Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ

phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỉ phương pháp giải bất phương trình vô tỉ các phương pháp giải bất phương trình vô tỉ giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp bất đẳng thức phuong phap giai bat phuong trinh vo ti

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC § BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC GIỚI THIỆU Kể từ năm 2005 đến nay, đề thi đại học môn toán có toán bất phương trình chứa căn: Bµi (Đề thi đại học  Khối D năm 2002): Giải bất phương trình: x  3x  2x  3x   0, x  Bµi (Đề thi đại học  Khối B năm 2012): Giải bất phương trình: x   x  4x   x, (x  ) Bµi (Đề thi đại học  Khối A năm 2005): Giải bất phương trình: 5x   x   2x  4, x  Bµi (Đề thi đại học  Khối A năm 2010): Giải bất phương trình: x x  1, x    x  x  1 ĐỊNH HƯỚNG Nhận thấy: Bài thuộc Dạng bất phương trình chứa bậc hai Bài thuộc Dạng bất phương trình chứa bậc hai Bài thuộc Dạng bất phương trình chứa có bậc khác Bài 4, thuộc Dạng bất phương trình chứa nhiều Từ đó, để cung cấp cho em học sinh giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức, giảng chia thành phần (4 dạng bất phương trình)  Ví dụ phần quan trọng, cung cấp phương pháp để giải  Hoạt động sau ví dụ tập BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MỘT CĂN BẬC HAI VÝ dô 1: (Đề thi đại học  Khối D năm 2002): Giải bất phương trình: x  3x  2x  3x   0, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây dạng bất phương trình đơn giản dạng AB  nhiều học sinh không tìm đầy đủ nghiệm Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC g(x)   f (x) g(x)  , với f(x) g(x) có nghĩa   g(x)   f (x)   Giải Bất phương trình tương đương với:  x   x     2x  3x   x   x      x   2x  3x       x  1/     x  3x   x  1/   x        x  1  Vậy, tập nghiệm bất phương trình  ;    2  3;    2  HOẠT ĐỘNG 1: Giải bất phương trình: a (x  1) 2x   3(x  1), x  b (x  1)  (x  1)  3x x   0, x  DẠNG CƠ BẢN Với bất phương trình f(x)  g(x) ta có phép biến đổi tương đương: f(x)   g(x)  f(x)  g2 (x) (*)  Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải bất phương trình (*) VÝ dô 2: Giải bất phương trình: x   2(x  1), x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bất phương trình bậc hai  Giải  Giải Bất phương trình tương đương với: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC  x 1  x 1 2(x  1)       x  1   x  1  x    x  2x    1  x  2(x  1)  (x  1)    Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 3]  {1} HOẠT ĐỘNG 2: Giải bất phương trình: a  x  1 1  x   x  3x  10  x  2, x  b x  2x  15  x  3, x  VÝ dô 3: Giải bất phương trình: x2   3x2  1, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bất phương trình trùng phương  Giải Ngoài ra, bất phương trình giải theo cách khác:  Nhẩm nghiệm x0 chuyển bất phương trình dạng tích (x  x0)h(x) phép nhân liên hợp Cụ thể:  Nhận xét x0 = nghiệm bất phương trình  Biến đổi bất phương trình dạng: x2    3x2   x2   x 3 2    (x  1)      x 3 2    x2    Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t  x  3, t   Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Với điều kiện 3x2   tức x    x2   3x2  , ta biến đổi phương trình dạng:  9x4  7x2     x2  1 9x     x2    x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) Cách 2: Biến đổi phương trình dạng: x2    3x2   x2   x 3 2    (x  1)      x 3 2    x2   (*) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nhận xét rằng: x 3 2   x 3 2 3 nên (*) biến đổi dạng: x2    x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) Cách 3: Đặt t  x  3, t  Suy x2 = t2  Bất phương trình có dạng: t  3(t2  3)   3t2  t  10   (3t + 5)(t  2)  t  t    x    x2 +   x2   x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) HOẠT ĐỘNG 3: Giải bất phương trình: a x   4x  1, x  R b x    x, x  VÝ dô 4: Giải bất phương trình:  x3  x  5, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bất phương trình bậc ba  Giải Ngoài ra, bất phương trình giải theo cách:  Nhẩm nghiệm x0 chuyển bất phương trình dạng tích (x  x0)h(x) phép nhân liên hợp Cụ thể:  Nhận xét x0 = 2 thoả mãn VT = VP  Biến đổi bất phương trình dạng:  x3   x    x2  x3   x3  x2  x2  x     (x  2)   0  x3    x3   x3   Sử dụng phương pháp hàm số, với điều kiện x  nhận xét:  VP hàm đồng biến  VT hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = 2 Vậy, tập nghiệm bất phương trình [2; 1]  Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Bất bất phương trình tương đương với: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1  x3  x  x      x  5  x   x   (x  2)(x  x  12)  1  x3  (x  5)2 x3  x  10x  24     x  x     x  5  x  5  2  x  x  2 x     Vậy, tập nghiệm bất phương trình [2; 1] Cách 2: Với điều kiện  x3  tức x  1, ta biến đổi bất phương trình dạng:  x3   x    x3  x2  x2 x3   x3   x3   x2  x    (x  2)      x +   x  2  x3    0 Vậy, tập nghiệm bất phương trình [2; 1] Cách 3: Với điều kiện x  nhận xét:  VP hàm đồng biến  VT hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = 2 Vậy, tập nghiệm bất phương trình [2; 1]  Nhận xét: Như vậy, để giải bất phương trình chứa ta lựa chọn cách: Cách 1: Biến đổi tương đương Lưu ý cách nhẩm nghiệm x0 chuyển bất phương trình dạng tích (x  x0)h(x) phép nhân liên hợp, nhiều trường hợp nhận cách giải hay Cách 2: Đặt ẩn phụ Một nhiều ẩn phụ Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số Sử dụng đạo hàm Cách 4: Đánhgiá HOẠT ĐỘNG 4: Giải bất phương trình: a x3   3x  1, x  b x   3x  4, x  VÝ dô 5: Với a > 0, giải bất phương trình: x  a  x  a, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bất phương trình bậc hai  Giải Ngoài ra, bất phương trình giải theo cách lượng giác hoá với: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC x = a.cost, t  [0; ]  Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình dạng: a2  x2 a  x   a  x  a x  a  2  ax  a  x   x  a    a  x  x   a  x  (a  x)2  Vậy, nghiệm bất phương trình a  x  x = a Cách 2: Điều kiện a  x  a Đặt x = a.cost, với t  [0, ]  a  x = a.sint Khi đó, bất phương trình có dạng:  a.cost + a.sint  a  cost + sint   cos(t )      cos t   a  a cos t   a  x  t  2        cos t  a cos t  a x  a t  Vậy, nghiệm bất phương trình a  x  x = a HOẠT ĐỘNG 5: Giải bất phương trình: x2  a2  x  DẠNG CƠ BẢN Với bất phương trình 2a x2  a2 , x f(x)  g(x) ta có phép biến đổi tương đương: g(x)  f(x)  (I) :  (II) :  g(x)  f(x)  g (x) (*) Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải bất phương trình (*) VÝ dô 6: Giải bất phương trình: 2x    x, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 2” bới trường hợp (*) bất phương trình bậc hai  Giải Ngoài ra, phương trình giải theo cách khác:  Nhẩm nghiệm x0 chuyển bất phương trình dạng tích (x  x0)h(x) phép nhân liên hợp Cụ thể:  Nhận xét x0 = thoả mãn VT = VP  Biến đổi bất phương trình dạng: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC   2x    x   2x      x   x  1  2x    2x     Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét:  VT hàm đồng biến  VP hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = Vậy, tập nghiệm bất phương trình (0; +)  Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Bất phương trình tương đương với: 1  x  2x   (I) :  (II) :  1  x  2x   1  x  Ta lần lượt:  Giải (I) ta được:  x    x >   x   Giải (II) ta được: x  x    x    0  x  x  4x  (1) (2) Từ (1) (2) suy tập nghiệm bất phương trình (0; +) Cách 2: Với điều kiện 2x +  tức x   , ta biến đổi bất phương trình dạng:   2x    x   2x      x   x  1  2x    2x     x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (0; +) Cách 3: Điều kiện 2x +  tức x   Đặt t  2x  1, (t  0) Suy x  t2 1 Bất phương trình có dạng: t  t2 1  t2 + 2t  >    t  3 (loai) 2x    2x + >  x > t  1  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (0; +) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Cách 4: Nhận xét rằng:  VT hàm đồng biến  VP hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = Vậy, tập nghiệm bất phương trình (0; +) HOẠT ĐỘNG 6: Giải bất phương trình: x    x, x  VÝ dô 7: Giải bất phương trình: 1 x  x  , x ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 2” bới trường hợp (*) bất phương trình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối  Giải phương pháp chia khoảng  Giải Bất phương trình tương đương với:  x 0   (I) : x   (II) :  2   x   x   (*)    2  Giải (I) ta x   Giải (II): Ta có biến đổi cho (*): 1  Với  x  tức x  thì: 4 (1) 1   x   x    x2 + 2x   2  x  0, thoả mãn 2  1  Với  x  tức x  thì: 4 1  1 x    x    x   , vô nghiệm  2 Suy ra, nghiệm (*) 2  x  Và hệ (II) có dạng:  x      x   2  x  Từ (1) (2) suy tập nghiệm bất phương trình (; 0] (2) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC HOẠT ĐỘNG 7: Giải bất phương trình: x 1  x  , x  VÝ dô 8: Giải bất phương trình: x2  3x   3x2  9x  8, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Nếu sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 2” (*) bất phương trình bậc bốn  Để giải bất phương trình cần có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Ngoài ra, phương trình giải theo cách khác:  Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t  x  3x  6, t   Nhẩm nghiệm x0 chuyển phương trình dạng tích (x  x0)h(x) phép nhân liên hợp Cụ thể:  Nhận xét x0 = nghiệm phương trình  Biến đổi phương trình dạng: x2  3x    3x2  9x   x  3x   x  3x      (x  3x  2)   3   x  3x     3(x  3x  2)  Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi phương trình dạng:   x2  3x   x2  3x   10 Đặt t  x2  3x  6, (t  0) ta được: t  3t  10  3t  t  10     t   t   x2  3x    x2  3x     x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 2] Cách 2: Ta có biến đổi: x2  3x    3x2  9x   x  3x   x  3x      (x  3x  2)      x  3x     3(x  3x  2) (*) Nhận xét rằng: x  3x   2   x  3x   2 3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC nên (*) biến đổi dạng:  x2  3x     x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 2] HOẠT ĐỘNG 8: Giải bất phương trình: x2  3x   2x2  6x  5, x  Giải bất phương trình: 2x  2x  2, x  2x   ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình, sử dụng phép nhận liên hợp để biến đổi bất phương trình dạng VÝ dô 9:  Giải Điều kiện: 2x     2x +     x    2x    Trục thức, ta biến đổi bất phương trình dạng: 2x    2x    2x    2x    2x   (*) 2x    2x  (*) 2x   2x   2x   (2x  1)2  4x2 + 2x <    x       Vậy, tập nghiệm bất phương trình T =   ;  HOẠT ĐỘNG 9: Giải bất phương trình:   4x  3, x  x VÝ dô 10: Giải bất phương trình: 4x  2x  2, x  (1   2x ) ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình, sử dụng phép nhận liên hợp để biến đổi bất phương trình dạng  Giải Điều kiện: 10 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC  x  3x    x   x  4x     x   x  5x    Trường hợp 1: Với x  thì: (1)  (x  1)(x  2)  (x  1)(x  3)  (x  1)(x  4)  x 2  x 3  x 4  x 2  x 4  x 4  x 3 với x  ta VT > VP < Vậy x  nghiệm bất phương trình Trường hợp 2: Với x  thì: (1)  (1  x)(2  x)  (1  x)(3  x)  (1  x)(4  x) Với x = 1, bất phương trình nghiệm Với x < 1, bất phương trình có dạng:  2 x  3 x  4 x  2 x  4 x  4 x  3 x Nhận xét với x < VT < VP > 0, phương trình vô nghiệm Vậy, bất phương trình có nghiệm x = x  HOẠT ĐỘNG 21: Giải bất phương trình: x   x   x   4, x  ĐÁP SỐ  LỜI GIẢI CÁC HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 1: a Điều kiện: 2x1   x  Đặt t = 2x  , t   x = (*) (t + 1) Khi đó, bất phương trình có dạng: 2 [ (t2 + 1)1]t  3[ (t2 + 1)1]  t33t2t +   (t + 1)(t1)(t3)    t    Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 5]  24 2x     x  Chú ý: Ta bình phương hai vế bất phương trình ban đầu chưa khẳng định dấu hai vế BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Hoàn toàn sử dụng phép biến đổi tương đương để thực thí dụ trên, cụ thể: (x1)( 2x  3)    x     x  x       2x      2x   0  2x       x    x     x       2x      2x    2x       x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 5] b Hướng dẫn: Điều kiện x  1 Biến đổi tương đương bất phương trình: x2(x + 1) + 3x x  + > Đặt t = x x  Từ đó, ta nhận nghiệm x  1 HOẠT ĐỘNG 2: a Bất phương trình tương đương với hệ:  x  3x  10  (x  2)(x  5)  x      x    x  x    x  14   x  14  x  3x  10  (x  2)      x < 14 Vậy, tập nghiệm bất phương trình [5; 14) b Bất phương trình tương đương với hệ:  x  2x  15   x  2x  15   x  hoac x  3     x   x   x   x   x  2x  15  (x  3) 4x  24       x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình [5; 6] HOẠT ĐỘNG 3: a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Với điều kiện 4x2   tức x  , ta biến đổi bất phương trình dạng:   x   4x   16x4  9x2     x2  116x2     x2    x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) Cách 2: Biến đổi bất phương trình dạng: 25 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC x2   x2    4x2   x 8 3    (x  1)      x 8 3    x2   (*) Nhận xét rằng: x2     x2   40 nên (*) biến đổi dạng: x2    x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) Cách 3: Đặt t  x2  8, t  2 Suy x2 = t2  Bất phương trình có dạng: t  4(t2  8)   4t2  t  33   (4t + 11)(t  3)  t 2  t    x2    x2 +   x2   x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (; 1]  [1; +) b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình dạng: x   x  1 1  x      1  x <  x   x  5  x    x  11x  24   x8   x     x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 3) Cách 2: Với điều kiện x +  tức x  1, ta biến đổi bất phương trình dạng: x 3 x 1  3x   x3 x 1    x  x 1  x 1      x  3      x  <  x <  x 1   1 Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 3) Cách 3: Điều kiện x +  tức x  1 Đặt t  x  1, (t  0) Suy x = t2  Bất phương trình có dạng: t <  (t2  1)  t2 + t  <  3 < t <   x + <  x < Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 3) Cách 4: Điều kiện x +  tức x  1 26 x 1  BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nhận xét rằng:  VT hàm đồng biến  VP hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 3) HOẠT ĐỘNG 4: a Bất bất phương trình tương đương với: x3   x3      3x    3x   x3   (3x  1)2 x3  9x  6x     x3    3x   (x  1)(x  8x  2)   x   3     x    x   x   hoac  x    Vậy, tập nghiệm bất phương trình 1;   b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình dạng:  x  x   x  2       x   x >  3x  3x    x   (3x  4)2 9x  25x  14    x   Vậy, tập nghiệm bất phương trình (2; +) Cách 2: Với điều kiện x +  tức x  2 , ta biến đổi bất phương trình dạng: x    3x   x24 x2 2    (x  2)      x2 2  Nhận xét rằng:  3x  (*) 1  3 x2 2 x2 2 nên (*) biến đổi dạng: x  >  x > Vậy, tập nghiệm bất phương trình (2; +) Cách 3: Điều kiện x +  tức x  2  27 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Đặt t  x  2, (t  0) Suy x = t2  Phương trình có dạng: t < 3(t2  2)   3t2  t  10 > t     t   (loai)  x    x > Vậy, tập nghiệm bất phương trình (2; +) HOẠT ĐỘNG 5: Ta trình bày theo cách sau:  Cách 1: Đặt x = atgt, với t  ( , x2  a = |a| cos t  ) suy ra: Khi đó, bất phương trình có dạng: |a| cos t  atgt +   2a cos t |a|   sint + 2cos2t  2sin2tsint1   sint   tgt   x  |a| Vậy, nghiệm bất phương trình x  |a| Cách 2: Biến đổi bất phương trình dạng: x2 + a2  x x  a + 2a2  x2a2  x x  a Xét hai trường hợp:  Nếu x  0, (2) viết lại dạng: x2a2  x2 (x2  a )  x  a   x  a   (x  a )2  x (x  a ) (2)  | x || a |  | x || a |  |a| | x |  x  x   Nếu x < 0, (2) viết lại dạng: x  a    (x  a )2  x (x  a )  | a | x | a | x |a|  x  x   Giải (I) ta được: 4  x    x     x  (1) x  x    < x   2  x  x  9x  14  (2) Từ (1) (2) suy tập nghiệm bất phương trình (2; +) Cách 2: Với điều kiện x +  tức x  2 , ta biến đổi bất phương trình dạng: x2 2 2x  x24 2x x2 2    (x  2)      x  >  x >  x2 2  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (2; +) Cách 3: Điều kiện x +  tức x  2 Đặt t  x  2, (t  0) Suy x = t2  Bất phương trình có dạng: t   x2 2 t >  (t2  2)  t2 + t  >    t  3 (loai)  x > Vậy, tập nghiệm bất phương trình (2; +) Cách 4: Nhận xét rằng:  VT hàm đồng biến  VP hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = Vậy, tập nghiệm bất phương trình (2; +) HOẠT ĐỘNG 7: Bất phương trình tương đương với:  x 0   (I) : x   (II) :   x    x   (*)    4  Giải (I) ta x  Giải (II): Ta có biến đổi cho (*): (1) 29 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC  Với x 1  tức x  thì: 1 17  x    x    x  x   , vô nghiệm 16 4   Với x  < tức x < thì: 15 1   x   x    x  x      x  , thoả mãn 16 4 4  Suy ra, nghiệm (*)   x  Và dễ thấy hệ (II) vô nghiệm 4 1  Vậy, tập nghiệm bất phương trình  ;  4  HOẠT ĐỘNG 8: Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình dạng:   x2  3x   x2  3x   15 Đặt t  x2  3x  5, (t  0) ta được: t  2t  15  2t  t  15    t 3  x2  3x    x2  3x      x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (4; 1) Cách 2: Ta có biến đổi: x2  3x    2x2  6x   x  3x   x  3x      (x  3x  4)      x  3x    Nhận xét rằng: x  3x     x2  3x   2 nên (*) biến đổi dạng: x2  3x      x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình (4; 1) HOẠT ĐỘNG 9: Điều kiện:    x  1  4x     0  x  x    Cách 1: Thực phép nhân liên hợp: 30  2(x  3x  4) (*) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (1)  (1   4x2 )(1   4x2 ) < 3(1 + x  4x2 )  4x < +  4x2   4x2 > 4x3 4 x    1  x     4 x    2 9(1  x )  (4 x  3)  x    | x | x 0     x   9(1  x )  ( x  3)2    x   0  x   Cách 2: Xét hai trường hợp dựa điều kiện  Với   x < thì: 1  3x  (1)   4x2 < 13x   2  1  4x  (1  3x)  x   13x2  6x    x < Kết hợp với điều kiện xét nghiệm   Với < x  2  x < thì: (1)   4x2 > 13x  x  1  3x   1   3  x  1  4x    x     0  x  1  3x     x   2   1  4x  (1  3x)  13x  x  0 Vậy, tập nghiệm bất phương trình (3; +) Cách 2: Điều kiện: x    x 1  2x   Biến đổi bất phương trình dạng: x   2x   Nhận xét rằng:  VT hàm đồng biến  VP hàm Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = Vậy, tập nghiệm bất phương trình (3; +) b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Điều kiện: 3  x   2 ≤ x ≤  x   (*) (*) 33 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Biến đổi bất phương trình:  x   x    x   (x  2)  x   x    x x   x  x      x  1  x < 1   x  x    x   ( x)  x   Vậy, tập nghiệm bất phương trình [2; 1) Cách 2: Điều kiện: 3  x   2 ≤ x ≤  x   Biến đổi bất phương trình dạng:  x   x  Nhận xét rằng:  VT hàm nghịch biến  VP hàm đồng biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = 1 Vậy, tập nghiệm bất phương trình [1; 3) HOẠT ĐỘNG 14: Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt t = x23x + 3, ta có: 3 3  t  x     2 4  đó, điều kiện cho ẩn phụ t t  Khi đó, bất phương trình có dạng: t + t  <  t + t + + t(t  3) <  3  t    t(t  3)  (3  t) t   t <  x23x + < t     x23x + <  < x < Vậy, bất phương trình có tập nghiệm (1; 2) Cách 2: Biến đổi phương trình dạng:    34   x  3x    x  3x   x  3x   x  3x  x  3x   t(t  3) < 3t    x  3x    x  3x   x  3x   x  3x  x  3x   0 0 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC   1  (x2  3x  2)   0 2 x  3x   x  3x      x23x + <  < x < Vậy, bất phương trình có tập nghiệm (1; 2) HOẠT ĐỘNG 15: Điều kiện x > Viết lại phương trình dạng: 5( x + Đặt t = x + ) < 2(x + x 1 ) 4x +4 (*) (2) , ta có nhận xét: x C «si + x  2 x x x = 2, điều kiện t  Mặt khác: (**)   1  = x + t2 =  x  +1x+ = t21  x 4x 4x Khi đó, bất phương trình có dạng: 5t < 2(t21) +  2t25t + > t  (**)  t>2 x +   > 2 x t  / Đặt X = x , X > 0, đó: X+ 2X >  2X24X + >   2 2  x  X   x  2         0  x   2 2 X   x  2   3 Vậy, bất phương trình có nghiệm (0,  )  ( + , + ) 2 HOẠT ĐỘNG 16: a Điều kiện:  2x  12x   x   2x   (*) Biến đổi bất phương trình dạng: 2(x  2)  2(2x  1) > x + + 2x  (2) Đặt 35 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC  u  2x     v  x  Khi đó, bất phương trình có dạng: 2u  v u  v  > u + v   2  2u  v  (u  v) u  v    (u  v)   u  v Xét trường hợp u = v x   x  = x +  x26x + =   x  Suy ra, để u  v, ta phải có x  [ , + ) \ {1, 5} Vậy, nghiệm bất phương trình x  [ ; +) \ {1; 5} b Hướng dẫn: Viết lại bất phương trình dạng:  x  + x3 Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ u = x  v = x3 HOẠT ĐỘNG 18: a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Viết lại bất phương trình dạng: x 1 x 1 1 + x 1  x 1  > 2(x  1)  2(x  3)2  ( x   1)2 + ( x   1)2 > Điều kiện: x1   x  Khi đó, phương trình trở thành: (*)  x      2 x    x  x  + +  x  1 >      x  x    x   2   Kết hợp với điều kiện (*) x  nghiệm bất phương trình Cách 2: Điều kiện: x    (*)  x  x    x   x  x   Bình phương hai vế bất phương trình, ta được: 36 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 2x  x    x 1 x  x 1  9  2x  x  4x   4 9  (x  2)   2x  x    2x 4 Ta có biến đổi cho (1):  Với x   tức x  thì: 25 25 (1)  2(x  2)   2x  4x   x 4 16 Suy ra, nghiệm trường hợp x   Với x  < tức x < thì: 9 (1)  2(2  x)   2x   , 4  x   , vô nghiệm Suy ra, nghiệm trường hợp x < 22 Suy (1) nghiệm với x Vậy, bất phương trình có tập nghiệm [1; +) b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Điều kiện:  2x  x  4(x  1)  x     x  x    x   x  x    (1) (*) Nhận xét rằng: VT = x  x  + x  x2   x  x  x  x2  = Vậy, bất phương trình có nghiệm VT =  x  x  = x  x2   x  x   x  x  x   x 1   x 1     x  1 (loai) Vậy, nghiệm bất phương trình x = Cách 2: Điều kiện: 37 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC x     x  x    x   x  x    (*) Bình phương hai vế bất phương trình, ta được: 2x  x    x 1 x  x 1   2x  x   x  1   2x    x  Vậy, nghiệm bất phương trình x = HOẠT ĐỘNG 20: Điều kiện: 7x   x  7x   (*) Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ: u = 7x  v = 7x  , với u, v  Khi đó, bất phương trình có dạng: u + v + 2uv < 181(u2 + v2  1)  (u + v)2 + (u + v)  182 <  (u + v + 14)(u + v  13) <  u + v < 13  7x  + 7x  < 13  14x + + 49 x  7x  42 < 169  49 x  7x  42 < 84  7x Giải tiếp, ta nhận nghiệm  x < HOẠT ĐỘNG 21: Biến đổi tương đương bất phương trình dạng: ( x   1)2  x  <  2 x  + 1  x  <  2( x  + 1)  x  < x    x 1 <    1  x < x   Vậy, bất phương trình có tập nghiệm [1; 3) Cách khác: Với điều kiện x  1, biến đổi bất phương trình dạng: x   x 1   x 1     x   x 1   x 1   3x <  x < Vậy, bất phương trình có tập nghiệm [1; 3) 38 [...]...  1  x  1  0 Vậy, bất phương trình có nghiệm x > 9 hoặc 0 < x < 1 HOẠT ĐỘNG 19: Giải bất phương trình: 2 3 3x  2  3 6  5x  8  0, x  4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU CĂN BẬC HAI VÝ dô 20: (Đề thi đại học  Khối A năm 2005): Giải bất phương trình: 5x  1  x  1  2x  4, x  22 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây là bất phương trình vô tỉ và có thể nhận thấy...   x  0  x  0    x  2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Vậy, bất phương trình có nghiệm x  0 HOẠT ĐỘNG 12: Giải bất phương trình: x2 + 4x  (x + 4) x 2  2x  4 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN BẬC HAI VÝ dô 13: Giải bất phương trình: x  9  5  2x  4, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Dễ thấy chưa thể sử dụng ngay phép khai phương cho bất phương trình này, suy ra cần biến đổi: x ... Giải bất phương trình: 2x 2  x  21, x  (3  9  2x ) 2 VÝ dô 11: Giải bất phương trình: x+ 2x >3 5 (1) x2  4 ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình Dựa vào tập xác định để thực hiện phương pháp chia khoảng Ẩn phụ xuất hiện khi bình phương hai vế của bất phương trình  Giải Điều kiện: x24 > 0  x > 2 (*) Trường hợp 1: Với x < 2 thì bất phương trình. .. 4 là nghiệm bất phương trình Trường hợp 2: Với x  1 thì: (1)  (1  x)(2  x)  (1  x)(3  x)  2 (1  x)(4  x) Với x = 1, bất phương trình nghiệm đúng Với x < 1, bất phương trình có dạng:  2 x  3 x  2 4 x  2 x  4 x  4 x  3 x Nhận xét rằng với x < 1 thì VT < 0 và VP > 0, phương trình vô nghiệm Vậy, bất phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x  4 HOẠT ĐỘNG 21: Giải bất phương trình: 2 x... Vậy, bất phương trình 2ax  a 2  a 2 a có nghiệm  2 2 x  a HOẠT ĐỘNG 18: Giải bất phương trình: a 3 x  2 x 1  x  2 x 1  , x  2 b x  x 2  1  x  x 2  1  2, x  3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN CÓ BẬC KHÁC NHAU VÝ dô 19: Giải bất phương trình: x  1  3 x  1, x  (1) ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Trước tiên, đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình Từ đây, bằng phép khai phương. .. nghiệm của bất phương trình là: (;  20 )  ( 5 ; 5 )  ( 20 ; +) 2 HOẠT ĐỘNG 11: Giải bất phương trình: x 35 x  , x x 2  1 12 VÝ dô 12: Giải bất phương trình: x21  2x x 2  2x ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Bất phương trình được mở rộng từ dạng cơ bản f(x)  g(x) thành h(x) f(x)  g(x) nên chưa thể sử dụng phép khai phương Trước tiên, hãy đi đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình. ..  1 Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là 0;    4;     4 HOẠT ĐỘNG 15: Giải bất phương trình: 5 1 5 x  2x  , x 2x 2 x VÝ dô 16: Giải bất phương trình: 2 2 2x 2  6x  8  x  x  2, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Biến đổi bất phương trình về dạng: 2(x  2) 2  2x  x2 + x Sử dụng hai ẩn phụ: u  x  0  v  x  2  Giải Điều kiện x  0 Biến đổi bất phương trình về dạng:... VÝ dô 14: Giải bất phương trình: x  2  x 2  5  3, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Bất phương trình chứa hai căn bậc hai với lõi là các hàm số bậc hai Nên không thể sử dụng phương pháp bình phương Bất phương trình được giải theo cách "Nhẩm nghiệm x0" rồi chuyển về dạng tích (x  x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp Cụ thể:  Nhận xét rằng x0 = 3 thoả mãn VT = VP  Biến đổi bất phương trình về dạng:... tập nghiệm của bất phương trình là [5; 6] HOẠT ĐỘNG 3: a Ta có thể trình bày theo các cách sau: 1 Cách 1: Với điều kiện 4x2  1  0 tức x  , ta biến đổi bất phương trình về dạng: 2   x 2  8  4x 2  1 2  16x4  9x2  7  0   x2  116x2  7   0  x2  1  0  x  1 Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +) Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dạng: 25 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN... 2012): Giải bất phương trình: x  1  x2  4x  1  3 x, (x  ) ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Dễ thấy không thể sử dụng ngay phép khai phương cho bất phương trình này, suy ra cần sử dụng ẩn phụ Câu hỏi được đặt ra là ẩn phụ kiểu gì ?  Ẩn phụ dễ nhận thấy nhất là t  x (t  0) và khi đó ta nhận được bất phương trình dạng: t 4  4t 2  1  t 2  3t  1 Trong trường hợp này cần phải giải một bất phương