Chuyên đề giải phương trình vô tỉ

Phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỷ. Trong những năm gần đây, phương trình vô tỷ thường xuyên xuất hiện ở câu II trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng. Vì vậy, việc trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỷ kèm với phương pháp giải chúng là rất quan trọng. Như chúng ta đã biết phương trình vô tỷ có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải khác nhau. Trong bài tập lớn này, tôi xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vô tỷ”, mỗi phương pháp đều có bài tập minh họa được giải rõ ràng, dễ hiểu; sau mỗi phương pháp đều có bài tập áp dụng giúp học sinh có thể thực hành giải toán và nắm vững cái cốt lõi của mỗi phương pháp. Hy vọng nó sẽ góp phần giúp cho học sinh có thêm những kĩ năng cần thiết để giải phương trình chứa căn thức nói riêng và các dạng phương trình nói chung.

Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A LỜI NĨI ĐẦU: Phương trình mảng kiến thức quan trọng chương trình Tốn phổ thơng Giải phương trình tốn có nhiều dạng giải linh hoạt, với nhiều học sinh kể học sinh giỏi nhiều lúng túng trước việc giải phương trình, đặc biệt phương trình vơ tỷ Trong năm gần đây, phương trình vơ tỷ thường xun xuất câu II đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng Vì vậy, việc trang bị cho học sinh kiến thức liên quan đến phương trình vơ tỷ kèm với phương pháp giải chúng quan trọng Như biết phương trình vơ tỷ có nhiều dạng nhiều phương pháp giải khác Trong tập lớn này, tơi xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ”, phương pháp có tập minh họa giải rõ ràng, dễ hiểu; sau phương pháp có tập áp dụng giúp học sinh thực hành giải tốn nắm vững cốt lõi phương pháp Hy vọng góp phần giúp cho học sinh có thêm kĩ cần thiết để giải phương trình chứa thức nói riêng dạng phương trình nói chung Page Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A A BÀI TỐN MỞ ĐẦU: Giải phương trình:  x  x  x   x (*) (ĐHQG HN, khối A-2000) Giải: Điều kiện:  x   Cách 1: 2   (*)  1  x  x2   x   x   4  1 x  x  ( x  x )   x(1  x )    4( x  x )  x  x   x  x (2 x  x  3)   x  x2    x  x2   2 x  x    x  x   0( PTVN )  x  (thỏa điều kiện)  x   Vậy nghiệm phương trình x  0; x   Cách 2: Nhận xét: x  x biểu diễn qua  x  1 x  x  x nhờ vào đẳng thức: =1+2 x  x Đặt t  x   x (t  0) t 1  x x  2 Phương trình (*) trở thành: t  t2 1  t  t  3t     t  Với t  ta có phương trình: 1 x  (thỏa điều kiện) x   x   x  x   x  x2    x   Với t  ta có phương trình: Page Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A 9  x  x   0( PTVN ) 4 Vậy nghiệm phương trình x  0; x  x   x   x  x2   x  x2   Cách 3: Nhận xét: x  x có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể  x  1 x  1 x   (*)  x  x   x  x      x x   x  (1) khơng thỏa mãn phương trình (1) x 3 (2) Do đó, (1)   x  x 3 3t  Đặt t  x (t  0), (2)   x  2t  x Ta có:  x  1 x  1  3t   t   1  2t    t (4t  12t  9)  9t  18t   4t  12t   4t  12t  14t  6t   t (2t  6t  7t  3)   t (t  1)(2t  4t  3)  t   t  Với t  ta có x   x  (thỏa điều kiện) Với t  ta có x   x  (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x  0; x   Cách 4: Nhận xét: x  x có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể  x  Đặt a  x (a  0); b   x (b  0) Ta có hệ phương trình:  3  2ab  3(a  b) 2ab  3(a  b)  1  ab  a  b     2 (a  b)  2ab  (a  b)  3(a  b)   a  b   Page  Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A  a  b    2ab  3(a  b)  ab     a  b    a  b    a  b    ab   a   b   a, b nghiệm phương trình X  X     a    b  a  b   (Trường hợp  loại   ) ab  a   x   x  (thỏa điều kiện) Với  ta có  b    x  a   x   x  (thỏa điều kiện) ta có  Với  b    x  Vậy nghiệm phương trình x  0; x   Cách 5: Nhận xét: Từ Đặt  x  x  sin a,  a  1 x    , ta nghĩ đến đẳng thức: sin a  cos2 a    2sin a.cos a  3sin a  3cos a (vì cos a  0) Phương trình (*) trở thành:  sin a  sin a  sin a   sin a  (sin a  cos a )2  3(sin a  cos a)   sin a  cos a     sin a  cos a   sin( a  )  sin a  cos a      a    k 2   sin(a  )   ( k  )  a    3  k 2  4 a k a        k  (   )    (vì  a  )  a   k 2 a    Với a  ta có x   x  (thỏa điều kiện) Page Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A Với a  ta có x   x  (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x  0; x  Qua tốn mở đầu, ta thấy có nhiều cách khác để giải phương trình vơ tỷ Tuy nhiên, cách dựa sở phá bỏ thức đưa phương trình đơn giản mà ta biết cách giải Sau đây, tơi xin trình bày số phương pháp cụ thể để giải phương trình vơ tỷ B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG  Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm  Một số phép biến đổi tương đương:  Cộng, trừ hai vế phương trình với biểu thức mà khơng làm thay đổi tập nghiệm phương trình  Nhân, chia hai vế phương trình với biểu thức khác mà khơng làm thay đổi điều kiện phương trình  Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai bậc lẻ hai vế phương trình  Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai bậc chẵn hai vế hai vế phương trình dương Lũy thừa hai vế phương trình:  k 1 f ( x)  g ( x )  f ( x )  g k 1 ( x)     g ( x)  f ( x )  g ( x)   2k  f ( x ) g ( x )  k 1 f ( x )  k 1 g ( x )  f ( x )  g ( x ) 2k 2k  g ( x)  f ( x)  k g ( x )    f ( x )  g ( x)  Thơng thường ta gặp phương trình dạng : A  B  C  D , ta thường bình phương vế, điều nhiều gặp khó khăn  Với phương trình dạng: A  B  C ta thường lập phương hai vế để đưa phương trình dạng: A  B  3 A.B A  B  C ta sử dụng   phép : A  B  C ta phương trình hệ quả: A  B  3 A.B.C  C Bài 1: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x  1 x   x  10  x   x  (*) Page Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A (*)  x  11  x  11x  10  x   x  x  10   x  11x  10  x  x  10  x  11x  14  x  11x  10  x  x  10  x  11x  10   x   x    x  1    x  1 (thỏa điều kiện) 9 x    x  11x  10  x  x  Vậy nghiệm phương trình là: x  1 Bài 2: Giải phương trình: Giải: x   x   x   (*) (*)  x   x    x   x   3 ( x  1)( x  2)( x   x  2)   x   x   ( x  1)( x  2)( x   x  2)     x   ( x  1)( x  2)  x    ( x  1)( x  2)( x  3)  x   x  x  11x   x  x  12 x   x  2 Thử lại, x  2 thỏa mãn phương trình (*) Vậy nghiệm phương trình là: x  2 Bài 3: Giải phương trình: x   3x   x  x  Giải: Điều kiện: x  Bình phương vế khơng âm phương trình ta được:   x  3 x  1  x  x  x  1 , để giải phương trình dĩ nhiên khơng khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : 3x   x   x  x  Bình phương hai vế ta phương trình hệ : x  x   x  12 x  2( x  1)2   x  Thử lại, x  thỏa mãn phương trình Vậy nghiệm phương trình là: x   Nhận xét : Nếu phương trình : f  x   g  x   h  x   k  x  Page Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A Mà có : f  x   h  x   g  x   k  x  , ta biến đổi phương trình dạng : f  x   h  x   k  x   g  x  sau bình phương hai vế, giải phương trình hệ thử lại nghiệm Bài 4: Giải phương trình : x3   x   x2  x   x  x 3 (1) Giải: Điều kiện : x  1 Bình phương vế phương trình ? Nếu chuyển vế chuyển nào? Ta có nhận xét : x3  x   x  x  x  , từ nhận xét ta có lời giải x 3 sau : x3   x   x2  x   x  x 3 Bình phương vế ta phương trình hệ quả: x  1 x3   x2  x   x  x     x3  x   Thử lại : x   3, x   nghiệm phương trình (1)   Nhận xét : Nếu phương trình : f  x   g  x   h  x   k  x  Mà có : f  x  h  x   k  x  g  x  ta biến đổi phương trình dạng: f  x   h  x   k  x   g  x  sau bình phương hai vế, giải phương trình hệ thử lại nghiệm Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: x  x  x   3x  x  3x   x    x   x  5  x x  x  11  x  x  11  12  x  14  x  x   x   x  Trục thức: 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung: Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm x0 Như vậy, phương trình ln đưa dạng tích  x  x0  A  x   ta giải phương trình Page Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A A  x   chứng minh A  x   vơ nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh giá A  x   vơ nghiệm Bài 1: Giải phương trình: 3x  x   x    x  x  1  x  3x  Giải: x   Điều kiện:    x  Ta nhận thấy :  3x  x  1   x  x  3  2  x   x  2   x  3x     x  2 pt  x  x    x  x  1  x   x  3x   2( x  2) 3x  x    x  x  1 2 3( x  2)  x   x  3x        ( x  2)  2  x   x  x  x  x    x  x  1     x  (thỏa) Dễ dàng chứng minh phương trình x   x  3x   3x  x    x  x  1  vơ nghiệm 1   VT  0, x  ;     ;     Vậy x  nghiệm phương trình  Bài 2: Giải phương trình: Giải: x  12   3x  x  5 Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng  x   A  x   , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : Để phương trình có nghiệm : x  12  x   x    x  pt  x  12   3x   x   Page Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A x2  x2   3 x    x  12  x2     x2 x2   x  2    3  x2     x  12  x2 x2 x2 Dễ dàng chứng minh :    0, x  x  12  x2   Vậy x  nghiệm phương trình  Bài 3: Giải phương trình : x   x  x3  Giải: Điều kiện: x  Nhận thấy x  nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình: pt  x    x   x3     x 3    x  3  x  x     x  3 1   2 3 x3    x  1  x       x 3 x2  3x     ( x  3) 1   0 3   x  x  1  x     x   x  3x  x3 (*)  1     x  x2   x2 1     Phương trình (*) vơ nghiệm vì: x  3x  x3 x 3 1  1   2 3 x2 1 x3    x   x   3     Vậy phương trình có nghiệm x  2.2 Đưa “hệ tạm”: Nếu phương trình vơ tỉ có dạng A  B  C , mà : A  B   C C số, biểu thức x Ta giải sau : Page Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A A B C A B  A  B  C  A  C  A  B   , ta có hệ:     A B  Bài 1: Giải phương trình sau : x  x   x  x   x  Giải: Ta thấy:  x  x     x  x  1   x   Phương trình cho có nghiệm  x    x  4 x  4 khơng phải nghiệm phương trình Xét x  4 trục thức ta có : 2x   x   x2  x   x2  x   2 2x  x   x  x  Ta có hệ phương trình: x   x  x   x  x   2  2x  x   x     2 x   x  x   x  x   x   Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0; x= Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau : x  x    x   x   10  x  x  2 3 x   x 1  2x  x  16 x  18  x   x  x  15  x   x  8 x   3x   x  x  11x  21  3 x     x   x   x    x 10  x  2.3 Phương trình biến đổi tích: 2.3.1 Sử dụng đẳng thức: u  v   uv   u  1 v  1  au  bv  ab  vu   u  b  v  a   A2  B Bài 1: Giải phương trình : x   x    x  x  Giải: PT  x   x    x  x  x   x 1 1 x  1     x  1    Page 10 Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A Chọn a  1; b  1 ta hệ 2  x  x  2( y  1)  x  x  2( y  1)  x  x  2( y  1)      ( x  y )( x  y )   y  y  2( x  1)  x  y    x  x    x    y x         x   (loại)  x  y      x  2 (VN ) yx    y   x  Vậy nghiệm phương trình x   4.3.4 Dạng 4: Cho phương trình d  ac   với hệ số thỏa mãn  (*)    e bc  Cách giải: Đặt dy  e  n ax  b n ax  b  c( dx  e)n   x   4x   x2  x 28 Bài 1: Giải phương trình Giải: Điều kiện x  9 4x  1  PT   7 x    28 2  Kiểm tra a  ; b  ; c  7; d  1; e  ;  0;    thỏa mãn (*).Đặt 28 1 4x  y  ( y  ) ta có hệ 2 28 Page 26 Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A   1   7  x    y  1 2   7  x    y    2  1   7( x  y )( x  y  1)  ( x  y )   7  y    x      14 x  12 x   (I )    1  y  x 7 x    y    98 x  112 x      2   ( x  y )(7 x  y  8)   ( II )   y   x    6   x  14   6  ( I )   x y 6  14 (loạ i ) x   14   y  x  8  46 x  14  8  46   x    8  46 14   y   14  ( II )    x  8  46     14  46    x   1 14  (loại y  )  y  x     8  46  y  14   6  8  46 Vậy nghiệm hệ phương trình x  ;x  14 14 4.4 Đặt ẩn phụ đưa hệ gần đối xứng: Bài 1: Giải phương trình: x   13 x  x   Nhận xét: Nếu nhóm phương trình trước: 13  33   x    3x   4  13 Đặt y   x  khơng thu hệ phương trình mà giải Page 27 Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Ngun V¨n Rin – To¸n 3A sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Để thu hệ (1) ta đặt :  y    3x  , chọn  ,  cho hệ giải (đối xứng gần đối xứng )  y   2  3x   y  2 y  x     (1)  (*) Ta có hệ :  (2) 4 x  13 x    y    x  13 x   y     Để giải hệ ta lấy (1) nhân với k cộng với (2) mong muốn có nghiệm x  y  2    , ta chọn   2;   Nên ta phải có :     13   Ta có lời giải sau : Điều kiện: x   , 3 Đặt 3x   (2 y  3), ( y  ) (2 x  3)  y  x   ( x  y )(2 x  y  5)  Ta có hệ phương trình sau:     (2 3) y x  15  97 Với x  y  x  11  73 Với x  y    x  15  97 11  73 Vậy nghiệm phương trình là: x  ;x  8  Chú ý : Chúng ta tìm  ;  cách ta viết lại phương trình sau: (2 x  3)   3x   x  Khi đặt 3x   2 y  , đặt y   x  khơng thu hệ mong muốn, ta thấy dấu  dấu với dấu trước Một số phương trình xây dựng từ hệ: Giải phương trình sau: x  13 x   x   x  13 x   x   3 81x   x  x  x  Page 28 x   x3  x  15 30 x  x   2004    30060 x   Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp: 1,1 Dùng đẳng thức :   f ( x)  f ( x)  g ( x)     g ( x)  1.2 Dùng bất đẳng thức:  f ( x)  m , x  D    g ( x)  m  f ( x)  m , x  D  g ( x)  m Nếu f ( x )  g ( x), x  D (1) phương trình f ( x)  g ( x ) tương đương với dấu đẳng thức (1) xảy Khi đó, phương trình f ( x)  g ( x ) với x  D    Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: x  x x  x  16  x  x  20  (1) Giải: (1)   x  x x  x  16  ( x  x  16)   ( x  x  4)      x  x  x  16  ( x  2) 2 0  x  x  x  16   x2 x    Vậy nghiệm phương trình x  Bài 2: Giải phương trình:  2011x   2011x  x   Giải: 1 x 2011 2011 Ta có  2011x   2011x   2011x   2011x  1 Mặt khác x    x   x 1 x 1   2011x   2011x  Do đó, (*)    x    x  x 1  Vậy nghiệm phương trình x  Điều kiện: Page 29 (*) x 1 Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A 2  x  x  (*) x 1 Bài 3: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x   2  Ta có :   x   2   x 1     2   x      x9  x 1     x   x        2  x  x  (1) x 1 2 1 (*)   x x 1 x 1 Do Vậy nghiệm phương trình x  Bài 4: Giải phương trình : 13 x  x  x  x  16 (*) Giải: Điều kiện: 1  x   Biến đổi phương trình ta có : x 13  x   x   256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  13  x   x 2    13 13  x  3  x   13  27  13  13 x   x   40 16  10 x   16  Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: 10 x 16  10 x      64  2 Do  x 13  x   x  2  40 x (16  x )  4.64  256   x  x2   1 x  (*)     10 x  16  10 x x   Vậy nghiệm phương trình x   Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 16 x   x  x x   4  x  x  Page 30 Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A x  x  x  40  4 x    x  64  x  x  x  28  x2   x  1 x  x  1 x    2x   2x   2x  2x   2x  2x 1   4x  x x  IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ: Phương pháp:  Nếu hàm số y  f ( x ) đơn điệu (tăng giảm) khoảng (a; b) phương trình f ( x)  k (k  const ) có khơng q nghiệm thuộc (a; b)  Nếu hàm số y  f ( x ) đơn điệu (tăng giảm) D u , v  D ta có f (u )  f (v)  u  v  Nếu hàm số y  f ( x ) đơn điệu tăng g ( x) hàm đơn điệu giảm (a; b) phương trình f ( x)  g ( x ) có khơng q nghiệm thuộc (a; b) Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: x3   x   x  Giải: Điều kiện: x   Xét hàm số f ( x)  x3   x   x D    5;  f '( x)   3x x 5  3 (2 x  1)   0, x   Suy f ( x ) đồng biến D Do đó, phương trình f ( x )  có nghiệm có nghiệm Dễ thấy f (1)  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 Bài 2: Giải phương trình: ( x  1)2  x   Giải: Điều kiện: x  1 Xét hàm số f (t )  t  2t D   1;   f '(t )  2(t  1)  0, t  1 Do đó, f (t ) đồng biến D Page 31   x   x  (*) Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A (*)  f    x2 1  f  x   x   x   ( x  1)  ( x  1)3 x   x  x  x  3x   x( x  1)( x  x  3)    x  1(thỏa)  x  Vậy nghiệm phương trình x  1; x  0; x  2 Bài 3: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x  Xét hàm số f ( x)  x  x    x  x  17 D f  1;    0, x  x 1 Suy f ( x ) đồng biến 1;   f '( x)  Đồ thị hàm số g ( x )   x  x  17 parabol ( P) có đỉnh I (1;18) bề lõm hướng xuống nên g ( x) nghịch biến 1;   Do đó, phương trình f ( x)  g ( x ) có nghiệm có nghiệm Dễ thấy, f (5)  g (5) Vậy phương trình có nghiệm x  Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: x   x   x   x x   x  x2  x3 x 1  x   x   x2    x 3x   x  x   x   x2   x    x3  x  x    x  x2 (2 x  1)  x  x   x  x      V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA:     Nếu x  a đặt x  a sin t ; t   ;  x  acost ; t   0;     2 Bài 1: Giải phương trình:   x  x   x Giải: Điều kiện x  Page 32   Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A     ;  phương trình trở thành  2 t  cos t  sin t 1  cos t   2cos    sin t  sin 2t 2 t  3t  t  t   3t    2cos    2sin   cos    cos    sin    1  2 2 2 2 2  Đặt x  sin t ; t    t t   2k  1   cos        (k  )  t    k 4   3t   sin     2 Kết hợp với điều kiện t suy t     Vậy phương trình có nghiệm x  sin        x  1  x    Bài 2: Giải phương trình:  x2 3    (*) 1 x    3 Giải: Điều kiện: x  Khi VP>0 - Nếu x   1; 0 - Nếu x  0;1 1  x  1  x  3   1  x  1  x   nên phương trình (*) vơ nghiệm 0   Đặt x  cos t , t   0;  ta có:  2  t  t   t  t  sin    cos     cos3    sin      sin t    2    2    6cos   sin t    sin t     cos t  1  sin t    cos t  Vậy nghiệm phương trình x  Bài 3: Giải phương trình:  x   x  Giải: Page 33  2x  2x  1 2x  2x Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Ngun V¨n Rin – To¸n 3A sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Đặt x  cos t ; t   0;   phương trình trở thành Điều kiện x   t  t  t t sin    cos     tan    cot    2(1  sin t )  sin t           sin t  sin t    cos t  Vậy nghiệm phương trình x  Bài 4: Giải phương trình: x  x  x  (1) Giải: Điều kiện: x  2 - Nếu x  x  3x  x  x ( x  4)  x  x  Vậy để giải PT(1) ta cần xét x   2; 2 Đặt x  cos t; t   0;   phương trình cho trở thành t  k 4 t  k 2   ( k  ) k 4 t  t  k 2   4 t  Kết hợp với điều kiện t ta  t  4  4 4 Vậy nghiệm phương trình x  cos ; x  cos  3t   t cos 3t  cos      2 3t   Nếu x  a ta đặt: a a      ; t   0;   ; t  ;t  ;  ; t  x  cost sin t  2   Bài 1: Giải phương trình: x    1 x2    x Giải: Điều kiện x  Đặt x      ;t   ;  phương trình trở thành: sin t  2 Page 34 Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A  cos t     (1  cot t )   cos t  cot t  cos t  cos t  1 0  sin t sin t  sin 2t    t  12  k ( k  ) Kết hợp với điều kiện t suy t    12 Vậy phương trình có nghiệm x    1    sin    12    TỔNG QT: Giải phương trình x  a    a x 1   3x 2 Bài 2: Giải phương trình: x  x 9   Giải: Điều kiện x   ; t   0;   , t  phương trình trở thành: cos t 1    2   sin 2t  2sin 2t  sin 2t   t  cos t sin t x  (thỏa ĐK)   cos   4 Vậy phương trình có nghiệm x  Đặt x  TỔNG QT: Giải phương trình x  ax x2  a2  b với a,b số cho trước     Đặt x  tan t , t   ,  để đưa phương trình lượng giác đơn giản  2 Bài 1: Giải phương trình: x3  3x  x   1 Giải: 3x  x3  2 khơng nghiệm phương trình nên 1   3x2  k     Đặt x  tan t , t   ,  Khi đó, PT(2) trở thành tan 3t   t    k     2    4   7  Vậy phương trình cho có nghiệm: x  tan   , x  tan   , x  tan   9     Do x   Page 35 Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A Bài 2: Giải phương trình: x   x  1 x 1   2x x 1  x  Giải: Điều kiện x  0; x  1      Đặt x  tan t , t   ,  , t  0, t   phương trình trở thành:  2  1 1      1  0 cos t sin 2t sin 4t cos t  2sin t 2sin t cos 2t   sin t cos 2t  cos2t    2sin t 1  2sin t   2sin t     sin t  t   k 2   sin t 1  sin t  2sin t    sin t  1   k      t   k 2  sin t   Kết hợp với điều kiện suy t     Vậy phương trình có nghiệm x  tan      Mặc định điều kiện x  a Sau tìm số nghiệm số nghiệm tối đa phương trình kết luận Bài 1: Giải phương trình: x   x 1 Giải: PT (1)  x3  x   2 Đặt x  cos t , t  0;   phương trình (2) trở thành: cos3t   2 t  k  k   Suy phương trình (2) có tập nghiệm     5   7   S  cos   ; cos   ; cos    9     Vậy phương trình cho có tập nghiệm S Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1  x  x  x   x  x   x x   x   x  x  x  x2   x2  Page 36  Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A x  x x2 1  35 12 VI PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ Phương pháp:      ab  a  b  Dấu “=” xảy  a hướng với  b      a  b  ab  Dấu “=” xảy  a hướng với  b x2   x  ( x  1)2  2x x (1  x )     a b  a  b  Dấu“=” xảy  a ngược hướng với b     a.b  a b  Dấu “=” xảy  a hướng với  b  Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: x  x   x  10 x  50  (*) Giải:     Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn a( x  2;1); b( x  5;5)  a  b(3; 4)  Khi a  ( x  2)2   x  x   b  ( x  5)2  25  x  10 x  50   a  b   16    a  b  x  x   x  10 x  50     Ta có a  b  a  b (1)   Do đó, (*)  (1) xảy dấu “=”  a hướng với b   x   k ( x  5) x       a  kb (k  0)  1  5k   k  k   5 Vậy nghiệm phương trình x  Bài 2: Giải phương trình: x  x  816  x  10 x  267  2003 (*) Giải:     Trong mặt phẳng Oxy chọn a(4  x; 20 2); b(5  x;11 2)  a  b  (9;31 2)  Khi a  (4  x )2  800  x  x  816 Page 37 Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A  b  (5  x )2  242  x  10 x  267   a  b  x  x  816  x  10 x  267   a  b  81  1922  2003     Ta có a  b  a  b (1)   Do đó, (*)  (1) xảy dấu “=”  a hướng với b 56    x  k (5  x ) x      31  a  kb (k  0)   20  11 2k   k  k  20   11 56 Vậy nghiệm phương trình x  31 Bài 3: Giải phương trình: x  18 x  36 x  x3   x Giải: 9 x  18 x  9 x  18  x  Điều kiện:      x    36 x  x 36  x  x    Trong mặt phẳng Oxy chọn a x  18 x ; 36 x  x ; b(1;1)  Khi đó, a.b  x  18 x  36 x  x   a b  18 x  x    Từ phương trình ta có  x  a.b  a b  x  ( x  3)   x    Thử lại ta x  nghiệm phương trình Bài tập áp dụng: x  x   x  12 x  13  13 x  12 x   x  12 x   29 x2  x   x  10  x  x  18  x  x  77   1 x   2x2  Page 38   1 x 1  Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû For Evaluation Only Ngun V¨n Rin – To¸n 3A TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] Nguyễn Quốc Hồn, Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương trình vơ tỷ [2] Nguyễn Phi Hùng – Võ Thành Văn, Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ [3] Nguyễn Đức Thắng, chun đề: Phương trình – Bất phương trình vơ tỷ [4] SGK SBT Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất giáo dục [5] Http://vnmath.com [6] Http://violet.vn Page 39 Edited by Foxit Reader www.VNMATH.com Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Ngun V¨n Rin – To¸n 3A sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû ForMét Evaluation Only KẾT LUẬN: Trên số phương pháp giải phương trình vơ tỷ khn khổ chương trình phổ thơng Sau đọc xong phương pháp giải tập minh họa, khơng bạn giải tập áp dụng sau phương pháp mà giải tập chứa thức khác Trong q trình làm tập lớn này, chắn khơng thể tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý bạn Xin trân trọng cảm ơn Huế, ngày 15 tháng 04 năm 2012 Ngun V¨n Rin Page 40 [...]... x  2 y ta có phương trình x  2     2  x  22 3 2  x  4x  8  0 Với x  y ta có phương trình Vậy nghiệm của phương trình là x  2; x  2  2 3 2.2 Phương trình dạng :  u   v  mu 2  nv 2 Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện” hơn dạng trên , nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên Bài 1: Giải phương trình : x 2  3 x 2  1  x 4  x 2  1 Giải: u  x... phương trình và kết luận Bài 1: Giải phương trình: 3 6 x  1  2 x 1 Giải: PT (1)  8 x3  6 x  1  2 Đặt x  cos t , t  0;   phương trình (2) trở thành: cos3t  1  2 t  k  k   2 9 3 Suy ra phương trình (2) có tập nghiệm     5   7   S  cos   ; cos   ; cos    9  9   9  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S 5 Bài tập áp dụng: Giải các phương trình. .. Vậy nghiệm của phương trình là: x  1 5 2 Bài 6: Giải phương trình : x 2  3 x 4  x 2  2 x  1 Giải: x  0 khơng phải là nghiệm của phương trình 1 1  Chia cả hai vế cho x ta được:  x    3 x   2 (*) x x  1 phương trình (*) trở thành : t 3  t  2  0  t  1 x 1 1 5 Với t  1 ta có phương trình 3 x   1  x 2  x  1  0  x  2 x Đặt t= 3 x  Vậy nghiệm của phương trình là x  1...  0 , ta được phương trình: v  9u 3u  2v  7 uv   v  1 u 4  Với v  9u ta có phương trình x 2  x  1  9( x  1)  x 2  8 x  10  0  x  4  6 1 4 1 4 Vậy nghiệm của phương trình là x  4  6 Với v  u ta có phương trình x 2  x  1  ( x  1)  4 x 2  3 x  5  0( PTVN ) Bài 3: Giải phương trình : x 3  3 x 2  2  x  2 3  6x  0 Giải: Nhận xét: Đặt y  x  2 phương trình trở thành... 2  0 5  97 Vậy nghiệm của phương trình là: x  1; x  18 3 2   Bài 3: Giải phương trình sau : 2  3 3 9 x 2  x  2   2 x  3 3 3 x  x  2  2 Giải: PT   3 x  2  3 3x  3  0  3 x  2  3 3 x  x  2  3x  x  1 Vậy nghiệm của phương trình là: x  1 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 1 Phương pháp đặt ẩn phụ thơng thường: Đối với nhiều phương trình vơ tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t  f... x).Q( x )  f ( x )  P ( x ) x với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho Đặt f ( x)  t , t  0 Phương trình đã cho trở thành t 2  t.Q( x)  P( x)  0 Sau đó, giải t theo x rồi thay vào giải phương trình f ( x )  t và đưa ra kết luận   Bài 1: Giải phương trình : x 2  3  x 2  2 x  1  2 x 2  2 (*) Giải: Đặt t  x 2  2 phương trình (*) trở thành : t  3 t 2   2  x  t  3  3x ... nghiệm của phương trình X 2  3 X  2  0   a  2   b  1  4 x  1  x  1 4  17  x  2 4 a  2  x  2  x  16 Với  ta có hệ phương trình  b  1  4 17  x  1 Vậy nghiệm của phương trình là x  1; x  16 a  1 Với  ta có hệ phương trình b  2 Bài 3: Giải phương trình: 3 5  x  3 2  x  3 (5  x)(2  x)  1 Giải: Đặt a  3 5  x ; b  3 2  x ta có hệ phương trình: 3 a... nghiệm của phương trình là x  1 a  1 ta có hệ phương trình b  1 Với  4.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II: 4.3.1 Dạng 1: Giải phương trình x n  b  a n ax  b  x n  b  at Cách giải: Đặt t  ax  b ta có hệ phương trình đối xứng loại II:  n t  b  ax Bài 1: Giải phương trình x3  1  2 3 2 x  1 Giải: Đặt t  3 2 x  1 ta có hệ phương trình  x3  1  2t  x3  1  2t  x 3  1... Với y  1 ta có phương trình 1  x  1  x  0 Vậy nghiệm của phương trình là: x  0 1 Bài 5: Giải phương trình: x 2  2 x x   3 x  1 x Giải: Điều kiện: 1  x  0 Chia cả hai vế cho x ta được phương trình: 1 1 1 1 x  2 x   3   x   2 x   3  0 (*) x x x x 1 Đặt t  x  (t  0) phương trình (*) trở thành: x t  1 t 2  2t  3  0    t 1   t 3  Với t  1 ta có phương trình  1 5 x...   12 1 Vậy phương trình có một nghiệm x    2 3 1    sin    12   1  TỔNG QT: Giải phương trình x 2  a  2   a x 1   3x 2 Bài 2: Giải phương trình: x  2 x 9   Giải: Điều kiện x  3 3  ; t   0;   , t  phương trình trở thành: cos t 2 1 1    2 2  1  sin 2t  2sin 2 2t  sin 2t  1  t  cos t sin t 4 3 x  3 2 (thỏa ĐK)   cos   4 Vậy phương trình có một nghiệm