x x = HD:K: x Pt x + x + + x x + = x +1+ x 1 = Nờu x > pt x + + x = x = (Loi) Nờu x pt x + + x = x = (Luụn ỳng vi x ) Vy nghim ca phng trỡnh l: S = { x R | x 2} Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang Chuyờn gii phng trỡnh vụ t III-Bi ỏp dng: Gii cỏc phng trỡnh sau: 1/ x + x + = T Toỏn Trng THCS M An 2/ x x + = 3/ x x + = x 4/ 5/ x x + + x + x + = 6/ x x + x x + = 10 8/ x2 x + + x2 x + = 10/ x x + x x = 7/ x x + + x + x + = x x + 9/ x + x + x x = 11/ x + x + + x + 11 x + = 13/ x + x x + x + = 15/ x x + + x = 10 17/ 19/ x+ x+ 1 + x+ = 2 x + x + x x = x + x + = 5x + 12/ x + x + x + + x = 14/ x + + x + x 2 x = 16/ x x + + x = x + x +1 = 18/ x+3 21/ ( x 1) + x + x x + = 20/ x x + = x 22/ x + x = PHNG PHP 3: T N PH Phng phỏp t n ph thụng thng i vi nhiu phng trỡnh vụ vụ t , gii chỳng ta cú th t t = f ( x ) v chỳ y iu kin ca t nờu phng trỡnh ban u tr thnh phng trỡnh cha mt biờn t quan trng hn ta cú th gii c phng trỡnh ú theo t thỡ vic t ph xem nh hon ton Bi Gii phng trỡnh: x x + x + x = HD:iu kin: x Nhn xột x x x + x = 1 t t = x x thỡ phng trỡnh cú dng: t + = t = t Thay vo tỡm c x = Bi Gii phng trỡnh: x x = x + HD:iu kin: x t2 Thay vo ta cú phng trỡnh sau: t 10t + 25 2 (t 5) = t t 22t 8t + 27 = 16 (t + 2t 7)(t 2t 11) = t t = x + 5(t 0) thỡ x = Ta tỡm c bn nghim l: t1,2 = 2; t3,4 = Do t nờn ch nhn cỏc gỏi tr t1 = + 2, t3 = + T ú tỡm c cỏc nghim ca phng trỡnh l: x = vaứ x = + Cỏch khỏc: Ta cú th bỡnh phng hai vờ ca phng trỡnh vi iu kin x x Ta c: x ( x 3) ( x 1) = , t ú ta tỡm c nghim tng ng Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An n gin nht l ta t : y = x + v a v h i xng (Xem phn t n ph a v h) Bi Gii phng trỡnh sau: x + + x = HD:iu kin: x t y = x 1( y 0) thỡ phng trỡnh tr thnh: y + y + = y 10 y y + 20 = ( vi y 5) ( y + y 4)( y y 5) = y = T ú ta tỡm c cỏc giỏ tr ca x = 11 17 ( + 21 + 17 (loaùi), y = 2 )( Bi Gii phng trỡnh sau : x = 2004 + x x ) HD: K: x 2 t y = x thỡ phng trỡnh tr thnh: ( y ) ( y + y 1002 ) = y = x = Bi Gii phng trỡnh sau : x + x x = 3x + x HD:iu kin: x < Chia c hai vờ cho x ta nhn c: x + x 1 = 3+ x x x t t = x , ta gii c Bi Gii phng trỡnh : x + x x = x + 1 HD: x = khụng phi l nghim , Chia c hai vờ cho x ta c: x ữ+ x = x x t t= x 1 , Ta cú : t + t = t = x = x Bi 7.Gii phng trỡnh: 3x + 21x + 18 + x + x + = HD:t y = x + x + ; y y= y =1 Phng trỡnh cú dng: 3y + 2y - = y =1 x = Vi y = x + x + = L nghim ca phng trỡnh ó cho x = Nhn xột : i vi cỏch t n ph nh trờn chỳng ta ch gii quyờt c mt lp bi n gin, ụi phng trỡnh i vi t li quỏ khú gii t n ph a v phng trỡnh thun nht bc i vi bin : Chỳng ta ó biờt cỏch gii phng trỡnh: u + uv + v = (1) bng cỏch u u Xột v phng trỡnh tr thnh : ữ + ữ+ = v v v = th trc tiờp Cỏc trng hp sau cng a v c (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) u + v = mu + nv Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An Chỳng ta hóy thay cỏc biu thc A(x) , B(x) bi cỏc biu thc vụ t thỡ s nhn c phng trỡnh vụ t theo dng ny a) Phng trỡnh dng : a A ( x ) + b.B ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Nh vy phng trỡnh Q ( x ) = P ( x ) cú th gii bng phng phỏp trờn nờu: P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xut phỏt t ng thc : x + = ( x + 1) ( x x + 1) x + x + = ( x + x + 1) x = ( x + x + 1) ( x x + 1) ( )( ) x4 + = x2 x + x2 + 2x + x + = ( x x + 1) ( x + x + 1) Hóy to nhng phng trỡnh vụ t dng trờn vớ d nh: x 2 x + = x + cú mt phng trỡnh p , chỳng ta phi chn h s a,b,c cho phng trỡnh bc hai at + bt c = gii nghim p Bi Gii phng trỡnh : ( x + ) = x3 + HD: t u = x + (u 0) ; v = x x + (v ) u = 2v 37 phng trỡnh tr thnh : ( u + v ) = 5uv Tỡm c: x = u = v 2 Bi Gii phng trỡnh : x x + = x + x + (*) 4 2 2 HD:D thy: x + x + = ( x + x + 1) x = ( x + x + 1) ( x x + 1) 2 Ta viờt ( x + x + 1) + ( x x + 1) = ng nht vờ trỏi vi (*) ta c : ( x + x + 1) + ( x x + 1) = (x (x + x + 1) ( x x + 1) + x + 1) ( x x + 1) 3 2 t : u = x + x + u ữ ; v = x x + v ữ 4 phng trỡnh tr thnh :-3u+6v=- uv u = 3v T õy ta s tỡm c x Bi 3: Gii phng trỡnh sau : x + x = x3 (*) HD:k: x Nhn xột : Ta viờt ( x 1) + ( x + x + 1) = ( x 1) ( x + x + 1) ng nht vờ trỏi vi (*) ta c : ( x 1) + ( x + x + 1) = ( x 1) ( x + x + 1) v = 9u t u = x , v = x + x + > , ta c: 3u + 2v = uv v = u Ta c : x = Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Bi Gii phng trỡnh : x 3x + T Toỏn Trng THCS M An ( x + 2) 6x = HD:Nhn xột : t y = x + ta biờn pt trờn v phng trỡnh thun nht bc i vi x v y: x = y x 3x + y x = x 3xy + y = x = y Pt cú nghim : x = 2, x = Bi 5:Gii phng trỡnh: 10 x3 + = ( x + ) HD:K: x Pt 10 x + x x + = 3( x + 2) u = x + (u , v 0) t v = x x + u = 3v v = 3u Phng trỡnh tr thnh:10uv = 3(u2+v2) ( 3u v ) ( u 3v ) = Nờu u = 3v x + = x x + x 10 x + = (vụ nghim) x = 33 2 Nờu v = 3u x x + = x + x 10 x = x = + 33 l nghim b).Phng trỡnh dng : u + v = mu + nv Phng trỡnh cho dng ny thng khú phỏt hin hn dng trờn , nhg nờu ta bỡnh phng hai vờ thỡ a v c dng trờn Bi Gii phng trỡnh : x + x = x x + u = x ( u, v 0; u v ) ú phng trỡnh tr thnh : u + 3v = u v HD:Ta t : v = x hay: 2(u + v) - (u - v)= ( u + v ) ( u v ) Bi 2.Gii phng trỡnh sau : x + x + x = 3x + x + HD:k x Bỡnh phng vờ ta cú : (x + x ) ( x 1) = x + (x + x ) ( x 1) = ( x + x ) ( x 1) u = x + x ú ta cú h : v = x Ta cú th t : v u = uv = u v 1+ v u = 1+ 1+ Do u, v u = v x2 + 2x = ( x 1) 2 Bi Gii phng trỡnh : x 14 x + x x 20 = x + ( x x 20 ) ( x + 1) x + = ( x x 20 ) + ( x + 1) vy ta khụng HD:k x Chuyn vờ bỡnh phng ta c: x x + = Nhn xột : Khụng tn ti s , : x 2 u = x x 20 th t : v = x + Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang 10 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An Ta cú h phng trỡnh u+v =3 2 v u = u+v =3 u + v = u = v = v u = (v + u )(v u ) = x + x = x + x + = x3 + x = x + x + = x3 + x = ( x 1)( x + x + 2) = x = (do x + x + > x) Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l S = {1} 2 Bi Gii phng trỡnh: x = x x x x HD: iu kin: x0 x0 2 Vi iu kin (*),t u = x ; v = x , vi u 0, v x2 Ta cú: (*) = u4 x = v2 Do dú ta cú h u+v = u+v = u4 = v2 u + v = u+v = u+v = 3 ( u + v ) 2u v = ( u + v ) 2u.v 2u v = u+v = u+v = 2u.v 2u v = 2u v 16 u.v 65 = ữ 9 81 u + v = 194 u.v = 18 u + v = + 194 u.v = 18 u v v l nghim ca phng trỡnh Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang 14 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An 2 194 = 0(a ) y y + 18 y y + + 194 = 0(b) 18 (b) vụ nghim (a) cú nghim 97 1+ y1 = ; y2 = u1 = y1 u = y Do ú: v = y v = y1 Vỡ u nờn ta chn 1+ x= 97 3 1+ u = y2 = 1+ 97 x = 97 3 97 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim nht x = + Bi Gii phng trỡnh: 18 + x + 64 x = 97 HD:Vi iu kin 18 18 + x x 18 64 x 64 5 64 x x (*) t u = 18 + x , v = 64 x , vi u 0, v u = 18 + x v = 64 x Suy Phng trỡnh ó cho tng ng vi h: u+v =4 u+v = 2 2 u + v = 82 u + v 2(uv) = 82 v 0, v v 0, v ( ) t A = u + v v P = u.v, ta cú: S =4 2 S P P = 82 P 0, S S =4 S =4 p 32 P + 87 = P = P = 29 P0 P0 ( ) (1) Vi S = 4, P = u v v l nghim ca phng trỡnh: Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang 15 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An y =1 y2 y + = y = u = u = Do ú ta cú: v = v = 18 + x = 18 + x = Suy 64 x = 64 x = 18 + x = 18 + x = 81 64 x = 81 64 x = 17 63 x= x= tho (*) 5 (2) Vi S = 4, P = 29 khụng tn ti u v v Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l: 17 x1 = x = 63 5.2 Gii phng trỡnh vụ t bng cỏch a v h i xng loi II Ta hóy i tỡm ngun gc ca nhng bi toỏn gii phng trỡnh bng cỏch a v h i xng loi II ( x + 1) = y + Ta xột mt h phng trỡnh i xng loi II sau : ( y + 1) = x + thỡ n gin Bõy gi ta s biờn h thnh phng trỡnh bng cỏch t y = f ( x ) (1) (2) vic gii h ny cho (2) luụn ỳng , y = x + , ú ta cú phng trỡnh : ( x + 1) = ( x + 1) + x + x = x + 2 Vy gii phng trỡnh : x + x = x + ta t li nh trờn v a v h ( x + ) = ay + b Bng cỏch tng t xột h tng quỏt dng bc : , ta s xõy dng c ( y + ) = ax + b phng trỡnh dng sau : t y + = ax + b , ú ta cú phng trỡnh : a ( x + ) = ax + b + b a n Tng t cho bc cao hn : ( x + ) = n ax + b + b Túm li phng trỡnh thng cho di dng khai trin ta phi viờt v dng : n ( x + ) = p n a ' x + b ' + t y + = n ax + b a v h , chỳ y v du ca ??? n Vic chn ; thụng thng chỳng ta ch cn viờt di dng : ( x + ) = p n a ' x + b ' + l chn c Bi 1: Gii phng trỡnh: x x = 2 x HD:iu kin: x Ta cú phng trỡnh c viờt li l: ( x 1) = 2 x Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang 16 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An x x = 2( y 1) t y = x thỡ ta a v h sau: y y = 2( x 1) Tr hai vờ ca phng trỡnh ta c ( x y )( x + y ) = Gii ta tỡm c nghim ca phng trỡnh l: x = + Cỏch 2: t x = t + a x = t + 2at + a Chn a = -1 ta c:t2 - 2t = 2x - 2 x x = 2t kờt hp vi u bi ta cú h phng trỡnh: t 2t = x Gii h ny ta s tỡm c x Bi Gii phng trỡnh: x x = x + HD:iu kin x Ta biờn i phng trỡnh nh sau: x 12 x = x + (2 x 3) = x + + 11 (2 x 3) = y + ( x y )( x + y 1) = t y = x + ta c h phng trỡnh sau: (2 y 3) = x + Vi x = y x = x + x = + Vi x + y = y = x x = x + (vụ nghim) Kờt lun: Nghim ca phng trỡnh l x = + Bi 3:Gii phng trỡnh: x x + = HD:K: x Pt x = x + ; x (*) t x + = t + a x + = t + 2at + a Chn a = ta c:t2 - = x v kờt hp vi (*) ta c h phng trỡnh: x = t t õy ta s tỡm c nghim t = x 4x + ( x > 0) Bi 4:Gii phng trỡnh: 7x2 + 7x = 28 4x + 4x + = t + 2at + a =t+a HD:t 28 28 4x + 1 = t + t + 7t + 7t = x + Chn a = ta c: 28 x + x = t + Kờt hp vi u bi ta c h phng trỡnh: 7t + 7t = x + Gii h phng trỡnh trờn ta tỡm c nghim Bi ỏp dng: Gii phng trỡnh: x + x + = x + PHNG PHP 4: PHNG PHP NH GI I-KIN THC: 1.Bt ng thc Bunhiakụpxki: Cho hai b s : ( a , b), (x , y) thỡ ta cú: (ax + by)2 (a + b )( x + y ) Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang 17 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t a T Toỏn Trng THCS M An b Du = xy x = y 2.Bt ng thc cụsi: a) Vi hai s a, b thỡ ta cú: Du = xy a = b a+b ab b) Vi ba s a, b, c thỡ ta cú: Du = xy a = b = c a+b+c abc c) Vi bn s a, b, c, d thỡ ta cú: Du = xy a = b = c = d e) Vi n s a1, a2,, an thỡ ta cú: Du = xy a1 = a2 = = an 3.GTLN,GTNN ca biu thc: a/ A = m + f2(x) m a+b+c+d abcd a1 + a2 + + an n a1.a2 an n b/ A = M - g2(x) M Am MinA = m AM MaxA = M Du ''='' xy f(x) = Du ''='' xy g(x) = Dựng hng ng thc : T nhng ỏnh giỏ bỡnh phng : A2 + B , ta xõy dng phng trỡnh dng A2 + B = T phng trỡnh ( ) ( 5x x + ) 5x + x = ( ta khai trin cú phng trỡnh : x + 12 + x = x x + x Dựng bt ng thc ) A m (1) B m (2) Mt s phng trỡnh c to t du bng ca bt ng thc: nờu du bng (1) v (2) cựng t c ti x0 thỡ x0 l nghim ca phng trỡnh A = B , du bng x +1 + 1+ x v ch x = Vy ta cú phng trỡnh: 2008 x + + 2008 x = x +1 A f ( x ) ụi mt s phng trỡnh c to t y tng : ú : B f ( x) A = f ( x ) A=B B = f ( x ) Ta cú : + x + x Du bng v ch x = v x +1 + Nờu ta oỏn trc c nghim thỡ vic dựng bt ng thc d dng hn, nhng cú nhiu bi nghim l vụ t vic oỏn nghim khụng c, ta dựng bt ng thc ỏnh giỏ c II-BI TP: Bi Gii phng trỡnh : Thỏng nm 2011 2 + x = x+9 x +1 Lc Ngn - Bc Giang 18 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An HD:k: x 2 x = x+9 + x +1 + x + x + ữ 1 x= x +1 2 + xữ 2 Ta cú : x +1 Du bng 2 = x +1 ( ) Bi Gii phng trỡnh : 13 x x + x + x = 16 HD:k: x ( Biờn i pt ta cú : x 13 x + + x ) = 256 p dng bt ng thc Bunhiacopxki: ( 13 13 x + 3 + x ) ( 13 + 27 ) ( 13 13 x + + x ) = 40 ( 16 10 x ) p dng bt ng thc Cụsi: 10 x ( 16 10 x 2 ) 16 ữ = 64 2 x= + x2 x = Du bng 10 x = 16 10 x x = 3` Bi Gii phng trỡnh: x 3x x + 40 4 x + = HD:Ta chng minh : 4 x + x + 13 v x 3x x + 40 ( x 3) ( x + 3) x + 13 Bi 4: Gii phng trỡnh: x + x = x 12 x + 38 HD:Ta cú :VT2=( x + x )2 (1 + 1).(7- x + x - 5) = Nờn : < VT Mt khỏc:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 Theo gi thiờt du ''='' xy v ch khi:x = Vy x = l nghim nht ca phng trỡnh ó cho Bi 5: Gii phng trỡnh: x + 3x + x + = HD:K: x [ 1; 2] (1) PT x + 3x = x + (2) T (2) ta cú: 2 x +1 x +1 x +1 x (3) T (1) v (3) Ta cú x = thờ vo (2) tho món.Vy :x = Bi 6:Gii phng trỡnh : HD: iu kin x > x 4x + =2 x 4x 1 p dng bt ng thc cụ si ta cú: x 4x + 4x x Thỏng nm 2011 x 4x ì 4x = x Lc Ngn - Bc Giang 19 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An Theo gi thiờt du bng xy v ch khi: x = 4x x 4x x 4x + = (x 2) = x = Du = xy x = 4x x 4x + = x 4x + = (x 2) = x = x = (Tho món) Vy : x = Bi 7:Gii phng trỡnh : x 5x = 3x HD: Cỏch iu kin x Vi x thỡ: Vờ trỏi: x < 5x vờ trỏi luụn õm Vờ phi: 3x vờ phi luụn dng Vy: phng trỡnh ó cho vụ nghim Cỏch Vi x 1, ta cú: x = 5x + 3x x = 8x + (5x 1)(3x 2) 7x = (5x 1)(3x 2) Vờ trỏi luụn l mt s õm vi x 1, vờ phi dng vi x phng trỡnh vụ nghim Bi 8:Gii phng trỡnh : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = 2x x (1) HD: Ta cú (1) x + 2x + + ữ + x + 2x + + ữ = (x + 2x + 1) + 3(x + 1) + + 5(x + 1) + = (x + 1) Ta cú: Vờ trỏi + = + = Du = xy x = Vờ phi Du = xy x = Vy: phng trỡnh ó cho cú mt nghim x = Bi 9:Gii phng trỡnh : HD: iu kin x x+7 + = 2x + 2x x +1 D thy x = l mt nghim ca phng trỡnh Nờu x < : VT = Nờu x > 2: VP = 2x2 + + < + M: VP > + x +1 2x > 2.22 + = + VT < + 1+ x > x +1 > +1 6 1+ < 1+ =3 x +1 +1 Vy: phng trỡnh ó cho cú mt nghim nht l x = Bi 10:Gii phng trỡnh : Thỏng nm 2011 + =6 x 2x Lc Ngn - Bc Giang 20 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An l nghim ca phng trỡnh Ta cn chng < v 6 Tng t vi < x < 2: x 2x HD: K: x < Bng cỏch th, ta thy x = Bi 11:Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 1 1 + + + ììì+ = 1.2 2.3 3.4 x ( x + 1) 4x +4 x +5 HD:K: x (1) Ta cú: x + = x +5 x = x (*) Ta cú: VP(*) = x x (2) T (1) v (2) ta cú:x = l nghim nht III-BI TP P DNG: Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau : 2x + + 2x = 2x + 2x + + 2x 2x 2x4 + = 4 + x4 + x4 x 3` 3x x + 40 4 x + = x + x + x x = + Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau : 1/ x - + - x = x - 8x + 24 3/ x + x + = x x + 13 5/ x + x = x 12 x + 14 x2 + 1 = 4x+ ữ x x 16 x + = x + x + x + 64 x3 = x x + 28 x + x = x x + 18 2/ x + x = x 10 x + 27 4/ x + + x = 6/ x + 10 x = x 12 x + 40 PHNG PHP 5: PHNG PHP HM S S dng cỏc tớnh cht ca hm s gii phng trỡnh l dng toỏn khỏ quen thuc Ta cú hng ỏp dng sau õy: Hng 1: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = k Bc 2: Xột hm s y = f ( x) Bc 3: Nhn xột: Vi x = x0 f ( x) = f ( x0 ) = k ú x0 l nghim Vi x > x0 f ( x) > f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vi x < x0 f ( x) < f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 2: Thc hin theo cỏc bc Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = g ( x) Bc 2: Dựng lp lun khng nh rng f ( x) v g(x) cú nhng tớnh cht trỏi ngc v xỏc nh x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang 21 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An Bc 3: Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 3: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng f (u ) = f (v) Bc 2: Xột hm s y = f ( x) , dựng lp lun khng nh hm s n iu Bc 3: Khi ú f (u ) = f (v) u = v ( ) ( ) 2 Vớ d: Gii phng trỡnh : ( x + 1) + x + x + + x + x + = ( HD:pt ( x + 1) + ( x + 1) ) ) ( ( + = ( x ) + ( 3x ) ) + f ( x + 1) = f ( x ) Xột hm s f ( t ) = t + t + , l hm ng biờn trờn R, ta cú x = Vớ D 2: Gii phng trỡnh: x + + x + + x + = HD: nhn thy x = -2 l mt nghim ca phng trỡnh t f ( x ) = x + + x + + x + Vi x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 ) vy hm s f(x) ng biờn trờn R Vy x = -2 l nghim nht ca phng trỡnh Bi ỏp dng: Gii phng trỡnh: c) x = + x x e) a) x + x = b) x = x3 x + x = x + x x3 d) f) x + x + = 2x + x2 + = x PHNG PHP 6: S DNG BIU THC LIấN HP - TRC CN THC Mt s phng trỡnh vụ t ta cú th nhm c nghim x0 nh vy phng trỡnh luụn a v c dng tớch ( x x0 ) A ( x ) = ta cú th gii phng trỡnh A ( x ) = hoc chng minh A ( x ) = vụ nghim , chỳ ý iu kin ca nghim ca phng trỡnh ta cú th ỏnh gớa A ( x ) = vụ nghim Bi 1:Gii phng trỡnh: x ( x + ) + x ( x 1) = x (1) HD: C1: K x 2; x ( 1) x2 x x2 2x x ( x 1) x ( x + ) x x ( x 1) x ( x + ) =2x =2x ( 2) x ( x 1) x ( x + ) = x ( x 1) = x + Nờu x ta cú x ( x 1) + x ( x + ) = x ( 3) Gii (3) ta tỡm c x x ( x 1) x ( x + ) = x ( x 1) = x + Nờu x -2 ta cú x ( x 1) + x ( x + ) = x Gii (4) ta tỡm c x C2: K: x 2; x Nờu x ta chia c hai vờ cho Thỏng nm 2011 x ta c: ( x + 2) + ( x 1) ( 4) =2 x Lc Ngn - Bc Giang 22 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An Bỡnh phng hai vờ sau ú gii phng trỡnh ta tỡm c x Nờu x -2 t t = -x t Thay vo phng trỡnh ta c t ( t + ) + t ( t 1) = t ( t ) + t ( t + 1) = ( t ) ( t) 2 Chia c hai vờ cho t ta c ( t ) + ( t + 1) = t Bỡnh phng hai vờ tỡm c t Sau ú tỡm x Trong C1 ta ó s dng kiờn thc liờn hp Cũn C2 ta dng kiờn thc xỏc nh v n ca phng trỡnh.nhỡn chung thỡ vic dng theo C2 n gin hn x x + x = ( x x 1) x x + Bi Gii phng trỡnh sau : HD: 2 2 Ta nhn thy : ( x x + 1) ( x x 3) = ( x ) v ( x ) ( x 3x + ) = ( x ) x + Ta cú th trc cn thc vờ : x x + + ( x x + 1) 3x = x + x 3x + D dng nhn thy x = l nghim nht ca phng trỡnh Bi Gii phng trỡnh sau: x + 12 + = x + x + 5 Ta nhn thy : x = l nghim ca phng trỡnh , nh vy phng trỡnh cú th phõn tớch v dng ( x ) A ( x ) = , thc hin c iu ú ta phi nhúm , tỏch nh sau : x2 x2 x + 12 = x + x + = 3( x 2) + x + 12 + x2 + + x + 12 x + = x x HD: phng trỡnh cú nghim thỡ : x+2 x +1 ( x 2) 3ữ= x = 2 x2 + + x + 12 + x+2 x+2 < 0, x > D dng chng minh c : x + 12 + x2 + + Bi Gii phng trỡnh : x + x = x HD :k x Nhn thy x = l nghim ca phng trỡnh , nờn ta biờn i phng trỡnh x + ( x 3) ( x + x + ) 3 x + x = x ( x 3) + = 3 x2 x3 + ( ) + x + Ta chng minh : x+3 1+ (x 1) + x + = 1+ ( x+3 < < x + 3x + x2 + + x3 + ) Vy pt cú nghim nht x = Bi 5:Gii phng trỡnh sau: x2 + x+ x + + x2 x x =x HD:K: x Nhõn vi lng liờn hp ca tng mu s ca phng trỡnh ó cho ta c: (x )( ) ( )( ) x + x x + x x = 3.x Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang 23 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t (x x > x ( ) (x + ) +( x 2 + + ) ) T Toỏn Trng THCS M An = 3.x (x +2 3) = 27 x x > x > ; x ( 2x ) 4 4 ( x 3) = x ( x ) 4( x 3) = x ( x ) Gii h trờn ta tỡm c x = 2 x2 = x+9 Bi 6:Gii phng trỡnh: + 2x ( x HD:K: x Pt ( 2x2 + + x ( + 2x ( )( ) ) + + 2x x 18 + x + + x 4x + 2x = x = l nghim ) = x+9 ) = x+9 Bi dng: 1) x ( x 3) + x ( x ) = x 2) ( x + 3) ( x + ) + ( x + 3) ( x 1) = ( x + 3) Tng quỏt: f ( x ) g ( x ) + f ( x ) h ( x ) = f ( x ) 3) 3x x + 10 = 3x + BI TP TNG HP Bi 1: Tỡm tt c cỏc s thc x1; x2; ; x2005 tho món: x1 12 + x2 22 + + 2005 x2005 20052 = ( x1 + x2 + + x2005 ) Bi 2: Tỡm cỏc s thc x, y, z tha iu kin: x + y + z = ( x + y + z) Bi 3: Gii cỏc phng trỡnh sau: x + 2x = 3( x x + 1) = ( x + x 1) x + x +1 = x + 48 = x + x + 35 2( x + 2) = x + Thỏng nm 2011 x2 x + = ( )( x x = ( x + 2)( x + 4) + 5( x + 2) ) x x = x x + 17 x + x 17 x = x+4 =6 x+2 x 3x = x2 + x + x2 x + = Lc Ngn - Bc Giang 24 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t 10 x = x T Toỏn Trng THCS M An x = x 27 x10 x + 864 = x2 + x + x x2 + = x2 x + 3+x 3x + x = x + x + x x + 24 + = x + x + Bi 4: Gii cỏc phng trỡnh sau: 25 x 10 x = ( x) x + ( x 5) x x + x5 ( x + 3) x2 4x + + x2 4x + + x2 x + = + x +1 +3= x ( x 3) ( x + 1) ( x 3) =2 x + x + 20 = x + 10 10 x = x x 12 2x + = x x2 + x + = 2 x + x + = x 20 3x + 3x x + x = + x + x = x + x x 12 = 48 + x 2x 2x = +1 3 +1 x + ữ x + ữ+ = x x x 20 + 2+ x + 2+ x 4x + + = x5 x 45 = + x x x x ( x) = x + x2 =4 x + ( x 5) x x + x5 9x + + x= x4 + x + 2005 = 2005 =2 3x 3+x a + b x = + a b x (a , b > 0) 64x6 - 112x4 + 56x2 - = x x + x + x + x + 28 = Bi 5: Ky hiu [x] l phn nguyờn ca x 3 Gii phng trỡnh sau: + + + x = 855 Bi 6:Cho phng trỡnh: x x + x + = x x + 62 x Gi tng cỏc nghim ca phng trỡnh l S,tớnh S15 Bi 7:Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau: a/ x + y = 1960 b/ x + y = 1980 c/ x y = 48 Bi 8:Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau: + x2 d/ x + y = 2000 1225 + = 74 x y z 771 y z 771 Bi 9:Gii cỏc phng trỡnh sau : x 14 x + x x 20 = x + x 1 2x + = + x x x x x + = x3 x 15 30 x x ) = 2004 ( ( x 1) x x 10 = x x 10 ( x3 + = x3 + x + ) ( x + = x + 3x + x + ) ( x + x + 12 x + = 36 ( + x ) + 3 x2 + ( x ) = 2008 x x + = 2007 x x = (2004 + x )(1 x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x 2 x + x3 + x + x + = + x Thỏng nm 2011 ) 30060 x + + ( x + ) + 16 ( x ) + 16 ( x ) = x + 16 Lc Ngn - Bc Giang 25 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t x + + x = + x3 + x x + 3x + = x x + + 2 x x + 16 x + 18 + x = x + 12 x + x = x + x + 3x3 = x 2 x 11x + 21 3 x = ( x) ( x) T Toỏn Trng THCS M An = x+ ( x ) ( 10 x ) x2 + = x + 2x x + + 3x + = x + + x + x + x + = ( x + 3) x + x + x +1 = x 3 (1 x ) x3 + = x 2x2 Bi 10: Gii phng trỡnh: a) x + x + x + = 12 x b) x x + x + = x d) 3x + 15 x + x + x + = c) x x + = x x + 12 e) ( x + 4)( x + 1) x + x + = f) g) x + 3x + 2 x + x + = Bi 11: Gii phng trỡnh: (1 x ) x3 + x+ x x = x 2x x2 x2 + = x2 + 5x + 2 x2 + 5x = h) x + x + 11 = 31 + x2 ( x ) = x ( x2 ) 35 12 x + x + = 2x + 3x2 + 3x + x2 + x + = 3x + ( x 3) ( x + 1) + ( x 3) ( 1+ x) = + x2 x +1 = x3 64 x 112 x + 56 x = x Bi 12: Cho phng trỡnh: + x + x + ( + x ) ( x ) = m a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim c) Tỡm m phng trỡnh cú nghim nht 1 + =m x x Gii phng trỡnh vi m = + Bi 13: Cho phng trỡnh: a) b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 14: Cho phng trỡnh: ( x x ) + x x m = a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 15:Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: y = x + x + x x x+ x+ x+ x = y y2 = + x2 4x y = x + x + + x +1 y = x + 2x + x 2x y = x x + x + x Bi 16: Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: x + x + x + + x = y nờu: a/ Vờ trỏi cú 100 du cn b/ Vờ trỏi cú n du cn Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang 26 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T Toỏn Trng THCS M An Bi 17:Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: x + x + x + + x + x = x (Vờ trỏi cú 100 du cn) Bi 18:Tỡm cỏc s hu t a v b tho món: Bi 19:Cho hai s x , y tho món: ( a+b x2 + x )( ab = 20 ) y + y = Tớnh x + y Bi 20:Gii phng trỡnh: x + + x = Bi 21:Cho cỏc s thc dng x,y,z tho iu kin: Bi 22:Cho cỏc s thc dng a,b,c tho iu kin: a + b c = a + b c Chng minh rng: 2010 a + 2010 b 2010 c = 2010 a + b c x y + y z + z x2 = Chng minh rng: x + y + z = Bi 23:Gii phng trỡnh nghim nguyờn: y = + 199 x x Bi 24:Tỡm cỏc s hu t a v b biờt: a b = 11 28 x + x2 Bi 25:Gii phng trỡnh: =1 x2 Bi 26:Tỡm cỏc s nguyờn k tho món: 1+ 1 1 1 2009 + + + + + + + + = 2009 12 22 22 32 k ( k + 1) Bi 27:Gii phng trỡnh: 1/ + x + x = 2/ x + x + x x = x + 3/ x x 30 2007 30 + x 2007 = 30 2007 4/ x + x 3x = x + x + + x x + 5/ x + + x + + x + + + 100 x + 100 = 165 6/ 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x 7/ x + 45 x + 25 x + 125 16 x + 80 + =9 12 16 8/ x + 712671620 52408 x + 26022004 + x + 712619213 56406 x + 26022004 = 9/ 2009 + 2010 x + x + = 20 + 2009 2010 x + x + 10/ ( x + 5)(2 x) = x + 3x Bi 28:Gii cỏc phng trỡnh sau: 15 x x = x 15 x + 11 ( x + 5)(2 x) = x + x (1 + x)(2 x) = + x x x + 17 x + x 17 x = 3x + x = x + 3x x + x + x + 11 = 31 n (1 + x) + n x + n (1 x) = ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x x = (2004 + x )(1 x ) x2 + x2 = The end Thỏng nm 2011 Lc Ngn - Bc Giang 27 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Thỏng nm 2011 T Toỏn Trng THCS M An Lc Ngn - Bc Giang 28 [...]... Cho phương trình: 1 + x + 8 − x + ( 1 + x ) ( 8 − x ) = m a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 1 1 + =m 2 x 1− x 2 Giải phương trình với m = 2 + 3 Bài 13: Cho phương trình: a) b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: 2 ( x 2 − 2 x ) + x 2 − 2 x − 3 − m = 0 a) Giải phương trình với m = 9 b) Tìm m để phương trình. .. là nghiệm của phương trình là x ∈ {2;3} 1 2 −1 − x + 4 x = 4 Bài 2 Giải phương trình: 2 Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:  Tháng 1 năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 12 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An HD:Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 2 − 1  2 − 1 − x = u ⇒0≤u≤ Đặt  4  x = v 2 − 1,0 ≤ v ≤ 4 2 −1 1  u = 4 −v 1   2 u + v = 4  2 ⇔ Ta đưa về hệ phương trình sau: ... ta được hệ phương trình:  7t 2 + 7t = x + 1  2 Giải hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm Bài tập áp dụng: Giải phương trình: 2 x 2 + 2 x + 1 = 4 x + 1 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I-KIẾN THỨC: 1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai bộ số : ( a , b), (x , y) thì ta có: (ax + by)2 ≤ (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) Tháng 1 năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 17 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ a Tổ Toán... x2 + 3 = 4 − x PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = 0 ta có thể giải phương trình A ( x ) = 0 hoặc chứng minh A ( x ) = 0 vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A ( x ) = 0 vô nghiệm Bài 1 :Giải phương trình: x ( x +... những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau ) ( 2 2 2 Bài 1 Giải phương trình : x + 3 − x + 2 x = 1 + 2 x + 2 t = 3 2 HD:Đặt t = x 2 + 2 ; t ≥ 2 , ta có : t − ( 2 + x ) t − 3 + 3x = 0 ⇔  t = x −1  Bài 2 Giải. .. ( b + c ) = 0 3 Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba 7 x + 1 − 3 x2 − x − 8 + 3 x 2 − 8x + 1 = 2 3 3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0 Bài 1 Giải phương trình : x = 2 − x 3 − x + 3 − x 5 − x + 5 − x 2 − x 3 HD:ĐK: x ≤ 2 Tháng 1 năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 11 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ u = 2 − x ; u ≥ 0  Đặt v = 3 − x ; v ≥ 1 , ta có... x) < f ( x0 ) = k do đó phương trình vô nghiệm • Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình Hướng 2: Thực hiện theo các bước Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f ( x) = g ( x) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f ( x) và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định x0 sao cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Tháng 1 năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 21 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS... 15 ⇒ x = 4 Với t = 113 ⇒ x = 548 Bài 6 Giải phương trình: x3 + x 2 − 1 + x 3 + x 2 + 2 = 3 HD:Với điều kiện: x3 + x 2 − 1 ≥ 0 ⇒ x3 + x 2 + 2 > 0 (1)  u = x 3 + x 2 − 1 Đặt  Với v > u ≥ 0 v = x 3 + x 2 + 2 Phương trình (1) trở thành u + v = 3 Tháng 1 năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 13 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An Ta có hệ phương trình  u+v =3  2 2 v − u = 3 u+v =3... u và v Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: 17   x1 = − 5   x = 63  2 5 5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II  Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II ( x + 1) 2 = y + 2  Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :  2 ( y + 1) = x + 2 thì đơn giản Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng... 10 :Giải phương trình : Tháng 1 năm 2011 6 8 + =6 3− x 2−x Lục Ngạn - Bắc Giang 20 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An 3 là nghiệm của phương trình Ta cần chứng 2 3 6 8 < 2 và 6 Tương tự với < x < 2: 2 3− x 2−x HD: ĐK: x < 2 Bằng cách thử, ta thấy x = Bài 11:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: